JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

1

Abstrak— Ukuran keirasionalan barisan dapat disederhanakan dengan menambahkan asumsi – asumsi tertentu sehingga diperoleh batas bawah ukuran keirasionalan dari barisan tersebut. Dalam penelitian ini diuraikan pembuktian dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real beserta akibat - akibatnya, termasuk akibat - akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville, juga proposisi - proposisi yang berkaitan dengan akibat - akibat tersebut.

Kata Kunci—Barisan Liouville, Barisan Bilangan Real, Ukuran Keirasionalan.

I. PENDAHULUAN ilangan secara umum dapat dibagi menjadi bilangan real dan imajiner. Pada bilangan real, dikenal dua golongan bilangan yaitu bilangan rasional dan irasional.

Bilangan rasional masih dapat dibagi lagi ke dalam jenis bilangan bulat dan pecahan. Sementara bilangan irasional dapat dibagi ke dalam jenis bilangan aljabar dan bilangan transendental.

Euler adalah orang pertama yang mendefinisikan bilangan transendental, mengikuti paper Leibniz pada tahun 1682 yang berisi pembuktian bahwa sin 𝑥𝑥 bukan merupakan fungsi aljabar dari 𝑥𝑥. Bilangan transendental didefinisikan sebagai bilangan yang bukan merupakan akar persamaan polinomial tak konstan dengan koefisien rasional[8]. Definisi tersebut pada tahun 1844 dikembangkan oleh Joseph Liouville yang pada akhirnya berhasil membuktikan eksistensi bilangan transendental. Penelitian Liouville tidak berhenti hanya pada pembuktian tersebut. Pada tahun 1851, Liouville berhasil menentukan suatu konstanta penting yang dikenal dengan sebutan konstanta Liouville, yang kemudian dikembangkan menjadi definisi bilangan Liouville. Liouville menunjukkan bahwa setiap bilangan Liouville merupakan bilangan transendental[6].

Selain mendefinisikan bilangan dan konstanta Liouville, Joseph Liouville juga merumuskan teorema Liouville. Teorema Liouville pada akhirnya digunakan untuk menurunkan suatu rumus ukuran keirasionalan bilangan. Secara sederhana, ukuran keirasionalan, atau yang disebut juga sebagai approximation exponent atau konstanta Liouville - Roth, dari suatu bilangan real 𝑥𝑥 didefinisikan sebagai ukuran seberapa dekat 𝑥𝑥 dapat diperkirakan dalam bilangan rasional[7].

Hasil karya Liouville tersebut juga mengilhami beberapa matematikawan untuk menelaah lebih lanjut, sehingga pada akhirnya lahirlah beberapa kriteria keirasionalan bilangan yang diantaranya diperkenalkan oleh Erdös dan Strauss pada tahun 1974 yang membuktian keirasionalan dan rational independence dari beberapa tipe deret[5]. Kemudian dalam [2] dan [3], Borwein pada tahun 1991 dan 1992, melalui jurnalnya membuktikan beberapa deret yang irasional tetapi tidak Liouville. Demikian halnya dengan Sondow dalam [10] dan Duverney dalam [4] yang juga membahas mengenai keirasionalan bilangan.

Penelitian lain yang dilakukan oleh Jaroslav Hančl yang dituangkan dalam Nagoya Mathematics Journal tahun 2003 membahas secara khusus tentang barisan Liouville beserta dua kriteria baru yang didasarkan pada penelitian Erdös yang berjudul Some Problems and Results on the Irrationality of the Sum of Infinite Series[6]. Pada tahun 2005, Jaroslav Hančl bersama rekannya, Ferdinánd Filip, kembali mempublikasikan hasil penelitiannya yang berhasil merumuskan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan barisan tertentu melalui Hiroshima Mathematics Journal[7].

Dengan berlatar belakang beberapa hasil penelitian tersebut, makalah ini disusun untuk mengkaji cara menentukan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real beserta akibat - akibat dari kedua kriteria batas bawah tersebut, juga akibat - akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville.

II. METODE PENELITIAN Dalam penelitian makalah ini digunakan studi literatur

dengan tahapan sebagai berikut: 1. Mengkaji definisi ukuran keirasionalan 2. Mengkaji dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan

pada barisan bilangan real 3. Mengkaji akibat – akibat dua kriteria batas bawah ukuran

keirasionalan pada barisan bilangan real 4. Mengkaji akibat – akibat dua kriteria batas bawah ukuran

keirasionalan pada barisan bilangan real yang berkaitan dengan barisan Liouville

5. Pembahasan proposisi – proposisi 6. Penulisan laporan

III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

A. Ukuran Keirasionalan Bilangan Definisi dan teorema yang berkaitan dengan ukuran

keirasionalan bilangan yang digunakan dalam pembahasan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real adalah sebagai berikut:

Definisi 2.1.1 [7] Jika 𝜉𝜉 adalah bilangan irasional, maka bilangan

lim sup𝑞𝑞 → ∞,𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁 log𝑞𝑞 �

min𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 �𝜉𝜉 −

𝑝𝑝𝑞𝑞��−1

disebut ukuran keirasionalan dari bilangan 𝜉𝜉.

Teorema 2.1.2 [8] Setiap bilangan irasional memiliki ukuran keirasionalan

lebih besar atau sama dengan 2.

Definisi 2.1.3 [6] Ukuran keirasionalan dari bilangan Liouville adalah tak

hingga.

Kajian Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Taurusita Kartika Imayanti dan Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: sunarsini@matematika.its.ac.id

B

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

2

B. Kriteria Keirasionalan Barisan

Berikut ini adalah dua definisi untuk kriteria keirasionalan barisan yang telah didefinisikan oleh Erdös dan Strauss pada tahun 1974.

Definisi 2.2.1 [5] Diberikan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah barisan bilangan real positif. Jika untuk setiap barisan bilangan bulat positif {𝑐𝑐𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞ jumlahan dari deretnya adalah

�1

𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

merupakan bilangan irasional, maka barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ adalah

irasional. Jika {𝑥𝑥𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ bukan merupakan barisan irasional,

maka merupakan barisan rasional.

Definisi 2.2.2 [5] Misal {𝑥𝑥𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah suatu barisan irasional dan Θ adalah himpunan dari semua barisan bilangan bulat positif, Θ = {{𝑐𝑐𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ , 𝑐𝑐𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁}, maka bilangan inf

{𝑐𝑐𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ ∈ 𝛩𝛩 lim sup

𝑞𝑞 → ∞,𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁log𝑞𝑞 �min𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 ��

1𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

−𝑝𝑝𝑞𝑞

∞

𝑛𝑛=1

��−1

disebut ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ .

C. Lemma yang Berkaitan dengan Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Lemma yang digunakan dalam pembahasan kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dijelaskan sebagai berikut:

Lemma 2.3.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀1 adalah bilangan real positif dengan 𝜀𝜀1 < 1.

Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, sehingga memenuhi 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1� dan 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 2𝑛𝑛 untuk setiap 𝑛𝑛 yang cukup besar, maka untuk setiap 𝜀𝜀2 dengan 𝜀𝜀2 > 𝜀𝜀1 dengan 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku

�𝑏𝑏𝑛𝑛+𝑗𝑗

𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑗𝑗≤

1𝑎𝑎𝑛𝑛

1−𝜀𝜀2

∞

𝑗𝑗=0

Lemma 2.3.2 [7] Diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan

𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1+𝜀𝜀

dan 𝑆𝑆 > 11−𝜀𝜀1

. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, sehingga memenuhi lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 =

𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�, dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang

cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka terdapat suatu bilangan real positif 𝛼𝛼 sehingga untuk setiap 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku

�𝑏𝑏𝑛𝑛+𝑗𝑗

𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑗𝑗≤

1𝑎𝑎𝑛𝑛𝛼𝛼

∞

𝑗𝑗=0

Lemma 2.3.3 [7] Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ adalah dua barisan bilangan

bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ tidak turun, serta memenuhi

lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1� dengan 𝑛𝑛 yang

cukup besar, maka �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan irasional.

D. Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Berikut ini adalah dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real:

Teorema 2.4.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan

𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1+𝜀𝜀

dan 𝑆𝑆 > 11−𝜀𝜀1

. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, sehingga memenuhi

lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1

dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�, dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛

yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ adalah

barisan irasional yang mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan

max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�.

Teorema 2.4.2 [7] Diberikan 𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 adalah dua bilangan real positif dengan

𝑆𝑆 > 1. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah dua barisan bulat positif dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞ tidak turun dan memenuhi lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1 dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , dan untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽 berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝛽𝛽�, maka barisan �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ merupakan

barisan irasional dengan ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan

max(2, 𝑆𝑆). Bukti:

Untuk membuktikannya akan digunakan cara kontradiksi. Andaikan 𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞ ) < 𝑆𝑆, dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }, maka haruslah

𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ ) < 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆1; 𝑆𝑆1 ∈ ℝ, 𝑆𝑆1 → 0,

yaitu artinya 𝑆𝑆1 < min �𝑆𝑆 − 1,

𝜀𝜀1 + 𝜀𝜀

� ; ∀𝜀𝜀 ∈ ℝ.

Misalkan 𝑆𝑆1𝑆𝑆

= 𝜀𝜀1, maka 𝑆𝑆𝜀𝜀1 = 𝑆𝑆1.

Untuk 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽�; 𝛽𝛽 ∈ ℝ+, ambil 𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀

1+𝜀𝜀; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+,

maka 𝜀𝜀1 ⊂ 𝛽𝛽. Sehingga berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1�, 𝜀𝜀1 <𝜀𝜀

1 + 𝜀𝜀; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+.

Dari sifat notasi 𝑜𝑜 kecil (little o notation) diketahui bahwa 𝑜𝑜(𝑓𝑓) ⊂ 𝑂𝑂(𝑓𝑓), maka

𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1� ⊂ 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1�, yang artinya untuk 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1� berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�.

Sehingga syarat untuk Teorema 2.4.1 terpenuhi. Artinya �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan irasional dengan

𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ ) ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�.

Karena 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆𝜀𝜀1 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆1,

maka terjadi kontradiksi. Sehingga haruslah 𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ ) ≥ 𝑆𝑆, dan diperoleh

𝜇𝜇({𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ ) ≥ max(2, 𝑆𝑆),

sehingga Teorema 2.4.2 terbukti.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

3

E. Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, apabila ditambah dengan persyaratan baru akan menghasilkan dua akibat. Dua akibat tersebut dijelaskan sebagai berikut:

Akibat 2.5.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀1 dan 𝑆𝑆 bilangan real positif dengan 𝑆𝑆(1 −

𝜀𝜀1) > 2. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, dengan lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1

dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�, maka barisan �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran

keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1). Bukti:

Cara membuktikannya adalah dengan membuktikan bahwa Akibat 2.5.1 bersesuaian dengan Teorema 2.4.1.

Karena {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ memenuhi sifat – sifat: {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, dan lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1, serta

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1� yang sesuai dengan Teorema 2.4.1, maka

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�,

dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }.

Karena 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) > 2; 𝜀𝜀1, 𝑆𝑆 ∈ ℝ+, maka

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1),

sehingga Akibat 2.5.1 terbukti.

Akibat 2.5.2 [7] Diberikan 𝑆𝑆 adalah suatu bilangan real positif dengan

𝑆𝑆 > 2. Jika {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ adalah dua barisan bilangan bulat positif dimana {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, dengan lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1

dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽� untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽, maka

barisan �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran keirasionalan lebih

besar atau sama dengan 𝑆𝑆. Bukti:

Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan bahwa Akibat 2.5.2 bersesuaian dengan Teorema 2.4.2.

Karena {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ memenuhi sifat – sifat: {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, dan lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1, serta

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽� yang sesuai dengan Teorema 2.4.2, maka

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ max(2, 𝑆𝑆),

dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }.

Karena 𝑆𝑆 > 2; 𝑆𝑆 ∈ ℝ+, maka

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ 𝑆𝑆,

sehingga Akibat 2.5.2 terbukti.

F. Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan real yang Berkaitan dengan Barisan Liouville

Selain dua akibat yang telah diuraikan, terdapat dua akibat lain dari kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada

barisan bilangan real, yaitu yang berkaitan dengan barisan Liouville. Uraian mengenai dua akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville tersebut adalah sebagai berikut:

Akibat 2.6.1 [7] Diberikan 𝜀𝜀 dan 𝜀𝜀1 adalah dua bilangan real positif

dengan 𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1+𝜀𝜀

. Juga diberikan dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, dan berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1�. Jika untuk setiap bilangan real positif 𝑆𝑆 berlaku

lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = ∞ dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka barisan �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan

bahwa untuk setiap barisan bilangan bulat positif {𝑐𝑐𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞

jumlahan deretnya

�𝑏𝑏𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

adalah bilangan Liouville. Dari Teorema 2.4.1, terdapat 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, 𝑆𝑆 ∈ ℝ+ sehingga

𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1+𝜀𝜀

dan 𝑆𝑆 > 11−𝜀𝜀1

. Juga terdapat {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞

dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ naik, dan berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1� serta lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1, sehingga

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�,

dimana 𝜇𝜇({𝑥𝑥𝑛𝑛 }) menyatakan ukuran keirasionalan dari barisan {𝑥𝑥𝑛𝑛 }.

Untuk setiap 𝑆𝑆 anggota bilangan real positif, jika lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = ∞, maka

lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 �(𝑆𝑆−1)+1�𝑛𝑛⁄ = ∞.

Ambil 𝑆𝑆 → ∞, maka 𝑆𝑆 − 1 → ∞. Akibatnya lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1, Yang artinya memenuhi Teorema 2.4.1 dan berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1�, sehingga

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ max�2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�.

Karena 𝑆𝑆 sebarang, maka untuk 𝑆𝑆 → ∞ berlaku

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� → ∞. Akibatnya

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� = ∞.

Dari Definisi 2.2.2, ukuran keirasionalan dari barisan �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ didefinisikan sebagai

inf{𝑐𝑐𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞ ∈ 𝛩𝛩 lim sup𝑞𝑞 → ∞,𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁log𝑞𝑞 �

min𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 ��

𝑏𝑏𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

−𝑝𝑝𝑞𝑞

∞

𝑛𝑛=1

��−1

,

untuk setiap {𝑐𝑐𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ barisan bilangan bulat positif.

Karena 𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� = ∞, maka artinya

inf{𝑐𝑐𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞ ∈ 𝛩𝛩 lim sup𝑞𝑞 → ∞,𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁log𝑞𝑞 �

min𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 ��

𝑏𝑏𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

−𝑝𝑝𝑞𝑞

∞

𝑛𝑛=1

��−1

= ∞,

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

4

untuk ∀𝑐𝑐𝑛𝑛 ∈ ℕ. Akibatnya lim sup

𝑞𝑞 → ∞,𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁log𝑞𝑞 �min𝑝𝑝 ∈ 𝑁𝑁 ��

𝑏𝑏𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

−𝑝𝑝𝑞𝑞

∞

𝑛𝑛=1

��−1

= ∞,∀𝑐𝑐𝑛𝑛 ∈ ℕ.

Sesuai dengan Definisi 2.1.3, maka persamaan tersebut menunjukkan bahwa

�𝑏𝑏𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

merupakan bilangan Liouville. Sehingga �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞

merupakan barisan Liouville dan Akibat 2.6.1 terbukti.

Akibat 2.6.2 [7] Diberikan 𝜀𝜀 adalah suatu bilangan real positif. Juga

diberikan dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan

{𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, dan untuk setiap bilangan real positif 𝛽𝛽 berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝛽𝛽�. Jika untuk setiap bialngan real positif 𝑆𝑆 berlaku

lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = ∞ dan untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛𝑛 yang cukup besar berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka barisan �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukkan

bahwa Akibat 2.6.2 memenuhi semua syarat pada Akibat 2.6.1, sehingga �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan Liouville.

Karena telah memenuhi untuk lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = ∞; 𝑆𝑆 ∈ℝ+ dan 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka akan dibuktikan memenuhi

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�, 𝜀𝜀1 <

𝜀𝜀1 + 𝜀𝜀

; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+.

Ambil 𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1+𝜀𝜀

; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+, maka 𝜀𝜀1 ⊂ 𝛽𝛽. Sehingga berlaku

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�, 𝜀𝜀1 <

𝜀𝜀1 + 𝜀𝜀

; 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1 ∈ ℝ+. Dari sifat notasi 𝑜𝑜 kecil (little o notation) diketahui

𝑜𝑜(𝑓𝑓) ⊂ 𝑂𝑂(𝑓𝑓), sehingga 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1� ⊂ 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1�. Artinya untuk 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛

𝜀𝜀1� berlaku 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�.

Sehingga syarat untuk Akibat 2.6.1 terpenuhi, dan berakibat �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan Liouville. Artinya

Akibat 2.6.2 terbukti.

G. Proposisi – Proposisi yang Berkaitan dengan Akibat – Akibat Kriteria Batas Bawah Ukuran Keirasionalan pada Barisan Bilangan Real

Akibat dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan barisan bilangan real tersebut apabila diaplikasikan pada barisan tertentu dengan syarat khusus akan menghasilkan beberapa proposisi. Berikut disajikan beberapa proposisi yang berkaitan dengan akibat – akibat tersebut.

Proposisi 1

Diberikan K suatu bilangan bulat positif dengan 𝐾𝐾 �1 −1

log 2 𝑒𝑒� > 2. Jika lcm(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛) menyatakan least

common multiply atau kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , maka barisan

�lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛) + 𝑛𝑛

2(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛 + 𝑛𝑛2 �𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝐾𝐾 �1 − 1

log 2 𝑒𝑒�.

Bukti: Dari barisan �lcm(1,2,…,(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛 )+𝑛𝑛

2(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛+𝑛𝑛2 �𝑛𝑛=1

∞ diketahui terdapat dua

barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛=lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛) + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛 + 𝑛𝑛2.

Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi: 1. lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1

2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�.

Untuk syarat 1, lim sup𝑛𝑛 → ∞ (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛) + 𝑛𝑛)1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄

= inf sup𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛) + 𝑛𝑛)1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄

= inf𝑘𝑘 ≥ 1(lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘) + 𝑘𝑘)1 (𝑆𝑆+1)𝑘𝑘⁄

= (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘) + 𝑘𝑘)1 (𝑆𝑆+1)𝑘𝑘⁄ ; 𝑘𝑘 ≥ 1 Karena kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat

positif adalah bilangan bulat positif, maka lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 +1)𝑘𝑘) ≥ 1, sehingga lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘) + 𝑘𝑘 > 1, dan berakibat (lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑘𝑘) + 𝑘𝑘)1 (𝑆𝑆+1)𝑘𝑘⁄ > 1, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1� artinya terdapat suatu

bilangan real M sehingga |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1 �. Karena untuk

𝑎𝑎𝑛𝑛=lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛) + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛 + 𝑛𝑛2 terdapat suatu bilangan real M yang memenuhi �2(𝐾𝐾+1)𝑛𝑛 + 𝑛𝑛2� ≤ 𝑀𝑀|(lcm(1,2, … , (𝐾𝐾 + 1)𝑛𝑛) + 𝑛𝑛)𝜀𝜀1 |

|𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1 �,

maka syarat 2 terpenuhi. Karena memenuhi kedua syarat, maka contoh tersebut

bersesuaian dengan Akibat 2.5.1, yaitu

𝐾𝐾 �1 −1

log2 𝑒𝑒� > 2 ≅ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) > 2,

yang artinya 𝑆𝑆 = 𝐾𝐾 dan 𝜀𝜀1 = 1log 2 𝑒𝑒

. Sehingga sesuai dengan Akibat 2.5.1

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)

= 𝐾𝐾 �1 − 1log 2 𝑒𝑒

�, dan proposisi tersebut terbukti.

Proposisi 2 Diberikan S suatu bilangan bulat positif dengan 𝑆𝑆 > 2.

Jika diasumsikan 𝜋𝜋(𝑥𝑥) adalah bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan x, maka barisan

{𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛)! + 1}𝑛𝑛=1∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan S. Bukti:

Dari barisan {𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛)! + 1}𝑛𝑛=1∞ diketahui terdapat

dua barisan bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛}𝑛𝑛=1

∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛=𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛)! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1.

Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi: 1. lim sup

𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄ > 1

2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽�.

Untuk syarat 1,

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

5

lim sup𝑛𝑛 → ∞ (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛)! + 1)1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄

= inf sup𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛)! + 1)1 (𝑆𝑆+1)𝑛𝑛⁄

= inf𝑘𝑘 ≥ 1(𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘)! + 1)1 (𝑆𝑆+1)𝑘𝑘⁄

= (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘)! + 1)1 (𝑆𝑆+1)𝑘𝑘⁄ ;𝑘𝑘 ≥ 1. Karena bilangan prima terkecil adalah 2, maka 𝜋𝜋((𝑆𝑆 +

1)𝑘𝑘)! > 1, sehingga 𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘)! + 1 > 1, dan berakibat (𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑘𝑘)! + 1)1 (𝑆𝑆+1)𝑘𝑘⁄ > 1, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽� artinya ∀𝜀𝜀 > 0 ∃𝑁𝑁 ∋ |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤

𝜀𝜀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽 �;∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁, atau untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0 berlaku lim

𝑛𝑛 → ∞𝑏𝑏𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽 = 0.

Karena untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛=𝜋𝜋((𝑆𝑆 + 1)𝑛𝑛)! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1 berlaku 𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽 > 𝑏𝑏𝑛𝑛 , maka

lim𝑛𝑛 → ∞

1(𝜋𝜋((𝑆𝑆+1)𝑛𝑛 )!+1)𝛽𝛽

= 0 lim

𝑛𝑛 → ∞𝑏𝑏𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽 = 0,

maka syarat 2 terpenuhi. Karena memenuhi kedua syarat, maka contoh tersebut

bersesuaian dengan Akibat 2.5.2, yaitu 𝑆𝑆 > 2 ≅ 𝑆𝑆 > 2.

Sehingga sesuai dengan Akibat 2.5.2

𝜇𝜇 ��𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞� ≥ 𝑆𝑆,

dan proposisi tersebut terbukti.

Proposisi 3 Diberikan 𝐾𝐾 adalah suatu bilangan bulat positif dengan

𝐾𝐾 > 3. Juga diberikan [𝑥𝑥] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 𝑥𝑥, maka barisan

�2𝑛𝑛+(𝐾𝐾+1)22[log 2 log 2 𝑛𝑛 ]

+ 𝑛𝑛2

21+(𝐾𝐾+1)22[log 2 log 2 𝑛𝑛 ]+ 𝑛𝑛

�

𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 2𝐾𝐾

3.

Proposisi 4 Diberikan 𝐾𝐾 adalah suatu bilangan bulat positif dengan

𝐾𝐾 > 2, maka barisan

�2𝑛𝑛+(𝐾𝐾+1)22[log 2 log 2 𝑛𝑛 ]

+ 𝑛𝑛!

2𝜋𝜋�(𝐾𝐾+1)22[log 2 log 2 𝑛𝑛 ]

�+ 𝑛𝑛𝑛𝑛

�

𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝐾𝐾.

Proposisi 5 Barisan

�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛2𝑛𝑛 ! + 𝑛𝑛!

�𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville. Bukti:

Dari barisan �2(2𝑛𝑛 )!+𝑛𝑛2𝑛𝑛 !+𝑛𝑛 !

�𝑛𝑛=1

∞ diketahui terdapat dua barisan

bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞

tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛=2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 ! + 𝑛𝑛!. Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi:

1. lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = ∞, 𝑆𝑆 ∈ ℝ+

2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1�.

Untuk syarat 1, lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = lim sup𝑛𝑛 → ∞�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

= inf sup𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

Karena untuk 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘, maka berakibat �2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛� ≥ �2(2𝑘𝑘)! + 𝑘𝑘�,

dan berlaku

�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

≥ �2(2𝑘𝑘)! + 𝑘𝑘�1 𝑆𝑆𝑘𝑘⁄

,

sehingga barisan ��2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

�𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan

naik. Kemudian ambil sebarang 𝑀𝑀 ∈ ℝ,𝑀𝑀 > 0, maka terdapat 𝑛𝑛 ∈ ℕ sedemikian hingga

�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

> 𝑀𝑀.

Akibatnya ��2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

�𝑛𝑛=1

∞ tak terbatas. Karena

��2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

�𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan dalam ℝ⋇, maka

sup𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄= ∞.

Sehingga lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = lim sup𝑛𝑛 → ∞�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

= inf sup𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘�2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

= inf𝑘𝑘 ≥ 1∞

= ∞, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑂𝑂�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1� artinya terdapat suatu

bilangan real M sehingga |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1 �. Karena untuk

𝑎𝑎𝑛𝑛=2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 ! + 𝑛𝑛! terdapat suatu bilangan real M yang memenuhi

|2𝑛𝑛 ! + 𝑛𝑛!| ≤ 𝑀𝑀��2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛�𝜀𝜀1 �

|𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝜀𝜀1 �,

maka syarat 2 terpenuhi. Karena untuk setiap n m,endekati tak hingga berlaku

2(2𝑛𝑛)! + 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka sesuai Akibat 2.6.1, �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville dan

proposisi terbukti.

Proposisi 6 Barisan

�2(3𝑛𝑛)𝑛𝑛 + 1

2𝑛𝑛𝑛𝑛 + 1�𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville.

Proposisi 7 Barisan

�𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 12𝑛𝑛 ! + 1

�𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville. Bukti:

Dari barisan �𝑛𝑛𝑛𝑛 !+1

2𝑛𝑛 !+1�𝑛𝑛=1

∞ diketahui terdapat dua barisan

bilangan bulat positif {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞ dan {𝑏𝑏𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1

∞ dengan {𝑎𝑎𝑛𝑛 }𝑛𝑛=1∞

tidak turun, yaitu 𝑎𝑎𝑛𝑛=𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 ! + 1. Kemudian ditunjukkan bahwa 𝑎𝑎𝑛𝑛 da 𝑏𝑏𝑛𝑛 memenuhi:

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6

6

1. lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = ∞, 𝑆𝑆 ∈ ℝ+

2. 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽�.

Untuk syarat 1, lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = lim sup𝑛𝑛 → ∞

(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

= inf sup𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘

(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ Karena untuk 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘, maka berakibat

(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1) ≥ (𝑘𝑘𝑘𝑘! + 1), dan berlaku

(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ ≥ (𝑛𝑛𝑘𝑘 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑘𝑘⁄ , sehingga barisan �(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ �

𝑛𝑛=1

∞ merupakan barisan

naik. Kemudian ambil sebarang 𝑀𝑀 ∈ ℝ,𝑀𝑀 > 0, maka terdapat 𝑛𝑛 ∈ ℕ sedemikian hingga

(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ > 𝑀𝑀. Akibatnya �(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ �

𝑛𝑛=1

∞ tak terbatas. Karena �(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! +

11𝑆𝑆𝑛𝑛𝑛𝑛=1∞ merupakan barisan dalam ℝ⋇, maka sup𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = ∞.

Sehingga lim sup𝑛𝑛 → ∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛

1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄ = lim sup𝑛𝑛 → ∞

(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

= inf sup𝑘𝑘 ≥ 1 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘

(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)1 𝑆𝑆𝑛𝑛⁄

= inf𝑘𝑘 ≥ 1∞

= ∞, sehingga syarat 1 terpenuhi.

Untuk syarat 2, 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑜𝑜�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽� artinya ∀𝜀𝜀 > 0 ∃𝑁𝑁 ∋ |𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤

𝜀𝜀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽 �;∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁. Karena untuk 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1 dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 ! +

1 terdapat suatu bilangan real N yang memenuhi |2𝑛𝑛 ! + 1| ≤ 𝜀𝜀�(𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1)𝛽𝛽 �

|𝑏𝑏𝑛𝑛 | ≤ 𝜀𝜀�𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽 �,

Untuk setiap 𝜀𝜀 > 0, maka syarat 2 terpenuhi. Karena untuk setiap n m,endekati tak hingga berlaku

𝑛𝑛𝑛𝑛 ! + 1 > 𝑛𝑛1+𝜀𝜀 , maka sesuai Akibat 2.6.2, �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville dan

proposisi terbukti.

Proposisi 8 Barisan

�2(𝑛𝑛+1)! + 1

2𝑛𝑛 ! + 1�𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville.

IV. PENUTUP

A. Kesimpulan a. Dari definisi kriteria keirasionalan, barisan bilangan real,

dan ukuran keirasionalan dapat ditentukan dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, yaitu: 1. Jika diberikan 𝜀𝜀, 𝜀𝜀1, dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif

dengan 𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1+𝜀𝜀

dan 𝑆𝑆 > 11−𝜀𝜀1

, maka �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞

mempunyai ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan max �2, 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1)�. [Teorema 3.4.1]

2. Jika diberikan 𝜀𝜀 dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 1, maka �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran

keirasionalan lebih besar atau sama dengan max (2, 𝑆𝑆). [Teorema 3.4.2]

b. Dari dua kriteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dapat ditentukan dua akibat sebagai berikut: 1. Jika diberikan 𝜀𝜀1 dan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif

dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1) > 2, maka �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ mempunyai

ukuran keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆(1 − 𝜀𝜀1). [Akibat 3.5.1]

2. Jika diberikan 𝑆𝑆 adalah bilangan real positif dengan 𝑆𝑆 > 2, maka �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ mempunyai ukuran

keirasionalan lebih besar atau sama dengan 𝑆𝑆. [Akibat 3.5.2]

c. Dari dua krirteria batas bawah ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real dapat ditentukan dua akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville sebagai berikut: 1. Jika diberikan 𝜀𝜀 dan 𝜀𝜀1 adalah bilangan real positif

dengan 𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1+𝜀𝜀

, maka �𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞ adalah Liouville.

[Akibat 3.6.1] 2. Jika diberikan 𝜀𝜀 adalah bilangan real, maka �𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛�𝑛𝑛=1

∞

adalah Liouville. [Akibat 3.6.2]

B. Saran Pada penelitian ini hanya dikaji dua kriteria batas bawah

ukuran keirasionalan pada barisan bilangan real, akibat – akibatnya, dan akibat – akibat yang berkaitan dengan barisan Liouville dengan beberapa asumsi. Oleh karena itu penelitian ini dapat dikembangkan lebih lanjut dengan mengubah atau meminimalisir asumsi – asumsi yang ada.

DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle, R. G., Sherbert, D. R. “Introduction to Real Analysis”. John

Wiley & Sons. Inc, (1994). [2] Borwein, P. B. “On the Irrationality of ∑ 1/(𝑞𝑞𝑛𝑛 + 𝑟𝑟)”. J. Number

Theory Vol. 37, (1991) Hal. 253-259. [3] Borwein, P. B. “On the Irrationality of Certain Series”. Math. Proc.

Camb. Phil. Soc. Vol. 122, (1992) Hal. 141-146. [4] Duverney, D. “Number Theory An Elementary Introduction Through

Diophantine Problems”. World Scientific, (2010). [5] Erdös, P., Strauss, E.G. “On the Irrationality of Certain

Series”.Pacific Journal of Mathematics Vol. 55, (1974) Hal 85-92. [6] Hančl, J. “Liouville Sequences”. Nagoya Math. J. Vol. 172, (2003)

Hal.173-187. [7] Hančl, J., Filip, F. “Irrationality Measure of Sequences”. Hiroshima

Math. J. Vol. 35, (2005) Hal. 183-195. [8] Hardy, G. H., Wright, E. M. “An Introduction to the Theory of

Numbers, 4th ed”. Oxford: Clarendon Press, (1968). [9] Jain, P. K., dan Gupta, V.P. “Lebesgue Measure and Integration”.

Wiley Eastern Limited, (1986). [10] Sondow, J. “Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a

Theorem of Jarnik”. Journal du Theorie des Nombres Bordeaux, (2003).

[11] MIT. “Big O Notation”. web.mit.edu.