Barisan dan

Deret

Purnami E. Soewardi

Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen

Ditjen GTK

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Definisi Barisan

Suatu barisan (dalam himpunan

bilangan real ) adalah suatu

fungsi yang memetakan setiap

elemen dari N (himpunan bilangan

asli) ke suatu bilangan real tertentu

(unik/tunggal) di

Bilangan-bilangan real

yang merupakan hasil

pemetaan dari N tersebut

dinamakan elemen dari

barisan

Elemen barisan biasanya

dilambangkan dengan xn ,

atau an, atau zn dan barisan

dilambangkan dengan X,

atau (xn), atau (xn : nN)

Contoh Barisan

...,,,, bbbbB dengan b

Barisan ini dinamakan barisan konstan b

Misal :

Barisan konstan 1 : ...,1,1,1,1

Barisan konstan 0 : ...,0,0,0,0

Contoh Barisan

NnnX :2: ...,8,6,4,2:X

Barisan ini dinamakan barisan aritmatika

Contoh Barisan

NmY

n:

2

1:1

...,81,

41,

21,

11:Y

Barisan ini dinamakan barisan geometri

Contoh Barisan

Ns

sZ :

1:

2

...,

4

1,

3

1,

2

1,

1

1:

4322Z

Contoh Barisan

Barisan Fibonacci NnfF n :: , dengan :

1:1 f , 1:2 f , Nnnfff nnn ,2: 11

...,55,34,21,13,5,3,2,1,1:F

Contoh Barisan

Latihan

Misalkan barisan nx didefinisikan oleh rumus-

rumus berikut. Tulislah 5 (lima) elemen

pertama dari barisan-barisan berikut ini:

a. nnx 11:

b.

nx

n

n1

:

c. 1

1:

nnxn

d. 2

1:

2

nxn

Latihan

bahwa elemen-elemen pertama barisan

tersebut merupakan peta dari elemen N yang

diurutkan dari elemen pertama. Tulislah rumus

elemen ke-n dari barisan-barisan tersebut!

a. 5, 7, 9, 11, ...

b. ...,16

1,

8

1,

4

1,

2

1

c. ...,5

4,

4

3,

3

2,

2

1

d. 1, 4, 9, 16, ...

Latihan

Tulislah lima elemen pertama barisan-

barisan yang didefinisikan secara induktif

berikut!

a. 13:;1: 11 nn xxx

b.

nnn

yyyy

2

2

1:;2: 11

c. nn

nnn

zz

zzzzz

1

1221 :;2:;1:

1221 :;5:;3: nnn sssss

Definisi

Misalkan nxX dan nyY adalah dua

buah barisan bilangan real. Penjumlahan dua

barisan didefinisikan sebagai :

NnyxYX nn ::

Contoh

Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:

...,8,6,4,2:X

...,

4

1,

3

1,

2

1,

1

1:Y

...,

12,...,

3

16,

2

14,

1

12:

nnYX

Definisi

Misalkan nxX dan nyY adalah dua

buah barisan bilangan real. Pengurangan dua

barisan didefinisikan sebagai :

NnyxYX nn ::

Contoh

Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:

...,8,6,4,2:X

...,

4

1,

3

1,

2

1,

1

1:Y

...,

12,...,

3

16,

2

14,

1

12:

nnYX

...,

12,...,

3

17,

2

7,

1

1:

2

n

nYX

Definisi

Misalkan nxX dan nyY adalah dua

buah barisan bilangan real. Perkalian dua

barisan didefinisikan sebagai :

NnyxYX nn :.:.

Contoh

Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:

...,8,6,4,2:X

...,

4

1,

3

1,

2

1,

1

1:Y

...,

1.2,...,

3

1.6,

2

1.4,

1

1.2:.

nnYX

...,2,...,2,2,2:. YX

Definisi

Misalkan nxX dan nyY adalah dua

buah barisan bilangan real. Perkalian barisan

dengan suatu konstan a didefinisikan

sebagai :

cNncxcX n ;::

Contoh

Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:

...,8,6,4,2:X

...,2.3,...,6.3,4.3,2.3:3 nX

...,6,...,18,12,6:3 nX

Definisi

Misalkan nxX dan nyY adalah dua

buah barisan bilangan real, dengan

Nnyn 0 . Pembagian dua buah barisan

didefinisikan sebagai :

Nn

yx

YX

n

n ::

Contoh

Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:

...,8,6,4,2:X dan

...,

4

1,

3

1,

2

1,

1

1:Y

...,

2,...,

6,

4,

2:

131

21

11

n

n

Y

X

...,2,...,18,8,2: 2nY

X

Definisi

Misalkan nxX adalah suatu barisan

bilangan real. Jika a adalah limit barisan X

untuk n , maka dikatakan X konvergen ke

a. Barisan yang mempunyai limit dinamakan

barisan yang konvergen. Barisan X konvergen

ke a dinotasikan oleh:

aXn

lim atau axnn

lim atau axn

Sifat

Suatu barisan bilangan real paling

banyak mempunyai satu limit

Definisi

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan

yang suku selanjutnya diperoleh dengan

menambahkan suatu bilangan tetap.

Bentuk umum barisan aritmatika adalah:

bnababaa 1,,2,,

Contoh

1. 10, 15, 20, 25, 30, 35

Barisan aritmatika dengan suku pertama

a = 10 dan beda b = 5.

2. 0,1 , 0,5 , 0,9 , 1,3 , 1,7

Barisan aritmatika dengan suku pertama

a = 0,1 dan beda 4,0b .

Rumus suku ke-n barisan

aritmatika

bnaUn 1

dengan:

nU = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = indeks suku

Suku Tengah Barisan

Aritmatika

Jika jumlah suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil, maka nilai

suku tengah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

nt UaU 2

1

dengan:

nU = suku ke-n

tU = suku tengah

a = suku pertama

n = indeks suku

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-

suku pada barisan aritmatika.

Contoh:

1. 252015105

2. 4

6

4

5

4

4

4

3

2

1

Jumlah n Suku Pertama

Jumlah n suku pertama dari sebuah deret hitung adalah

jumlah nilai suku-sukunya dari suku pertama sampai

dengan suku ke-n. Jumlah n suku pertama biasa

dilambangkan dengan nS , yaitu:

bnan

Sn 122

nn Uan

S 2

Pengertian Barisan

Geometri

Barisan geometri atau dinamakan juga barisan ukur adalah

barisan bilangan yang mempunyai aturan sebagai berikut, yaitu

perbandingan antara dua suku yang berurutan adalah sama.

Perbandingan ini dinamakan dengan rasio (dilambangkan dengan

r), dan ditulis dalam lambang matematika sebagai:

1

n

n

u

ur

Contoh

1. 2, 6, 18, 54, 162, 486

Barisan geometri dengan suku pertama a = 1U = 2 dan rasio

32

6

1

2

1

U

U

U

Ur

n

n .

2. 1, 2

1,

4

1,

8

1,

16

1,

32

1

Barisan geometri dengan suku pertama a = 1 dan beda r = 2

1.

Suku ke-n dari Barisan

Geometri

Rumus suku ke-n ( nU ) adalah sebagai berikut:

1 nn arU

dengan:

nU = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = indeks suku

Contoh

Perhatikan barisan ukur berikut ini: 2, 4, 8, 16, 32, 64, … .

Nilai suku ke-9 dan suku ke-13 dari barisan tersebut adalah:

9U = 2 x 192

= 102 = 1024.

13U = 2 x 1132

= 122 = 4096.

Suku Tengah Barisan

Geometri

Jika jumlah suku dari suatu barisan geometri adalah ganjil, maka nilai suku

tengah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

nt UaU

dengan:

nU = suku ke-n

tU = suku tengah

a = suku pertama

n = indeks suku

Contoh

1. 2, 8, 32, …, 8192.

Nilai suku tengahnya adalah:

1281638481922 nt UaU .

2. -256, 128, -64, …, -1.

Nilai suku tengahnya adalah:

162561256 nt UaU .

Jumlah n Suku Pertama

Jumlah n suku pertama biasa dilambangkan dengan nS :

r

raS

n

n

1

1 , jika 1r dan

1

1

r

raS

n

n , jika 1r

dengan:

nS = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = indeks suku

Contoh

Perhatikan deret ukur : 2+4+8+16+32+64+… . Jumlah 11 suku pertama

adalah:

.4096

1

20482

12

12211

11

S

2. Perhatikan deret ukur : 1+2

1+

4

1+

8

1+

16

1+

32

1+… . Jumlah 8 suku

pertama adalah:

1,9921880,5

0,996094

5,0

0,003906-11

2

11

2

111

8

8

S .

Bentuk Umum Deret

Geometri Tak Hingga

a+ar + 2ar + 3ar + 4ar +…+ nar +…

Deret Geometri Tak

Hingga

Jika n menuju bilangan cukup besar (dikatakan n membesar menuju tak

hingga), maka:

Untuk 1r :

1

1limlim

r

raS

n

nn

n akan menuju jumlah yang besarnya tak hingga.

Deret ini dinamakan deret divergen.

Untuk 11 r :

r

a

r

raSS

n

nn

nn

11

1limlim karena jika n ,maka 0nr .

Deret ini dinamakan deret konvergen.

Contoh

Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga berikut ini:

1. 16+4+1+4

1+

16

1+ …

4

1

16

4

1

2 U

Ur , sehingga

3

64

3

416

4

11

16

1

r

aSn .

2. 16

1 +

36

1

216

1 +…

6

1

1

6

1

1

2

U

Ur , sehingga

7

6

6

11

1

1

r

aSn .