Jumpa lagi dengan rumus matematika, dalam kesempatan ini kira-kira materi apa yang akan kita bahas? Sebelumnya telah kita pelajari bersama tentang materi turunan, dan mudah-mudahan sobat semua telah paham tentang materi tersebut. Nah bagaimana kalau sekarang kita pelajari tentang barisan dan deret aritmatika, apa itu barisan dan deret aritmatika?

BARISAN ARITMATIKAPertama kita mulai dari barisan, barisan bilangan adalah urutan dari bilangan yang dibuat berdasarkan aturan tertentu. Sedangkan untuk barisan aritmatika adalah sebuah barisan bilangan dimana setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama. contoh : 6,9,12,15,

Selisih bilangan pada barisan aritmatika disebut beda yang biasa disimbolkan dengan huruf b, untuk contoh diatas memiliki nilai beda 3. Dan bilangan yang menyusun suatu barisan disebut suku, dimana suku ke n dari suatu barisan disimbolkan dengan Un sehingga untuk suku ke 5 dari suatu barisan biasa disebut dengan U5. Khusus untuk suku pertama dari suatu barisan biasa disimbolkan dengan huruf a.

Jadi bentuk umum untuk suatu barisan aritmatika yaitu U1,U2,U3, ,Un-1 atau a, a+b, a+2b, , a+(n-1)b

Menentukan Rumus Suku ke-n suatu barisanPasangan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika mempunyai beda yang sama, maka

U2 = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3bU5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Berdasarkan pola tersebut, dapatkah sobat menentukan suku ke-7, suku ke-26 hingga suku ke-90? Dengan menggunakan pola diatas kita dapat mengetahui dengan mudah suku-suku tersebut.

U7 = a + 6bU26 = a + 25bU90 = a + 89b

Sehingga berdasarkan runtutan penjelasan diatas untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan rumus :

Un = a + (n 1)b, untuk n bilangan asliDERET ARITMATIKAYang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 +

Misalnya kita ambil n suku pertama, jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika sebagai contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya?

7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65

Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas. Seandainya kita akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita menghitung manual seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang cukup lama. Nah kali ini akan kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk mennetukan jumlah 5 suku pertama dari contoh diatas.

Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga

Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65. Perhatikan bahwa S5 tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

Sn = (a + Un) n : 2

Dikarenakan Un = a + (n 1)b, sehingga rumus di atas menjadi

Sn = (2a + (n 1)b) n : 2

SISIPAN DAN DERET ARITMATIKASisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru. Sebagai contoh :

Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +

Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +

Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan rumus berikut :

b1 = b/(k+1)

b1 = beda deret baru

b = beda deret mula-mula

k = banyak bilangan yang disisipkan

Barisan dan Deret Aritmatika tergolong materi yang mudah dipahami, sehingga diharapkan hanya dengan membaca artikel ini sobat semua telah mengerti tentang materi ini. Walaupun demikian, latihan soal harus tetap berjalan agar kemampuan kita selalu terasah

Masih seputar materi aritmatika, yang semangat ya kawan-kawan kita masih akan belajar mengenai barisan aritmatika dan deret aritmatika. yuk baca dengan seksama.

Barisan AritmatikaSedikit banyak pastinya kalian sudah taukan apa itu barisan matematika kan ? bagi yang belum tau perlu diketahui bahwa barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3,U4, ... Un baris bilangan seperti ini disebut dengan baris bilangan aritmatika, jika selisih dua suku berurutan selau tetap, dan selanjutnya selisih tersebut disebut dengan beda dan dilambangkan dengan huruf b

jadi nilai selisih dari baris bilangan dapat kita tuliskan sperti berikut :

b = U2 - U1 = U4 - U3 = U6 - U5 ... = Un - Un-1

Jika suku pertama dalam barisan aritmatika dinyatakan dengan a, maka didapat bentuk umum dari barisan aritmatika yaitu :

a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b,.... a+(n-1)b

a = suku pertamab = beda

Jadi, Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah sebagai berikut

Un= a+ ( n - 1 ) bContoh soal barisan aritmatika :a) 1, 4, 7, 10, ...

b = U2- U1= U4- U3=karena barisan bilangan tersebut mempunyai beda yang tetap yaitu 3 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

b) 2, 5, 7, 9, ...

U2- U1= 3U3- U2= 2

karena beda dari barisan bilangan tersebut tidak konstan/ tidak tetap maka barisan bilangan tersebut bukan barisan aritmatika.

Deret AritmatikaDeret aritmatika adalah jumlah semua suku-suku pada barisan aritmatika, deret artitmatika juga biasa disebut dengan deret hitung. Deret aritmatika yang mempunyai beda lebih dari nol atau positif, maka deretnya disebut dengan deret aritmatika naik. Sedangkan deret aritmatika yang mempunyai beda kurang dari nol atau negatif maka deretnya disebut deret menurun.

Bentuk umum deret aritmatika :

a+ ( a+b )+ ( a+2b )+ ( a+3b ) + ...+ { a+(n-1)b}Rumus suku ke-n deret aritmatikaApabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyak suku dan b merupakan beda suatu barisan aritmatka maka :

Demikian materi barisan aritmatika dan deret aritmatika yang bisa admin berikan semo kalian dapat memahami rumus barisan aritmatika serta rumus jumlah deret aritmatikanya. Home Matematika SD Matematika SMP Matematika SMA Matematika Dasar Matematika Umum Contoh SoalHome RUMUS MATEMATIKA SMA SMA Materi Barisan dan Deret Aritmatika Terlengkap

Materi Barisan dan Deret Aritmatika Terlengkap

Rumus matematika Pada pembahasan rumus matematika kali ini, kita akan mempelajari sebuah materi yang bisa dibilang gampang-gampang susah yaitu materi barisan dan deret aritmatika. Disini saya akan mengawali pembahasan dengan memberikan pengertian mengenai barisan dan deret aritmatika, barulah setelah itu saya akan mengajak kalian untuk memahami cara mengaplikasikan rumus-rumus tersebut. Saya berharap setelah kalian mempelajari materi ini, kalian akan mampu menjawab soal-soal yang berkenaan dengan barisan dan deret aritmatika dengan lebih tangkas dan cepat. Oleh karenanya, perhatikan setiap penjelasan di bawah ini dengan fokus dan penuh konsentrasi.

Pembahasan Materi Barisan dan Deret Aritmatika Terlengkap

Pengertian Barisan Aritmatika

Sebelum memahami pengertian barisan aritmatika kita harus mengetahui terlebih dahulumengenai pengertian basiran bilangan. Barisan bilangan merupakan sebuah urutan dari bilangan yang dibentuk dengan berdasarkan kepada aturan-aturan tertentu. Edangkan barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan yang tiap-tiap pasangan suku yang berurutan mengandung nilai selisih yang sama persis, contohnya adalah barisan bilangan: 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, ...

Barisan bilangan tersebut dapat disebut sebagai barisana aritmatika karena masing-masing suku memiliki selisih yang sama yaitu 2. Nilai selisih yang muncul pada barisan aritmatika biasa dilambangkan dengan menggunakan huruf b. Setiap bilangan yang membentuk urutan suatu barisan aritmatika disebut dengan suku. Suku ke n dari sebuah barisan aritmatika dapat disimbolkan dengan lambang Un jadi untuk menuliskan suku ke 3 dari sebuah barisan kita dapat menulis U3. Namun, ada pengecualian khusus untuk suku pertama di dalam sebuah barisan bilangan, suku pertama disimbolkan dengan menggunakan huruf a.Maka, secara umum suatu barian aritmatika memiliki bentuk :

U1,U2,U3,U4,U5,...Un-1a, atb, a+2b, a+3b, a+4b,...a+(n-1)bCara Menentukan Rumus suku ke-n dari Sebuah BarisanPada barisan aritmatika, mencaru rumus suku ke-n menjadi lebih mudah karena memiliki nilai selisih yang sama, sehingga rumusnya adalah:

U2 = a + b

U3 = u2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = u3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = u4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

U6 = u5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b

U7 = u6 + b = (a + 5b) + b = a + 6b

.

.

.

U68 = u67+b = (a + 66b) + b = a + 67b

U87 = u86+b = (a + 85b) + b = a + 86b

Berdasarkan kepada pola urutan diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa rumus ke-n dari sebuah barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n 1)b dimana n merupakan bilangan asliPengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika dapat didefinisikan sebagai jumlah keseluruhan dari anggota barisan aritmatika yang dihitung secara berurutan. Sebagai contoh kita ambil sebuah barisan aritmatika 8,12,16,20,24 maka deret aritmatikanya adalah 8+12+16+20+24

Untuk menghitung deret aritmatika tersebut masih terbilang mudah kaerna jumlah sukunya masih sedikit:

8+12+16+20+24 = 80

Namun, bayangkan jika deret aritmatika tersebut terdiri dari ratusan suku, tentu akan sulit untuk menghitungnya, bukan? Oleh karenanya, kita harus mengetahui rumus untuk menghitung jumlah deret aritmatika. Rumus yang biasa digunakan adalah:

Sn = (a + Un) n : 2Sebelumnya kita sudah mengetahui rumus untuk menghitung Un, maka rumus tersebut dapat dimodifikasi menjadi:

Sn = (a + a + (n 1)b) n : 2Sisipan pada Deret Aritmatika

Sisipan pada deret aritmatika dapat diperoleh dengan cara menambahkan deret kecil aritmatika lainnya diantara dua buah suku yang berurutan di dalam sebuah deret aritmatika. Untuk memahaminya dengan lebih mudah perhatikan saja contoh berikut ini:

Deret aritmatika awal: 2+8+14+20+26+32

Deret aritmatika setelah diberi sisipan: 2+4+6+8+10+12+14++16+18+20+22+24+26+28+30+32

Nilai selisih pada deret aritmatika yang telah diberi sisipan (b1) dapat diketahui dengan menggunakan rumus:

b1 = b/(k+1)b1 = selisih pada deret yang telah diberi sisipan

b = selisih pada deret aritmatika awal

k = banyaknya bilangan yang disisipkan

sebagai contoh untuk menghitung selisih deret baru pada deret aritmatika yang telah saya tuliskan diatas adalah:

Deret awal: 2+8+14+20+26+32

Deret baru: 2+4+6+8+10+12+14++16+18+20+22+24+26+28+30+32

Rumus: b1 = b/(k+1)Diketahui:

b = 8 2 = 6

k = 2

Maka:

b1 = 6/(2+1)

b1 = 6/3

b1 = 2

Demikianlah penjelasan mengenai pengertian barisan dan deret aritmatika. Sebenarnya materi ini tidak terlalu sulit untuk dipelajari, kita hanya harus lebih teliti dan berhati-hati dalam menghitung setiap suku yang ada agar hasilnya menjadi benar. Untuk memperdalam pemahaman mengenai barisan dan deret aritmatika, sebaiknya kalian terus berlatih dengan mencoba memecahkan soal-soal yang berkaitan dengan materi di atas.

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Pengertian Barisan Bilangan dan Deret.Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda ,. Jika pada barisan tanda , diganti dengan tanda +, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku diberi nama sesuai dengan nomor urutnya.Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:U1, U2, U3, , Un. dengan Un sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n,

.

Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis :U1 + U2 + U3 + + Un.A. BARISAN ARITMETIKA Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a.

Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n 1)b, dengan b = Un Un 1

Contoh Soal :

Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?Jawab :a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 3 = 5.Un = a + (n 1)bU10 = 3 + (10 1)5= 3 + 9 x 5= 3 + 45= 48 Un = a + (n 1)b = 3 + (n 1)5 = 3 + 5n 5 = 5n 2 b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :Un = 1985n 2 = 1985n = 200n = 40Jadi 198 adalah suku ke- 40

B. DERET ARITMETIKA Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... + (a + (n 1)b). Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :

karena Un = a + (n 1)b maka Sn didapat rumus Sn :

Contoh soal :

Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + .. Jawab :A = 3, b = 5 3 = 2, dan n = 20, maka :

S20 = 10( 6 + 19.2) = 10 ( 6 + 38) = 10 ( 44 } = 440Latihan Soal1. Tentukan beda pada setiap barisan aritmetika berikut.a. 2, 7, 12, 17,b. 71, 58, 45, 32,.c. 1,- 3, -7, -11,.d. -10, -7, -4, -1,2. Tulislah lima suku pertama barisan aritmetika yang diketahui salah satu suku dan bedanya berikut ini.a. suku ke- 1 = 3 dan beda 6b. U1 = 9 dan b = -4c. U6 = 7 dan b = 4d. U1 = 5 dan U7 = 41e. U19 = 91 dan U91 = 19 3. Suatu barisan aritmetika diketahui U5 = 14, U8 + U11 = 55, tentukan U204. Suku keberapakah dari barisan aritmetika 172, 166, 160, yang merupakan bilangan positif terkecil?5. Tentukan nilai x jika ketiga suku barisan berikut adalah barisan aritmetika:a. 2x 1, 5x 3, 4x + 3b. x 3, x + 3, 3xc. 3x2 + x + 1, 2x2 + x, 4x2 6x + 1d. 2x2 + 1, x2, 3x2 7x 1 Jawab:6. Diantara tiap dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika dibawah ini disisipkan 6 buah bilangan sehingga diperoleh barisan aritmetika baru, tentukan beda dan banyaknya suku pad barisan aritmetika tersebut!a. 1, 50, 99, 148.b. 3, 8, 13, , 58c. 19, 12, 5, , 48d. 3, 6, 9, , 367. Suku pertama dan suku kelima sebuah deret aritmetika adalah 5 dan 11. Hitunglah jumlah 20 suku pertama deret tersebut!8. Carilah nilai x jika diketahui jumlah suku-suku deret sebagai berikut:a. 5 + 7 + 9 + + x = 192b. 4 + 11 + 18 + + x = 280c. 100 + 96 + 92 + + x = 09. Seorang karyawan suatu perusahaan setiap tahun menerima tambahan gaji yang besarnya tetap. Pada tahun ke-3 ia menerima gaji Rp. 900.000,00 tiap bulan dan pada tahun ke-5 menerima gaji Rp. 1000.000,00 tiap bulan. Tentukan :a. Besarnya gaji yang diterima pada tahun ke-10 b. Jumlah gaji yang telah diterima selama 10 tahun10. Dalam suatu gedung pertemuan , kursi disusun dalam beberapa baris . Baris pertama terdiri 10 kursi , baris berikutnya bertambah 5 kursi dibandingkan dengan baris sebelumnya. Jika pada baris terakhir terdiri 110 kursi, maka tentukan :a. Banyaknya baris kursi dalam gedung tersebutb. Banyaknya kursi dalam gedung tersebut Email This

HYPERLINK "http://www.blogger.com/share-post.g?blogID=7305597587934430795&postID=7766476948292631051&target=blog" \o "BlogThis!" \t "_blank" BlogThis!

HYPERLINK "http://www.blogger.com/share-post.g?blogID=7305597587934430795&postID=7766476948292631051&target=twitter" \o "Share to Twitter" \t "_blank" Share to Twitter

HYPERLINK "http://www.blogger.com/share-post.g?blogID=7305597587934430795&postID=7766476948292631051&target=facebook" \o "Share to Facebook" \t "_blank" Share to Facebook

HYPERLINK "http://www.blogger.com/share-post.g?blogID=7305597587934430795&postID=7766476948292631051&target=pinterest" \o "Share to Pinterest" \t "_blank" Share to Pinterest7 comments:

1. Bimbel FLC Indonesia CentreDecember 20, 2012 at 8:55 PMthanks for your articleso useful for usvisit me : bimbel-sma.blogspot.com

Reply2. AnonymousJanuary 16, 2013 at 7:46 PMits good :-)

Reply3. AnonymousJanuary 17, 2013 at 10:58 AMbagus nih artikel'a tpi soalnya kasih pmbhsan'a dong di bwahnya biar bisa buat belajar' juga

Reply4. AnonymousJanuary 17, 2014 at 3:28 PMmanfaat banget...

Reply5. AnonymousAugust 20, 2014 at 8:51 PMmakasih .. bermanfaat skali nih artikelnya .. bisa di copaz juga :D .thanks ya guys :)

Reply6. AnonymousNovember 23, 2014 at 4:28 PMterimakasih atas postingannya.. :)

Reply7. AnonymousFebruary 10, 2015 at 4:30 PM:v

ReplyLoad more...Link ke posting ini

Create a Link

Newer Post Older Post Home

Subscribe to: Post Comments (Atom)

Materi Penting Lainya

Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar

Pembahasan soal Dimensi Tiga

Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri

Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri

Cara cepat menyelesaikan soal Fungsi Komposisi

24

a. 8

b. 7

c. 5

d. 4

e. 3

13.

Jika barisan 24, 48, x

, 192 merupakan barisan geometri , maka nilai dari x

2

adalah

a. 4.760

b. 8.560

c. 9.000

d. 9.216

e. 10.000

14.

Jumlah 6 suku pertama dari barisan pada soal nomor 13 adalah

a. 1.000

b. 1.300

c. 1.400

d. 1.600

e. 1.512

15.

Jika barisan 20, x, 5, ... merupa

kan barisan geometri maka suku ke

-

5nya adalah

a. 1

b. 1, 25

c. 1, 5

d. 1, 75

e. 2

Kerjakan soal

berikut dengan singkat dan benar.

1.

Ibu Sarah memiliki 3 orang anak. Setiap hari ibu Sarah memberi anak

-

anaknya uang saku.

Setiap harinya ibu Sarah mem ber

i Rp20.000,00 untuk anak pertama, Rp16.000,00 untuk

anak kedua, dan Rp4.000,00 untuk anak bungsunya. Ten tukan jumlah uang yang harus

disediakan ibu sarah selama satu bulan untuk uang saku anak

-

anaknya.

2.

Ayah membeli sebuah mobil seharga

Rp150.000.00

0,00.

Harga mobil menyusut sebesar

0,8% setiap tahunnya. Taksirlah harga mobil tersebut pada tahun ke

-

15 setelah pembelian.

3. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika

keuntungan bulan ke

-

4 adalah Rp30.000,00 da

n bulan ke

-

8 adalah Rp172.000,00, tentukan

keuntungan bulan ke

-

18.

4. Pertambahan penduduk setiap tahun di suatu desa mengikuti deret geometri.

Pertambah

an

penduduk pada tahun 1996 sebanyak 24 orang, tah

un 1998 sebesar 96 orang. Tentu

kan

pertambahan pendu

duk tahun 2001.

5.

Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 10 dan suku pertamanya adalah 2.

Tentukan

rasio deret geometri tak hingga tersebut.

Bottom of Form