BAB I

PENDAHULUAN

I. 1 Latar Belakang

Menurut Bartle dan Sherbet (1994), “Analisis matematika”

secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun

oleh berbagai konsep limit. Pada pembahasan sebelumnya kita telah

mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real.

Sebagaimana telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk

khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli.

Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi

bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat

dengan konsep limit dan kekontinuan akan di bahas pada makalah

kami ini.

I. 2 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah selain untuk

memenuhi tugas dalam mata kuliah Matematika Dasar juga agar

kami sebagai mahasiswa juga lebih mengerti mengenai materi Limit

dan kekontinuan.

1

I. 3 Metode Penulisan

Dari banyak metode yang kami–tim penyusun–ketahui, penulisan

makalah ini menggunakan metode kepustakaan. Pada zaman

modern ini metode kepustakaan tidak hanya berarti pergi ke

perpustakaan guna mencari bahan dan materi makalah tapi dapat

pula dilakukan dengan pergi ke warung internet (warnet). Kami

menggunakan metode ini karena jauh lebih praktis, efektif, efisien,

murah serta sangat mudah untuk mencari bahan dan data–data

tentang topik ataupun materi yang kami gunakan untuk makalah ini.

I. 4 Ruang Lingkup

Mengingat keterbatasan waktu dan kemampuan yang kami–tim

penyusun–miliki serta sesuai rujukan materi yang harus dibahasa

dalam makalah ini yang diberikan oleh dosen pengasuh mata kuliah

Pengantar Ilmi Kehutanan yang juga sebagai pemberi tugas, maka

ruang lingkup makalah ini terbatas pada pembahasan limit dan

fungsi khususnya kontinu fungsi disebuah titik dan kontinu fungsi

disebuah selang.

2

BAB II

PEMBAHASAN

II.1 Pengertian Limit

Biasanya, notasi

dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut

1. Jika x mendekati c maka f (x) mendekati L, semakin dekat x kepada

c semakin dekat pula f (x) kepada L.

2. Nilai-nilai f (x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c.

Pada pernyataan pertama, dekatnya f (x) terhadap L disebabkan oleh

dekatnya x kepada c. Pernyataan ini banyak diambil sebagai definisi

limit khususnya bagi mereka yang belum belajar analisis. Padahal

sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk definisi limit.

Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria

dekatnya f (x) terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c.

3

Kemudian, setiap x yang dekat dengan c dalam kriteria ini

mengakibatkan nilai f (x) dekat dengan L.

jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga

untuk setiap x Î Df berlaku

Jika ada maka nilainya tunggal

II.2 Kekontinuan fungsi pada suatu titik

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f

dikatakan tidak kontinu di x=a

4

limx→a

f ( x ) ada

limx→a

f ( x )=f ( a)

5

a

(i)

ºf( a

) t idak a

da

f t idak k o

ntin

u d

i x=

a

6

a

1L2L

Fung

si f(x) tid

ak ko

nti n

u d

i x=

a

7

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada)(lim xf

axL ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iv)

a

f(a)

f(a) ada)(lim xf

ax ada)()(lim afxf

ax

f(x) kontinu di x=2

Ketakkontinuan terhapusKetakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia

º

8

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)( 2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

-

-

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

f(x) tidak kontinudi x=2

9

Kontinu kiri dan kontinu kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=aContoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2)2()(lim

2fxf

x

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1f kontinu kanan di x=2

)2()(lim2

fxfx

1412)2( 2 aaf141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selalu dipenuhi

II.3 Kekontinuan Fungsi pada Suatu Selang

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x)

kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x Î R maka dikatakan f(x) kontinu (

dimana-mana ).

- Fungsi Polinom kontinu dimana-mana

- Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya

10

Misalkan , maka

– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil

– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-40 atau

x 4. f(x) kontinu

kanan di x=4 Sehingga f(x) kontinu pada [4, ∞)

11

f ( x )=√ x−4

limx→4+

f ( x )=limx→4+

√x−4=0=f ( 4 )

BAB III

PENUTUP

III.1 KESIMPULAN

Konsep kekontinuan terkait erta dengan konsep limit, dalam

makalah ini dapat kami simpulkan fungsi f(x) dikatakan kontinu

pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka

f dikatakan tidak kontinu di x=a

Lalu fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila

f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x Î R maka dikatakan f(x) kontinu (

dimana-mana ).

12

limx→a

f ( x ) ada

limx→a

f ( x )=f ( a)

DAFTAR PUSTAKA

Hernadi, J.,_______,. Limit dan Kekontinuan

(

http://julanhernadi.files.wordpress.com/2011/06/ana

lisis_bab3.pdf, diakses pada 27 September 2012)

Cipul, M.,_______,. Limit dan Kekontinuan Fungsi

(http://www.scribd.com/doc/37538477/kalkulus-

Limit-Kekontinuan-Fungsi, diakses pada 27

September 2012)

Tripena, A.,_____,. Limit dan Kekontinuan

(http://dc228.4shared.com/download/aEuLAH9s/LIMI

T_DAN_KEKONTINUAN.ppt?tsid=20120930-205941-

5b383796, diakses pada 26 September 2012)

13