LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL · fungsi yang memetakan himpunan dengan daerah...
Transcript of LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL · fungsi yang memetakan himpunan dengan daerah...
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
29
LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN
GANDA BILANGAN REAL
Zumrotus Sya’diyah1) 1)Dosen Sekolah Tinggi Ilmu Komputer (STIKOM) Ambon
Email: [email protected]
Abstrak
Konsep dasar barisan bilangan real merupakan hal yang mendasar dalam
analisis matematika.Barisan bilangan real yang selama ini dikenal adalah
barisan bilangan real yang tunggal, namun dalam penelitian ini akan dibahas
mengenai barisan ganda bilangan real. Adapun hal yang akan dianalisis dan
dibahas dalam penelitian ini adalah tentang ekor barisan ganda bilangan real
dan hubungan suatu barisan ganda bilangan real :S ℕℕℝ:
,),(limlim,),(lim,
mnsmnsmnmn
.),(limlimdan mnsnm
Kata kunci: Limit, konvergensi dan barisan ganda bilangan real
PENDAHULUAN
Matematika adalah suatu studi dan pengembangan struktur-struktur yang memuat
beberapa pengertian dasar yang tak saling bertentangan, tak saling bergantung satu sama
lain dan saling mengisi (menunjang). Dalam menghadapi permasalahan sehari-hari yang
rumit, permasalahan tersebut perlu dibagi menjadi permasalahan yang lebih
sederhana.Bentuk permasalahan dapat dibentuk dalam suatu fungsi.Fungsi tersebutlah yang
kemudian didekati untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi (Marjono, 2009).Fungsi
tersebut dapat didekati dengan menggunakan konsep tentang barisan bilangan real, yakni
perkawanan antara bilangan asli dan bilangan real dengan domainnya adalah bilangan asli
dan bilangan real bertindak sebagai kodomain. Oleh karena itu,konsep tentang barisan
bilangan real merupakan salah satu dasar yang harus dipahami.
Konsep tentang barisan banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan permasalahan-
permasalahan sehari-hari.Salah satu teori barisan yang muncul adalah pada permasalahan
ekonomi, misalnya pada perkembangan usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke
waktu mengikuti perubahan baris hitung.Baris hitung maksudnya barisan bilangan di mana
pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan
tersebut dapat diperoleh dari selisih antara suatu suku dengan suku berikutnya (Irawan,
2001).
Pada dasarnya, suatu barisan bilangan real (atau suatu barisan di ) adalah suatu
fungsi yang memetakan himpunan dengan daerah hasil yang termuat di . Dengan kata
lain, suatu barisan di memasangkan masing-masing bilangan asli secara
tunggal dengan bilangan real (Bartle, 2000: 53) (Riyanto, 2008). Limit dan konvergensi
barisan bilangan real merupakan dasar untuk memahami konsep tentang barisan bilangan
real yang selanjutnya. Pada penelitian ini, pembahasan akan lebih ditekankan pada “Limit
dan Konvergensi Barisan Ganda Bilangan Real”.
Dalam penelitian sebelumnya oleh Habil (2008) hanya dijelaskan sebatas pada
pembuktian tiap teoremanya.Belum ditunjukkan melalui contoh-contoh agar dapat lebih
mudah dipahami. Dalam penelitian ini akan dikaji ulang pembuktian teorema terkait
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
30
barisan ganda bilangan real secara lebih mendalam dan akan diberikan contoh pada tiap
definisi dan teorema agar dapat dianalisis, dipahami dan dikembangkan secara lebih
mendalam oleh peneliti lainnya.
METODE
Langkah pengerjaan yang dilakukan dalam pengerjaan skripsi ini, diurutkan dalam
beberapa langkah, yaitu:
i. Mengidentifikasi definisi barisan ganda bilangan real
Tahap selanjutnya adalah proses pengidentifikasian definisi barisan ganda bilangan
real yang akan digunakan dalam pembahasan berikutnya.
ii. Mencari dan membuktikan sifat-sifat barisan ganda bilangan real
Setelah barisan ganda bilangan real diidentifikasi dengan benar, maka tahap
selanjutnya adalah mencari dan membuktikan sifat-sifat barisan ganda bilangan real.
iii. Menurunkan teorema-teorema terkait dengan limit barisan ganda dan konvergensinya
Tahap ii telah menjelaskan definisi barisan ganda bilangan real, selanjutnya pada tahap
iii telah diketahui sifat-sifat barisan ganda bilangan real. Maka, pada tahap ini akan
dibuktikan teorema-teorema barisan ganda bilangan real untuk mengetahui
konvergensi barisan ganda bilangan real. Dari tahap ini, akan diketahui tentang
bagaimana barisan ganda bilangan real yang konvergen dan bagaimana barisan ganda
bilangan real yang divergen.
iv. Menarik kesimpulan
Dari hasil-hasil yang diperoleh pada langkah-langkah sebelumnya, akan ditasik
kesimpulan mengenai limit dan konvergensi barisan ganda bilangan real. Penarikan
kesimpulan ini merupakan tahap akhir penelitian yang didasarkan pada hasil penelitian
yang dilakukan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1 (Habil, 2008)
Barisan ganda bilangan real (barisan ganda di ℝ) adalah suatu fungsi pada himpunan ℕ
dengan daerah hasil yang termuat di ℝ. 𝚫
Dengan kata lain, suatu barisan di ℝ memasangkan bilangan asli dan
bilangan asli secara tunggal dengan bilangan ℝ. Sehingga dapat disimpulkan
bahwa domain dari barisan ganda bilangan real adalah hasil cross product antara bilangan
asli (ℕ) dengan bilangan asli (ℕ). Sedangkan kodomain dari barisan ganda bilangan real
adalah sama dengan kodomain dari barisan bilangan real yang tunggal, yakni himpunan
bilangan real ( ). Dari kesimpulan ini, dapat dilihat bahwa perbedaan mendasar antara
barisan tunggal bilangan real dan barisan ganda bilangan real terletak pada domain fungsi
pembangun barisannya. Barisan ganda bilangan real :S ℕℕℝ sering dinotasikan
dengan:
,S )),,(( mns mnmns ,:),(( ℕ)
Contoh 1
Bila a ℝ, maka baris mnamns mn ,;),( ℕ adalah barisan
,...,,,(312111
aaa ,...),,,...,,,332313322212
aaaaaa
Artinya;
:),( mns ℕℕℝ
mnmn
amns ,;),( ℕℕ mna ℝ. ■
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
31
Jika limit dari suatu barisan ganda bilangan real ),( mns adalah a ditulis
,),(lim,
amnsmn
maka barisan ganda ),( mns dikatakan konvergen ke .a Dari hubungan
tersebut, dalam bab berikutnya akan dibahas tentang limit barisan ganda bilangan real.
Definisi 2 (Habil, 2008)
Barisan ganda dikatakan konvergen ke dan ditulis ,),(lim,
amnsmn
jika
memenuhi , maka: amns ),( ).(, kmn
𝚫
Contoh 2
Tunjukkan bahwa .01
lim,
mnmn
Penyelesaian:
Ambil sembarang ,0 akan ditunjukkan bahwa
)(k ℕ ).(,,),( kmnamns Misalkan pmn , Sehingga diperoleh:
amns ),(pmn 2
10
1
p2
1
2 p Dengan demikian, diperoleh
.2
,,2
)(
mnk Dengan kata lain, terbukti bahwa .01
lim mn
■
Definisi 3 (Habil, 2008)
Misalkan barisan ganda bilangan real, maka:
i) Barisan ganda dikatakan menuju ke dan ditulis ,),(lim,
mnsmn
jika
sedemikian hingga jika )(, kmn maka .
ii) Bari
san ganda dikatakan menuju ke dan ditulis ,),(lim,
mnsmn
jika
sedemikian hingga jika )(, kmn maka . 𝚫
Contoh 3
Tunjukkan bahwa .0lim,
mn
n
mn
Penyelesaian:
Ambil sembarang ,0 akan ditunjukkan bahwa
)(k ℕ ).(,,),( kmnamns Misalkan pmn , Sehingga diperoleh:
amns ),( 0
mn
n
mn
nm
mn
n
p
p
2
2
2
p 2 p .
Diperoleh .2,,2,;2)( mnpmnk
■
Teorema 1 (Ketunggalan Limit barisan ganda) (Habil, 2008)
Barisan ganda bilangan real hanya memiliki satu limit. ▲
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
32
Bukti:
Misalkan limit barisan ganda konvergen ke ;
i) Limit adalah artinya
)(0 1 k ℕ )(1
,,2
),(
kmnamns
ii) Limit adalah artinya
)(0 2 k ℕ )(2
,,2
'),(
kmnamns
Sehingga, '),(),(' amnsmnsaaa '),(),( amnsmnsa
'),(),( amnsamns
22
Karena 'aa dan , maka adalah bilangan positif. Sedangkan disisi lain, nilai
mutlak adalah suatu nilai yang selalu tak negatif. Maka, dapat disimpulakan
bahwa: 0' aa Sehingga Dengan kata lain, limit barisan ganda adalah tunggal.
Contoh 4
Tunjukkan bahwa .lim 02
,
mnmn
Penyelesaian:
Ambil sembarang ,0 akan ditunjukkan bahwa )(k ℕ
,),( amns ).(, kmn Misalkan ., pmn Sehingga
diperoleh: amns ),( 02
mn pp
2
p2
2
1 p Dengan demikian, diperoleh
.1
,,1
)(
mnk Dengan kata lain, terbukti bahwa .02
lim mn
■
Teorema 2 (Habil, 2008)
Misalkan ,),(lim , amnsmn artinya
amnsmn ),(limlim ),(lim mnsm ada, untuk setiap . ▲
Bukti:
Asumsikan bahwa nn cmns ),(lim untuk setiap Akan dutunjukkan bahwa
,acn dengan .m Ambil .0 Karena dimana ,, mn untuk
setiap )(1 k ℕ, sehingga: ),(,,2
),( 1
kmnamns Dan karena n ℕ,
ncmns ),( dimana )(, 2 km ℕ, sehingga ).(,2
),( 2
kmcmns n
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
33
Sekarang, ambil .)(),(sup 21 kkm Dimana
),(1 kn sehingga acn amnsmnscn ),(),(
amnsmnscn ),(),( . Oleh karena itu, ,acn dimana .n
Contoh 5
Tunjukkan bahwa ,0),(limlim mnsmn jika diketahui .0lim ),( mnsm
Perhatikan barisan ganda bilangan real
mnmn
nmns ,;),( ℕ.
0),(lim
mnsm
, mengakibatkan 0limlim ),( mnsmn . ■
Teorema 3 (Habil, 2008)
Misal, .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan
),(limlim mnsnm ada, jika dan hanya jika:
),(lim mnsm ada, dan ii). ),(lim mnsn ada, ▲
Bukti:
)( Akan dibuktikan bahwa .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan
),(limlim mnsnm ada, jika:
),(lim mnsm ada, dan ),(lim mnsn ada,
Penyelesaian:
Misalkan amnsmn ),(limlim dan amnsnm ),(limlim . Dari Teorema
3, diperoleh amnsmn ),(limlim jika ),(lim mnsm ada, dan
amnsnm ),(limlim jika ),(lim mnsn ada. Dengan demikian, maka terbukti
bahwa .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan
),(limlim mnsnm ada, jika: ),(lim mnsm ada, dan
),(lim mnsn ada,
)( Akan ditunjukkan bahwa ),(lim mnsm ada, dan ),(lim mnsn ada,
, jika .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan
),(limlim mnsnm ada.
Penyelesaian:
Karena ),(lim mnsm ada dan ),(lim mnsn ada, maka ),(limlim mnsmn
ada dan ),(limlim mnsnm ada. Dengan kata lain, ),(limlim mnsmn ada.
Misalkan amnsmn ),(limlim . Maka, terbukti bahwa ),(lim mnsm ada,
dan ),(lim mnsn ada, , jika .),(lim , amnsmn Maka,
),(limlim mnsmn dan ),(limlim mnsnm ada.
Dari teorema di atas, dapat dilihat bahwa ada kemungkinan
amnsmn ),(limlim sedangkan .),(limlim bmnsnm Jika hal ini
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
34
terjadi, maka ),(limlim),(limlim mnsmns mmn Hal ini akan ditunjukkan
oleh contoh berikut ini.
Contoh 6
Tunjukkan bahwa ),(limlim mnsmn belum tentu sama dengan
),(limlim mnsnm dari barisan ganda bilangan real
mnmn
nmns ,;),( ℕ.
0lim),(lim
mn
nmns
mm, mengakibatkan 0),(limlim mnsmn .
Sedangkan 1lim),(lim
mn
nmns
nn, mengakibatkan .1),(limlim mnsnm
Dengan demikian, limit barisan ganda tersebut tidak ada. ■
Kekonvergenan suatu barisan ganda bilangan real bergantung pada perilaku suku-
suku akhirnya. Berikut ini akan diberikan definisi tentang ekor suatu barisan ganda
bilangan real.
Definisi 4
Misalkan ,),(),...,...,3,2(),2,2(),1,2(),...,3,1(),2,1(),1,1( mnsssssssS dimana adalah
barisan ganda bilangan real. Jika adalah suatu bilangan asli maka -ekor/ -tail
dari barisan ganda bilangan real adalah
),...2),2((),1),2((),...,2),1((),1),1(()),((:)( pspspspsmnpsps 𝚫
Contoh 7
Diberikan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.
),( mns
mn
mn,;
1
,...
23
1,
13
1,...,
22
1,
12
1,...,
21
1,
11
1
,...
6
1,
5
1,
4
1,...,
5
1,
4
1,
3
1,...,
4
1,
3
1,
2
1
Maka ekor-2 dari barisan ),( mns adalah sebagai berikut.
)2(, mns
,...
7
1,
6
1,,...,
6
1,
5
1,...,
5
1,
4
1
Ekor-5 dari barisan ),( mns adalah sebagai berikut.
)5(, mns
,...
10
1,
9
1,...,
9
1,
8
1,...,
8
1,
7
1 ■
Definisi 5
Misalkan ,),(),...,...,3,2(),2,2(),1,2(),...,3,1(),2,1(),1,1( mnsssssssS dimana adalah
barisan ganda bilangan real. Jika adalah suatu bilangan asli maka -ekor/ -tail
dari barisan ganda bilangan real adalah
)),...2(,2()),1(,2()),...,2(,1(()),1(,1())(,(:)( qsqsqsqsmqnsqs 𝚫
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
35
Contoh 8
Diberikan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.
),( mns
mn
mn,;
1
,...
23
1,
13
1,..,
22
1,
12
1,...,
21
1,
11
1
,...
5
1,
4
1,...,
4
1,
3
1,..,
3
1,
2
1Maka ekor-2 dari barisan ),( mns adalah
mns ),2(
,...
7
1,
6
1,...,
6
1,
5
1,...,
5
1,
4
1. Ekor-5 dari barisan ),( mns adalah
mns ),5(
,...
10
1,
9
1,...,
9
1,
8
1,...,
8
1,
7
1
■
Teorema 4 (Panjang Ekor Barisan Ganda)
Misalkan )),((:)( mnpsps adalah ekor barisan ganda bilangan real, dan
))(,(:)( mqnsqs juga merupakan barisan ganda bilangan real, maka ekor barisan
))(,(:)( mqnsqs lebih panjang dari pada ekor barisan )),((:)( mnpsps .
Bukti:
Diberikan ),( mns adalah barisan ganda bilangan real.Misal mnmnmns ,;),( ℕ, maka
barisan ),( mns adalah sebagai
berikut. ),( mns ,...)3,2,1( nnn ...)2,22,12,...,21,11( Dengan kata lain,
:),( mns ℕℕℝ Karena m berjalan terlebih dahulu, maka jika terdapat ekor barisan
))(,(:)( mqnsqs dan ekor barisan )),((:)( mnpsps diperoleh setiap anggota dari
ekor barisan )),((:)( mnpsps merupakan anggota dari ekor barisan
))(,(:)( mqnsqs namun tidak berlaku sebaliknya.
Contoh 9
Diberikan barisan ganda bilangan real mnmns ,);,( ℕ sebagai berikut.
),( mns mnnm
,;1
( ℕ)
,...
9
1,
6
1,
3
1,...,
6
1,
4
1,
2
1,...,
3
1,
2
1,
1
1Dari Definisi 5 diperoleh:
),( mns mnnm
,;1
( ℕ)
,..
6
1,
3
1,..,
4
1,
2
1,..,
2
1,
1
1
i) ))1(,( mns
,...
9
1,
6
1,...,
6
1,
4
1,...,
3
1,
2
1Suku pertama pada ekor barisan ganda
))1(,( mns adalah suku ke dua dari barosan ganda ),( mns .
),( mns mnnm
,;1
( ℕ)
,...
9
1,
6
1,...,
6
1,
4
1,...,
2
1,
1
1
ii) )),1(( mns
,...
9
1,
6
1,
3
1,...,
6
1,
4
1,
2
1Suku pertama pada ekor barisan ganda
)),1(( mns adalah suku ke q dari barisan ganda ),( mns , dimana q ketika suku ke
1n berjalan.
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
36
Dari i dan ii, tampak bahwa panjang ekor barisan ))1(,( mns lebih panjang dari pada
panjang ekor barisan )),1(( mns
■
Teorema 5
Misal, mnmnsS ,:),(( ℕ) adalah barisan ganda bilangan real.Maka, -ekor
)),((:)( mnpsps dari barisan ganda ),( mns adalah konvergen barisan ganda
),( mns konvergen.Artinya ),(lim)(lim mnsps . ▲
Bukti:
)( Akan dibuktikan jika barisan ),( mns konvergen, maka -ekor ),( mns juga
konvergen.
Misalkan ),( mns konvergen ke artinya: )(,0 k ℕ )(kn memenuhi
.),( amns Maka, untuk suku dari )(),( kkps memenuhi
.),( pamns Sehingga dapat diambil ,)()( pkk p dengan kata lain
.)( aps
)( Jika -ekor dari ),( mns konvergen, maka barisan ),( mns juga konvergen.
Jika -ekor dari ),( mns konvergen, maka memenuhi:
)(,0 pk ℕ )()( mkkkn memenuhi .),( amns Maka, untuk
setiap suku-suku dari pknmns )(),,( memenuhi .),( amns
Contoh 10
Tunjukkan bahwa limit barisan ganda bilangan real
mnmn
mns ,;1
(),( ℕ) yang
konvergen ke 0, maka )),2(( mns juga konvergen ke 0.
Penyelesaian:
Dari Definisi 5 diperoleh bahwa barisan ganda bilangan real )),2(( mns adalah ekor
barisan dari barisan
mnmn
mns ,;1
(),( ℕ) yang mengakibatkan
.)2( mnmn Dari Teorema 5 mengakibatkan barisan ganda bilangan real
mnmn
mns ,;1
(),( ℕ) konvergen.Maka )),2(( mns juga konvergen. ■
Definisi 6 (Habil, 2008)
Barisan ganda bilangan real dikatakan terbatas, jika terdapat suatu bilangan real
0G sedemikian hingga ,),( Gmns dimana mn, ℕ. Oleh karena itu, barisan
),( mns terbatas jika dan hanya jika himpunan mnmns ,:),.({ merupakan subset
terbatas dalam .
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
37
Contoh 11
Diberikan barisan ganda bilangan real mnmnmn
mns ,;8,14;11
(),( ℕ).Tampak
bahwa mn, ℕ yang terbatas. Yaitu, 13,...,4,3,2,1n dan 7,...,4,3,2,1m . Dengan
demikian, barisan ganda bilangan real mnmnmn
mns ,;8,14;11
(),( ℕ)
merupakan subset terbatas dari ℝ. ■
Teorema 6 (Habil, 2008)
Barisan ganda bilangan real yang konvergen adalah terbatas. ▲
Bukti:
Misalakan .),( amns Artinya:
terdapat sedemikian hingga ,),( amns .
Ambil sehingga
).1(,,1),( kmnamns ),( mns aamns ),( aamns ),( a1 Jik
a diambil ,),(1,)1)1((...,)1,2(,)2,1(,)1,1(sup mnskssssM maka
mnMmns ,,),( ℕ.Maka, mnMmns ,,),( ℕ.
Contoh 12
Diberikan barisan ganda bilangan real
mn
mnmns mn ,;
11)1(),( ℕ. Akan
ditunjukkan bahwa
kmnsmn
,0.0),(lim,
ℕ Sehingga pmn , diperoleh:
0),( mns
mn
mn 11)1(
p2
1
2
1 p
Barisan ganda bilangan real
mn
mnmns mn ,;
11)1(),( ℕ adalah
konvergen.Namun, ),(limlim mnsmn
tidak ada.Karena ),(lim mnsm
tidak ada.Dan
),(limlim mnsnm
tidak ada.Karena ),(lim mnsn
tidak ada.Dengan demikian, barisan ganda
bilangan real yang konvergen tidak selalu memiliki limit. ■
Teorema 7 (Habil, 2008)
Misal ),( mns adalah barisan ganda bilangan real yang dapat ditulis
mnaamns ),( sedemikian hingga 1lim lan
n
dan
2lim lamm
, maka
21,
),(lim),(limlim),(limlim llmnsmnsmnsmnmnnm
▲
Contoh 13
Misalkan diberikan barisan ganda bilangan real mnnm
mns ,;1
),( ℕ.
Diketahui .0),(limlim),(limlim),(lim,
mnsmnsmnsnmmnmn
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
38
mnaamns mn
11),( , maka diperoleh
01
limlim n
an
nn
dan .01
limlim m
am
mm
Dari Teorema 7, diperoleh bahwa
.0001
lim1
lim1
limlim1
limlim1
lim,
mnnmnmnm mnnmmnmn
■
Teorema 8 (Habil, 2008)
Misal ),( mns adalah barisan ganda bilangan real yang dapat ditulis
mn aamns ),( sedemikian hingga 1lim lan
n
dan
2lim lamm
, maka
21,
),(lim),(limlim),(limlim llmnsmnsmnsmnmnnm
▲
Bukti
Dari hipotesisi, diperoleh
21limlim)(limlim),(limlim llaaaamns mmm
nn
mnmnnm
Dan
21limlim)(limlim),(limlim llaaaamns mmm
nn
nmnmmn
Kemudian, akan ditunjukkan bahwa .),(lim,
mnmn
llmns
Diberikan ,0 dari hipotesis terdapat bilangan asli ),(kk sehingga
21
lan dan
21
lam , mn, ℕ.
Oleh karena itu, diperoleh
2121 )(),()(, llaallmnskmn mn 21 lala mn
Sehingga, terbukti bahwa .),(lim,
mnmn
llmns
Contoh 14
Misalkan diberikan barisan ganda bilangan real mnmn
mns ,;11
),( ℕ.
Diketahui .0),(limlim),(limlim),(lim,
mnsmnsmnsnmmnmn
mnmns
11),( , maka diperoleh .0
1lim
1lim
11lim,
mnmn mnmn
Dari Teorema 8, diperoleh
mnmn
11lim,
0)11
(limlim
mnnm
■
Barisan ganda bilangan real yang terbatas, belum tentu konvergen.Sebagai contoh,
barisan ganda bilangan real mnnm
,;1 ℕ adalah barisan ganda yang terbatas, namun
tidak konvergen.
Definisi 7 (Habil, 2008)
Misal, diberikan ),( mns adalah barisan ganda bilangan real
(i) Jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ, disebut barisan naik
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
39
(ii) Jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ, disebut barisan turun
(iii) Jika
),( mns naik maupun turun, maka barisan tersebut barisan ganda monoton 𝚫
Contoh 15
Diberikan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.
),( mns
mnmn
,;1
ℕ
,...
23
1,
13
1,...,
22
1,
12
1,...,
21
1,
11
1
Diperoleh barisan monoton sebagai berikut.
...
4
1
3
1
2
1
..
5
1
4
1
3
1
...
6
1
5
1
4
1
■
Definisi 8
Diberikan barisan ganda bilangan real ),( mns . Barisan ganda ),( mns dikatakan naik
tegas, jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ.Dan barisan ganda ),( mns dikatakan
turun tegas, jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ. 𝚫
Contoh 16
Diberisan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.
mnnm
mns ,;1
),( ℕ.
,..
6
1,
3
1,...,
4
1,
2
1,...,
2
1,
1
1),( mns Diperoleh barisan monoton
tegas sebagai berikut.
...
3
1
2
1
1
1
...
6
1
4
1
2
1
...
9
1
6
1
3
1
■
Teorema 9 (Teorema Konvergensi Monoton) (Habil, 2008)
Suatu barisan ganda bilangan real monoton dikatakan konvergen, jika dan hanya jika
barisan tersebut terbatas. Dengan kata lain,
(i) Jika ),( mns adalah terbatas ke atas, maka
),(lim),(limlim),(limlim,
mnsmnsmnsmnmnnm
mnmns ,:),(sup{ ℕ
(ii) Jika ),( mns adalah terbatas ke bawah, maka
),(lim),(limlim),(limlim,
mnsmnsmnsmnmnnm
mnmns ,:),(inf{ ℕ} ▲
Contoh 17
Diberikan barisan ganda bilangan real yang dinotasikan sebagai berikut.
mnnm
mns ,;1
),( ℕ yang konvergen ke 0.
,...
6
1,
3
1,..,
4
1,
2
1,...,
2
1,
1
1),( mns
Jika diambil sub barisan,
,...
3
1,
2
1,
1
1),(' mns adalah barisan ganda monoton yang
terbatas, yaitu dibatasi oleh 0 dan 1.
,...
6
1,
4
1,
2
1),(" mns adalah barisan ganda monoton
yang terbatas, yaitu dibatasi oleh 0 dan 1. ■
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
40
Berikut ini akan diulas tentang kontribusi barisan ganda bilangan real yang
monoton dalam sub barisan dan konvergensi sub barisan ganda.
Definisi 9 (Habil, 2008)
Misalkan ),( mns adalah barisan ganda bilangan real dan misalkan
...,,, 332211 rkrkrk adalah barisan ganda bilangan real yang naik tegas dari
bilangan asli (ℕ). Maka, ),( nn rks disebut sub barisan dari ),( mns
𝚫
Contoh 18
Diberikan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.
,...,,,...,,,,...,,,),( 333231232221131211 aaaaaaaaamns dengan ketentuan,
,...131211 aaa ,...232221 aaa ...333231 aaa
Jika diambil sub barisan dari ),,( mns yaitu ...),(' 131211 aaamns
Maka ),(' mns disebut sub barisan dari ).,( mns
■
Teorema 10 (Habil, 2008)
Jika ),( mns adalah barisan ganda bilangan real yang konvergen ke ,a maka sembarang sub
barisan dari ),( mns juga konvergen ke .a Dengan kata lain;
(i) Jika barisan ganda ),( mns konvergen, maka sub barisan dari ),( mns juga konvergen
(ii) Jika sub barisan dari barisan ganda bilangan real ),( mns konvergen, maka belum tentu
barisan ganda ),( mns juga konvergen. ▲
Bukti
Ambil sembarang )(,0 k ℕ, sehingga .),( amns Karena mn, ℕ berlaku
),,(),( 1 kkkk mnmn untuk setiap )(, kmn sehingga .),( amns
Terbukti bahwa ),(),( kk mnsmns konvergen ke .a
Contoh 19
Misalkan mnmns nm ,;)1(),( ℕ divergen.Maka barisan ),( mns adalah sebagai
berikut. ,...1,1,1,1,,1,1),( mns Jika diambil sub-sub barisan sebagai berikut,
,...1,1,,1),(' mns ,...1,1,1),(" mns Tampak bahwa ),(' mns konvergen ke
dan ),(" mns konvergen ke 1, padahal mnmns nm ,;)1(),( ℕ divergen. ■
Dengan kata lain, suatu barisan ganda bilangan real yang divergen, belum tentu sub
barisan dari barisan ganda bilangan real tersebut juga divergen. Dan setiap barisan ganda
bilangan real, selalu terdapat sub barisan dari barisan ganda bilangan real yang monoton,
berikut ini akan diberikan definisinya.
Definisi 10 (Habil, 2008)
Jika ),( mns adalah barisan ganda bilangan real, maka terdapat sub barisan dari
),( mns yang monoton.
𝚫
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
41
Contoh 20
Diberikan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.
mnnm
mns ,;1
),( ℕ yang konvergen ke 0.
,...
6
1,
3
1,...,
4
1,
2
1,...,
2
1,
1
1),( mns
Jika diambil sub barisan,
,...
3
1,
2
1,
1
1),(' mns
,...
6
1,
4
1,
2
1),(" mns
Tampak bahwa sub barisan ),(' mns dan ),(" mns adalah barisan yang monoton. ■
KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil analisa dan pembahasan yang telah diuraikan, dapat disimpulkan
bahwa Sifat-sifat barisan ganda bilangan real dan limitnya dapat diuraikan sebagai berikut.
a. Barisan ganda konvergen ke dan ditulis ,),(lim,
amnsmn
jika
, maka: ).(,),( fmnamns
b. Barisan ganda bilangan real yang konvergen hanya memiliki satu limit.
c. Misal, .),(,lim amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan
),(limlim mnsnm ada, jika dan hanya jika: ),(iml mnsm ada, dan
),(iml mnsn ada,
d. Misalkan ,),(),...,...,3,2(),2,2(),1,2(),...,3,1(),2,1(),1,1( mnsssssssS dimana
adalah barisan ganda bilangan real. Jika adalah suatu bilangan asli
maka -ekor/ -tail dari barisan ganda bilangan real adalah
),...2),2((),1),2((),...,2),1((),1),1(()),((:)( pspspspsmnpsps
e. Misalkan )),((:)( mnpsps adalah ekor barisan ganda bilangan real, dan
))(,(:)( mqnsqs juga merupakan barisan ganda bilangan real, maka ekor
barisan ))(,(:)( mqnsqs lebih panjang dari pada ekor barisan
)),((:)( mnpsps .
f. Barisan ganda bilangan real dikatakan terbatas, jika terdapat suatu bilangan
real 0G sedemikian hingga ,),( Gmns dimana mn, ℕ
Konvergensi barisan ganda bilangan real yang monoton dapat disimpulkan sebagai
berikut.
a. Suatu barisan ganda bilangan real monoton dikatakan konvergen, jika dan hanya jika
barisan tersebut terbatas.
b. Jika ),( mns adalah barisan ganda bilangan real, maka terdapat sub barisan dari
),( mns yang monoton.
Untuk pengembangan, penulis memberikan saran-saran agar peneliti berikutnya
menganalisis tentang barisan ganda bilangan kompleks atau melajutkannya ke deret ganda
bilangan real.
Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700
Ambon, 09 Februari 2018
42
DAFTAR RUJUKAN
Bartle, R. G. dan Sherbert, D.R. 2000.Introduction to Real Analisis.John Wiley and Sons.
New York.
Habil E. D. 2008. Double Sequences and Double Series.Islamic University of Gaza.Gaza,
Palestine.
Irawan, J. F. P. 2001. Matematika Ekonomi. Salemba Empat. Jakarta
Marjono.2009. Kontribusi Matematika dalam Pengembangan SDM.
http://prasetya.ub.ac.id/berita/Prof-Marjono-Kontribusi-Matematika-dalam-
Pengembangan-SDM-2980-id.html. (Diakses Pada Tanggal 26 Maret 2017, 15.24
WIT)
Riyanto, Z. 2008. Pengantar Analisis Real I. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.