Teori Kekonvergenan Monoton pada Integral Lebesgue
-
Upload
dewanti-kumala-sari -
Category
Documents
-
view
45 -
download
7
Transcript of Teori Kekonvergenan Monoton pada Integral Lebesgue
TEOREMA KEKONVERGENAN MONOTON
PADA INTEGRAL LEBESGUE
Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah
Teori Ukuran
Disusun oleh:
Dewanti Kumala Sari
3125120199
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2015
1
DAFTAR ISI
Daftar Isi β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 1
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakangβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 2
1.2 Pembatasan Masalahβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 2
1.3 Rumusan Masalahβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 3
1.4 Tujuan Penulisanβ¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 3
1.5 Manfaat Penulisan β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 3
1.6 Sistematika Penulisan β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 3
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. 4
2.1.1 Teorema Kekonvergenan Terbatas β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 4
2.1.2 Teorema Kekonvergenan Seragam β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. β¦. 4
2.1.3 Teorema Kekonvergenan Vitali β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦.. 4
2.2 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 4
2.2.1 Pembuktian Teorema β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦......... 4
2.2.2 Aplikasi Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue
pada Teorema Lain β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 7
2.2.3 Lemma Fatou β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. 8
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦ 10
3.2 Saran β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ 10
DAFTAR PUSTAKA β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.......... 11
2
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori integral tidak pernah lepas kaitannya dengan kehidupan.
Berbagai permasalahan yang tidak bisa diselesaikan secara langsung,
biasanya diterjemahkan ke dalam bentuk model matematika. Salah satu
metode yang digunakan untuk menyusun dan sekaligus menyelesaikan
model matematika tersebut adalah teori integral. Teori integral yang
biasa dikenal adalah integral Riemann, yang kemudian diperluas
menjadi integral Lebesgue. Sebagai pengembangan dari intergral
Riemann, integral Lebesgue masih tetap memiliki kekurangan.
Kekurangan dari integral Lebesgue adalah banyaknya syarat untuk
mempelajarinya. Sampai pada akhirnya ditemukan teori integral baru,
yang merupakan perluasan dari integral Lebesgue, yakni integral
Denjoy Khusus dan integral Perron. Namun penggunaan definisi
kedua integral tersebut masih dirasakan sulit. Definisi integral yang
baru kemudian disusun oleh Henstock dan Kurzweil dengan cara
konstruktif, sama dengan tipe definisi integral Riemann yang lebih
sederhana dan pembuktian-pembuktian teori integralnya pun menjadi
lebih mudah. Banyak hal yang bisa dipelajari dalam teori integral,
salah satu di antaranya mengenai kekonvergenan barisan fungsi-
fungsi terintegral. Permasalahannya adalah tidak semua barisan
fungsi yang terintegral dan konvergen ke suatu fungsi, fungsi
limitnya terintegral, atau jika terintegral, nilai integralnya belum
tentu sama dengan nilai limit integral barisan fungsinya. Pada makalah
ini akan dibahas mengenai salah satu teorema kekonvergenan yang ada
pada integral Lebesgue yaitu teorema kekonvergen monoton.
1.2 Pembatasan Masalah
Dari latar belakang permasalahan tersebut maka dalam makalah ini
akan difokuskan pada bagaimana pengertian teorema kekonvergenan
monoton pada integral Lebesgue.
3
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah
dipaparkan sebelumnya, maka rumusan masalah pada makalah ini
adalah
1. Apa saja teorema kekonvergenan yang terdapat di dalam integral
Lebesgue?
2. Bagaimana pengertian teorema kekonvergenan monoton pada
integral Lebesgue?
3. Bagaimana aplikasi teorema kekonvergenan monoton pada teorema
lain?
1.4 Tujuan Penulisan
Berdasarkan permasalahan yang telah diuraikan sebelumnya, maka
tujuan pokok dari penulisan makalah ini adalah
1. Mengetahui teorema-teorema kekonvergenan yang terdapat di
dalam integral Lebesgue.
2. Mengetahui pengertian teorema kekonvergenan monoton pada
integral Lebesgue.
3. Mengetahui aplikasi teorema kekonvergenan monoton pada
teorema lain.
1.5 Manfaat Penulisan
Makalah ini diharapkan dapat menambah wawasan bagi penulis dan
pembaca mengenai teorema kekonvergenana pada integral Lebesgue
terutama teorema kekonvergenan monoton Lebesgue.
4
1.6 Sistematika Penulisan
Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri
dari pendahuluan, pembahasan, dan kesimpulan. Pada pendahuluan,
dikemukakan tentang latar belakang masalah, pembatasan masalah,
rumusan masalah, tujuan dan manfaat tugas penulisan makalah. Pada
pembahasan akan dibahas mengenai teorema kekonvergenan monoton
pada integral Lebesgue Pada kesimpulan, memuat kesimpulan dari
seluruh isi makalah. Terakhir, terdapat daftar pustaka pada bagian akhir
makalah.
5
BAB II
PEMBAHASAN
2. 1 Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue
Teorema 2.1.1. (Teorema Kekonvergenan Terbatas)
Diketahui ππ barisan fungsi terukur pada himpunan terukur E
dengan π(πΈ) < β dan ada bilangan π > 0 sehingga |ππ(π₯)| β€ π , untuk
setiap n dan hampir untuk setiap π₯ β πΈ . Jika barisan fungsi ππ konvergen
ke fungsi π hampir dimana-mana pada E, maka (πΏ) β« π = ππππββ
(πΏ) β« πππΈπ
Teorema 2.1.2. (Teorema Kekonvergenan Seragam)
Diketahui fungsi ππ , π: [π, π] β π , π β π dengan ππ terintegral
Lebesgue pada [a,b] untuk setiap n. Jika barisan fungsi ππ konvergen
seragam ke π hampir dimana-mana pada [a,b] maka π terintegral
Lebesgue pada [π, π]dan (πΏ) β« π = ππππββ
(πΏ) β« πππ
π
π
π
Teorema 2.1.3. (Teorema Kekonvergenan Vitali)
Diketahui fungsi ππ βΆ [π, π] β π , βπ β π . Untuk setiap n, ππ
terintegral Lebesgue pada [π, π], dengan πΉπ(π₯) = (πΏ) β« πππ
π. Jika ππkontinu
mutlak seragam pada [π, π]dan ππ konvergen ke fungsi f pada [π, π], maka
π terintegralkan Lebesgue pada [π, π], dan ( ππππββ
(πΏ) β« ππ = (πΏ) β« ππ
π
π
π
2.2 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue
2.2.1 Pembuktian Teorema
Misalkan (ππ) adalah sebuah barisan dari fungsi- fungsi terukur βπ pada
π. Jika :
(a) 0 β€ π1(π₯) β€ π2(π₯) β€ β― β€ β untuk setiap π₯ β π
(b) limπββ
(ππ (π₯)) = π(π₯), untuk setiap π₯ β π
Maka π terukur dan,
6
lim (πββ
β« ππ πππ
) = β« ( ππππββ
ππ) πππ
Bukti :
Misalkan (ππ) adalah sebuah barisan fungsi terukur β π yang
bernilai non negatif pada π, monoton naik dan konvergen titik demi titik
ke fungsi π pada π. Keterukuran dari fungsi f dijamin oleh Teorema 3.2.10.
Untuk selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
ππππββ
(β« πππππ
) = β« ( ππππββ
ππ) πππ
Karena ππ β€ ππ+1 untuk setiap π β π , maka berdasarkan Teorema 4.3.2
diperoleh β« ππ + β« ππ+1 untuk setiap π β π. Selanjutnya,karena barisan (ππ)
monoton naik dan konvergen titik demi titik ke fungsi π maka ππ β€ π
untuk setiap π β π , berdasarkan Teorema 4.3.2 maka β« ππ β€ β« π untuk
setiap π β π. Perhatikan bahwa barisan (β« ππ) monoton naik dan terbatas
oleh β« π, oleh karena itu akan terdapat πΏ β [0, β) sedemikian sehingga
limπββ
(β« πππππ
) = πΏ
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa πΏ = β« ( limπββ
ππ)ππ = β« πππππ
yaitu
dengan menunjukkan bahwa kedua ketidaksamaan berikut berlaku :
(i) πΏ β€ β« πππ dan
(ii) πΏ β₯ β« πππ
Karena πΏ = sup{ππ: π β π} dan β« ππ β€ β« π untuk setiap π β π akibatnya
diperoleh,
πΏ β€ β« ππ
ππ
Maka pertidaksamaan (i) terbukti.
Untuk membuktikan pertidaksamaan (ii) misalkan π adalah sebarang
fungsi sederhana sedemikian sehingga 0 β€ π β€ π dan misalkan π adalah
sebarang konstanta dengan 0 β€ π β€ 1 dan definisikan
7
πΈπ = {π₯: 0 β€ ππ (π₯) β€ ππ(π₯)} dimana π = 1,2,3, β¦
Karena ππ terukur βπ untuk setiap π β π akibatnya himpunan πΈπ terukur
untuk setiap π β π dan karena (ππ) monoton naik maka diperoleh πΈ1 β
πΈ2 β πΈ3 β β― .
Lebih jauh, akan ditunjukkan bahwa π = β πΈπβπ=1 . Untuk itu karena πΈ1 β
π untuk setiap, maka diperoleh β πΈπ β πβπ=1 . Selanjutnya, akan
ditunjukkan bahwa π = β πΈπβπ=1 . Ambil sebarang π₯ β π , jika π(π₯) = 0
maka ππ(π₯) = 0 untuk setiap π β π
dan π (π₯) = 0 dengan demikian π₯ β πΈπ untuk setiap π β π . Selanjutnya jika
π(π₯) > 0 , maka π(π₯) > π (π₯) > ππ (π₯) dan akibatnya ππ(π₯) > ππ (π₯) untuk
setiap π β π yang cukup besar. Hal ini jugamenunjukkan bahwa π₯ β πΈπ
untuk suatu π β π dan akibatnya diperoleh π β β πΈπβπ=1 . Berdasarkan hal
tersebut, dapat disimpulkan bahwa π = β πΈπβπ=1 .
Kemudian perhatikan bahwa,
β« πππππ
β₯ β« πππππΈπ
β₯ β« ππ πππΈπ
Untuk π = 1,2,3, β¦ Dengan demikian diperoleh
limπββ
(β« πππππ
) β₯ limπββ
(β« πππππΈπ
) β₯ limπββ
(π β« π πππΈπ
)
atau dengan kata lain,
πΏ β₯ π β« π πππΈπ
Karena pertidaksamaan ini berlaku untuk setiap π β (0,1) maka diperoleh
πΏ β₯ β« π πππ
Untuk setiap fungsi sederhana terukur π dengan 0 β€ π β€ π sehingga
dengan mengambil supremum atas seluruh s diperoleh
πΏ β₯ β« π πππ
Dengan demikian pertidaksamaan (i) dan (ii) berlaku sehingga dapat
disimpulkan bahwa,
8
limπββ
(β« πππππ
) = πΏ = β« ( limπββ
ππ)πππ
2.2.2 Aplikasi Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue pada
Teorema Lain
Perhatikan bahwa kondisi barisan fungsi terukur non negatif (ππ)
yang harus monoton naik seperti yang disebutkan pada teorema 4.3.4
tidak dapat dihilangkan.
Hal ini seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.
Contoh 1
Untuk setiap π β π,misalkan ππ: [1, β) β [0, β] didefinisikan oleh
1 , jika [ , 1)
( , 1) 0 , jika [ , 1). ( ) ( ) x n n
n n n x n nf x X x
Dapat dilihat bahwa ππ bernilai non negatif untuk setiap π β π , tetapi
barisan fungsi (ππ) tidak monoton naik. Barisan fungsi (ππ) konvergen ke
fungsi π dengan π(π₯) = 0 untuk setiap π₯ β [1, β). Akan tetapi,
β« ππππ[1,β)
= β« π[π,π+1) = π([1,β)
[π, π + 1) β© [1, β)) = 1.
Sehingga
limπββ
(β« ππππ[1,β)
) = 1 β 0 = β« ( ππππββ
ππ)ππ[1,β)
Teorema konvergen monoton Lebesgue juga dapat diaplikasikan untuk
Teorema 4.3.2 seperti yang ditunjukan pada contoh berikut.
Contoh 2
Misalkan diberikan dua buah fungsi π, π: π β [0, β] di mana π dan π
adalah fungsi terukur βπ dan π΄ β π. Misalkan πΌ adalah sebuah konstanta
dengan πΌ > 0. Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton
akan ditunjukkan bahwa
β« (π + π)π΄
ππ = β« πππ +π΄
β« ππππ΄
dan β« πΌππ΄
ππ = πΌ β« ππππ΄
9
Berdasarkan Teorema 3.3.6 terdapat barisan fungsi sederhana (π π) dan
(π‘π) sedemikian sehingga,
0 β€ π’1 β€ π’2 β€ β― dengan ππππββ
π’π = π pada π΄
dan
0 β€ π£1 β€ π£2 β€ β― dengan ππππββ
π£π = π pada π΄
Berdasarkan hal tersebut diperoleh barisan fungsi sederhana (π’π +
π£π) dan (πΌπ’π) dimana
0 β€ π’1 + π£1 β€ π’2 + π£2 β€ β― dengan ππππββ
(π’π + π£π) = π + π
dan
0 β€ πΌπ’1 β€ πΌπ’2 β€ β― dengan ππππββ
πΌπ’π = πΌπ
Berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue diperoleh :
β« (π + π)π΄
ππ = limπββ
(β« (π’π + π£π)πππ΄
) = ππππββ
(β« π’ππππ΄
) +
ππππββ
(β« π£ππππ΄
) = β« πππ + β« ππππ΄π΄
serta
β« πΌππ΄
ππ = ππππββ
(β« πΌπ’ππππ΄
) = πΌ ππππββ
(β« π’ππππ΄
) = πΌ β« ππππ΄
2.2.3 Lemma Fatou
Jika ππ: π β [0, β] adalah fungsi terukur non negatif untuk setiap π β π ,
maka
β« ( limπββ
inf ππ)ππ β€ ππππββ
πππ β« ππππππ
10
Bukti :
Misalkan diberikan sebarang barisan terukur non negatif (ππ) yang
terdefinisi pada X dan definisikan
ππ = inf {ππ, ππ+1, ππ+2 , β¦ . } dengan π = 1,2,3, β¦
Dengan demikian diperoleh bahwa ππ β₯ 0, ππ β€ ππ dan barisan ππ monoton
naik. Berdasarkan Teorema 3.2.10 ππ terukur βπ untuk π = 1,2,3, β¦ dan
limπββ
ππ = limπββ
inf ππ . Dengan menggunakan Teoreman Kekonvergenan
Monoton Lebesgue diperoleh
β« ( limπββ
inf ππ) ππ =π
β« ( limπββ
ππ)πππ
= ππππββ
β« πππππ
= ππππββ
πππ β« πππππ
β€ ππππββ
πππ β« πππππ
11
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dari pembahasan diatas dapat diketahui dan dibuktikan syarat-
syarat cukup yang menjamin fungsi limit dari barisan fungsi terintegral
secara Lebesgue juga terintegral Lebesgue pada [a,b] dan nilai
integralnya sama dengan nilai limit integral barisan fungsinya. Begitu
pula pada pemaparan pembuktian Teorema Kekonvergenan Monoton,
maka terbukti bahwa integral dari barisan yang konvergen sama dengan
integral dari titik konvergennya asalkan syaratnya terpenuhi.
3.2 Saran
Pembahasan mengenai integral Lebesgue sangatlah luas, selain
teorema kekonvergenana monoton masih ada teorema-teorema lain yang
belum dibahas secara lebih mendalam. Untuk itu sebaiknya dalam
pembahasan yang lebih lengkap tentang teorema-teorema kekonvergenan
dalam integral dibahas pula mengenai hubungan antara teorema-
teorema tersebut serta akibat dari setiap teorema.
12
DAFTAR PUSTAKA
[1] Khotimah, Rita P. dkk, 2011, Teorema- Teorema Kekonvergenan pada
Integral Riemann, Lebesgue, dan Henstock, Universitas Muhammadiyah
Surakarta : Prosiding Seminar nasional Matematika 24 Juli 2011
[2] Royden, H.L. dan Fitzpatrick, P.M, 2010, Real Analysis : Fourth
Edition, China : Pearson Education Asia Limited and China Machine
Press.