MA3231 Analisis Real · PDF file16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik...

MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com

Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 29 March 2017 1 / 25

BAB 16. BARISAN FUNGSI

1 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

2 16.2 Kekonvergenan Seragam

3 16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam


16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuahobjek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akanmembahas keluarga fungsi yang membentuk suatu barisan.

Dalam aplikasi, barisan fungsi muncul ketika kita berupayamenghampiri sebuah fungsi dengan keluarga fungsi yang kita kenalbaik (seperti polinom).



Sebuah barisan fungsi adalah suatu pengaitan n 7→ fn, n ∈ N, yangkita tuliskan sebagai 〈fn〉.

Di sini fn merupakan fungsi dan untuk tiap n ∈ N kita asumsikanbahwa fn mempunyai daerah asal yang sama, sebutlah A ⊆ R.

Seperti pada pembahasan barisan bilangan real, ketika dihadapkandengan sebuah barisan fungsi 〈fn〉 kita akan tertarik untukmembahas perilaku fn ketika n→∞.

Dalam perkataan lain, kita ingin mempelajari kekonvergenan barisan〈fn〉 pada A.



Mengingat bahwa untuk tiap x ∈ A, fn(x) membentuk suatu barisanbilangan real, maka kekonvergenan barisan fungsi 〈fn〉 dapatdidefinisikan melalui kekonvergenan barisan bilangan 〈fn(x)〉.

Bila untuk tiap x ∈ A, barisan 〈fn(x)〉 konvergen ke suatu bilangan(yang secara umum bergantung pada x), sebutlah Lx, maka kitaperoleh sebuah fungsi f : A→ R dengan f(x) = Lx.

Jadi, untuk setiap x ∈ A, kita mempunyai

fn(x)→ f(x), n→∞.



Dalam hal ini, kita katakan bahwa 〈fn〉 konvergen titik demi titik kef , dan kita tuliskan

fn → f (titik demi titik), n→∞.

Fungsi f di sini disebut sebagai limit (titik demi titik) barisan 〈fn〉.



Contoh 1. Misalkan untuk tiap n ∈ N kita mempunyai

fn(x) := xn, x ∈ [0, 1].

Maka, barisan fungsi 〈fn〉 konvergen titik demi titik ke fungsi fdengan

f(x) :=

{0, 0 ≤ x < 1;1, x = 1.

Untuk mendapatkan gambaran tentang apa yang terjadi, gambarlahgrafik beberapa buah fungsi fn dan juga grafik fungsi f , pada sebuahsistem koordinat yang sama.



Dalam Contoh 1 kita melihat bahwa fn kontinu pada [0, 1] untuk tiapn ∈ N, namun f tidak kontinu pada [0, 1].

Jadi, kekonvergenan titik demi titik secara umum tidakmempertahankan sifat kekontinuan fungsi. Padahal, dalamaplikasinya, ini merupakan salah satu isu penting.

Oleh karena itu, dalam pembahasan berikutnya, kita akanmempelajari jenis kekonvergenan barisan fungsi yang lebih kuat, yangmempertahankan antara lain sifat kekontinuan fungsi.



Diberikan suatu barisan fungsi 〈fk〉, kita mempunyai deret fungsi∞∑k=1

fk, yang didefinisikan sebagai limit titik demi titik dari barisan

jumlah parsial⟨ n∑k=1

fk⟩

, asalkan barisan jumlah parsial ini konvergen.

Jika barisan jumlah parsial tersebut konvergen titik demi titik kefungsi s pada A, maka s disebut sebagai jumlah deret pada A.

Dalam hal ini, kita tuliskan

∞∑k=1

fk(x) = s(x), x ∈ A.

Secara umum, indeks k dapat berjalan mulai dari sembarang k ∈ Z.



Sebagai contoh, jika fk(x) := xk, k = 0, 1, 2, . . . , maka kita peroleh

deret geometri∞∑k=0

xk, yang konvergen ke 11−x untuk |x| < 1 (lihat

kembali Bab 5).

Pembahasan mengenai deret fungsi, khususnya deret yang berbentuk

∞∑n=0

an(x− c)n

akan dilakukan secara mendalam pada Bab 18.



SOAL

1 Tinjau barisan fungsi 〈fn〉 dengan fn(x) := xn, yang konvergenke 0 untuk setiap x ∈ [0, 1). Diberikan x ∈ [0, 1) dan ε > 0,tentukan N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ Nberlaku |fn(x)− 0| < ε. Apa yang terjadi dengan x = 1?

2 Untuk masing-masing barisan fungsi di bawah ini, tentukansebuah fungsi f yang merupakan limitnya (titik demi titik).

1 fn(x) :=xn

n , x ∈ [0, 1].2 fn(x) := nx(1− x2)n, x ∈ [0, 1].3 fn(x) :=

xn , x ∈ R.

4 fn(x) :=x2n

1+x2n, x ∈ R.

5 fn(x) :=sinnxn√x, x > 0.


16.2 Kekonvergenan Seragam

Misalkan 〈fn〉 adalah suatu barisan fungsi yang, katakanlah,konvergen titik demi titik ke fungsi f pada A.

Dalam hal ini, diberikan x ∈ A dan ε > 0, terdapat N ∈ Nsedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |fn(x)− f(x)| < ε.

Secara umum bilangan N di sini bergantung pada x, selain pada ε.

Bila bilangan N tadi berlaku untuk tiap x ∈ A, maka 〈fn〉 dikatakankonvergen seragam ke f pada A.



Jadi, barisan fungsi 〈fn〉 konvergen seragam ke f pada A apabilauntuk setiap ε > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiapn ≥ N dan x ∈ A berlaku

|fn(x)− f(x)| < ε.

Dalam hal ini kita tuliskan

fn → f (seragam), n→∞.

Jelas bahwa kekonvergenan seragam akan mengakibatkankekonvergenan titik demi titik.(Dalam perkataan lain, kekonvergenan titik demi titik merupakansyarat perlu untuk kekonvergenan seragam.)



Gambar 16.1 Pita dengan lebar 2ε dan median grafik fungsi f



Perhatikan bahwa ketaksamaan |fn(x)− f(x)| < ε setara dengan

f(x)− ε < fn(x) < f(x) + ε.

Bila ini berlaku untuk setiap n ≥ N dan x ∈ A, maka grafik fungsifn pada A berada di antara ‘pita’ [f − ε, f + ε] yang mempunyailebar 2ε dan median grafik fungsi f , sebagaimana diilustrasikandalam Gambar 16.1.



Contoh 2. Barisan fungsi 〈fn〉 dengan fn(x) := xn, x ∈ [0, 1], tidakkonvergen seragam ke f pada [0, 1], dengan

f(x) :=

{0, 0 ≤ x < 1;1, x = 1.

Di sini, pita [f − 14, f + 1

4] tidak akan memuat grafik fn untuk n

berapa pun.



Lemma berikut (yang merupakan negasi dari definisi kekonvergenanseragam) dapat dipakai untuk menyelediki ketidakkonvergenanseragam suatu barisan fungsi.

Lemma 3. Barisan fungsi 〈fn〉 tidak konvergen seragam ke fungsi fpada A jika dan hanya jika untuk suatu ε0 > 0 terdapat subbarisan〈fnk〉 dari 〈fn〉 dan barisan bilangan 〈xk〉 di A sedemikian sehingga

|fnk(xk)− f(xk)| ≥ ε0.

Dengan menggunakan Lemma 3, ketidakkonvergenan seragambarisan fungsi dalam Contoh 2 dapat dibuktikan dengan mengambil

ε0 =14, nk = k dan xk =

(12

)1/k, sehingga

|fnk(xk)− f(xk)| =

∣∣12− 0∣∣ = 1

2> ε0.



Ketidakkonvergenan seragam barisan dalam Contoh 2 juga dapatdijelaskan dengan teorema di bawah ini (yang mengatakan bahwakekonvergenan seragam mempertahankan sifat kekontinuan).

Teorema 4. Misalkan 〈fn〉 konvergen seragam ke f pada suatuinterval I ⊆ R. Jika fn kontinu di c ∈ I untuk tiap n ∈ N, maka fjuga kontinu di c.



SOAL

1 Selidiki apakah masing-masing barisan fungsi di bawah inikonvergen seragam ke limitnya.

1 fn(x) :=xn

n , x ∈ [0, 1].2 fn(x) := nx(1− x2)n, x ∈ [0, 1].3 fn(x) :=

xn , x ∈ R.

4 fn(x) :=x2n

1+x2n, x ∈ R.

5 fn(x) :=sinnxn√x, x > 0.

2 Buktikan jika 〈fn〉 dan 〈gn〉 konvergen seragam ke f dan g padaA (berturut-turut), maka 〈fn + gn〉 konvergen seragam ke f + gpada A.

3 Misalkan fn(x) := x+ 1n

dan f(x) = x, x ∈ R. Buktikan bahwa〈fn〉 konvergen seragam ke f pada R, namun 〈f 2

n〉 tidakkonvergen seragam ke f 2 pada R.


16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam

Dalam membahas kekonvergenan seragam, seringkali kita terbantudengan pengertian norma seragam berikut.

Ingat bahwa untuk A ⊆ R, fungsi f : A→ R dikatakan terbataspada A apabila f(A) merupakan himpunan terbatas.

Sekarang, jika f terbatas pada A, maka kita definisikan normaseragam f pada A sebagai

‖f‖A := sup {|f(x)| : x ∈ A}.

Perhatikan bahwa ‖f‖A < ε setara dengan |f(x)| < ε untuk tiapx ∈ A.



Menggunakan norma seragam, kita mempunyai lemma berikuttentang kekonvergenan seragam.

Lemma 5. Misalkan fn terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka,barisan 〈fn〉 konvergen seragam ke f pada A jika dan hanya jika

limn→∞

‖fn − f‖A = 0.

Dengan menggunakan Lemma 5, kita juga dapat membuktikanketidakkonvergenan seragam barisan fungsi dalam Contoh 2, denganmenghitung bahwa

‖fn − f‖[0,1] = 1

untuk tiap n ∈ N.



Dengan menggunakan norma seragam, kita peroleh pula kriteriaberikut untuk kekonvergenan seragam suatu barisan fungsi.

Teorema 6 (Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam).Misalkan fn terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka, barisan 〈fn〉konvergen seragam ke suatu fungsi terbatas f pada A jika dan hanyajika untuk setiap ε > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuksembarang m,n ≥ N berlaku ‖fm − fn‖ < ε.

Bukti. Misalkan 〈fn〉 konvergen seragam ke f pada A. Diberikanε > 0 sembarang, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiapn ≥ N berlaku ‖fn − f‖A < ε

2. Akibatnya, jika m,n ≥ N , maka

|fm(x)− fn(x)| ≤ |fm(x)− f(x)|+ |fn(x)− f(x)| <ε

2+ε

2= ε

untuk tiap x ∈ A. Jadi ‖fm − fn‖A < ε untuk m,n ≥ N .



Sebaliknya, misalkan untuk setiap ε > 0 terdapat N ∈ N sedemikiansehingga untuk m,n ≥ N kita mempunyai ‖fm − fn‖A < ε. Maka,untuk setiap x ∈ A, berlaku

|fm(x)− fn(x)| ≤ ‖fm − fn‖A < ε,

untuk m,n ≥ N . Ini berarti bahwa 〈fn(x)〉 merupakan barisanCauchy di R, dan karenanya ia merupakan barisan yang konvergen,katakanlah ke f(x).Selanjutnya, untuk setiap x ∈ A, kita mempunyai

|fm(x)− f(x)| = limn→∞

|fm(x)− fn(x)| ≤ ε,

untuk m ≥ N . Ini menunjukkan bahwa 〈fn〉 konvergen seragam ke fpada A.



SOAL

1 Buktikan Lemma 5.

2 Misalkan 〈fn〉 dan 〈gn〉 adalah barisan fungsi terbatas pada A,yang konvergen seragam ke f dan g pada A (berturut-turut).Tunjukkan bahwa 〈fngn〉 konvergen seragam ke fg pada A.

3 Uji-M Weierstrass. Misalkan 〈fn〉 adalah barisan fungsi pada Adan |fn(x)| ≤Mn untuk tiap x ∈ A dan n ∈ N. Buktikan jika∑∞

k=1Mk konvergen, maka deret fungsi∑∞

k=1 fk konvergenseragam pada A.


MA3231 Analisis Real · PDF file16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik...

Documents

Transcript of MA3231 Analisis Real · PDF file16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik...