PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK … · MAPLE diperoleh penyelesaian berupa besaran frekuensi dan...

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN

MASALAH GETARAN TAKLINEAR

TIKA PURWANTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

ABSTRAK

TIKA PURWANTI. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Getaran

Taklinear. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.

Masalah taklinear merupakan masalah yang memuat bentuk taklinear pada model

matematikanya, salah satunya masalah getaran. Secara analitik masalah taklinear ini sulit untuk

diselesaikan, sehingga diperlukan suatu metode pendekatan analitik. Dalam tulisan ini masalah

getaran taklinear diselesaikan menggunakan metode homotopi. Penggunaan metode homotopi

dilakukandengan mendefinisikan fungsi homotopi yang memerlukan parameter bantu untuk

mengontrol daerah kekonvergenan penyelesaian. Penyelesaianyang dihasilkan merupakansuatu

rumus rekursif dengan suatu hampiran awal yang diberikan. Dengan menggunakan software

MAPLE diperoleh penyelesaian berupa besaran frekuensi dan titik keseimbangan yang konvergen

ke suatu nilai. Kekonvergenan dari penyelesaian bergantung pada pemilihan nilai parameter bantu

dalam fungsi homotopi.

Kata kunci: getaran taklinear,parameter bantu, metode homotopi

ABSTRACT

TIKA PURWANTI. The Use of Homotopy Methods to Solve Nonlinear Oscillation Problem.

Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.

Nonlinear problem is a problem that contains nonlinear mathematical equation. One example

of nonlinear problem is oscillation. Nonlinear problem is difficult to solve directly, so it needs an

analytical approach. Homotopy method is one of the known analytical approaches. In this paper,

nonlinear oscillation problem is solved using the homotopy method. The use of homotopy method

is done by defining a homotopy function that requires auxiliary parameters to control the

convergence region of the solution. The solutionis a recursive formula with given initial

conditions. A case study using MAPLE shows that oscillation frequency and the equilibrium

position converge to some certain values. This convergence of solution depends on the selection of

auxiliary parameters in the homotopy function.

Keyword: nonlinear oscillation, auxiliary parameter, homotopy method

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN

MASALAH GETARAN TAKLINEAR

TIKA PURWANTI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Jaharuddin, MS Drs. Ali Kusnanto, M.Si

NIP. 19651102 199302 1 001 NIP. 19650820 199003 1 001

Mengetahui

Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

Judul Skripsi : Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan

Masalah Getaran Taklinear

Nama : Tika Purwanti

NRP : G54080030

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya

sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari

bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak

yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain :

1. Alm. Sunardi (Ayah) dan Sutanti (Ibu) selaku orangtua, Rizal Adi Saputra, adik-adikku

Ichsan Setiawan dan Annisa Fatika atas semua do’a, dukungan, semangat, pengorbanan,

nasihat, perhatian, dan kasih sayang sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah

ini.

2. Dr. Jaharuddin, MS. selaku dosen pembimbing pertamadan Drs. Ali Kusnanto, M.Si

selaku pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, dan bantuannya selama penulisan

karya ilmiah ini.

3. Drs. Siswandi M.Si selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk perbaikan

penulisan karya ilmiah ini.

4. Seluruh dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis.

5. Seluruh staf Departemen Matematika yang telah membantu dalam menyelesaikan karya

ilmiah ini.

6. Keluarga besar Karya Salemba Empat (KSE) atas dukungan dan bantuannya.

7. Teman terbaik Ade Nelvia dan Surya Pratiwi yang selalu memberikan motivasi dan

semangat kepada penulis.

8. Teman-teman Math 45: Ana, Santi, Isna, Dewi, Wulan, Fina, dan semuanya.

9. Teman-teman kost Wisma Ayu.

Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini memiliki kekurangan sehingga perlu masukan.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian

selanjutnya.

Bogor, September 2012

Tika Purwanti

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sukoharjo tanggal 5 Januari 1991 sebagai anak pertama dari tiga

bersaudara dari pasangan Sunardi dan Sutanti. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di

SDN 08 Pagi Cilandak lulus pada tahun 2002, SMPN 37 Jakarta lulus pada tahun 2005, SMAN 34

Jakarta lulus pada tahun 2008 dan pada tahun yang sama penulis di terima di Institut Pertanian

Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah berkecimpung dalam himpunan profesi Gugus

Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf kesekretariatan tahun 2009-2010. Penulis

mendapat beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) periode 2008-2010, beasiswa Karya

Salemba Empat (KSE) periode 2010-2012. Selain itu penulis juga pernah menjadi asisten dosen

untuk mata kuliah Kalkulus II, menjadi pengajar bimbel di sekitar kampus, serta pengajar di

Bimbingan Test Alumni (BTA).

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL .............................................................................................................. ix

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................................... ix

I PENDAHULUAN ........................................................................................................ 1

1.1 Latar Belakang ....................................................................................................... 1

1.2 Tujuan .................................................................................................................... 1

1.3 Sistematika Penulisan ............................................................................................ 1

II LANDASAN TEORI ................................................................................................... 2

2.1 Masalah Nilai Awal ............................................................................................... 2

2.2 Konsep Deret Taylor ............................................................................................. 2

2.3 Persamaan Osilasi Bebas Taklinear ....................................................................... 2

2.4 Metode Homotopi .................................................................................................. 3

2.5 Contoh Kasus ......................................................................................................... 4

III HASIL PEMBAHASAN .............................................................................................. 6

3.1 Analisis Metode ..................................................................................................... 6

3.2 Aplikasi Metode .................................................................................................... 6

3.3 Hasil Numerik ....................................................................................................... 10

IV KESIMPULAN ............................................................................................................ 13

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 14

LAMPIRAN ....................................................................................................................... 15

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Pendekatan analitik hingga orde saat .................................................... 11

2 Pendekatan analitik hingga orde saat ................................................. 12

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Perubahan getaran pada pegas ......................................................................................... 2

2 Perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi dari masalah nilai awal (2.19)

dengan beberapa nilai .................................................................................................. 5

3 Fungsi frekuensi terhadap parameter bantu saat ........................................... 11

4 Fungsi titik keseimbangan terhadap parameter bantu saat ............................. 11

5 Perbandingan penyelesaian numerik denganpenyelesaian dengan metode homotopi

orde ke-2 dan orde ke-9 saat ................................................................................ 11

6 Fungsi frekuensi terhadap parameter bantu saat ....................................... 12

7 Fungsi titik keseimbangan terhadapparameter bantu saat ......................... 12

8 Perbandingan penyelesaian numerik dengan penyelesaian dengan metode homotopi

orde ke-2 dan orde ke-9 saat ............................................................................ 12

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal (2.19) ................................................ 16

2 Penurunan Persamaan (3.28), (3.30), dan (3.31) ........................................................... 18

3 Penurunan Persamaan (3.32) ......................................................................................... 22

4 Penurunan Persamaan (3.36) ......................................................................................... 23

5 Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43) dan Persamaan(3.45)-(3.47) ........................ 25

6 Program Maple untuk Gambar 3 .................................................................................. 29






1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Model matematika dapat digunakan

untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di

alam. Umumnya model matematika tersebut

berupa masalah yang melibatkan persamaan

diferensial taklinear.

Masalah taklinear merupakan masalah

yang memuat bentuk taklinear dan biasanya

digunakan dalam beberapa bidang ilmu seperti

fisika, teknik, dan sebagainya. Contoh dalam

bidang fisikaadalah masalah getaran atau

osilasi. Getaran banyak terjadi pada beberapa

aspek kehidupan manusia. Salah satunya pada

tubuh manusia yaitu osilasi frekuensi rendah

pada jantung dan osilasi frekuensi tinggi pada

telinga. Selain itu, getaran atau osilasi juga

terjadi pada mesin seperti mesin cuci, kipas

angin, dan sebagainya. Penelitian tentang

getaran dilakukan oleh Galileo Galilei yang

berhasil menunjukkan adanya hubungan

antara frekuensi, amplitudo, dan periode

getaran (Balachandran danMagrab 2009).

Getaran atau osilasi merupakan gerak

suatu partikel yang bergerak bolak-balik

melalui lintasan yang sama dalam suatu

periode waktu. Terdapat dua jenis getaran,

yaitu getaran bebas dan getaran paksa.

Getaran paksa merupakan getaran yang terjadi

karena rangsangan gaya luar secara terus

menerus. Jika rangsangan tersebut berosilasi,

maka sistem dipaksa untuk bergetar pada

frekuensi rangsangan. Contoh getaran paksa

adalah getaran gedung pada saat gempa bumi,

sedangkan getaran bebas terjadi jika sistem

dibiarkan bergetar secara bebas setelah diberi

gangguan atau gaya dari luar sistem.Jika gaya

yang diberikan dalam bentuk linear, maka

model matematika dari getaran bebas tersebut

berbentuk linear, sedangkan apabila gaya

yang yang diberikan berbentuk taklinear,

maka model matematika dari getaran bebas

tersebut berbentuk taklinear. Contoh getaran

bebas adalah memukul garpu tala dan

membiarkannya bergetar.

Penyelesaian masalah taklinear biasanya

sulit dilakukan.Terdapat beberapa metode

pendekatan yang bersifat analitik untuk

menyelesaikan masalah taklinear, diantaranya

adalah metode perturbasi. Metode perturbasi

digunakan untuk masalah taklinear yang

mengandung parameter ketaklinearan yang

kecil. Karena tidak semua masalah taklinear

memuat parameter ketaklinearan yang kecil,

maka dikembangkan metodenon-perturbasi

seperti metode dekomposisi Adomian. Metode

dekomposisi Adomian adalah penyelesaian

masalah taklinear yang dinyatakan dalam

suatu deret pangkat dan hanya terdefinisi pada

daerah kekonvergenannya (Adomian 1988).

Namun metode perturbasi dan non-perturbasi

tersebut tidak dapat menentukan cara

sederhana untuk mengontrol kekonvergenan

dari pendekatan daerah penyelesaiannya

(Jianmin dan Zhengcai 2008). Tahun 1992,

Liao menggunakan ide-ide dasar homotopi

dari topologi untuk mengusulkan suatu

metode untuk menyelesaikan masalah

taklinear secara umum yang dinamakan

metode homotopi. Terdapat beberapa

keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid

walaupun masalah taklinear tersebut memiliki

sembarang parameter (Liao 2004). Karya ilmiah ini akan membahas

penyelesaian masalah getaran bebas dengan

ketaklinearan berupa fungsi kuadrat

menggunakan metode homotopi dimana

faktor taklinear tidak perlu diperlemah

sehingga metode homotopi dapat digunakan.

1.2 Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka

tujuan karya ilmiah ini adalah :

a. Mengkonstruksi suatu rumus rekursif

berdasarkan fungsi homotopi yang

melibatkan suatu fungsi bantu untuk

menyelesaikan masalah getaran taklinear

b. Menentukan parameter bantu yang tepat

agar penyelesaian segera mencapai

kekonvergenan.

c. Menggambarkan frekuensi dan simpangan

dari getaran dengan ketaklinearan berupa

fungsi kuadrat.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab.

Bab pertama merupakanpendahuluan yang

berisi latar belakang, tujuan, dan sistematika

penulisan karya ilmiah. Bab kedua merupakan

landasan teori yang berisi beberapa istilah dan

konsep dari metode homotopi untuk

menyelesaikan persamaan getaran bebas

taklinear yang digunakan dalam pembahasan.

Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi

analisis metode homotopi yang akan

digunakan untuk menyelesaikan persamaan

getaran bebas taklinear dan aplikasi berupa

hasil numerik disajikan untuk memperlihatkan

validitas dari metode homotopi. Bab keempat

berisi kesimpulan dari karya ilmiah ini.

2

II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang

mendukung karya ilmiah ini. Teori-teori

tersebut meliputi masalah nilai awal, konsep

dasar deret Taylor, penurunan persamaan

osilasi bebasdan konsep metode homotopi.

2.1 Masalah Nilai Awal

Penyelesaian dari persamaan diferensial

adalah suatu fungsi yang tidak lagi

mengandung turunan-turunan yang memenuhi

persamaan diferensial tersebut. Dalam

penyelesaian persamaan diferensial terdapat

penyelesaian umum dan penyelesaian khusus.

Untuk memperoleh penyelesaian khusus

dibutuhkan suatu syarat awal atau syarat

batas. Masalah nilai awal adalah suatu

masalah untuk menyelesaikan persamaan

diferensial dengan diberikannya suatu nilai

awal. Bentuk umum dari suatu masalah nilai

awal dinyatakan oleh

( )

dengan syarat awal:

Hasil yang diperoleh dari masalah nilai

awal berupa penyelesaian khusus dimana

tidak terdapat lagi konstanta atau variabel

hasil pengintegralan dari persamaan

diferensial.

Selanjutnya masalah nilai batas adalah

suatu masalah untuk menyelesaikan

persamaan diferensial dengan diberikannya

suatu syarat batas pada selang tertentu.

Misalkan diberikan suatu persamaan

diferensial kemudian akan ditentukan suatu

penyelesaian pada daerah dalam selang

dengan dan ,

maka dan merupakan syarat batas.

(Stanley 1994)

2.2 Konsep Deret Taylor

Deret Taylor adalah bentuk khusus dari

suatu fungsi yang dapat digunakan sebagai

pendekatan dari integral suatu fungsi yang

tidak memiliki antiturunan elementer dan

dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial.

Misalkan fungsi sebarang yang dapat

dinyatakan sebagai suatu deret pangkat

sebagai berikut

(2.1)

dengan menyatakan

koefisien deret pangkat dan menyatakan

titik pusatnya.

Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk

deret berikut

( )

0

( )( )

!

nn

n

f ax a

n

(2.2)

maka deret (2.2) disebut deret Taylor dari

fungsi yang berpusat di .

(Kreyszig 1998)

2.3 Persamaan Osilasi Bebas Tak Linear

Persamaan osilasi biasanya digunakan

pada masalah getaran sebuah pegas yang

diregangkan(Halliday 1987).

Tinjau pegas yang terdapat pada Gambar 1.

Mula-mula pegas dalam keadaan diam lalu

diregangkan sepanjang sehingga

menyebabkan gaya pada pegas meningkat.

Hal ini memperlihatkan bahwa adalah gaya

yang sebanding dengan regangan sebesar ,

yaitu

adalah konstanta pegas. Tanda negatif

mengidentifikasi bahwa regangan yang

diberikan berlawanan dengan gaya yang

dihasilkan.

Saat pegas dalam keadaan setimbang

terjadi simpangan sebesar yang diukur

Gambar 1 Perubahan getaran pada pegas.

3

dari keseimbangan. Jika posisi awal

lalu diregangkan sehingga , maka

menurut hukum Hooke, gaya yang bekerja

pada pegas diberikan oleh

(2.3)

Kemudian menurut hukum Newton kedua,

gaya yang yang bekerja pada pegas berbentuk

(2.4)

dengan adalah gaya, massa, dan

merupakan percepatan getaran yang dapat

dituliskan sebagai , maka persamaan (2.4)

menjadi

(2.5)

Dengan menggunakan persamaan (2.3) dan

(2.5), maka didapat persamaan untuk model

getaran pegas dalam bentuk linear berikut

(2.6)

Misalkan terdapat sebarang gaya luar yang

bekerja pada pegas dan bentuknya taklinear

kuadratik, misalnya

[ ] dengan adalah konstanta.

Persamaan (2.6) menjadi

(2.7)

Bentuk umum dari persamaan (2.7) dapat

dituliskan sebagai berikut

[ ]. (2.8)

Secara fisis, getaran bebas merupakan

suatu gerak yang periodik. Misalkan dan

masing-masing adalah frekuensi dan

amplitudo getaran, maka didefinisikan titik

keseimbangan getaran sebagai berikut

∫

dengan periode getaran yang dinyatakan

oleh

Misalkan

dan ,

dengan bernilai tak nol.

2.4 Metode Homotopi

Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar

metode homotopidari (Liao 2004). Misalkan

diberikan persamaan diferensial sebagai

berikut :

[ ] (2.9)

dengan suatu operator turunan taklinear,

variabel bebas dan fungsi yang akan

ditentukan. Selanjutnya didefinisikan pula

suatu operator linear yang memenuhi

[ ] bila (2.10)

Misalkan operator dibagi menjadi dua

bagian, yaitu dan yang masing-masing

merupakan operator linear dan taklinear,

sehingga persamaan diferensial (2.9) menjadi

[ ] [ ]

Misalkan merupakan pendekatan awal

dari persamaan (2.9) dan [ ] suatu

parameter. Didefinisikan suatu fungsi

sebagai berikut :

[ ] [ ] [ ] (2.11)

Berdasarkan persamaan (2.11), maka untuk

dan masing-masing memberikan

persamaan berikut :

[ ] [ ]

dan

[ ] [ ].

Sehingga menurut persamaan (2.9), (2.10),

dan (2.11) diperoleh bahwa fungsi :

dan

masing-masing merupakan penyelesaian dari

persamaan

[ ] dan

[ ]

4

Dengan demikian peningkatan nilai dari 0

ke 1 menyatakan perubahan nilai [ ] dari

[ ] ke [ ]. Dalam topologi hal

ini disebut dengan deformasi.

Untuk menyelesaikan suatu masalah

taklinear diperlukan perluasan konsep dasar

metode homotopi. Perluasan dari konsep dasar

metode homotopi yang telah diuraikan di atas

memerlukan fungsi yang

bergantung pada parameter dan fungsi

. Kemudian akan ditentukan solusi dari

persamaan (2.9) yang akan diperoleh dari

penyelesaian persamaan deformasi orde nol

berikut:

[ ] [ ]

(2.12)

dengan merupakan pemetaan

dari , [ ] merupakan

operator taklinear, serta dan yang masing-

masing merupakan parameter dan fungsi

bantu.

Berdasarkan persamaan (2.12), maka

pada saat dan akan diperoleh:

(2.13)

dan

. (2.14)

Karena parameter bernilai dari sampai ,

maka memetakan dari penduga

awal ke penyelesaian eksak Selanjutnya dengan menggunakan

konsep deret Taylor, dapat

diuraikan menjadi

∑

(2.15)

dengan

|

(2.16)

Kemudian dengan menurunkan

persamaan (2.12) terhadap hingga kali

dan mengevaluasi pada kemudian

dibagi oleh , maka diperoleh persamaan

berikut:

[ ] [ ] (2.17)

dengan

,

[ ]

[ ]

(2.18)

dan 0, 1

1, lainnya.m

m

m

Dengan demikian apabila diberikan masalah

taklinear dengan persamaan diferensial pada

persamaan (2.9), maka dengan metode

homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan

masalah taklinear tersebut sebagai berikut:

∑

dengan diperoleh dari persamaan (2.17)

dan merupakan pendekatan awal dari

penyelesaian persamaan (2.9).

2.5 Contoh Kasus

Untuk lebih memahami penggunaan

metode homotopi, diberikan suatu contoh

masalah taklinear yang dinyatakan dalam

masalah nilai awal berikut :

( ) , (2.19)

dengan nilai awal .

Penyelesaian eksak masalah nilai awal pada

persamaan (2.19) adalah

(

)

Misalkan

[ ]

( )

dan

[ ]

sehingga dengan menggunakan persamaan

(2.17), diperoleh

∫ [ ]

(2.20)

5

dengan [ ] diberikan pada persamaan

(2.18). Karena dan dipilih

pendekatan awal , maka diperoleh

Penurunan diberikan pada Lampiran 1

Perbandingan penyelesaian masalah nilai

awal (2.19) secara eksak dan penyelesaian

dengan metode homotopi diberikan pada

Gambar 2. dengan nilai dan nilai h

berbeda-beda.

Pada Gambar 2 terlihat bahwa penyelesaian

eksak dan penyelesaian menggunakan metode

homotopi cukup mendekati penyelesaian

eksak pada saat h bernilai negatif yaitu ketika

. Sedangkan ketika h bernilai positif

yaitu ketika penyelesaian berubah dengan cepat sehingga tidak

mencapai kekonvergenan. Hal ini

menunjukkan bahwa pemilihan nilai

parameter bantu sangat berpengaruh pada

hasil pendekatan penyelesaian suatu masalah

taklinear.

Gambar 2 Perbandingan penyelesaian eksak

dan metode homotopi dari masalah nilai

awal (2.19) dengan beberapa nilai h.

6

III HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas

penggunaan dari metode homotopi untuk

menyelesaikan suatu masalah taklinear.

Metode homotopi yang diterapkan dalam

karya ilmiah ini mengikuti pustaka pada

(Liao 2004).

3.1 Analisis Metode

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas

masalah nilai awal pada persamaan (2.7)

dengan menggunakan metode homotopi untuk

mencari penyelesaian pendekatannya.

Masalah nilai awal tersebut secara umum

dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan

(2.8). Perluasan metode homotopi lebih lanjut

dapat dituliskan dalam bentuk persamaan

deformasi orde nol berikut :

{ [ ]} [ ]

[ ] (3.1)

Dengan adalah pendekatan awal,

dan masing-masing adalah parameter

bantu dan fungsi bantu kedua, sedangkan

[ ] adalah operator bantu yang

bernilai nol ketika dan yang

dituliskan

[ ] [ ]

Jika dan , maka dari persamaan

(3.1) akan diperoleh

(3.2)

[ ] (3.3)

Selanjutnya karena parameter bernilai

dari 0 sampai 1, maka memetakan dari

penduga awal ke penyelesaian eksak

.

Dengan menggunakan konsep deret

Taylor, dapat diuraikan menjadi

∑

(3.4)

dimana

|

Selanjutnya, dengan menurunkan persamaan

(3.1) terhadap hingga kali kemudian

mengevaluasi pada dan dibagi akan

diperoleh bentuk persamaan orde ke-m

berikut:

[ ] [ ]

(3.5)

dengan

[ ]

[ ]

|

[ ]

|

dan

0, 1

1, lainnya.m

m

m

Untuk , persamaan (3.4)menjadi

∑

(3.6)

Hasil ini menunjukkan adanya hubungan

antara penyelesaian eksak dari persamaan

(2.7) dengan pendekatan awal dan

yang akan ditentukan.

Penyelesaian pendekatan

diperoleh dari persamaan (3.5) dengan

terlebih dahulu menentukan operator linear .

Pemilihan operator linear perlu

memerhatikan validitas dari metode homotopi.

3.2 Aplikasi Metode

Berikut ini akan dibahas mengenai

penggunaan metode homotopi yang telah

diuraikan sebelumnya. Tinjau persamaan

getaran bebas berikut

(3.7)

dengan syarat awal

dan (3.8)

dengan waktu dan suatu konstanta.

7

Untuk menggunakan metode homotopi,

misalkan

dan

sehingga persamaan (3.7) menjadi

[ ] (3.9)

dan syarat awal

(3.10)

Misalkan diberikan fungsi basis berupa

fungsi cosinus berikut: { | } (3.11)

maka penyelesaian dari persamaan (3.9)

berbentuk

∑ (3.12)

dengan adalah koefisien deret.

Berikut ini akan ditentukan penyelesaian

dari masalah nilai awal (3.9) dengan

menggunakan pendekatan metode homotopi.

Operator linear yang dipilih adalah

[ ] *

+

(3.13)

Berdasarkan operator diperoleh

. (3.14)

dimana dan adalah konstanta.

Kemudian dari persamaan (3.9) didefinisikan

operator taklinear sebagai berikut:

[ ]

[ ] (3.15)

dengan [ ] merupakan suatu parameter,

adalah fungsi yang bergantung pada

dan , fungsi yang bergantung

pada . Didefinisikan fungsi homotopi sebagai berikut:

[ ]

[ ] [ ]

{ [ ] [ ] [ ]

}

(3.16)

dengan merupakan pendekatan awal

dari penyelesaian dan fungsi didefinisikan

sebagai berikut:

[ ]

[ ]

yang serupa dengan persamaan (2.8)

Selanjutnya, misalkan fungsi yang akan dibahas adalah penyelesaian dari

persamaan berikut:

2 2; ,Ω ,Δ , , , , , 0q q q H H h h q

atau

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

(3.17)

dengan syarat awal

|

Berdasarkan persamaan (3.17), untuk

diperoleh

, ,

yang masing-masing merupakan pendekatan

awal dari . Kemudian untuk

, diperoleh

, , .

yang merupakan pendekatan analitik dari

, dan dengan metode homotopi.

Berdasarkan nilai awal (3.10) dan

persamaan (3.12), pendekatan awal dari

penyelesaian dipilih berbentuk:

. (3.18)

Pemilihan pendekatan awal tersebut

menjamin adanya fungsi yang dapat

diturunkan hingga kali terhadap .

8

Turunan ke- dari fungsi , , dan terhadap di masing-

masing dinotasikan sebagai berikut:

|

(3.19)

|

(3.20)

|

(3.21)

Deret Taylor dari fungsi , , dan

di sekitar masing-masing adalah

∑

(3.22)

∑

(3.23)

∑

(3.24)

Selanjutnya, dengan pemilihan parameter

bantu , serta fungsi bantu dan

mengakibatkan kekonvergenan dari

persamaan (3.22), (3.23), dan (3.24) di

dan berdasarkan

, , ,

, , ,

maka untuk diperoleh

∑

(3.25)

∑

(3.26)

∑

(3.27)

Hasil ini menunjukkan adanya hubungan

antara penyelesaian eksak dari persamaan

(3.9) dengan pendekatan awal , ,

,dan , yang akan

ditentukan. Persamaan untuk menentukan

diperoleh jika kedua ruas dari

persamaan (3.17) diturunkan terhadap

hingga kali dan dievaluasi pada

kemudian dibagi , maka akan diperoleh

persamaan berikut:

[ ]

[ ]

[ ] (3.28)

dengan syarat awal

(3.29)

dimana

[ ]

[ ]

(3.30)

dan

[ ]

(∑

∑

) [ ( )

( )] (3.31)

dengan

( )

[ ]

dan


Jika persamaan (3.9) disubstitusikan ke

persamaan (3.30) dan (3.31), maka diperoleh

bentuk yang lebih sederhana sebagai

berikut:

[ ]

∑ (∑

)

∑

(3.32)

dan

( ) ∑ ,

(3.33)

0, 1

1, lainnya.m

m

m

9

dengan


Terdapat tiga variabel yang akan

ditentukan yaitu , , dan

ketika atau , , dan

ketika , sedangkan hanya terdapat satu

persamaan yaitu persamaan (3.28) untuk

. Dengan demikian dibutuhkan suatu

persamaan tambahan untuk menentukan

dan ketika atau dan

ketika .

Berdasarkan persamaan (3.12) dan (3.28)

dapat dipilih fungsi bantu dan berikut

, dengan dan bilangan bulat. Untuk

penyederhanaan dipilih ,

sehingga .

Kemudian berdasarkan persamaan

(3.12), ruas kanan persamaan (3.28) dapat

dinyatakan sebagai berikut:

∑

(3.34)

dimana suatu bilangan bulat bergantung

pada m dan merupakan koefisien deret

yang bernilai nol saat .

Berdasarkan persamaan (3.14) diperoleh

penyelesaian dari persamaan (3.28) memuat

bentuk jika . Selain itu ketika

menghasilkan penyelesaian

yang memuat konstanta

. Kedua bentuk

tersebut tidak memenuhi persamaan

(3.12),sehingga dipilih

(3.35)

Jadi penyelesaian masalah nilai awal

persamaan (3.9)-(3.10) berbentuk

∑

dimana dan adalah konstanta integral.


Berdasarkan nilai awal (3.29) diperoleh

. Untuk menjamin bahwa amplitudo

osilasi sama dengan , digunakan

(3.37)

yang juga digunakan untuk menentukan .

Karena terdapat dua parameter yaitu ,

kasus pertama dipilih untuk

mendapatkan solusi hampiran dari

dari persamaan (3.9), sehingga dari persamaan

(3.28) dan (3.35) untuk diperoleh

persamaan aljabar dan sebagai berikut:

(3.38)

dan

. (3.39)

Kemudian dari persamaan (3.38) dan (3.39)

diperoleh

(3.40)

Selanjutnya dari persamaan (3.28) untuk

diperoleh pendekatan orde pertama

berikut

(3.41)

Untuk diperoleh pendekatan orde

kedua berikut

(

)

(3.42)

Untuk diperoleh pendekatan orde

ketiga berikut

(3.36)

(

)

(

)

(3.43)

dan seterusnya.

10

Kemudian untuk nilai diperoleh

pendekatan dan hingga orde tiga dengan

menentukan pendekatan awal dan ,

sebagai berikut:

,

(3.44)

dan dari persamaan (3.28) untuk

diperoleh pendekatan orde pertama berikut:

(3.45)

Kemudian untuk diperoleh

pendekatan orde kedua berikut:

[

]

(3.46)

Saat diperoleh diperoleh pendekatan

orde ketiga berikut:

{

[

]}

{

[

] [

]}

(3.47)

dan seterusnya.

Dengan demikian simpangan getaran,

frekuensi getaran, dan titik keseimbangan

getaran untuk masalah getaran pada

persamaan (3.9) diperoleh pendekatan dalam

bentuk

∑

(3.48)

∑

(3.49)

∑

(3.50)

3.3 Hasil Numerik

Untuk menyelesaikan masalah nilai awal

(3.9) maka berikut ini merupakan langkah-

langkah yang harus dilakukan:

1. Misalkan diberikan penyelesaian

pendekatan awal dari persamaan (3.9)

yaitu

2. Menentukan penyelesaian pendekatan

untuk orde ke M yaitu , , dan

dari persamaan (3.9) dilakukan sebagai

berikut:

i. Menentukan dan dari

persamaan (3.32) dan (3.33) ii. Menentukan dari persamaan

(3.28) iii. Menentukan dan dari

persamaan (3.28) dan (3.35) 3. Menentukan penyelesaian (3.9) dari

persamaan (3.48), (3.49) dan (3.50).

Untuk memperoleh hasil numerik dari

pendekatan dalam penyelesaian persamaan

getaran bebas dengan kudratik taklinear

11

diperlukan nilai dari parameter yang terdapat

pada persamaan getaran tersebut. Pendekatan

penyelesaian persamaan (3.9) konvergen pada

saat √ ketika . Misalkan

dipilih dan Pendekatan dari

nilai frekuensi dan titik keseimbangan

bergantung pada parameter bantu tak nol .

Gambar 3 menunjukkan bahwa penyelesaian

untuk frekuensi dengan metode homotopi

akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya,

jika dipilih pada . Gambar 4

menunjukkan bahwa titik keseimbangan

getaran akan cepat mendekati penyelesaian

eksaknya, jika dipilih pada .

Misalkan dipilih diperoleh hasil

pendekatan analitik dari frekuensi dan titik

keseimbangan getaran dengan , dalam Tabel 1 berikut:

Tabel 1 Pendekatan analitik hingga orde

saat

Orde

ke-

Frekuensi

(ω)

Titik

keseimbangan (δ)

1 0.982209 −0.020416

2 0.982780 −0.020408

3 0.982880 −0.020405

4 0.982893 −0.020404

5 0.982894 −0.020404

6 0.982894 −0.020404

7 0.982894 −0.020404

8 0.982894 −0.020404

9 0.982894 −0.020404

10 0.982894 −0.020404

Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa frekuensi

dan titik keseimbangan mendekatinilai dan .

Kemudian dari hasil tersebut dapat diperoleh

pendekatan penyelesaian dari persamaan

getaran bebas dengan ketaklinearan berbentuk

fungsi kudratpada Gambar 5.

Pada Gambar 5 terlihat bahwa pendekatan

metode Homotopi memiliki hasil yang hampir

sesuai dengan penyelesaian numerik dari

persamaan getaran bebas.

Selanjutnya untuk pendekatan

penyelesaian persamaan (3.9) konvergen pada

saat . Pendekatan dari nilai

frekuensi dan titik keseimbangan

bergantung pada parameter bantu tak nol .

Gambar 6 menunjukkan bahwa penyelesaian

untuk frekuensi dengan metode homotopi

akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya,

jika dipilih pada .2. Gambar 7

menunjukkan bahwa titik keseimbangan

Gambar 3 Fungsi frekuensi 𝜔 terhadap

parameter bantu saat .

Gambar 5 Perbandingan penyelesaian numerik

dengan penyelesaian dengan metode homotopi

orde ke-2 dan orde ke-9 saat .

Gambar 4 Fungsi titik keseimbangan 𝛿

terhadap parameter bantu saat .

12

getaran akan cepat mendekati penyelesaian

eksaknya jika dipilih pada −1.5 −0.2.

Misalkan dipilih diperoleh hasil

pendekatan analitik dari frekuensi dan titik

keseimbangan getarandengan ,

dalam Tabel 2 berikut:

Tabel 2 Pendekatan analitik hingga orde

saat

Orde ke- Frekuensi

(ω) Titik

keseimbangan (δ)

1 0.981727 −0.019950

2 0.982855 −0.020372

3 0.923779 −0.020465

4 0.982816 −0.020485

5 0.982806 −0.020490

6 0.982806 −0.020491

7 0.982806 −0.020491

8 0.982806 −0.020491

9 0.982806 −0.020491

10 0.982806 −0.020491

Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa frekuensi

dan titik keseimbangan getaran mendekati

nilai dan .

Kemudian diperoleh pendekatan penyelesaian

persamaan getaran bebas dengan

ketaklinearan berbentuk fungsi kuadrat

dengan metode Homotopi terlihat pada

Gambar 5 berikut:

Terlihat pada Gambar 8, hasil pendekatan

dengan metode Homotopi dapat sesuai dengan

hasil numerik dari model getaran bebas.

Pemilihan operator bantu dan

memengaruhi kekonvergenan dari

penyelesaian persamaan getaran bebas dengan

ketaklinearan berbentuk kuadrat.

Gambar 8 Perbandingan penyelesaian

numerik dengan penyelesaian dengan metode

homotopi orde ke-2 dan orde ke-9 saat

.

Gambar 6 Fungsi frekuensi 𝜔 terhadap

parameter bantu saat .

Gambar 7 Fungsi titik keseimbangan

terhadap parameter bantu saat .

13

IV KESIMPULAN

Metode homotopi merupakan salah satu

metode untuk menyelesaikan suatu masalah

taklinear. Metode homotopi memerlukan

suatu parameter bantu dan operator linear dan

taklinear yang dipilih berdasarkan model

persamaan yang muncul dalam masalah

tersebut. Parameter bantu dalam metode

homotopi mempengaruhi daerah penyelesaian

masalah taklinear.

Model getaran dengan ketaklinearan

berbentuk kuadrat merupakan salah satu

masalah yang dapat diselesaikan

menggunakan metode homotopi. Persamaan

dalam model getaran tersebut memuat

frekuensi dan titik keseimbangan getaran yang

ditentukan dalam metode ini. Dalam metode

ini, diperoleh suatu rumus rekursif untuk

menentukan frekuensi dan titik keseimbangan

getaran.

Dengan menggunakan software Maple

diperoleh penyelesaian masalah getaran

taklinear serta pendekatan analitik dari

frekuensi dan titik keseimbangan getaran.

Dalam penelitian ini, diperoleh bahwa

semakin tinggi orde yang digunakan maka

hampiran penyelesaian mendekati

penyelesaian eksaknya. Pemilihan parameter

untuk dan memengaruhi daerah

kekonvergenan dari solusi hampiran untuk

frekuensi dan titik keseimbangan getaran. Jika

amplitudo getaran dipilih dan ,

maka parameter dipilih pada

dan untuk medapatkanfrekuensi yang

mendekati penyelesaian eksaknya. Sedangkan

titik keseimbangan getaran memenuhi pada

. dalam hal , pemilihan

pada memberikan nilai

frekuensi yang mendekati penyelesaian

eksaknya, sedangkan untuk

memberikan nilai titik keseimbangan getaran

yang mendekati penyelesaian eksaknya.

14

DAFTAR PUSTAKA

Adomian G. 1988. A review of The

Decomposition Method in Applied

Mathematics. J. Math. Anal. Appl., 135,

501-544.

Balachandran B,Magrab E.2009.

Oscillation 2nd

edition. Nelson Education

Ltd, Kanada.

Jianmin W, Zhengcai C.2008. Nonlinear

oscillations with parametric excitation

solvedby homotopy analysis method.

Acta Mech Sin(24:325–329).

Halliday R. 1987. Fisika Jilid 1.Edisi

Ketiga. P Silaban dan E Sucipto,

penerjemah. Jakarta: Erlangga.

Terjemahan dari: Physics, 3rd Edition.

Kreyszig E. 1998. Advanced Engineering

Mathematics 8th

edition. John Wiley,

New York.

Liao S.2004. Beyond Pertubation:

Introduction to the Homotopy Analysis

Method. Boca Raton, New York

Washington,D.C.

Stanley JF.1994. An Introduction to

Differential Equations and Their

Applications. Mc Graw-Hill Inc, USA.

LAMPIRAN

16

Lampiran 1 Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal (2.19)

Perhatikan masalah nilai awal (2.19) berikut:

( ) ,

Didefinisikan

[ ]

( ) dan [ ]

Dengan menggunakan persamaan (2.20) yaitu

[ ] [ ] diperoleh

[ ] [ ]

atau

∫ [ ]

atau

∫ [ ]

Jika dipilih , maka diperoleh

∫ [ ]

atau

∫

[ ]

Karena dan dipilih pendekatan awal , maka untuk m = 1

∫ [

∫

( )

∫

Untuk m = 2

∫

(

( ))

∫

( )

∫

(

) ( )

∫

17

Dengan cara yang sama untuk nilai m yang lainnya, diperoleh barisan sebagai berikut

.

.

.

Dengan demikian penyelesaian masalah nilai awal (2.19) dengan menggunakan metode homotopi

adalah

atau

18

Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.28), (3.30), dan (3.31)

Tinjau persamaan (3.17) sebagai berikut:

[ ] [ ] [ ] [ ] [

]

atau

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [

]

[

]

Turunan pertama terhadap q dari kedua ruas persamaan (3.17), diperoleh

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[

]

[ ]

Untuk q = 0 kemudian kedua ruas dikalikan

[ ]

|

[ ]

[ ]|

[ ]

|

[ ] [ ] |

[ ]

|

[

] |

Karena dan berdasarkan persamaan (3.19)-(3.21), maka persamaan di

atas menjadi

[

|

]

[ ]|

[

[ ]

|

]

atau

[ ] [ ]|

[ [ ]

|

]

19

Selanjutnya, jika kedua ruas pada persamaan (3.17) diturunkan dua kali (m = 2) terhadap q maka

diperoleh

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

(

)

(

)


[ ]

|

[ ]

|

[ ]

|

[ ]

|

[ ]

|

(

)|

(

)|


atas menjadi

[

|

|

]

[ ]

|

(

[ ]

|

[ ]

|

)

atau

20

[ ] [ ]

|

(

[ ]

|

[ ]

|

)

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, untuk m = 3,diperoleh

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

(

)

(

)


diperoleh

[ ]

|

[ ]

|

[ ]

|

[ ]

|

[ ]

|

(

)|

(

)|


atas menjadi

21

[

|

|

]

[ ]

|

(

[ ]

|

[ ]

|

)

atau

[ ]

[ ]

|

(

[ ]

|

[ ]

|

)

Dengan demikian secara umum diperoleh untuk m = 1,2,3,...

[ ]

[ ]

|

((∑

∑

)

[ ]

|

[ ]

|

)

atau

[ ] [ ] [ ]

dengan

[ ]

[ ]

[ ] (∑ ∑

) [ ( ) ( )]

dan

( )

[ ]

0, 1

1, lainnya.m

m

m

22

Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.32)

Tinjau Persamaan (3.30) berikut:

[ ]

[ ]

dan persamaan (3.15)

Untuk m = 1

[ ] [ ]|

[ ] |

atau

[ ]

[ ]

karena , , dan maka diperoleh

[ ]

[

]

Untuk m = 2

[ ] [ ]

(

[ ] |

)

(

)

*

+|

Berdasarkan persamaan (3.15)-(3.21) diperoleh

[ ] [

]

Dengan demikian secara umum untuk , diperoleh

[ ] ∑ (∑

) ∑

dengan

23

Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.36)

Karena [ ] [

], dan berdasarkan persamaan (3.28) dan (3.34)

berikut

[ ] ∑

maka diperoleh

*

( ) + ∑

atau

( )

( ∑

)

Penyelesaian tak homogen diperoleh dengan metode koefisien tak tentu,

untuk , misalkan

(∑

)

(∑

)

(∑

)

(∑

)

( ∑

)

Jadi,

(∑

)

∑

Untuk ,

( )

(∑

)

(∑

)

24

∑

(∑

)

Misal

(∑

)

(∑

)

(∑

)

(∑

)

(∑

)

(∑

)

∑

(∑

)

(∑

)

(∑

)

∑

∑

dan seterusnya.

Sehingga bentuk sebagai berikut:

∑

Penyelesaian homogennya sebagai berikut:

persamaan karakteristik :

diperoleh penyelesaian

sehingga diperoleh solusi homogennya sebagai berikut

Secara umum bentuk dapat dituliskan sebagai berikut:

∑

25

Lampiran 5. Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43) dan Persamaan (3.45)-(3.47)

Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43)

> restart;

> m:=10:

> V[0]:=a*cos(tau):

> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U):

> k:=1..4:

> if k=1 then chi:=0;

else

chi:=1;

fi:

> p1:=0:

for j from 0 to k-1 do

q:=0:

for i from 0 to j do

q:=q+omega[i]*omega[j-i];

od;

p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2)

od:

> p1:=combine(p1,trig):

> p1:=frontend(expand,[p1]):

> p2:=0:


p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]);

od:



> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2:

> p:=frontend(expand,[p]):

> coef_cos:=coeff(p,cos(tau)):

> q:=indets(p):

> r:=0:

for i from 1 to nops(q) do

if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])) fi;

od;

> r:

> frontend(expand,[r]):

> C:=p-frontend(expand,[r]):

> sol_delta:=solve({C=0},[delta[k-1]]):

> if k=1 then

if (signum(rhs(sol_delta[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then

delta[0]:=rhs(sol_delta[2][1]);

sol_omega:=solve(subs(sol_delta[2],coef_cos),[omega[0]]);

else

delta[0]:=rhs(sol_delta[1][1]);

sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[0]]);

fi;

else

delta[k-1]:=rhs(sol_delta[1][1]);

sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[k-1]]);

fi:

> if k=1 then

if (signum(rhs(sol_omega[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then

omega[0]:=rhs(sol_omega[2][1]);

else

omega[0]:=rhs(sol_omega[1][1]);

26

fi;

else

omega[k-1]:=rhs(sol_omega[1][1]);

fi:

> solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))):

> uSpecial:=0:

> for j from 2 to 5 do

uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau);

od:

> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+h/omega[0]^2*uSpecial+solution):

> v:=unapply(V[k],tau):

> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]):

> appr:=0:

> for i from 0 to 4 do

appr:=appr+V[i];

od:

> gamma:

> appr0:=unapply(appr,(h,gamma,a,tau)):

> omega_appr1:=0:


omega_appr1:=omega_appr1+omega[i];

od:

> omega_appr1:

> omega_appr1:=subs(a=x/gamma,omega_appr1):

> omega_appr1:=unapply(omega_appr1,(h,x)):

> omega_appr2:=0:



od:

> omega_appr2:



> omega_appr3 := 0;

> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i]

end do;

> omega_appr3;

> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3);

> omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x);

> delta_appr1:=0:


delta_appr1:=delta_appr1+delta[i]

od:

> delta_appr1:

> delta_appr1:=delta_appr1*gamma:

> delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1):

> delta_appr1:=unapply(delta_appr1,(h,x)):

> delta_appr2:=0:


delta_appr2:=delta_appr2+delta[i];

od:

> delta_appr2:

> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)):


> delta_appr3 := 0;

> for i from 0 to 3 do delta_appr3 := delta_appr3+delta[i]

od;

> delta_appr3;

> delta_appr3 := subs(a = x/gamma, simplify(delta_appr3*gamma));

27

> delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x);

Program Maple Persamaan (3.45)-(3.47)

> restart:

> m:=10:

> V:=array(0..m):

> V[0]:=a*cos(tau):

> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U):

> h2:=-1:

> delta[0]:=(omega[0]^2-1)/(2*gamma):

> k:=1..3:

> if k=1 then chi:=0;

else

chi:=1;

fi:

> p1:=0:


q:=0:

for i from 0 to j do

q:=q+omega[i]*omega[j-i];

od;

p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2)

od:



> p2:=0:


p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]);

od:



> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2:


> p3:=0:

for j from 0 to k do

p3:=p3+omega[j]*omega[k-j];

od:

> p4:=0:


p4:=p4+omega[j]*omega[k-1-j];

od:

> p4:

> p_omega:=-a*cos(tau)*(p3-chi*p4)*h2:

> p5:=0:

for j from 0 to k do

p5:=p5+delta[j]*delta[k-j];

od:

> p6:=0:


p6:=p6+delta[j]*delta[k-1-j];

od:

> p_delta:=(delta[k]+gamma*p5-chi*(delta[k-1]+gamma*p5))*h2:

> p:=p*h+p_omega+p_delta:


> q:=indets(p):

> nops(q):

> r:=0:

28

> for i from 1 to nops(q) do

if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])); fi

od:

> r:

> C:=p-frontend(expand,[r]):

> coef_cos:=coeff(p,cos(tau)):

> p:=p-frontend(expand,[coef_cos*cos(tau)])-C:

> sol_delta:=solve(C,[delta[k]]):

> sol_omega:=solve(coef_cos,[omega[k]]):

> delta[k]:=rhs(sol_delta[1][1]):

> omega[k]:=rhs(sol_omega[1][1]):

> solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))):

> uSpecial:=0:

> for j from 2 to 4 do

uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau);

od:

> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+1/omega[0]^2*uSpecial+solution):

> v:=unapply(V[k],tau):

> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]):

> V[k]:=frontend(expand,[V[k]]):

> omega[0]:=(1-16/9*a^2*gamma^2)^(1/4):

> omega_appr1:=0:



od:

> omega_appr1:



> omega_appr2:=0:



od:

> omega_appr2:



> omega_appr3 := 0;

> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i]

od;

> omega_appr3;

> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3);

> omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x);

> delta_appr1:=0:


delta_appr1:=delta_appr1+delta[i]

od:

> delta_appr1:

> delta_appr1:=simplify(delta_appr1*gamma):

> delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1):


> delta_appr2:=0:


delta_appr2:=delta_appr2+delta[i];

od:

> delta_appr2:

> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)):


> delta_appr3 := 0;

> for i from 0 to 3 do delta_appr3 := delta_appr3+delta[i]

29

od;

> delta_appr3;

> delta_appr3 := subs(a = x/gamma, simplify(delta_appr3*gamma));

> delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x);

Lampiran 6. Program Mapleuntuk Gambar 3

> appr2 := 0;

> for i from 0 to 8 do appr2 := appr2+omega[i] end do;

> appr3 := unapply(appr2, h, a, gamma);

> plot(appr3(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.5 .. 1.5);

Lampiran 7. Program Maple untuk Gambar 4

> appr1 := 0;

> for i from 0 to 8 do appr1 := appr1+delta[i] end do;


> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.1 .. 0.1);


> with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]);

> solusi := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2];

> solusi1 := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6]+V[7]+V[8]+V[9];

> tau :=0.982894*t;

> grafik := unapply(solusi, h, a, gamma, t);

> grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);

> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = magenta, thickness = 2, linestyle = dash,

legend = HAM_orde_2);

> plot2 := plot(grafik1(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = yellow, thickness = 2, linestyle = dashdot,


> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0;

> ics := u(0) = 0.2-0.87398e-1, (D(u))(0) = 0;

> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric, stiff = true, range = 0 .. 15);

> plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, thickness = 2, legend = numerik);

> plots[display](plot1, plot2, plot3);


> appr1 := 0;

> for i from 0 to 11 do appr1 := appr1+omega[i] end do;


> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -1 .. 1.5);


> appr := 0;

> for i from 0 to 11 do appr := appr+delta[i] end do;

> appr0 := unapply(appr, h, a, gamma);

> plot(appr0(h, .2, 1), h = -2.3 .. 1, -0.05 .. 0.01);

Lampiran 11. Program Mapleuntuk Gambar 8

> with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]);

solusi:=−0.020491V[0]+V[1]+V[2]:

> solusi1 := −0.020491+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6];

> tau := 0.982806*t;

> grafik := unapply(solusi, h, a, gamma, t);

30

> grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);

> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = blue, linestyle = dash, thickness = 2, legend

= HAM_orde_2);

> plot2 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = green, linestyle = dashdot, thickness = 2,


> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0;

> ics := u(0) = 02-0.89363e-1, (D(u))(0) = 0;

> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric,stiff=true, range = 0 .. .1);

> plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, color = red, thickness = 2, legend = numerik);

> plot3;

> plots[display](plot1, plot2, plot3);

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK … · MAPLE diperoleh penyelesaian berupa besaran frekuensi dan...

Documents

Transcript of PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK … · MAPLE diperoleh penyelesaian berupa besaran frekuensi dan...