MAKALAH MATEMATIKA KEUANGAN

TEOREMA ARBITRASI BLACKBLACK- SCHOLES FORMULAS STRATEGISTRATEGI- STRATEGI PERDAGANGAN OPSI

OLEH : KELOMPOK 2

1. WINARTI 2. ULFA EKA SAPUTRI 3. DESI PURNAMA SARI MALLA 4. DIANA ARIFUDDIN 5. MUTTAQIN 6 .DEDI ISKANDAR

JURUSAN MATEMATIKA MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) ALAUDDIN MAKASSAR 2010

KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT yang telah menolong hamba-Nya menyelesaikan makalah ini dengan penuh kemudahan. Tanpa pertolongan Dia, mungkin penyusun tidak akan sanggup menyelesaikan dengan baik. Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu tentang Arbitrasi, Formula Black-Scholes dan Strategi-strategi Perdagangan Opsi, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Makalah ini di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Allah SWT akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Walaupun makalah ini mungkin kurang sempurna tapi juga memiliki detail yang cukup jelas bagi pembaca. Penyusun juga mengucapkan terima kasih kepada Dosen Matematika Keuangan Bapak Rully Charitas Indra Prahmana yang telah membimbing dan memberikan kesempatan kepada penyusun dalam membuat makalah ini. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada pembaca. Walaupun makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penyusun mohon untuk saran dan kritiknya. Terima kasih.

Makassar, 23 Maret 2010

Tim Penyusun

DAFTAR ISI

Halaman Sampul Kata Pengantar Daftar Isi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah BAB II PEMBAHASAN A. Teorema Arbitrasi B. Black-Scholes Formula C. Strategi-Strategi Perdagangan Opsi BAB III PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang "Arbitrasi" atau dalam istilah asing disebut arbitrage, yang dalam dunia ekonomi dan keuangan adalah merupakan praktek untuk memperoleh keuntungan dari perbedaan harga yang terjadi diantara dua pasar keuangan. Arbitrasi ini adalah merupakan suatu kombinasi penyesuaian transaksi atas dua pasar keuangan dimana keuntungan yang diperoleh adalah berasal dari selisih antara harga pasar yang satu dengan yang lainnya. Perdagangan merupakan hal mendasar yang dilakukan untuk menggerakan roda perekonomian. Salah satu jenis perdagangan yang memiliki karakteristik high risk, high profit ialah perdagangan saham. Saham merupakan suatu instrumen finansial yang diperjualbelikan kepada para investor. Keuntungan yang didapat oleh investor tersebut berasal dari hasil keuntungan perusahaan (dividen) atas saham yang dimilikinya atau dari penjualan kembali saham tersebut (dengan harga yang lebih tinggi dari harga ketika investor membeli saham tersebut). Seiring dengan karakteristik saham yang sangat fluktuatif terbentuklah suatu produk turunan (derivative) dari saham sebagai alternatif investasi. Produk turunan ini disebut dengan opsi. Dalam analisis ini, aset dasar opsi adalah saham dan jenis opsinya adalah opsi Eropa. Untuk mempermudah penjelasan, gambar dan tabel yang memperlihatkan keuntung-an dari suatu strategi perdagangan akan mengabaikan nilai waktu uang. Keuntungan akan diperlihatkan sebagai hasil akhir minus biaya awal. B. Rumusan Masalah 1. Teorema arbitrasi 2. Black-Scholes formula 3. Strategi-strategi perdagangan opsi

BAB II PEMBAHASAN

A. Teorema Arbitrasi "Arbitrasi" atau dalam istilah asing disebut arbitrage, yang dalam dunia ekonomi dan keuangan adalah merupakan praktek untuk memperoleh keuntungan dari perbedaan harga yang terjadi diantara dua pasar keuangan. Arbitrasi ini adalah merupakan suatu kombinasi penyesuaian transaksi atas dua pasar keuangan dimana keuntungan yang diperoleh adalah berasal dari selisih antara harga pasar yang satu dengan yang lainnya. Dalam dunia akademis, istilah "arbitrasi" ini diartikan sebagai suatu transaksi tanpa arus kas negatif dalam keadaan yang bagaimanapun, dan terdapat arus kas positif atas sekurangnya pada satu keadaan , atau dengan istilah sederhana disebut sebagai "keuntungan tanpa risiko" (risk-free profit). Seorang yang melakukan arbitrasi disebut "arbitraser" atau dalam istilah asing disebut juga arbitrageur. Istilah ini utamanya digunakan dalam perdagangan instrumen keuangan seperti obligasi, saham, derivatif, komoditi dan mata uang. Apabila harga pasar tidak memungkinkan dilakukannya arbitrasi yang menguntungkan, maka harga tersebut adalah merupakan ekuilibrium arbitrasi (lihat :harga keseimbangan) atau juga dikenal dengan istilah arbitrage equilibrium atau pasar bebas arbitrasi. Ekulibrium atau keseimbangan arbitrasi ini adalah merupakan prakondisi dari teori keseimbangan umum atau general equilibrium. Arbitrasi statistik adalah merupakan suatu ketidak seimbangan atas nilai yang diperkirakan . Suatu kasino menggunakan arbitrasi statistik ini pada hampir semua permainan yang menawarkan kesempatan menang.

Kondisi arbitrasi Arbitrasi adalah dimungkinkan apabila salah satu dari ketiga kondisi ini terjadi : 1. Aset yang sama tidak diperdagangkan dengan harga yang sama pada setiap pasar. 2. Dua aset dengan arus kas yang identik tidak diperdagangkan dengan harga yang sama.

3. Suatu aset dengan nilai kontrak berjangka yang diketahui, dimana aset tersebut pada saat ini tidaklah diperdagangkan pada harga kontrak berjangka dengan dikurangi potongan harga berdasarkan suku bunga bebas risiko (atau terdapat biaya penyimpanan gudang atas aset tersebut yang tidak dapat diabaikan). Arbitrasi bukanlah merupakan suatu tindakan sederhana dari pembelian produk disuatu pasar dan menjualnya dipasar lain dengan harga yang lebih tinggi kelak. Transaksi arbitrasi harus terjadi secara kesinambungan guna menghindari terungkapnya risiko pasar ataupun risiko perubahan harga pada salah satu pasar sebelum kedua transaksi selesai dilaksanakan. Dalam segi praktek, hal ini umumnya hanya dimungkinkan untuk dilakukan terhadap sekuriti dan produk keuangan yang dapat diperdagangkan secara elektronis. Contoh arbitrasi

Misalnya saja nilai tukar ( setelah dipotong biaya penukaran) di London adalah 5 poundsterling = 10 USD = 1.000 yen dan nilai tukar di Tokyo adalah 1000 yen = 6 poundsterling = 12 USD. Sehingga dengan melakukan penukaran uang senilai 1000 akan memperoleh $12 di Tokyo dan dengan menukarkan $12 tersebut di London akan memperoleh 1.200, sehingga akan dilakukan arbitrasi untuk keuntungan sebesar 200 tersebut. Dalam kenyataannya arbitrasi segitiga ini sedemikian sederhananya namun amat jarang terjadi dimana arbitrasi atas kurs spot valuta asing pada kontrak serah adalah lebih umum dilakukan.

Contoh arbitrasi yang melibatkan New York Stock Exchange dan Chicago Mercantile Exchange. Dimana harga saham pada NYSE dan kontrak serah yang menjadi korespondennya di CME adalah tidak seimbang, salah satunya dapat membeli sedikit lebih murah dan menjual dengan harga lebih mahal. Sebab perbedaan diantara harga tersebut kecil (dan tidak berlangsung lama) maka hal ini dapat menguntungkan apabila dilakukan dengan komputer untuk melakukan analisa harga di berbagai pasar dan secara otomatis melaksanakan perdagangan sewaktu terdapat harga yang selisih jauhy daripada karga keseimbangan. Aktivitas dari arbitraser lainnya dapat membuat hal ini menjadi sangat berisiko. Siapa yang memiliki komputer tercepat dan memiliki ahli matematika terpandai akan

memperoleh keuntungan dari suatu selisih kecil berkesinambungan yang bagi investor individu merupakan hal yang tidak menguntungkan.

Para ekonom menggunakan terminologi "arbitrasi tenaga kerja global" (global labor arbitrage) untuk menunjukkan tendensi beralihnya proses manufaktur ke negara-negara dengan upah tenaga kerja rendah serta memiliki minimum peringkat kestabilan politik dan pertumbuhan ekonomi yang mendukung bagi industrialisasi. Saat ini nampaknya banyak yang mengalihak manufaktur ke RRC, dan yang membutuhkan tenaga kerja berbahasa Inggris mengalihkannya ke India dan Filipina.

Konvergensi harga Arbitrasi menyebabkan konvergensi harga pada sepanjang pembeli tidak dilarang untuk menjual kembali dan biaya transaksi pembelian, penyimpanan dan penjualan kembali adalah relatif rendah terhadap perbedaan harga pada pasar Arbitrasi menggerakkan mata uang yang berbeda-beda menuju pasar yang berbeda. Sebagai hasil dari arbitrasi, nilai tukar mata uang, harga komoditi, dan harga sekuriti pada pasar yang berbeda cenderung bersatu pada harga yang sama, pada seluruh pasar yang ada, pada setiap kategori. Kecepatan dari bersatunya harga-harga tersebut diukur dari efisiensi pasar. Arbitrasi cenderung yang berbeda-beda. untuk mengurangi diskriminasi harga dengan merangsang pasar orang untuk melakukan pembelian pada harga murah dan menjualnya kembali saat harga tinggi, suatu keseimbangan daya beli. Misalnya harga suatu mobil dibeli di Amerika lebih murah daripada di Kanada . Maka orang Kanada akan membeli mobil melintaswi perbatasan negara untuk memanfaatkan kondisi arbitrasi . Pada saat yang sama, orang Amerika akan membeli mobil Amerika dan mengirimkannya melewati perbatasan serta menjualnya di Kanada. Orang Kanada harus membeli mata uang dollar Amerika untuk membeli mobil tersebut, dan orang Amerika harus menjual dollar Kanada yang diterimanya sebagai pembayaran mobil yang dieksportnya. Kesemua aksi tersebut akan meningkatkan permintaan dollar Amerika dan suplai dollar Kanada, dan sebagai hasilnya maka kurs dollar Amerika akan menguat dan akan membuat harga mobil Amerika menjadi mahal, dan harga mobil Kanada

menjadi murah hingga suatu saat tidaklah lagi menguntungkan membeli mobil di Amerika dan menjualnya di Kanada. Resiko Transaksi arbitrasi pada pasar sekuriti modern memiliki risiko yang rendah. Umumnya adalah tidak mungkin untuk menutup 2 atau 3 transaksi pada saat yang bersamaan, oleh karenanya ada kemungkinan bahwa sewaktu satu transaksi ditutup maka akan terjadi kenaikan harga di pasar secara cepat yang membuat tidak mungkin dilakukannya transaksi lain dengan harga menguntungkan. Terdapat juga risiko pada mitra pengimbang dimana pihak mitra pengimbang gagal melaksanakan kesepakatan, bahaya ini sangat serius sebab suatu kuantitas yang amat besar harus diperdagangkan guna memperoleh keuntungan atas perbedaan harga yang amat kecil tersebut. Resiko ini akan membesar apabila terdapat daya ungkit atau uang yang digunakan adalah merupakan uang pinjaman. Resiko lainnya terjadi apabila barang yang dibeli dan dijual tidak sama dan arbitrasi dilakukan berdasarkan asumsi bahwa harga barang tersebut adalah saling berhubungan atau terprediksi. Persaingan di pasar juga dapat menciptakan risiko sepanjang trasnaksi arbitrasi. Misalnya, apabila ada orang yang bermaksud untuk mengambil keuntungan dari perbedaan harga saham IBM yang diperdagangkan di NYSE dan yang diperdagangkan di London Stock Exchange, maka mereka dapat saja melakukan pembelian dalam jumlah yang amat besar atas saham IBM di pasar NYSE lalu ternyata bahwa mereka tidak dapat menjualnya di pasar LSE. Hal ini menjadikan si arbitraser pada posisi risiko tanpa lindung nilai. Pada era tahun 1980an, risiko arbitrasi menjadi umum. Dalam spekulasi bentuk ini, yang seorang memperdagangkan sekuriti yang secara nyata harganya dibawah ataupun diatas nilai sebenarnya, dimana sewaktu dilihatnya bahwa valuasi yang salah tersebut akan terkoreksi oleh suatu peristiwa. Jenis arbitrasi

1. Arbitrasi merger Arbitrasi merger juga disebut sebagai arbitrasi risiko, yang umumnya dilakukan dengan membeli saham dari perusahaan yang menjadi target akuisisi disammping membeli dengan cara short selling saham perusahaan yang akan mengambil alih. Biasanya harga pasar dari perusahaan yang menjadi target akuisisi lebih rendah daripada harga yang ditawarkan oleh perusahaan yang akan mengakuisisi. Rentang harga antara kedua harga ini tergantung pada unsur "kemungkinan" dan penentuan saat yang tepat atas selesainya pelaksanaan akuisisi demikian pula dengan suku bunga yang berlaku. Pertaruhan dalam arbitrasi merger yaitu bahwa rentang harga akan menjadi nol, apabila dan manakala proses akuisisi selesai. Resiko yang dihadapi yaitu apabila kesepakatan tersebut gagal dan rentang harga menjadi sangat lebar. 2. Arbitrasi obligasi daerah "Arbitrasi obligasi daerah" ini juga disebut "arbitrasi nilai relatif obligasi daerah" , "arbitrasi municipal ataupun disingkat dengan istilah muni arb, yang merupakan strategi pengelola investasi global yang menggunakan satu atau dua tehnik. Umumnya seorang manajer akan mencari kesempatan atas nilai relatif dengan cara melakukan "short" (penjualan) dan "long" (pembelian) obligasi daerah dengan jangka waktu netral. Nilai relatif yang diperdagangkan mungkin terjadi antara penerbit yang berbeda, obligasi yang berbeda yang diterbitkan oleh lembaga yang sama, ataupun struktur permodalan yang diperdagangkan dengan menggunakan referensi atas aset yang sama. 3. Arbitrasi obligasi konversi Suatu obligasi konversi adalah merupakan obligasi dimana investor dapat mengembalikannya kepada perusahaan penerbit dengan ditukarkan dengan sejumlah tertentu saham perusahaan yang telah ditetapkan sebelumnya. Obligasi konversi ini ibaratnya suatu obligasi swasta dengan opsi beli saham yang melekat padanya. Harga dari obligasi konversi ini sangat sensitif terhadap 3 faktur utama yaitu :

suku bunga. Sewaktu suku bunga bergerak naik maka harga obligasi konversi akan bergerak turun, tetapi bagian opsi beli dari obligasi konversi akan menjadi naik dan harga secara keseluruhan cenderung menurun.

harga saham. Sewaktu harga saham yang dapat dikonversi dari obligasi tersebut bergerak naik maka harga obligasi akan cenderung naik.

obligasi selisih kredit . Apabila kelayakan kredit dari sipenerbit menurun ( misalnya peringkat kreditnya diturunkan) dan rentang selisih kredit melebar, harga obligasi cenderung bergerak turun tetapi dalam banyak kasus, bagian opsi beli dari obligasi konversi akan bergerak naik.

3. Depository receipts Depository receipt adalah sekuriti yang ditawarkan sebagai pengikut saham pada pasar asing, misalnya suatu perusahaan Jepang ingin memperoleh uang maka ia dapat menerbitkan depository receipt pada the New York Stock Exchange, oleh karena terbatasnya jumlah modal yang beredar pada bursa lokal . Sekuriti ini dikenal dengan nama ADRs (American Depositary Receipt) atau GDRs (Global Depositary Receipt) tergantung dimana mereka diterbitkan. Disini terdapat selisih antara nilai yang tertera dan nilai yang sesungguhnya, dan ADR yang diperdagangkan pada nilai dibawah nilai sesungguhnya maka seseorang yang membeli ADR dapat mengharapkan keuntungan apabila nilai tersebut mengalami perubahan menjadi nilai yang sesungguhnya. Namun ada risiko atas turunnya nilai saham sehingga dengan melakukan "short" maka atas risiko tersebut dapat dilakukan lindung nilai. 4. Arbitrasi peraturan Arbitrasi peraturan atau juga disebut dengan istilah "regulatory arbitrage" adalah suatu arbitrasi dimana suatu lembaga mengambil keuntungan atas selisih antara suatu risiko nyata atau risiko ekonomis dengan posisi aturan yang ada. Misalnya, suatu bank yang beroperasi berdasarkan aturan Basel I dimana bank harus memiliki modal ditahan sebesar 8% guna mengatasi risiko kredit, namun risiko gagal bayar yang sesungguhnya adalah amat rendah maka adalah menguntungkan apabila atas hutang tersebut dilakukan sekuritisasi sehingga pinjaman berisiko rendah tersebut dikeluarkan dari portofolio bank. Disisi lain, apabila risiko ternyata lebih

besar daripada risiko yang diatur oleh peraturan yang ada maka akan menguntungkan apabila utang tersebut ditahan dalam portofolio bank..

B. Black Scholes Formulas The Black-Scholes model adalah deskripsi matematis pasar keuangan dan instrumen investasi derivatif. Mengembangkan model persamaan diferensial parsial yang solusi, Black-Scholes formula, secara luas digunakan dalam penetapan harga pilihan gaya Eropa.

Model asumsi The Black-Scholes model pasar ekuitas tertentu membuat eksplisit asumsi-asumsi sebagai berikut:

1. Hal ini dimungkinkan untuk meminjam dan meminjamkan uang tunai di konstan yang dikenal bebas risiko suku bunga. Pembatasan ini telah dihapus di kemudian perluasan model. 2. Harga mengikuti gerakan Brown geometrik dengan konstan drift dan volatilitas. Ini sering menyiratkan validitas hipotesis pasar efisien. 3. Tidak ada biaya transaksi atau pajak. 4. Returns dari keamanan Log-mengikuti distribusi normal. 5. Saham tidak membayar dividen (lihat di bawah untuk ekstensi untuk menangani pembayaran dividen). 6. Semua sekuritas dibagi sempurna (yaitu ada kemungkinan untuk membeli sebagian saham). 7. Tidak ada pembatasan short selling. 8. Tidak ada peluang arbitrasi

9. Pilihan menggunakan istilah latihan Eropa, yang menentukan pilihan yang hanya dapat dilaksanakan pada hari kadaluwarsa.

Dari kondisi ini di pasar ekuitas (dan untuk sebuah opsi pada ekuitas), para penulis menunjukkan bahwa "adalah mungkin untuk menciptakan sebuah posisi lindung nilai, yang terdiri dari posisi yang lama ke dalam kaldu dan posisi pendek [panggilan pada saham sama], yang nilainya tidak akan tergantung pada harga saham.

Beberapa asumsi tersebut dari model asli telah dihapus dalam perpanjangan berikutnya dari model. Account versi modern untuk mengubah suku bunga (Merton, 1976), biaya transaksi dan pajak (Ingerson, 1976), dan pembayaran dividen (Merton, 1973).

Notasi

Definisi : S, harga saham (perlu diketahui seperti di bawah ini).

V (S, t), harga derivatif sebagai fungsi waktu dan harga saham. C (S, t) harga panggilan Eropa dan P (S, t) harga put option Eropa. K, pemogokan dari opsi. r, disetahunkan bebas risiko suku bunga, terus ditambah. , tingkat arus S, tahunan. , volatilitas saham, ini adalah akar kuadrat dari kuadrat variasi harga saham Log proses. ta waktu dalam tahun; kita biasanya gunakan sekarang = 0, berakhirnya = T. , nilai dari portofolio. R, akumulasi keuntungan atau kerugian setelah delta-strategi perdagangan lindung nilai. N (x) menunjukkan distribusi kumulatif normal standar fungsi,

N '(x) menunjukkan normal standar probabilitas fungsi kepadatan,

Model matematis

Geometric Brownian Motions simulasi dengan Parameter dari Data Pasar

Sesuai model asumsi di atas, kita berasumsi bahwa aset yang mendasari (biasanya saham) mengikuti gerak Brownian geometris. Yaitu, di mana W adalah Brown-istilah di sini yang dW berdiri di atas setiap dan semua sumber ketidakpastian dalam sejarah harga saham.

Hasilnya dari pilihan V (S, T) pada saat jatuh tempo diketahui. Untuk mencari nilai pada waktu sebelumnya kita perlu mengetahui bagaimana V berkembang sebagai fungsi dari S dan T. Dengan Ito's lemma untuk dua variabel kita.

Sekarang perhatikan sebuah strategi perdagangan di mana satu memegang satu pilihan dan terus-menerus dalam perdagangan saham untuk terus dv/ds saham. Pada waktu t, nilai kepemilikan ini akan

Komposisi portofolio ini, yang disebut delta-pagar portofolio, akan bervariasi dari waktu ke waktu langkah-langkah. Misalkan R menyatakan akumulasi keuntungan atau kerugian dari mengikuti strategi ini. Kemudian dalam jangka waktu [t, t + dt], sesaat keuntungan atau kerugian

Dengan mensubstitusikan dalam persamaan di atas kita

Persamaan ini tidak berisi istilah dW. Artinya, itu adalah sepenuhnya tanpa risiko (delta netral). Black dan Scholes alasan bahwa di bawah kondisi ideal, tingkat pengembalian portofolio ini harus sama pada setiap waktu dengan laju pengembalian instrumen lain tanpa risiko, jika tidak, akan ada kesempatan untuk arbitrase. Sekarang dengan asumsi bebas-risiko tingkat pengembalian adalah r kita harus memiliki waktu selama periode [t, t + dt]

Jika kita sekarang pengganti in untuk dan mengidentifikasi kiri dan kanan sisi kita memperoleh persamaan Black-Scholes persamaan diferensial parsial (PDE):

Dengan asumsi model Black-Scholes, persamaan diferensial parsial ini berlaku setiap kali terdiferensialkan V adalah dua kali sehubungan dengan S dan sekali sehubungan dengan t.

Black-Scholes formula

The Black Scholes rumus menghitung harga meletakkan Eropa dan opsi call. Hal ini dapat diperoleh dengan menyelesaikan Black-Scholes persamaan diferensial parsial.

Nilai opsi panggilan dalam hal Black-Scholes parameter adalah:

Harga put option adalah:

Bagi keduanya, seperti di atas:

* N () adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar * T - t adalah waktu untuk kedewasaan * S adalah harga spot aset yang mendasarinya * K adalah harga strike * R adalah tingkat bebas risiko (tingkat tahunan, dinyatakan dalam peracikan kontinyu) * adalah volatilitas dalam log-laba yang mendasarinya

Interpretasi N (d1) dan N (d2) adalah probabilitas dari opsi kedaluwarsa dalam jumlah uang yang setara di bawah ukuran probabilitas eksponensial Martingale (numraire = saham) dan setara dengan ukuran probabilitas Martingale (numraire = aset bebas risiko), masing-masing. Martingale yang setara dengan ukuran probabilitas juga disebutrisiko netral ukuran probabilitas. Perhatikan bahwa kedua adalah probabilitas dalam teori ukuran masuk akal, dan tak satu pun dari ini adalah probabilitas benar kedaluwarsa dalam uang di bawah ukuran probabilitas nyata. Derivation Sekarang kita menunjukkan bagaimana untuk mendapatkan dari umum Black-Scholes PDE penilaian tertentu untuk sebuah pilihan. Pertimbangkan sebagai contoh BlackScholes harga call option, di mana PDE di atas memiliki kondisi batas

Kondisi terakhir memberikan nilai opsi pada saat opsi jatuh tempo. Solusi dari PDE memberikan nilai opsi pada setiap waktu sebelumnya,

Dalam rangka memecahkan PDE kita mengubah persamaan menjadi persamaan difusi yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode standar. Untuk tujuan ini kami memperkenalkan perubahan-of-variabel transformasi

Kemudian PDE Black-Scholes menjadi persamaan difusi

Kondisi terminal C (S, T) = max (S - K, 0) kini menjadi kondisi awal

Menggunakan metode standar untuk memecahkan persamaan difusi kita

Setelah beberapa aljabar kita memperoleh

di mana

dan

Substitusi u, x, dan , kita memperoleh nilai call option dalam hal Black-Scholes parameter:

Di mana

Harga put option dapat dihitung dari hal ini dengan menempatkan-panggilan paritas dan menyederhanakan untuk

C. Strategi-Strategi Perdagangan Opsi

Dalam analisis ini, aset dasar opsi adalah saham dan jenis opsinya adalah opsi Eropa. Untuk mempermudah penjelasan, gambar dan tabel yang memperlihatkan keuntung-an dari suatu strategi perdagangan akan mengabaikan nilai waktu uang. Keuntungan akan diperlihatkan sebagai hasil akhir minus biaya awal. 1. Strategi yang melibatkan opsi & saham tunggal Strategi ini melibatkan opsi tunggal atas suatu saham dan sahamnya itu sendiri. Strategi menerbitkan opsi beli yang ditutup (writing a covered call): portofolio yang berisi pengambilan posisi beli dalam suatu saham plus posisi jual dalam suatu opsi beli. Posisi saham beli menutup atau melindungi para investor dari hasil atas jual opsi beli yang menjadi keharusan jika ada kenaikan tajam dalam harga saham. Strategi kebalikannya: pengambilan posisi jual dalam suatu saham dikombinasikan dengan posisi beli dalam opsi beli. Strategi opsi jual protektif: strategi yang melibatkan pembelian opsi jual atas suatu saham dan sahamnya sendiri. Strategi kebalikannya: posisi jual dalam suatu opsi jual dikombinasikan dengan posisi jual dalam sahamnya. Dalam gambar, garis terputus-putus memperlihatkan hubungan antara keuntungan dengan harga saham untuk sekuritas individu yang menggantikan portofolio. Garis penuh memperlihatkan hubungan antara keuntungan dengan harga saham untuk portofolio sebagai keseluruhan.

Pola keuntungan dalam gambar untuk masing-masing strategi, mempunyai bentuk umum yang sama dengan pola keuntungan: jual opsi jual, beli opsi beli, beli opsi beli, dan jual opsi beli. Hubungan paritas opsi jual-beli: p + S0 = c + Ke-rt+D S0-c= Ke-rt+D-p

D= nilai sekarang atas dividen yang diantisipasi selama berlakunya opsi. 2. Strategi bull spreads Strategi perdagangan spread (selisih) melibatkan pengambilan suatu posisi dalam dua atau lebih opsi atas tipe yang sama (dua atau lebih opsi beli, atau dua atau lebih opsi jual). Bull spread diciptakan dengan membeli opsi beli atas suatu saham dengan harga ekskusi tertentu dan menjual opsi beli atas saham yang sama dengan harga eksekusi yang lebih tinggi. Kedua opsi mempunyai tanggal berakhir sama. Keuntungan dari dua posisi opsi diambil secara terpisah, sedangkan keuntungan dari strategi keseluruhan adalah jumlah keuntungan keduanya. Karena harga opsi beli selalu turun seiring dengan kenaikan harga ekskusi, maka nilai opsi selalu dijual kurang dari nilai pembelian opsi. Strategi bull spread, ketika diciptakan dari opsi beli, mensyaratkan investasi awal. Ada tiga tipe bull spread yang berbeda: 1. Kedua opsi beli awalnya out of the money. 2. Satu opsi beli awalnya in the money, yang lain awal-nya out of the money. 3. Kedua opsi beli awalnya in the money. Bull spread dapat diciptakan menggunakan opsi beli maupun opsi jual. Bull spread yang diciptakan dari opsi jual melibatkan arus kas positif kepada investor di muka (mengabaikan persyaratan margin) dan hasil salah satunya negatif atau nol. 3. Strategi bear spreads Dalam bull spread, investor berharap bahwa harga saham akan naik, sebaliknya pada bear spread investor berharap harga saham akan turun. Bear spread diciptakan dengan membeli suatu opsi jual dengan satu harga ekskusi dan menjual opsi jual dengan harga ekskusi yang lain. Harga eksekusi opsi yang dibeli > harga ekskusi opsi yang dijual. Bear spread diciptakan dari opsi

jual melibatkan suatu arus kas keluar awal, karena harga penjualan opsi jual < harga opsi jual yang dibeli. Investor membeli opsi jual dengan harga ekskusi tertentu dan memilih untuk menghentikan potensi keuntungan dengan menjual opsi jual dengan harga ekskusi lebih rendah. Bear spread dapat diciptakan menggunakan opsi jual maupun beli. Jika menggunakan opsi beli, investor memebeli opsi beli dengan harga ekskusi tinggi dan menjual opsi beli dengan harga ekskusi rendah Bear spread yang diciptakan dengan opsi beli melibatkan arus kas masuk awal (mengabaikan persyaratan margin). 4. Strategi box spread Box spread adalah kombinasi bull call spread dengan harga ekskusi K1 dan K2 dengan (K1 < K2) dan bear put spread dengan dua harga ekskusi yang sama. Hasil atas box spread selalu: K2 K1, sehingga nilainya selalu nilai sekarang dari hasil ini atau (K2 K1)e-rt. Jika nilainya berbeda, maka akan memunculkan peluang arbitrasi. Jika harga pasar < nilai box spread, maka prosedur arbitrasinya: 1. Membeli opsi beli dengan harga ekskusi K1, 2. Membeli opsi jual dengan harga ekskusi K2, 3. Menjual opsi beli dengan harga ekskusi K2, dan 4. Menjual opsi jual dengan harga ekskusi K1. Jika harga pasar > nilai box spread, maka prosedur arbitrasinya: 1. Membeli opsi beli dengan harga ekskusi K2, 2. Membeli opsi jual dengan harga ekskusi K1, 3. Menjual opsi beli dengan harga ekskusi K1, dan 4. Menjual opsi jual dengan harga ekskusi K2. 5. Strategi butterfly spreads Butterfly spreads melibatkan posisi dalam opsi dengan tiga harga ekskusi yang berbeda. Butterfly spread dapat diciptakan dengan membeli opsi beli dengan harga ekskusi relatif rendah (K1) dan relatif tinggi (K3), dan menjual dua opsi beli dengan suatu harga ekskusi (K2), di antara X1 dan X3. X2 biasanya mendekati harga saham yang berlaku.

Keuntungan akan terjadi jika harga saham mendekati X2 tetapi memberikan kenaikan pada suatu kerugian yang kecil jika ada pergerakan harga saham signifikan dalam arah yang lain. Butterfly spread merupakan strategi yang tepat bagi investor yang merasa bahwa pergerakan harga saham besar tidak disukai. Strategi ini mensyaratkan investasi awal kecil. Butterfly spread dapat diciptakan menggunakan opsi jual, dengan cara investor membeli opsi jual dengan harga ekskusi rendah, membeli opsi put dengan harga ekskusi tinggi, dan menjual dua opsi jual dengan harga ekskusi antara rendah dan tinggi.

6. Strategi calendar spreads Pada calendar spreads, strategi perdagangan yang dilakukan dengan menggunakan opsi yang mempunyai harga ekskusi sama dan tanggal berakhir yang berbeda. Calendar spread diciptakan dengan menjual suatu opsi beli dengan harga ekskusi tertentu dan membeli opsi beli berjatuh tempo lebih panjang dengan harga ekskusi yang sama. Opsi berjatuh tempo panjang biasanya lebih mahal. Calendar spread biasanya mensyaratkan investasi awal. Investor

mendapatkan keuntungan jika harga saham pada saat berakhirnya opsi berjatuh tempo pendek mendekati harga ekskusi atas opsi berjatuh tempo pendek. Kerugian terjadi jika harga saham secara signifikan di atas/bawah harga ekskusi ini. Dalam calendar spread netral, suatu harga ekskusi yang mendekati harga saham yang berlaku dipilih. Bullish calendar spread melibatkan suatu harga ekskusi lebih tinggi, sedangkan bearish calendar spread melibatkan suatu harga ekskusi lebih rendah. Calendar spread dapat diciptakan dengan dengan opsi jual, yang dilakukan dengan cara: investor membeli opsi jual berjatuh tempo panjang dan menjual opsi jual berjatuh tempo pendek. Calendar spread kebalikan adalah berlawanan dengan calendar spread sebelumnya. Reverse calendar spread dilakukan dengan membeli opsi berjatuh tempo pendek dan menjual opsi berjatuh tempo panjang. Suatu keuntungan kecil timbul jika harga saham pada saat berakhirnya opsi berjatuh tempo pendek adalah di atas

atau di bawah harga ekskusi dari opsi berjatuh tempo pendek. Suatu hasil kerugian signifikan jika harga saham mendekati harga ekskusi. 7. Strategi diagonal spreads Pada kasus bull, bear, dan calendar spreads semuanya diciptakan dari suatu posisi beli dalam satu opsi beli dan suatu posisi jual dalam opsi beli yang lain. Bull dan bear spread: harga ekskusi berbeda dan tanggal berakhir sama, calendar spread: harga ekskusi sama dan tanggal berakhir berbeda. Dalam diagonal spread, tanggal berakhir dan harga ekskusi opsi beli berbeda. Ada beberapa tipe diagonal spread yang berbeda. Pola keuntungan diagonal spread, umumnya bervariasi atas pola keuntungan dari hubungan bull atau bear spread. 8. Strategi straddle Kombinasi: strategi perdagangan opsi yang melibatkan pengambilan suatu posisi dalam opsi-opsi beli dan jual atas saham yang sama. Macam strategi kombinasi: straddles, strips, straps, dan strangles. Straddle: strategi yang melibatkan pembelian suatu opsi beli dan jual dengan harga ekskusi dan tanggal berakhir yang sama. Jika harga saham mendekati harga ekskusi pada akhir berlakunya opsi, straddle mengarah pada kerugian.Jika terjadi pergerakan besar atas harga saham ke arah lain dari K, maka keuntungan signifikan akan dihasilkan. Straddle tepat jika investor mengharapkan suatu pergerakan besar dalam harga saham tetapi tidak mengetahui arah pergerakannya. Macam strategi straddle: bottom straddle atau straddle purchase (sudah dibahas), dan top straddle atau straddle write (posisi kebalikan). Top straddle diciptakan dengan menjual opsi beli dan jual dengan harga ekskusi dan tanggal jatuh tempo sama. Strategi ini berisiko tinggi. Jika harga saham pada tanggal berakhirnya mendekati harga ekskusi, suatu keuntungan signifikan akan dihasilkan. Sebaliknya, kerugian muncul dari pergerakan besar dalam arah yang berlawanan adalah tidak terbatas. 9. Strategi strips & straps

Suatu strip berisi posisi beli dalam satu opsi beli dan dua opsi jual dengan harga ekskusi dan tanggal berakhir yang sama. Suatu strap berisi posisi beli dalam dua opsi beli dan satu opsi jual dengan harga ekskusi dan tanggal berakhir yang sama. Dalam strip investor bertaruh bahwa akan ada pergerakan harga saham besar dan mempertim-bangkan suatu penurunan dalam harga saham lebih disukai daripada suatu kenaikan. Dalam strap, investor juga berharap bertaruh bahwa akan ada pergerakan harga saham besar, tetapi kenaikan lebih disukai daripada penurunan.

10. Strategi strangles Strangle/bottom vertical combination: strategi yang dilakukan dengan membeli suatu opsi jual dan opsi beli dengan tanggal berakhir sama dan harga ekskusi berbeda. Dalam strangle, investor bertaruh bahwa akan ada suatu pergerakan harga besar tetapi tidak pasti apakah itu suatu kenaikan ataukah penurunan. Pola keuntungan diperoleh dengan strangle bergantung pada bagaimana keeratan bersama harga ekskusi. Keuntungan akan terealisasi jika terjadi pergerakan besar dalam harga sahamdalam arah berlawanan (< K1 atau > K2). Top vertical combination: penjualan atas suatu strangle. Ini tepat jika investor merasa bahwa pergerakan harga saham besar adalah tidak disukai. Strategi ini berisiko yang melibatkan kerugian potensial tidak terbatas bagi investor.

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Arbitrasi adalah merupakan praktek untuk memperoleh keuntungan dari perbedaan harga yang terjadi diantara dua pasar keuangan. Adapun jenis-jenis arbitrasi yaitu arbitrasi merger, arbitrasi obligasi daerah, arbitrasi obligasi konversi, arbitrasi peraturan. Dalam The Black-Scholes formula ada beberapa model yang digunakan yaitu: 1. Model asumsi The Black-Scholes model pasar ekuitas tertentu membuat eksplisit asumsiasumsi 2. Notasi N (x) menunjukkan distribusi kumulatif normal standar fungsi,

3. Model matematis Geometric Brownian Motions simulasi dengan Parameter dari Data Pasar

Starategi-strategi perdagangan opsi yaitu strategi yang melibatkan opsi dan saham tunggal, strategi bull spreads, strategi bear spreads, strategi box spread, strategi butterfly spreads, strategi calendar spreads, strategi diagonal spreads, strategi straddle, strategi strips dan straps, strategi strangles.

B. Saran Untuk ketiga materi ini diharapkan lebih diperbanyak lagi referensi untuk mempermudah pembuatan makalah.