GeoGebra

GeoGebra adalah sebuah aplikasi software matematika yang digunakan untuk proses belajar mengajar matematika.Kita bisa menggunakan geogebra untuk membuat gambar grafik dan mengetahui nilai/hasil dari fungsi yang ingin kita cari.Pada aplikasi geogebra terdapat sebuah ikon yang terletak di sudut kanan bawah yang bentuknya seperti tanda display.Icon ini menyediakan beberapa fasilitas diantaranya adalah fungsi dan kalkulus,logika,geogebra dan icon lainnya.Pada pembahasan kali ini saya akan membahas tentang fungsi,polygon dalam,polygon luar,integral tertentu,luas daerah dan volume benda putar.

1. FungsiSebuah fungsi kita dapat menggambarkannya melalui aplikasi geogebra.Pada saat kita ingin

membuat grafik fungsi hal yang pertama kali dilakukan adalah meletakkan kursor pada kolom input yang terletak di kiri bawah aplikasi geogebra,kemudian ketik kata fungsi maka akan muncul beberapa pilihan tentang fungsi,pilih sub bab mana yang kita inginkan.Misalnya Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ].Pada bagian <Function> diganti dengan kata fungi yang kita inginkan, <Start x-Value>,diganti dengan batas atas yang kita inginkan <End x-Value>,diganti dengan batas bawah yang kita inginkan.

Contoh : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-6x+9,-5,5 ]

Sehingga akan muncul gambar seperti ini

`

2. Polygon dalamPolygon dalam adalah suatu cara yang digunakan untuk mencari luas daerah dibawah kurva

dan tidak melampaui grafik kurva tersebut.Grafiknya berupa petakan persegi panjang yang

dibuat dari bawah kurva tersebut dan tidak melampaui grafik tersebut.Semakin banyak jumlah petakan atau seminimal mungkin jarak antara satu petak ke petak yang lainnnya maka akan semakin akurat nilai dari luas daerah yang kita cari atau akan sedikit daerah yang terbuang atau daerah yang tidak terhitung.Cara menentukan luas daerah pada kurva polygon dalam adalah LowerSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of Rectangles> ].Pada <Function>, dapat diganti dengan fungsi yang kita inginkan, <Start x-Value>,diganti dengan batas atas yang kita inginkan <End x-Value>,diganti dengan batas bawah yang kita inginkan, <Number of Rectangles> diganti dengan jumlah petakan yang diinginkan misalnya 10,20,50,100,1000 dan lain-lain.Semakin banyak jumlah petakan maka akan semakin akurat nilai/hasil yang kita dapatkan.

Contoh :Untuk n=10

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan LowerSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan LowerSum[ x^2-8x+16,0,7,10]

Sehingga akan muncul gambar sepeti ini

Untuk n=20

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan LowerSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan LowerSum[ x^2-8x+16,0,7,20]

Sehingga akan dapat gambar seperti ini

Untuk n=50

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan LowerSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan LowerSum[ x^2-8x+16,0,7,50]

Sehingga akan muncul gambar seperti ini :

Untuk n=100

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ]

Masukkan LowerSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of Rectangles> ]

Diganti dengan LowerSum[ x^2-8x+16,0,7,100]

Sehingga akan muncul gambar seperti ini

Untuk n=1000

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan LowerSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan LowerSum[ x^2-8x+16,0,7,1000]

Sehingga akan muncul gambar seperti ini

3. Polygon luar

Polygon luar adalah suatu cara yang digunakan untuk mencari luas daerah dibawah kurva dan melampaui grafik kurva tersebut.Grafiknya berupa petakan persegi panjang yang dibuat dari bawah kurva tersebut dan melampaui grafik tersebut.Semakin banyak jumlah petakan atau seminimal mungkin jarak antara satu petak ke petak yang lainnnya maka akan semakin akurat nilai dari luas daerah yang kita cari atau akan sedikit daerah yang terbuang atau daerah yang tidak terhitung.Cara menentukan luas daerah pada kurva polygon luar adalah UpperSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of Rectangles> ] Pada <Function>, dapat diganti dengan fungsi yang kita inginkan, <Start x-Value>,diganti dengan batas atas yang kita inginkan <End x-Value>,diganti dengan batas bawah yang kita inginkan, <Number of Rectangles> diganti dengan jumlah petakan yang diinginkan misalnya 10,20,50,100,1000 dan lain-lain.Semakin banyak jumlah petakan maka akan semakin akurat nilai/hasil yang kita dapatkan.

Contoh :

Untuk n=10

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan UpperSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan UpperSum [ x^2-8x+16,0,7,10]

Sehingga didapatkan gambar :

Untuk n=20

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ]

Masukkan UpperSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of Rectangles> ]

Diganti dengan UpperSum [ x^2-8x+16,0,7,20]

Sehingga didapatkan gambar

Untuk n=50

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan UpperSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan UpperSum [ x^2-8x+16,0,7,50]

Sehingga didapatkan gambar :

Untuk n=100

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan UpperSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan UpperSum [ x^2-8x+16,0,7,100]

Sehingga didapatkan gambar seperti dibawah ini

Untuk n=1000

Masukkan fungsi : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function [ x^2-8x+16,0,7 ] Masukkan UpperSum[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value>, <Number of

Rectangles> ] Diganti dengan UpperSum [ x^2-8x+16,0,7,1000]

Sehingga didapatkan gambar seperti ini

Perbandingan nilai a pada polygon dalam dan polygon luar

NO Number rectangles Nilai a dari polygon dalam

Nilai a dari polygon luar

1 N=10 22.16 39.632 N=20 26.1 34.843 N=50 28.61 32.114 N=100 29.46 31.215 N=1000 30.25 30.42

Dari perbandingan nilai pada polygon dalam dan polygon luar terlihat bahwa semakin besar number rectangles yang digunakan maka selisih nilai antara polygon dalam dan polygon luar akan kecil atau hampir sama.

4. Integral tak tentuIntegral tak tentu adalah suatu integral yang tidak diketahui batas atas dan batas bawahnya.

Membuat grafiknya kita juga bisa menggunakan aplikasi geogebra. Pada saat kita ingin membuat grafik integral tak tentu, hal yang pertama kali dilakukan adalah meletakkan kursor pada kolom input yang terletak di kiri bawah aplikasi geogebra,kemudian ketik kata integral maka akan muncul beberapa pilihan tentang integral,pilih sub bab mana yang kita inginkan.Misalnya Integral[ <Function>, <Variable> ].Pada bagian <Function> diganti dengan kata fungi yang kita inginkan, <Variable> diganti dengan variable X atau Y yang kita inginkan.

Contoh : Ketik Integral[ <Function>, <Variable> ] Diganti dengan Integral[x^2-4x+4,y]

Sehingga didapatkan gambar :

5. Integral tentuIntegral tentu adalah suatu integral yang diketahui batas atas dan batas bawahnya. Membuat

grafiknya kita juga bisa menggunakan aplikasi geogebra. Pada saat kita ingin membuat grafik integral tentu, hal yang pertama kali dilakukan adalah meletakkan kursor pada kolom input yang terletak di kiri bawah aplikasi geogebra,kemudian ketik kata integral maka akan muncul beberapa pilihan tentang integral,pilih sub bab mana yang kita inginkan.Misalnya Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ].Pada bagian <Function> diganti dengan kata fungi yang kita inginkan, , <Start x-Value>,diganti dengan batas atas yang kita inginkan <End x-Value>,diganti dengan batas bawah yang kita inginkan.Contoh :

Ketik Integral[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Integral[x^2-4x+4,0,5]

6. Luas daerah Untuk mencari luas daerah kita dapat menggambarkannya melalui aplikasi geogebra.Pada

saat kita ingin membuat grafik fungsi hal yang pertama kali dilakukan adalah meletakkan kursor pada kolom input yang terletak di kiri bawah aplikasi geogebra,kemudian ketik kata integral maka akan muncul beberapa pilihan tentang fungsi,pilih sub bab mana yang kita inginkan.Misalnya Integral[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ].Pada bagian

<Function> diganti dengan kata fungi yang kita inginkan, <Start x-Value>,diganti dengan batas atas yang kita inginkan <End x-Value>,diganti dengan batas bawah yang kita inginkan rumus ini berlaku pada 1 buah kurva,sedangkan pada dua buah kurva hal yang pertama kita lakukan adalah membuat gambar fungsinya dengan cara yaitu fungsi f(x) dan g(x) dengan menekan Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] kemudian ganti fungsi nya setelah didapatkan gambar fungsi gunakan integral between untuk mengetahui daerahnya dengan menekan rumus IntegralBetween[ <Function>, <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] maka didapatkan hasil berapa luasnya.

Contoh luas daerah pada satu kurva : Integral[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Integral [ x^2-6x+9,-5,5 ]

Sehingga akan muncul gambar seperti ini :

Jadi luas daerah dari x^2-6x+9 dengan batas atas 5 dan batas bawah -5 adalah 173.33 satuan luas.

Contoh luas daerah pada dua kurva : Kurva f(x) : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function[-x^2+4x, -1, 5] Kurva g(x) : Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function[x^2, -2, 2] IntegralBetween[ <Function>, <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan IntegralBetween[f, 9, 0, 2] Maka akan didapatkan hasil dari luas tersebut

Sehingga akan muncul gambar seperti ini :

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan kurva y=-x^2+4x sumbu x dan sumbu y adalah 2.67 satuan luas.

7. Volume benda putarUntuk mencari volume benda putar kita dapat menggambarkannya melalui aplikasi geogebra.

Pada saat kita ingin membuat grafik fungsi hal yang pertama kali dilakukan adalah membuat kurva yang akan dicerminkan,kemudian buat fungsi dengan menekan icon Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] setelah itu buat pencerminan dengan fungsi yang dibuat tadi dengan menekan tanda pencerminan kemudian klik lagi tanda pencerminan klik tulisan elips dan ulangi langkah membuat pencerminan sebanyak yang kita inginka,untuk mengetahui berapa volumenya maka gunakan ikon Integral[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] maka nilai volumenya akan didapatkan.

Contoh :

Buat kurva yang akan di cerminkan Function[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Function[x^2-1, -2, 5] Cerminkan sumbu dengan mengklik tanda pencerminan Klik lagi tanda pencerminan,klik tulisan elips Ulangi langkah 4dan 5 Untuk mengetahui berapa volumenya maka digunakan rumus Integral[ <Function>,

<Start x-Value>, <End x-Value> ] Diganti dengan Integral[ɳ*f^2, -2, 5]

Sehingga didapatkan gambar :

TUGAS KALKULUSGEOGEBRA

Oleh

Nama : ENVI SARI OKTAVIANINim/TM : 15030062/2015Prodi : Matematika (Nk) BDosen pembimbing : Dra.Arnellis,M.Si

: Heru Maulana,S.Pd,M.Si

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Padang 2015