PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN ......Geogebra sendiri merupakan software yang bersifat open...

PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika berbasis ICT

Dosen Pengampu Dr. Dwijanto, M.S.

Oleh:

Purwanti Wahyuningsih (0401514014)

Franky Martion ( 0401514030 )

Rombel B1

PROGRAM PASCA SARJANA

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2015

2 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

PEMBELAJARAN MATEMATIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE

GEOGEBRA

Software Geogebra merupakan salah satu software yang bisa dimanfaatkan

untuk pembelajaran Matematika, diantaranya geometri dan aljabar. Software ini

dapat diunduh secara gratis melalui situs www.geogebra.org. Berikut ini disajikan

materi Irisan dua lingkaran dan integral, yang merupakan salah satu materi yang

membutuhkan keterampilan siswa dalam menggambar dan menganalisis sebuah

permasalahan. Di zaman yang serba canggih sekarang ini yang dibutuhkan adalah

efisiensi waktu, kemudahan dan kecepatan. Untuk mempermudah siswa dalam

memahami materi irisan dua lingkaran dan integral, kita bisa memanfaatkan

software geogebra.

A. MATERI IRISAN DUA LINGKARAN

Materi Irisan dua lingkaran meliputi kedudukan dua lingkaran dan persamaan

garis singgung diantara kedua lingkaran. Berikut ini yang akan disajikan adalah materi

mengenai Kedudukan dua Lingkaran.

1. Dua lingkaran saling pisah / lepas.

Langkah 1. Ketikkan pada input, A=(2,2) akan muncul titik A pada koordinat (2,2)

Langkah 2. Klik icon Circle with center and radius yaitu kita memilih untuk

menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari tertentu. Klik pada titik

A kemudian muncul kotak untuk mengisikan radiusnya.

Ketik 2 karena kita akan menggambar lingkaran dengan jari-jari 2 satuan.

Kemudian klik Ok. Akan muncul gambar lingkaran seperti berikut:

http://www.geogebra.org/


Langkah 3. Dengan cara yang sama, buat sebuah lingkaran lagi dengan Pusat

B(10,2) dan jari-jari 3, akan muncul gambar dua lingkaran yang saling terpisah.

Untuk menanamkan konsep dua lingkaran yang saling pisah, siswa diarahkan

untuk mengamati gambar dua lingkaran tersebut, kemudian mencari hubungan

antara jari-jari kedua lingkaran tersebut dengan jarak kedua pusatnya. Disitu

terlihat bahwa jarak AB lebih besar dari pada jumlah kedua jari-jarinya.


Kedua lingkaran dikatakan saling lepas jika .

2. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar

Dengan cara yang sama seperti pada nomor 1, silahkan gambar kedua lingkaran

seperti gambar berikut:

Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan diluar jika

3. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar

Dengan cara yang sama, silahkan gambar kedua lingkaran seperti gambar

berikut:


Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika | |

4. Dua Lingkaran saling berpotongan

Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika | |

5. Lingkaran di dalam Lingkaran


Sebuah lingkaran berada didalam lingkaran yang lain jika | |

B. MATERI INTEGRAL

Fungsi pre-definisi sudah ditanam dalam GeoGebra dan untuk menggunakan fungsi

tersebut kita tinggal memanggil dengan menggunakan format nama fungsi disertai

parameter yang diperlukan. Sebagai contoh, kita akan mencoba memanfaatkan

beberapa fungsi untuk menghitung integral maupun menentukan pendekatan

dengan penjumlahan Riemann. Misalkan kita mendefinisikan sebuah fungsi

bernama f maka kita dapat menentukan integral dengan terlebih dahulu

menentukan a sebagai batas bawah dan b adalah batas atas. Setelah itu panggil

fungsi Integral dengan sintaks berikut: Integral[f] untuk integral tak tentu, dan Integral[f,a,b] untuk integral tertentu

Untuk contoh lebih jelas masukkan rangkaian statemen berikut ke dalam Input Bar Geogebra. f(x)=6x-x^2

Integral[f]

a=0 (a adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas bawah)

b=3 (b adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas atas) Integral[f,a,b]

Akan muncul tampilan grafik berikut:


Untuk menentukan nilai batas atas dan batas bawah yang dinamis, tampilkan variabel a

dan b sebagai slider dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel yang bersangkutan. Ubahlah nilai a dan b dengan menggerakkan slider dan amati perubahannya.

Masih melanjutkan pada fungsi dan variabel yang sama, sekarang tambahkan sebuah variabel bernama n dan tentukan nilainya 10. Variabel ini akan kia gunakan sebagai nilai selang/interval. Langkah selanutnya kemudian panggil beberapa fungsi untuk menghitung upper sum, lower sum dan trapezoidal sum. Masukkan beberapa sintaks berikut. n=10

LowerSum[f,a,b,n]


UpperSum[f,a,b,n]

TrapezoidalSum[f,a,b,n]

Pada grafik akan nampak tampilan masing-masing pendekatan. Kita dapat menampilkan atau menyembunyikan masing-masing pendekatan dengan mengeset visible atau hidden dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel. Dengan cara yang sama, tampilkan slider n sehingga selang dapat diatur secara dinamis. Aturlah supaya nilai maksimum n menjadi lebih besar, misalnya 100. Tampilannya akan terlihat seperti berikut.

Pada contoh di atas, kita menghitung nilai integral pada daerah antara kurva dan sumbu x. Sebagai tambahan, untuk menentukan luas di antara dua buah kurva GeoGebra sudah menyediakan fungsi yaitu IntegralBetween. Sebagai contoh jika kita memiliki dua fungsi f dan g serta batas bawah a dan batas atas b, sintaks untuk menghitung luas antara kurva fungsi f dan g adalah IntegralBetween[f,g,a,b]

Tampilannya akan kurang lebih seperti berikut:


Referensi: Panduan Diklat Online p4tkmatematika.org.


MENGENAL GEOGEBRA UNTUK KALKULUS

Tujuan

Pembaca mengenal berbagai fasilitas yang disediakan geogebra untuk

menyelesaikan peroalan-persoalan berkaitan dengan Kalkulus, khususnya Kalkulus

Integral.

Dasar Teori

Perkembangan teknologi sangat membantu dalam memahami berbagai konsep

dalam matematika dan juga membantu dalam menyelesaikan beberapa persoalan

yang sulit diselesaikan secara aljabar.

Geogebra dengan fasilitas yang dimilikinya sangat membantu. Fasilitas

penggambaran grafik, penentuan nilai maksimum, nilai minimum, nilai limit, nilai

turunan dan turunan fungsi dapat di tentukan. Pendekatan polygon untuk

menghitung luas daerah di bawah kurva, jumlah Riemann dan integral tentu dengan

mudah dicari melalui geogebra.

Geogebra sendiri merupakan software yang bersifat open source sehingga sangat

mudah mencarinya. Untuk lebih memahami kegunaan geogebra, kita akan lihat

berbagai fasilitas yang disediakan.

Langkah-langkah

1. Buka geogebra, sehingga akan tampil menu berikut;

Tool yang disediakan

Untuk mengisi perintah Untuk melihat fasilitas yang

disediakan


2. Klik tanda, akan tampil fasilitas-fasilitas yang disediakan, lihat gambar dibawah.

3. Selanjutnya klik, functions & calculus.

4. Ambil sembarang fasilitas, misalkan, function, klik akan tampak dilayar

5. Atau kita bisa mengetik “integral” pada bagian “input” pojok kiri bawah, maka akan

muncul berikut

Jenis-jenis fungsi yang disediakan

otomatis oleh geogebra.

Fasilitas yang berkaitan

dengan kalkulus

Fasilitas yang berkaitan

dengan integral


MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Tujuan

Pembaca trampil menggambar grafik fungsi polinom, rasional dan trigonometri

dengan menggunakan Geogebra

Dasar Teori

Fungsi merupakan kajian utama dalam Kalkulus. Konsep- konsep tentang

antiturunan, polygon dalam dan luar, jumlah Riemann dan integral tentu banyak

melibatkan tentang fungsi. Fungsi polinom memiliki peran yang penting karena

didalamnya memuat fungsi linier, kuadrat dan fungsi lainnya. Secara umum fungsi

polinom memiliki bentuk ( )

Dengan dinamakan fungsi linier, dinamakan fungsi kuadrat, dan

seterusnya. Sedangkan fungsi rasional memiliki bentuk umum ( )

( ) dimana

masing-masingnya adalah fungsi polinom.

Fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang memuat sinus, cosinus, tangent,

cosecant, secan dan gabungannya. Fungsi ini memiliki domain berupa derajat atau

diperumum dalam bilangan real.

Langkah-langkah

1. Bukalah software Geogebra

2. Klik tanda atau ketik “function” tekan enter

3. Tuliskan persamaan fungsi yang akan kita buat grafiknya pada bagian sudut kiri

bawah, misalkan, , pada [ ]


4. Tekan enter, akan diperoleh

5. Untuk menampilkan persamaan

dalam grafiknya dapat dilakukan

dengan mengklik kanan fungsi

6. Klik object properties

7. Beri centang pada “show label” pilih “name & value”, sehingga akan muncul

8. Contoh menggambar fungsi ( ), masukkan fungsi yang akan dibuat,

seperti di bawah ini

Tekan “enter” akan muncul


9. Menggambar fungsi ( )

√ , masukkan fungsi

Tekan “enter” akan muncul

Latihan

Gambar grafik dari fungsi-fungsi berikut;

1. ( )

2. ( ) ( )


POLIGON DALAM DAN POLIGON LUAR

Tujuan

Pembaca trampil dalam membentuk grafik fungsi polygon dalam dan polygon luar

dari grafik

Dasar Teori

Polygon dalam merupakan sebuah pendekatan dalam menentukan luas daerah

dibawah kurva. Potongan-potongan berbentuk segiempat dilakukan pada daerah

yang akan dihitung luasnya. Potongan ini diberikan seperti gambar (1) berikut;

Gambar 1 Gambar 2

Dengan membuat partisi pada selang [a,b] akan diperoleh,

( )

sehingga luas ke-I untuk polygon dalam adalah ( ) dan luas totalnya

adalah ∑ ( ) . Dengan cara yang sama akan diperoleh polygon luar yaitu

∑ ( ) .

Tentu saja semakin banyak potongan yang dibuat atau n semakin besar akan

semakin mendekati luas dari daerah yang akan dhitung. Pada polygon dalam hasil

yang didapatkan akan lebih kecil dari luas yang sebenarnya. Sedangkan pada

polygon luar hasilnya akan lebih besar dari luas yang sebenarnya.

Pertanyaan awal

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh pada interval [ ] apabila

dengan apabila

a) Menggunakan polygon dalam

b) Menggunakan polygon luar

Langkah-langkah

Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh pada [ ]

a) Buatlah grafik fungsi, missal , dengan nilai awal yang kurang dari

batas kiri selang dan nilai akhir lebih dari batas akhir selang


b) Ketik lower pada kiri bawah, akan muncul tulisan berwarna biru,

c) Tekan enter akan muncul

d) Masukkan fungsi, batas awal selang, batas akhir selang, banyaknya polygon

atau nilai n

e) Tekan enter, akan muncul

f) Lihat sebelah kiri atas, muncul a = 3.7 (inilah luas yg dimaksud)

Untuk mencari dengan polygon luar, lakukan dengan langkah yang sama,

pada saat langkah ke-3. Ganti menjadi uppersum sehingga muncul

Lanjutnya langkahnya sampai ke-6, akan diperoleh

Muncul b = 5.7 merupakan luas polygon luar yang dimaksud. Bagaimana bila n

nya kita ganti-ganti. Geogebra menyediakan slider untuk membuat ini.

Langkah-langkahnya adalah sebagai

Berikut


1) Pilih tombol , klik,

sorot “slider”

Enter akan muncul gambar

berikut

2) Pada “nama, isi dengan n, beri tanda pada “integer”, minimum

missal 4 maksimum 100, increment 5

3) Klik apply akan tampil


4) Klik kanan pada a (sebelah kiri) klik „object properties”

5) Pilih “basic”, ganti 6 dengan n dan “close”

6) Klik kanan pada slider, pilih animation

7) Amati pada perubahan n, nilai a dan grafiknya

Lakukan hal yang sama untuk polygon luar

Latihan

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh pad selang [ ]

apabila menggunakan

a) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, 240

b) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, 240


INTEGRAL TAKTENTU DAN TENTU

Tujuan

Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan integral taktentu dan

tentu

Dasar Teori

Integral taktentu merupakan sebuah operasi yang bersifat linier. Integral taktentu

juga dikatakan sebagai antiturunan. Sebagai antiturunan, maka integral taktentu

merupakan sebuah operasi invers dari turunan. Kalau turunan diilhami oleh

gradient kurva di suatu titik tertentu, maka antiturunan diilhami sebagai pencarian

fungsi. Akan tetapi, integral tentu diilhami dengan luas daerah pada bidang rata.

Integral taktentu dinyatakan dalam bentuk umum ∫ ( ) ( ) dimana

( ) ( ).

Sedangkan integral tentu dinyatakan dalam bentuk ∫ ( ) ( ) ( )

Geogebra menyediakan juga bisa menentukan integral taktentu dan tentu. dalam

menentukan integral taktentu juga ditampilkan gafik dari fungsi yang dihasilkan,

meskipun tidak ditampilkan langkah-langkahnya. Sangat sederhana langkah yang

ditempuh, karena sudah tersedia menu, function and calculus. Demikian pula dalam

integral tentu.

Langkah-Langkah

Menentukan integral taktentu

1. Buka geogebra, arahkan mouse pada tanda t pada pojok kanan bawah, klik akan

tampil


2. Pilih menu function and calculus, akan muncul berbagai pilihan, sementara pilih

integral

3. klik paste, sehingga di pojok kiri bawah muncul

4. Masukkan fungsi, misalkan

5. Selanjutnya, tekan enter, akan tampak seperti berikut

6. Akan diperoleh fungsi dan grafiknya, yakni ( ) ( )


Menentukan integral tentu

1. Ulangi langkah 1 dan 2

2. Ketik integral, pilih integral bagian dua, lihat gambar berikut

Klik, Sehingga tampil

3. Masukkan fungsi, batas bawah dan batas atas, misalkan berikut

4. Tekan enter, akan didapatkan hasil berikut

Nilai c = 2, pada pojok kanan merupakan hasil integrasi, sedangkan

gambar menunjukkan daerah yang diintegralkan.

Latihan

1) Carilah

(a) ∫

(b) ( )

2) Hitunglah

(a) ∫

(b) ∫


LUAS DAERAH BIDANG RATA

Tujuan

Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan luas daerah pada

bidang rata

Dasar Teori

Integral tentu yang didefinisikan dari jumlah Riemann tampaknya mudah diterima

apabila penggunaan integral untuk mencari luas daerah.

Luas daerah yang berada di atas sumbu-x dan dibatasi oleh, ( )

dan sumbu-x dapat dihitung dengan rumus ( ) ∫ ( )

Luas daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva ( ) dan ( ) dan

sumbu-x dapat dihitung dengan rumus

( ) ∫ [ ( ) ( )]

untuk ( ) ( ) pada [a,b]

( ) ∫ [ ( ) ( )]

untuk ( ) ( ) pada [a,b]

Langkah-langkah

Menentukan luas daerah diatas sumbu-x

1. Masukkan fungsi, misalkan ( ) , lihat grafik yang berada di atas

sumbu-x


2. Tentukan batasnya, missal [0,1]

3. Hitung luas dengan menggunakan lowersum, uppersum atau rectanglesum,

missal rectanglesum, seperti berikut

4. Jadi, luasnya adalah 1.41


Menentukan luas daerah dibawah sumbu-x

Lihat kasus diatas

1. Tentukan selang dimana fungsi dibawah sumbu-x, ambil [-1,0]

2. Ketik rectanglesum[fungsi,-1,0,100,0.001], tekan enter akan diperoleh berikut

3. Jadi, luasnya adalah 0.08


Menghitung luas diantara dua kurva

1. Pada input, ketik fun akan muncul

2. Masukan fungsi, misal

3. Ulangi (1) dan masukkan fungsi, misal

4. Tentukan selang, dimana ( ) ( ), missal [0,2]

5. Tulis, integralbetween[f-g,0,2] pada input, tekan enter akan tampil berikut


6. Jadi, luasnya adalah 1,61

7. Ganti selang menjadi [-2,0], dengan proses yang sama akan kita dapatkan,

dimana ( ) ( )


VOLUME BENDA PUTAR

Tujuan

Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk mententukan volume benda putar

dan mampu menginterpretasikannya.

Dasar Teori

Salah satu aplikasi integral yang sangat penting adalah penghitungan volume benda

putar. Hasil perputarannya tentu merupakan bangun berdimensi tiga, seperti

kerucut, tabung, cakram berlubang di tengahnya, atau seperti bambu. Secara

volume dapat dihitung dengan rumus, V = a.t.

Volume benda putar pada kajian kalkulus dapat dihitung dengan menggunakan

metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung.

Metode cakram digunakan untuk volume beda putar dimana salah satu sisi

daerahnya menjadi sumbu putarnya. Secara umum, perhitungan dapat

ditentukan dengan persamaan berikut;

r

∫ ( )

Metode cincin digunakan untuk volume beda putar dimana salah daerah yang

akan diputar memiliki jarak dengan sumbu putarnya. Secara umum, perhitungan

dapat ditentukan dengan persamaan berikut

∫ ( ) ( )

Metode kulit tabung digunakan apabila potongan daerah yang dibuat sejajar dengan

sumbu putarnya. Metode ini dapat dipahami sebagai berikut;

Secara umum, volume ini dapat dihitung melalui rumusan, ∫ ( )

( )

( )


Langkah-langkah

Menggunakan metode cakram, missal daerah diputar

mengelilingi sumbu-x

1. Buat daerah yang akan diputar, ketik pada input

2. Cerminkan terhadap sumbu-x dengan klik tanda pencerminan

3. Klik, reflect object about line, klik grafik, klik sumbu-x, akan didapatkan


4. Pilih menu berikut

5. Pilih ellipse, klik pada titik (2,4) dan

(2.-4) geser dan klik sehingga

didapat


6. klik ellips pada titik lain, sehingga

Sehingga volumenya, dapat Anda hitung dengan mengetik pada input,

Integral[*f^2,0,2] tekan enter sehingga didapat a = 6.4

( )


Menghitung volume metode cincin

Hitung volume daerah yang dibatasi oleh ( ) dan ( ) diputar

mengelilingi sumbu-x

1. Buatlah grafik dari kedua fungsi

2. Tentukan titik potong dan ulangi langkag 2-6 sehingga didapatkan grafik berikut

3. Selanjutnya ketik pada input, Integral[f^2-g^2,0,2], tekan enter, sehingga didapat

a =4.27


NILAI LIMIT FUNGSI

Tujuan

Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan nilai limit dari berbagai

jenis fungsi

Dasar Teori

Kajian tentang limit merupakan kajian konsep dasar dalam kalkulus. Beberapa

konsep seperti turunan dan integral didefinisikan dari limit.

Limit secara intuitif diartikan sebagai nilai f(x) akan dekat ke-L apabila x dekat

tetapi berlainan dengan c, yang selanjutnya disimbolkan secara matematis

menjadi ( ) . Secara formal definisi tentang limit disajikan melalui

konsep epsilon ( ) dan delta ( ), dimana ( ) diartikan dengan

sedemikian sehingga | | | ( ) | .

Ada tidaknya limit ditentukan oleh limit kiri dan kanan, dimana

( )

( )

( )

Dalam geogebra, nilai limit dapat dihitung dengan menggunakan perintah Limit[

<Function>, <Value> ]. Untuk menentukan limit kiri dapat digunakan dengan

perintah LimitBelow[ <Function>, <Value> ], sedangkan limit kanan dapat

dihitung dengan LimitAbove[ <Function>, <Value> ].

Langkah-langkah

Menghitung nilai limit

1. Misalkan kita akan menghitung

, masukkan Function[(x^2-1)/(x-1)]

2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat

3. Jadi, nilai dari



| |, masukan Function[(x^2-1)/abs(x-1)]

2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat

3. Jadi,

| | tidak terdefinisi.

Menghitung limit kiri


| |, masukan fungsi.

2. Masukkan LimitBelow[f,1]

3. Jadi

| | (lihat nilai a disamping dan grafik).

Menghitung limit kanan


| |, masukan fungsi.

2. Masukkan LimitAbove[f,1]


3. Jadi

| | (lihat nilai a disamping dan grafik).

PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN ......Geogebra sendiri merupakan software yang bersifat open...

Documents

Transcript of PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN ......Geogebra sendiri merupakan software yang bersifat open...