NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET, DAN INDUKSI MATEMATIKA

1. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan . Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka jumlah 43 suku pertama adalah ….A. 2.184 B. 2.084 C. 2.924 D. 1.324 E. 1.314

Solusi: ………………. (1)

Suku tengah

……………….. (2) Dari (1) dan (2) diperoleh

Jadi, jumlah 43 suku pertama adalah 2.924. (Kunci jawaban: C)

2. Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah 45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga ditambah 5, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut adalah….

A. B. C. D. 2 E. 3

Solusi: Misalnya barisan aritmetika adalah Barisan aritmetika menjadi: Barisan geometri: atau bb 20,14,15

1

Kemampuan yang diuji: 1. Menentukan suku ke-n dari deret aritmetika2. Menentukan unsur yang belum diketahui dari hubungan deret aritmetika dan geometri

Rasio barisan geometri

Untuk , maka

Untuk , maka

3. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan ….A. 100 B. 110 C. 140 D. 160 E. 180

Solusi: ………….. (1)

……….. (2) Hasil selisih dari persamaan (2) dan (1) adalah

Jadi, jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan 100. (Kunci jawaban: A)

4. Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 105 cm, maka panjang tali semula adalah ….A. 5.460 cm B. 2.808 cm C. 2.730 cm D. 1.352 cm E. 808 cm

Solusi: dan

Jadi, panjang tali semula adalah 2.808 cm. (Kunci jawaban: B) 5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144.

Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….A. 840 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315Solusi:

………………(1)

……….. (2)Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:

2

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 660. (Kunci jawaban: B)

6. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak yang kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah….A. 60 buah C. 70 buah E. 80 buahB. 65 buah D. 75 buah

Solusi: Anak kedua: …………… (1)

Anak keempat: ………. (2) Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan: b = 4 b = 4 a = 7

= 75 buah

Jadi, jumlah seluruh permen adalah 75 buah. (Kunci jawaban: D)

7. Seseorang mempunyai sejumlah uang yang akan diambil setiap bulan yang besarnya mengikuti aturan barisan aritmetika. Jika pada bulan pertama diambil Rp 1.000.000,00, bulan kedua Rp 925.000,00, bulan ketiga Rp 850.000,00 demikian seterusnya. Jumlah seluruh uang yang telah diambil selama 12 bulan pertama adalah….C. Rp 6.750.000,00 C. Rp 7.175.000,00 E. Rp 7.300.000,00D. Rp 7.050.000,00 D. Rp 7.225.000,00

Solusi: Barisan aritmetika: 1.000.000, 925.000, 850.000, … a = 1.000.000 b = 925.000 1.000.000 = 75.000

= 7.050.000

Jadi, jumlah seluruh uang yang telah diambil selama 12 bulan pertama adalah Rp 7.050.000,00. (Kunci jawaban: B)

8. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp 50.000,00, bulan kedua Rp 55.000,00, bulan ketiga Rp 60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah ….

3

E. Rp 1.315.000,00 C. Rp 2.040.000,00 E. Rp 2.640.000,00F. Rp 1.320.000,00 D. Rp 2.580.000,00

Solusi: Deret aritmetika: 50.000 + 55.000 + 60.000 + … a = 50.000 b = 55.000 – 50.000 = 5.000 n = 12 tahun = 24 bulan

= 2.580.000

Jadi, besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah Rp 2.580.000,00. (Kunci jawaban: D)

9. Suku ke-4 dan suku ke-7 suatu deret aritmetika diketahui berturut-turut adalah 5 dan 14. Jumlah dua puluh lima suku pertama adalah….G. 800 B. 850 C. 1.675 D. 1.700 E. 1.775

Solusi: ……………… (1)

…………… (2) Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan: b = 3 b = 3 a = 4

= 800

Jadi, jumlah dua puluh lima suku pertama adalah 800. (Kunci jawaban: A)

10. Nilai

A. 882 B. 1.030 C. 1.040 D. 1.957 E. 2.060 Solusi:

Perhatikan bahwa bilangan itu merupakan deret aritmetika, dengan a = 4, b = 9 – 4 = 5, n = 21 – 2 + 1 = 20, dan u20 = 99, maka

Jadi, nilai . (Kunci jawaban: B)

4

11. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn = 4n – n2. Beda deret tersebut adalah ...A. 3 B. 2 C. 1 D. –1 E. –2

Solusi:Alternatif 1:Sn = 4n – n2

un = Sn – Sn1 = 4n – n2 – 4(n – 1) + (n – 1)2

= 4n – n2 – 4n + 4 + n2 – 2n + 1 = 5 – 2n

b = un – un1 = 5 – 2n – 5 + 2 (n – 1) = –2 (Kunci jawaban: E)Alternatif 2:Sn = 4n – n2

un = {4 – (–1)} – 2n = 5 – 2nb = –2 (turunan kedua)

12. Jumlah suku n pertama deret aritmetika adalah 12.000 untuk n = 75 maka suku tengah deret itu adalah ….

A. 80 B. 150 C. 155 D. 160 E. 320 Solusi:

Jadi, suku tengah deret itu adalah 160. (Kunci jawaban D)

13. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n2 + 2n. Beda dari deret itu adalah ....A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 E. 3 Solusi:Alternatif 1:Sn = n2 + 2nun = Sn – Sn1 = n2 + 2n – (n – 1 ) 2 – 2 (n – 1) = n2 + 2n – n2 – 2n – 1 – 2n + 2 ) = 2n + 1b = un un 1 = 2n + 1 – {2 (n – 1) +1} = 2n + 1 – 2 n + 2 – 1 = 2Jadi, beda deret itu adalah 2. (Kunci jawaban: B)Alternatif 2: Sn = An2 + Bn un = 2 An + (B – A) b = 2 ASn = n2 + 2n b = 21 = 2 (Kunci jawaban: B)

14. Jumlah deret aritmetika 2 + 5 + 8 +…+ k = 345, maka k =…A.15 B.25 C.44 D.46 E.47Solusi:

a = 2, u2 = 5, dan un = k b = u2 – a = 5 – 2 = 3 un = a + (n 1)b k = 2 + (n 1)3 k = 2 +3n 3

5

k = 3n 1

2070 = k² + 3k +2k² + 3k 2068 = 0(k 44) (k + 47) = 0

k = 44 (diterima) atau k = 47 (ditolak) Jadi, k = 44. (Kunci jawaban: C)

15. Rumus suku ke- n deret aritmetika adalah un = 2n – 17. rumus jumlah n suku pertama adalah ….

A. B. C. D. E.

Solusi:

Alternatif 1: un = 2n – 17 u1 = 2 1 – 17 = 15

Alternatif 2:

Karena untuk n = 1, maka u1 = 2 1 – 17 = 15 dan , berarti .

(Kunci jawaban: D)

16. Suku ke-n suatu deret aritmetika adalah . Jumlah 10 suku pertamanya adalah ….A. B. C. D. 90 D. 170B.

Solusi:

(Kunci jawaban: A)

17. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + … + 99. Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah….A. 950 B. 1.480 C. 1.930 D. 1.980 E. 2.430Solusi:

Jumlah bilangan yang habis dibagi 2 adalah 10 + 12 + 14 + … + 98.

6

a = 10 b = 12 – 10 = 2

Jumlah bilangan yang habis dibagi 2 dan 5 (habis dibagi 10) adalah 10 + 20 + 30 + … + 90 a = 10 b = 20 – 10 = 10

Jadi, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 = 2.430 – 450 = 1980. (Kunci jawaban: D)

18. Suku ke-n barisan Aritmatika dinyatakan dengan rumus . Jumlah 12 suku pertama dari deret yang bersesuaian adalah ….

A. 27 B. 57 C. 342 D. 354 E. 708 Solusi: Alternatif 1:

Alternatif 2:

Jadi, jumlah 12 suku pertama dari deret yang bersesuaian adalah 354. (Kunci jawaban: D)

19. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24. Suku ke-15 = ….

7

A. 11 B. 25 C. 31 D. 33 E. 59 Solusi: dan

………………. (1) ……………... (2) Dari (1) dan (2) diperoleh

Jadi, suku ke-15 adalah 31. (Kunci jawaban: C)

20. Dari deret aritmetika diketahui , maka jumlah 20 suku pertama ( ) sama dengan ….A. 400 B. 200 C. 100 D. 80 E. 50

Solusi:

Jadi, jumlah 20 suku pertama ( ) sama dengan 100. (Kunci jawaban: C)

21. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah . Suku ke-100 deret ini

adalah ...A. 290 B. 292 C. 394 D. 396 E. 398Solusi:

Jadi, suku ke-100 deret ini adalah 290. (Kunci jawaban: A)

22. Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah ….

A. 1.683 B. 1.368 C. 733 D. 315 E. 133

8

Solusi: Bilangan yang habis dibagi 3 adalah 3 + 6 + 9 + … + 99 a = 3 b = 6 – 3 = 3

Jumlah bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 (habis dibagi 15) adalah 15 + 30 + 45 + … + 90 a = 15 b = 30 – 15 = 15

Jadi, jumlah bilangan yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 = 1.683 – 315 = 1.368. (Kunci jawaban: B)

23. Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetika. Jika a adalah suku pertama dan b adalah beda deret itu, maka nilai dari Sn+2 – Sn adalah….A. C. E. B. D.

Solusi: ……………. (1)

………………. (2) Jumlah persamaan (1) dan (2) menghasilkan:

Karena , maka

. (Kunci jawaban: C) 24. Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 7

adalah ….A. 2.382 B. 2.392 C. 2.402 D. 2.412 E. 2.422Solusi:Bilangan yang habis dibagi 4 adalah 4 + 8 + 12 + … + 148

a = 4 b = 8 – 4 = 4

9

Jumlah bilangan yang habis dibagi 4 dan 7 (habis dibagi 28) adalah 28 + 56 + … + 140 a = 28 b = 56 – 28 = 28

Jadi, jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 7 = 2.812 – 420 = 2.392. (Kunci jawaban: B)

25. Seorang pegawai mendapat gaji permulaan $10,000 sebulan. Jika tiap tahun ia mendapat kenaikan $1,000, maka dalam waktu 10 tahun jumlah pendapatan yang diterima pegawai itu adalah ….A. $ 1,680,000 B. $ 1,700,000 C. $ 1,720,000 D. $ 1,740,000 E. $ 1,760,000Solusi:Pendapatan pada tahun ke-1 = 12 10,000 Pendapatan pada tahun ke-2 = 12 11,000 Pendapatan pada tahun ke-3 = 12 12,000 …Pendapatan pada tahun ke-10 = 12 19,000 Jumlah seluruhnya = 12(10,000 + 11,000 + … + 19,000) = 12,000(10 + 11 + … + 19) = 12,000(145) = 1,740,000

Jadi, dalam waktu 10 tahun jumlah pendapatan yang diterima pegawai itu adalah $1,740,000.(Kunci jawaban: D)

26. Jika b, n, dan S berturut-turut adalah beda, banyaknya suku, dan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, maka suku pertama dapat dinyatakan dalam b, n, dan S sebagai ….

A. C. E.

10

10 + 11 + 12 + … + 19 adalah deret aritmetika, dengan , , dan

B. D.

Solusi:

(Kunci jawaban: C)

27. Dari suatu deret aritmetika diketahui jumlah 4 suku pertama sama dengan 17 dan jumlah 8 suku pertama sama dengan 58. Suku pertama deret aritmetika tersebut adalah ….

A. 1 B. C. 2 D. 3 E. 4

Solusi:

……………… (1)

……………. (2)

Jadi, suku pertama deret aritmetika tersebut adalah 2. (Kunci jawaban: C)

28. Dari suatu deret aritmetika diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Jumlah 10 suku yang pertama sama dengan ….A. 98 B. 115 C. 140 D. 150 E. 165 Solusi:

…… (1)

……………… (2) Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:

11

7 3

Jadi, jumlah 10 suku yang pertama sama dengan 165. (Kunci jawaban: E)

29. Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan. Bilangan ini bersama kedua bilangan semula membentuk sebuah deret aritmetika. Jumlah deret aritmetika itu adalah ….A. 952 B. 884 C. 880 D. 816 E. 768Solusi:Alternatif 1:20 + … + 116a = 20

b = 116 – 20 = 96n = 2Banyak suku baru:

Alternatif 2:

Beda baru

Banyak suku baru:

.

Jadi, jumlah deret aritmetika itu adalah 884. (Kunci jawaban: B)

30. Jumlah semua bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi oleh 5 adalah ….A. 8.200 B. 8.000 C. 7.800 D. 7.600 E. 7.400Solusi:Bilangan bulat yang habis dibagi oleh 5 adalah 105 + 110 + 115 + … + 295

a = 105 b = 110 – 105 = 5

Jadi, jumlah semua bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi oleh 5 adalah 7.800. (Kunci jawaban: C)

12

31. Diketahui deret aritmetika Berapakah jumlah sampai suku-n sama dengan nol?

A.2.008 B. 1.008 C. 998 D. 228 E. 108Solusi:

Jadi, jumlahnya adalah 1.008. (Kunci jawaban: B)

32. Seorang pegawai mendapat gaji permulaan $10,000 sebulan. Jika tiap tahun ia mendapat kenaikan $1,000, maka setelah bekerja 10 tahun, maka ia akan menerima gaji sebesar ….A. $ 19,000 B. $ 23,000 C. $ 22,000 D. $ 21,000 E. $ 20,000Solusi:

,

Jadi, setelah bekerja 10 tahun, maka ia akan menerima gaji sebesar $20,000. (Kunci jawaban: E)

33. Bila pembayaran $880 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar $25, $27, $29, dan seterusnya, maka akan lunas dalam ….A. 10 bulan B. 20 bulan C. 35 bulan D. 40 bulan E. 44 bulan Solusi:25 + 27 + 29 + … = 880

, ,

(diterima) atau (ditolak)Jadi, pembayaran itu akan lunas setelah 20 bulan. (Kunci jawaban: B)

13

34. Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika. Apabila suku tengah dikurangi dengan 5, maka terjadilah deret geometri dengan jumlah 70. Jumlah deret aritmetika adalah ….A. 55 B. 60 C. 65 D. 75 E. 85 Solusi:Tiga bilangan membentuk deret aritmetika: .Deret geometri: Jumlah deret geometri = 70

Deret geometri menjadi:

Rasio deret geometri:

Deret aritmetika adalah 10 + 25 + 40 atau 40 + 25 + 10.Jumlah deret aritmetika = 10 + 25 + 40 = 40 + 25 + 10 = 75. (Kunci jawaban: D)

35. Tiga bilangan yang berurutan yang berjumlah 12 merupakan suku-suku deret aritmetika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh suku-suku deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah ….A. 0 atau 24 B. 0 atau 48 C. 12 atau 36 D. 24 atau 36 E. 36 atau 48Solusi:Tiga bilangan membentuk deret aritmetika: .

Deret aritmetikanya sekarang menjadi: Deret geometri: atau

Rasio deret geometri:

Untuk , ketiga bilangan itu adalah 8, 4, 0.Untuk , ketiga bilangan itu adalah 2, 4, 6.Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah atau .(Kunci jawaban: A)

36. Jika suku ke-n deret aritmetika adalah , maka jumlah n suku pertama deret aritmetika itu adalah ….

A. B. C. D. E.

14

Solusi:

Alternatif 1: u1 = 6 1 –7 = 1

Alternatif 2:

Karena untuk n = 1, maka u1 = 6 1 –7 = 1 dan , berarti .

(Kunci jawaban: D)

37. Jumlah n suku pertama dari deret adalah ….

A. C. E.

B. D.

Solusi:Deret berbentuk merupakan deret aritmetika dengan dan

.

(Kunci jawaban: E)

38. Arman berhutang pada Boy sebesar Rp 100.000,00. Arman berjanji untuk membayar kembali hutangnya setiap bulan sebesar Rp 10.000,00 ditambah bunga 2% per bulan dari sisa pinjamannya. Berapakah jumlah bunga yang dibayarkan sampai hutangnya lunas?A. Rp 10.000,00 C. Rp 15.000,00 E. Rp 22.000,00B. Rp 11.000,00 D. Rp 20.000,00Solusi:Bunga 1 = 2% 100.000 = 2.000Bunga 2 = 2% (100.000 – 10.000) = 1.800Bunga 3 = 2% (90.000 – 10.000) = 1.600…Bunga 10 =Bentuk deret 2.000 + 1.800 + 1.600 + … adalah deret aritmetika, dengan

dan

15

Jadi, jumlah bunga yang dibayarkan sampai hutangnya lunas adalah Rp 11.000,00. (Kunci jawaban: B)

39. Jika , maka x = ….

A. B. C. 10 D. 100 E. 1000

Solusi:adalah deret aritmetika, dengan

, , , dan

(Kunci jawaban: B)

40. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmetika. Bila tali yang terpendek 4 cm dan tali yang terpanjang adalah 108 cm, maka panjang tali semula adalah ….A. 160 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 280 cm E. 300 cmSolusi:

, , dan

Jadi, panjang tali semula adalah 280 cm. (Kunci jawaban: D)

41. Dari deret aritmetika 1 + 3 + 5 + 7 + ….diketahui bahwa jumlah n suku pertamanya adalah 225, maka suku ke-n adalah ….A. 25 B. 27 C. 29 D. 31 E. 35 Solusi:

, , dan

16

Jadi, suku ke-n adalah 29. (Kunci jawaban: C)

42. Jumlah n bilangan bulat positif pertama sama dengan ….

A. B. C. D. E.

Solusi:Bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, … , n.

, , dan

Jadi, jumlah n bilangan bulat positif pertama sama dengan . (Kunci jawaban: D)

43. Jumlah n bilangan positif genap yang pertama adalah 306. Dari bilangan-bilangan genap tersebut, jumlah 5 bilangan terakhir adalah ….A. 180 B. 170 C. 160 D. 150 E. 140Solusi:Deret bilangan genap positif: 2 + 4 + 6 + … = 306 merupakan deret aritmetika, dengan

dan

(ditolak) atau (diterima)

Jadi, jumlah 5 bilangan terakhir adalah 150.

44. Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku ke-n dapat dinyatakan oleh . Maka jumlah n suku pertamanya adalah ….

A. B. C. D. E.

Solusi:

17

Alternatif 1: u1 = 3 1 – 1 = 2

Alternatif 2:

Karena untuk n = 1, maka u1 = 3 1 – 1 = 2 dan , berarti .

(Kunci jawaban: A)

45. Penyelesaian yang bulat positif dari persamaan adalah ….

A. 58 B. 115 C. 116 D. 230 D. 231Solusi:

(ditolak) atau (diterima)Jadi, penyelesaian yang bulat positif dari persamaan itu adalah 115. (Kunci jawaban: B)

46. Seorang pemilik kebun, memetik jeruknya setiap hari, dan mencatatnya. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus . Banyaknya jeruk yang dipetik selama 18 hari yang pertama adalah ….A. 4.840 buah B. 4.850 buah C. 4.860 buah D. 4.870 buah E. 4.880 buahSolusi:

Alternatif 1: u1 = 80 + 20 1 = 100

18

Alternatif 2:

Karena untuk n = 1, maka u1 = 80 + 20 1 = 100 dan , berarti .

Jadi, banyaknya jeruk yang dipetik selama 18 hari yang pertama adalah 4.860 buah. (Kunci jawaban: C)

47. Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri dengan pembanding lebih besar satu. Bila suku terakhir dikurangi 3, maka ketiga bilangan itu merupakan barisan aritmetika dengan jumlah 54. Selisih suku ketiga dan suku pertama deret aritmetika ini adalah ….A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 E. 8Solusi:

Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri: , dengan

Barisan aritmetika:

Beda barisan aritmetika:

………….. (1)

…………... (2)Selisih persamaan (1) dan (2) adalah

(diterima) atau (ditolak)

Jadi, selisih suku ketiga dan suku pertama deret aritmetika ini adalah 12. (Kunci jawaban: C)

48. Jumlah tiga suku pertama deret aritmetika 21, sedangkan hasil kalinya 280. Jika semua suku deret aritmetika ini positif, maka jumlah 10 suku pertama deret itu sama dengan ….

19

A. 205 B. 175 C. 170 D. 160 E. 155 Solusi:Deret aritmetika:

(ditolak) atau (diterima)

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret itu sama dengan 205. (Kunci jawaban: A)

49. Diketahui membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan aritmetika, maka suku ketiga harus ditambah dengan ….A. 8 B. 6 C. 5 D. 6 E. 8Solusi:Barisan aritmetika Beda barisan aritmetika:

Jadi, suku ketiga harus ditambah dengan . (Kunci jawaban: E)

50. Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika. Jika suku kedua dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah dengan 2, maka diperoleh deret geometri. Jika suku pertama deret semula ditambah 5, maka ia menjadi setengah suku ketiga. Jumlah deret aritmetika semula adalah ….A. 42 B. 44 C. 46 D. 48 E. 50Solusi:Tiga bilangan membentuk deret aritmetika: .Deret geometri:

Rasio deret geometri:

…………… (1)

……………………… (2)Dari (1) dan (2) diperoleh:

20

Jadi, jumlah deret aritmetika semula adalah 42. (Kunci jawaban: A)

51. Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40 cm, maka keliling segitiga itu adalah …. cm.A. 196 B. 144 C. 106 D. 96 E. 72 Solusi:Misalnya sisi-sisi siku-siku itu adalah =

………….. (1) Menurut Pythagoras: …………. (2) Dari (1) dan (2) diperoleh:

(ditolak) atau (diterima) Jadi, keliling segitiga itu adalah 96 cm. (Kunci jawaban: D)

52. dan adalah akar-akar persamaan kuadrat

. Kedua akar itu bilangan bulat, dan k konstanta. Jika merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika naik, maka jumlah 10 suku pertama barisan itu adalah ….A. 110 B. 105 C. 100 D. 90 E. 80Solusi:

Beda barisan aritmetika:

Barisan aritmetika naik:

21

40a b

a

dan

Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan itu adalah 110. (Kunci jawaban: A)

53. Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sisi siku-siku terpendek 12 cm, maka keliling segitiga itu adalah ….A. 96 cm B. 72 cm C. 64 cm D. 48 cm E. 36 cmSolusi:Misalnya sisi-sisi siku-siku itu adalah =

………………. (1) Menurut Pythagoras: …………. (2) Dari (1) dan (2) diperoleh:

(ditolak) atau (diterima) Jadi, keliling segitiga itu adalah 48 cm. (Kunci jawaban: D)

54. Jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 adalah ….A. 45.692 B. 66.661 C. 73.775 D. 80.129 E. 54.396Solusi:Bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 : 252 + 259 + … + 994.

, , dan

Jadi, jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 adalah 66.661.(Kunci jawaban: B)

55. Pada suatu deret aritmetika suku ke-7 dan suku ke-10 berturut-turut 13 dan 19, maka jumlah 20 suku pertamanya adalah ….A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 E. 500Solusi:

…………... (1)

22

a + b12

a

………….. (2)Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:

Jadi, jumlah 20 suku pertamanya adalah 400.

56. Suatu perusahaan pada tahun kedua memproduksi 9000 unit barang dan pada tahun kesepuluh mencapai 13000 unit barang. Jika kenaikan produksi tiap tahun tetap, maka jumlah produksi barang selama sepuluh tahun pertama adalah ….A. 85000 unit C. 100000 unit E. 115000 unit B. 92250 unit D. 107500 unit Solusi:

…………... (1)

………….. (2)Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:

Jadi, jumlah produksi barang selama sepuluh tahun pertama adalah 107500 unit.(Kunci jawaban: D)

57. Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika, jumlah ketiga bilangan itu 75, sedangkan selisih kuadrat bilangan ketiga dan kuadrat bilangan pertama adalah 700, maka ketiga bilangan itu adalah ….A. 20, 25, 30 C. 5, 25, 45 E. 18, 25, 32B. 10, 25, 40 D. 0, 25, 50Solusi:Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika:

23

Jadi, ketiga bilangan itu adalah 18, 25, 32. (Kunci jawaban: E)

58. Jumlah n suku pertama suatu deret didefinisikan sebagai , maka suku kelima deret

tersebut adalah ….A. 3 B. 1 C. 0 D. 1 E. 3Solusi:Alternatif 1:

Alternatif 2:

Karena , maka berarti

Jadi, . (Kunci jawaban: E)

59. Persamaan mempunyai akar-akar dan , dengan dengan k adalah bilangan

bulat. Jika merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu deret aritmetika, maka

jumlah 10 suku pertama deret aritmetika itu adalah ….A. 200 B. 210 C. 240 D. 300 E. 320Solusi:

……………..… (1)

………………….. (2)

Barisan aritmetika:

……….…… (3)

Substitusikan ke persamaan (1), diperoleh

Substitusikan dan ke persamaan (2), diperoleh

24

(diterima) atau (ditolak)

Untuk , maka dan

Deret aritmetika: 2 + 6 + 10 + …dan

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret aritmetika itu adalah 200. (Kunci jawaban: A)

60. Banyaknya suku suatu deret aritmetika adalah 15 suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret sama dengan 285. Suku pertama deret ini adalah ….A. 9 B. 5 C. 0 D. 3 E. 5Solusi:

, , dan

Jadi, suku pertama deret ini adalah 9. (kunci jawaban: A)

61. Akar-akar persamaan kuadrat , dengan merupakan suku pertama dan suku kedua suatu deret aritmetika, dengan beda positif. Jika kedua akar persamaan itu berbanding sebagai 2 dan 3, maka jumlah 10 suku pertamanya adalah ….A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 E. 140Solusi:

………....… (1)

………………….. (2)

……………… (3)

25

2 (1) + (3):

Substitusikan dan ke persamaan (2), diperoleh

(diterima) atau (ditolak)

Untuk , maka dan

Deret aritmetika: 4 + 6 + 8 + …dan

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret aritmetika itu adalah 110. (Kunci jawaban: B)

62. Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasil kalinya 1536, maka bilangan terbesarnya adalah ….A. 12 B. 16 C. 18 D. 21 E. 24Solusi:Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika:

Barisan aritmetika menjadi: .

Untuk , barisan aritmetika: .Untuk , barisan aritmetika: .Jadi, bilangan terbesarnya adalah 16. (Kunci jawaban: B)

63. Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-1, suku ke-2, dan suku ke-6 merupakan barisan geometri, sedangkan jumlah ketiga suku tersebut sama dengan 42. Maka beda barisan aritmetika itu adalah ….A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 E. 2Solusi:

26

Barisan aritmetika:

Barisan geometri:

Rasionya

(ditolak) atau (diterima)

……………… (1)

………….. (2)Dari (1) dan (2) diperoleh:

Jadi, beda barisan aritmetika itu adalah 6. (Kunci jawaban: B)

64. Akar-akar dari adalah dan semuanya positif dan . Agar berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret aritmetika, maka b adalah ….A. 6 B. 4 C. 2 D. 4 E. 6Solusi:

Barisan aritmetika:

(diterima) atau (ditolak)

Substitusikan dan ke persamaan , diperoleh

27

(Kunci jawaban: E)

65. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut ini: (2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), …

Bilangan yang terletak di tengah pada kelompok ke 15 adalah ….A. 170 B. 198 C. 226 D. 258 E. 290Solusi:

(2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), …

dan

Banyak elemen dari kelompok 1 samapai dengan kelompok 14 berupa barisan aritmetika

Kelompok ke 15 terdiri atas 15 suku

Sehingga suku tengah:

Jadi, bilangan yang terletak di tengah pada kelompok ke 15 adalah 226.

66. Jumlah n suku pertama suatu deret ditentukan oleh rumus , dengan . Maka

suku kesepuluh deret itu adalah ….

A. B. 1 C. D. 2 e.

Solusi:Alternatif 1:

Jadi, suku kesepuluh deret itu adalah 2. (Kunci D)

67. Diketahui barisan aritmetika log 2, log 4, log 8, … Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah ….A. B. C. D. E. Solusi:Barisan aritmetika: log 2, log 4, log 8, …

dan

Jadi, jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah . (Kunci jawaban: D)

28

68. Diketahui dan adalah akar-akar positif persamaan kuadrat . Jika

adalah tiga suku pertama barisan aritmetika, dan adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah ….A. 6 B. 9 C. 15 D. 30 E. 54Solusi:

…………… (1)

…………………(2)

Barisan aritmetika:

Beda

………….. (3)

Barisan geometri:

Rasio

………………. (4)

Dari (3) dan (4) diperoleh:

atau

Kita mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah

, maka

.

(D adalah diskriminan)

Jadi, untuk kasus tersebut di atas diskriminan persamaan kuadrat adalah

. (Kunci jawaban: B)

69. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ….A. 30 B. 16 C. 15 D. 8 E. 4Solusi:Barisan aritmetika:

29

atau Barisan aritmetika: 23, 19, 15, 11, 7 atau 7, 11, 15, 19, 23.Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 23 – 7 = 16. (Kunci jawaban: B)

70. Sebuah deret aritmetika terdiri dari n suku ( n ganjil). Jumlah semua sukunya adalah 90. besar suku tengahnya 10, serta beda deret tersebut adalah 2. Suku kedua dari deret ini adalah ….A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10Solusi:

Jadi, suku kedua dari deret ini adalah 4. (Kunci jawaban: B)

71. Jika suku pertama suatu deret aritmetika adalah 5, suku terakhir adalah 23, dan selisih suku ke-8 dengan suku ke-3 adalah 10, maka jumlah semua suku deret aritmetika itu adalah ….A. 150 B. 145 C. 140 D. 130 E. 120Solusi:

Jadi, jumlah semua suku deret aritmetika itu adalah 140. (Kunci jawaban: B)

30

72. Jika suku ke-n deret aritmetika, dan , maka jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah ….A. 4 B. 5 C. 9 D. 15 E. 24Solusi:

………….. (1)

…………... (2)Selisih persamaan (2) dan (1) adalah

Jadi, jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah 5. (Kunci jawaban: B)

73. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, … disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah ….A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91Solusi:

, ,

Beda baru

Jadi, jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah 84. (Kunci jawaban: C)

74. Suku ke-n barisan aritmetika adalah . Di setiap antara dua sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika, jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah ….A. C. E.

B. D.

Solusi:Brisan aritmetika: 10, 16, 22, …

, ,

Beda baru

31

Jadi, jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah . (Kunci jawaban: A)

75. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio . Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30. Hasil kali ketiga bilangan ini adalah ….A. 64 B. 125 C. 216 D. 343 E. 1000Solusi:Barisan geometri:

Rasio

…………..…….. (1)Barisan aritmetika: Beda

…………. (2)

…… ……. (3)Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh

…………. (4)

………. (5)Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh

atau (ditolak, )

Barisan geometri: 2, 6, 18Jadi, hasil kali ketiga bilangan ini adalah . (Kunci jawaban: C)

76. Barisan merupakan suatu barisan aritmetika. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah ….A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5Solusi:Beda

32

Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 5. (Kunci jawaban: E)

33