Page | 1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di dalam mata kuliah matematika III terdapat bab yang menjelaskan mengenai

Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n dengan Koefisien Konstan.

Dalam rangka memenuhi proyek akhir mata kuliah matematika III maka dibuatlah

suatu aplikasi untuk memenuhi penyelesaian beberapa persoalan matematika yang secara

khusus mengenai bab Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n dengan

Koefisien Konstan. Software yang kami gunakan dalam pembuatan aplikasi ini adalah

Matlab R2009a Student. Algoritma yang telah kami rancang lalu kami aplikasikan pada

program Matlab, kemudian di uji cobakan dengan membandingkan antara hasil perhitungan

manual dengan hasil dari output program aplikasi ini sehingga terdapat kesesuaian hasil yang

sama dan valid.

Dengan adanya aplikasi ini maka diharapkan untuk menyelesaikan permasalahan

matematika, khususnya Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n Koefisien

Konstan dapat dengan lebih cepat, mudah, dan akurat bagi pengguna aplikasi ini. Para

pengguna aplikasi ini diharapkan dapat mengerti juga cara membuat program ini. Adapun

aplikasi ini dapat dijadikan pembanding untuk mengkalibrasi hasil perhitungan manual

dengan perhitungan hasil operasi program dari aplikasi Persamaan Diferensial Linier Tidak

Homogen Orde n dengan Koefisien Konstan.

1.2 Perumusan Masalah

1. Apakah tujuan dari pembuatan aplikasi ini?

2. Apa Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n dengan Koefisien Konstan?

3. Bagaimana kaidah atau perumusan dalam Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen

Orde n dengan Koefisien Konstan?

4. Bagaimana contoh penyelesaian soal dalam Persamaan Diferensial Linier Tidak

Homogen Orde n dengan Koefisien Konstan?

5. Bagaimana pengaplikasian dalam Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n

dengan Koefisien Konstan?

Page | 2

6. Bagaimana program berjalan dalam menyelesaikan soal Persamaan Diferensial Linier

Tidak Homogen Orde n dengan Koefisien Konstan?

7. Apakah penyajian dari aplikasi ini sudah memudahkan dan membantu pengguna dalam

menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n dengan Koefisien

Konstan?

8. Apakah aplikasi ini dapat dijadikan acuan tetap atau hanya sebatas media pembanding

antara perhitungan manual dengan perhitungan program?

1.3 Tujuan

1. Tujuan dalam pembuatan aplikasi ini adalah untuk membantu mahasiswa menyelesaikan

soal mengenai Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n dengan Koefisien

Konstan dengan mudah menggunakan program bantuan Matlab R2009a Student .

2. Menyajikan aplikasi Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen Orde n dengan

Koefisien Konstan dengan penggunaan yang mudah dan cepat.

3. Sebagai acuan tetap pembantu perhitungan atau sebagai media pembanding antara hasil

perhitungan manual dengan output perhitungan program aplikasi yang dibuat.

Page | 3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Persamaan Diferensial Linear Tidak Homogen dengan Koefien Konstan (PDLTH)

𝑎0

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎1

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥) … … … … … (1)

atau

∅(𝑦) = 𝑓(𝑥)

Dimana : a0, a1, a2, ... an koefisien konstan

Yang membedakan persamaan diferensial linier tidak homogen (PDLTH) dengan

persamaan diferensial linier homogen (PDLH) adalah fungsi ∅(𝑦) = 𝑓(𝑥) tidak bernilai 0.

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier tidak homogen dengan koefisien

konstan diatas, maka diperlukan beberapa langkah untuk menyelesaikannya, yaitu:

Mencari jawab homogen

Mencari jawab khusus

Mencari jawab umum

Catatan :

Apabila pendapatan ∅(𝑦) = 0, maka disebut dengan jawab homogen (yh)

Apabila pendapatan ∅(𝑦) = 𝑓(𝑥) ≠ 0, maka disebut dengan jawab khusus (yk)

Maka jawab umum :

𝑦𝑢 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑘

Untuk mencari jawab homogen maka langkah pertama yaitu dengan membuat ∅(𝑦) = 0

sehingga kita mensubstitusikan persamaan dari ∅(𝑦) = 0 dengan 𝑦 = 𝑒𝑡𝑥 sehingga

diperoleh:

𝑒𝑡𝑥(𝑎0𝑡𝑛 + 𝑎1𝑡𝑛−1 + 𝑎2𝑡𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑡 + 𝑎𝑛 = 0

Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik (PK). Setelah mendapatkan persamaan

karakteristik maka kita perlu mencari akar- akar persamaannya. Kemudian masukan akar-

akar persamaan tersebut kedalam jawaban homogen, namun ada beberapa syarat untuk

mendapatkan jawaban homogennya, yaitu sebagai berikut:

Bila akar- akar persamaan tidak sama (𝑡1 ≠ 𝑡2 ≠ 𝑡3 ≠ ⋯ )

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒𝑡1𝑥 + 𝐶2𝑒𝑡2𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑒𝑡𝑛𝑥

Page | 4

Bila akar- akar persamaan sama (𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡3 = ⋯ )

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒𝑡1𝑥 + 𝑥𝐶2𝑒𝑡2𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛𝐶𝑛𝑒𝑡𝑛𝑥

Bila akar- akar persamaan berupa bilangan komplek (𝑡1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ; 𝑡2 = 𝑎 − 𝑏𝑖)

𝑦ℎ = 𝑒𝑎𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥) 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = (𝐶1 − 𝐶2)𝑖

Untuk mencari jawab khusus dari persamaan diferensial tak homogen ∅(𝑦) = 𝑓(𝑥) ≠ 0,

maka bentuk umumnya adalah :

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 (𝑝0 𝑥𝑚 + 𝑝1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑝𝑚) + 𝑒𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥(𝑞0 𝑥𝑚 + 𝑞1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑞𝑚)

Dimana :

a, b, p0, p1, ..., pm, q0, q1, ..., qm adalah bilangan tetap dan mungkin diantaranya ada

yang sama dengan nol.

(a±ib) bukan akar dari persamaan karakteristik 𝑎0𝑡𝑛 + 𝑎1𝑡𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 0

Maka sebagai fungsi percobaan adalah :

𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 (𝑘0 𝑥𝑚 + 𝑘1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑘𝑚) + 𝑒𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 (𝑙0 𝑥𝑛 + 𝑙1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑙𝑛) .....(2)

Setelah dideferensialkan sebanyak n kali (sesuai dengan orde tertinggi yang diketahui

pada soal), kemudian masing-masing fungsi yang telah dideferensialkan dimasukan ke

dalam persamaan (1), maka dengan demikian harga dari k0, k1, ...., km, l0, l1, ...., ln sudah

dapat dicari. Dimana k0,k1,l0,l1 adalah konstanta.

Apabila a ± ib akar dari lipat h dari persamaan karakteristik, maka fungsi dari percobaan

(2) dikalikan dengan (x)h.

Perlu diingat, apabila a = 0, b = 0, maka fungsi percobaan menjadi :

𝑦 = 𝑒0(𝑘0𝑥𝑚 + 𝑘1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑘𝑛)

𝑦 = (𝑘0𝑥𝑚 + 𝑘1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑘𝑛)

Atau (0 + 0i) adalah bukan akar.

Bila (0+0i) adalah akar dari persamaan karakteristik lipat h jawab percobaan adalah:

𝑦 = (𝑘0𝑥𝑚 + 𝑘1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑘𝑛)𝑥ℎ 1

Page | 5

2.2 Contoh soal:

1. Tentukan jawab umum dari PDLTH berikut ini? (soal aljabar)

𝑦′′ − 4𝑦 = 16 𝑥2

Jawab:

Langkah pertama kita harus mencari jawab homogen terlebih dahulu dengan

mengubah fungsi f(x) menjadi 0.

𝑦′′ − 4𝑦 = 0

Setelah didapat fungsi diatas maka kita mencari akar- akar persamaannya.

Persamaan karakteristik :

𝑡2 − 4 = 0

𝑡2 = 4 → 𝑡1 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑡2 = −2

Karena terdapat dua akar- akar persamaan yang bernilai beda, maka jawab

homogennya adalah:

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥

Setelah mendapatkan jawab homogen, maka langkah senjutnya adalah mencari jawab

khususnya dengan mencari terlelebih dahulu nilai m, a, dan b dari f(x).

𝑦′′ − 4𝑦 = 16𝑥2 → 𝑓(𝑥) = 16𝑥2

𝐷𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡: 𝑚 = 2 , 𝑎 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 0

Kemudian masukan setiap nilai pada:

𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 = 1

𝑒𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 = 0

(O + Oi) adalah bukan akar, sebab tidak sama dengan 𝑡1dan 𝑡2. Sehingga fungsi

percobaannya adalah:

𝑦 = 𝑘0𝑥2 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2

Karena m = 2 maka pangkat dari x mulai dari x2 sampai x0 . Kemudian kita

defferensialkan sebanyak pangkat yang terdapat dari fungsi ø(y). Karena pangkat

tertinggi dari fungsi ø(y) maka kita akan mendefferensialkan fungsi percobaan di atas

sebanyak dua kali.

𝑦′ = 2𝑘0𝑥 + 𝑘1

𝑦′′ = 2𝑘0

Selanjutnya masukan y, y’ dan y’’ kedalam ø(y)=f(x) atau persamaan pada soal.

Kemudian samakan koefisien- koefisien dari setiap pangkat x antara ruas kanan

persamaan dengan ruas kiri persamaan dengan 0.

𝑦′′ − 4𝑦 = 16 𝑥2

2𝑘0 − 4𝑘0𝑥2 − 4𝑘1𝑥 − 4𝑘2 = 16𝑥2

−4𝑘0 = 16 → 𝑘0 = −4

Page | 6

2𝑘0 − 4𝑘2 = 0 → 𝑘2 = 1

4𝑘0 = −2

−4𝑘1 = 0 → 𝑘1 = 0

Masukan nilai dari setiap k pada fungsi percobaan.

𝑦 = 𝑘0𝑥2 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2

𝑦𝑘 = −4𝑥2 − 2

Langkah terakhir kita gabungkan jawab homogen dengan jawab khusus.

𝑦𝑢 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑘

𝑦𝑢 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥 − 4𝑥2 − 2

2. Eksponensial

𝑦" − 9𝑦 = 𝑒4𝑥

Langkah pertama kita harus mencari jawab homogen terlebih dahulu dengan

mengubah fungsi f(x) menjadi 0.

𝑦" − 9𝑦 = 0

Setelah didapat fungsi diatas maka kita mencari akar- akar persamaannya. Persamaan

karakteristik :

𝑡2 − 9 = 0

𝑡1 = 3 𝑡2 = −3

Karena terdapat dua akar- akar persamaan yang bernilai beda, maka jawab

homogennya adalah:

𝑦ℎ = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑒−3𝑥

Setelah mendapatkan jawab homogen, maka langkah senjutnya adalah mencari jawab

khususnya dengan mencari terlelebih dahulu nilai m, a, dan b dari f(x).

𝑓(𝑥) = 𝑒4𝑥

𝑎 = 4, 𝑏 = 0 , 𝑚 = 0

Kemudian masukan setiap nilai pada:

𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 = 𝑒4𝑥

𝑒𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 = 0

(O + Oi) adalah bukan akar, sebab tidak sama dengan 𝑡1dan 𝑡2. Sehingga fungsi

percobaannya adalah:

𝑦 = 𝑒4𝑥𝑘0

Page | 7

Dideferensialkan 2 kali karena diketahui orde tertinggi 2:

𝑦′ = 4𝑒4𝑥𝑘0

𝑦" = 16𝑒4𝑥 𝑘0

Selanjutnya masukan y, y’ dan y’’ kedalam ø(x)=f(x) atau persamaan pada soal.

𝑦" − 9𝑦 = 𝑒4𝑥

16𝑒4𝑥𝑘0 − 9 (𝑒4𝑥𝑘0) = 𝑒4𝑥

7𝑒4𝑥𝑘0 = 𝑒4𝑥

𝑘0 = 1

7

Masuk an nilai dari setiap k pada fungsi percobaan.

𝑦 = 𝑒4𝑥𝑘0

𝑦𝑘 = 1

7 𝑒4𝑥

Sehingga jawab umum :

𝑦𝑢 = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑒−3𝑥 +1

7 𝑒4𝑥

3. Tentukan jawab umum dari PDLTH berikut ini? (soal trigonometri)

𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = sin 2𝑥

Langkah pertama kita harus mencari jawab homogen terlebih dahulu dengan

mengubah fungsi f(x) menjadi 0.

𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0

Setelah didapat fungsi diatas maka kita mencari akar- akar persamaannya.

Persamaan karakteristik :

Persamaan yh

𝑡2 − 3𝑡 + 2 = 0

(𝑡 − 2)(𝑡 − 1) = 0

𝑡 = 2 ; 𝑡 = 1

Karena terdapat dua akar- akar persamaan yang bernilai beda, maka jawab

homogennya adalah:

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥

Page | 8

Setelah mendapatkan jawab homogen, maka langkah senjutnya adalah mencari jawab

khususnya dengan mencari terlelebih dahulu nilai m, a, dan b dari f(x).

Mencari persamaan khusus yk

𝑓(𝑥) = sin 2𝑥

𝑘 = 0; 𝑏 = 2; 𝑚 = 0

Kemudian masukan setiap nilai pada:

𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 = cos 2𝑥

𝑒𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 = sin 2𝑥

Maka fungsi percobaannya adalah:

𝑦 = 𝑘0 cos 2𝑥 + 𝑙0 sin 2𝑥

Karena pangkat tertinggi dari fungsi ø(y) maka kita akan mendefferensialkan fungsi

percobaan di atas sebanyak dua kali.

𝑦 ′ = −2𝑘0 sin 2𝑥 + 2𝑙0 cos 2𝑥

𝑦 ′′ = −4𝑘0 cos 2𝑥 − 4𝑙0 sin 2𝑥

Memasukkan variabel y, y’, dan y’’ ke persamaan awal

𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = sin 2𝑥

−4𝑘0 cos 2𝑥 − 4𝑙0 sin 2𝑥 − 3(−2𝑘0 sin 2𝑥 + 2𝑙0 cos 2𝑥) + 2(𝑘0 cos 2𝑥 + 𝑙0𝑠𝑖𝑛2𝑥) = sin 2𝑥

−4𝑘0 cos 2𝑥 − 4𝑙0 sin 2𝑥 + 6𝑘0 sin 2𝑥 − 6𝑙0 cos 2𝑥 + 2𝑘0 cos 2𝑥 + 2𝑙0𝑠𝑖𝑛𝑥 = sin 2𝑥

−(2𝑘0 + 6𝑙0) cos 2𝑥 + (6𝑘0 − 2𝑙0)sin 2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥

Didapatkanlah :

6𝑘0 − 2𝑙0 = 1 (x2)

−2𝑘0 − 6𝑙0 = 0 (x6)

12𝑘0 − 4𝑙0 = 2

−12𝑘0 − 36𝑙0 = 0

+

−40𝑙0 = 2

𝑙0 =1

−20= −0,05

Page | 9

6𝑘0 − 2𝑙0 = 1

6𝑘0 − 2(0,05) = 1

6𝑘0 − 0,1 = 1

𝑘0 = 0,15

Masukan nilai dari setiap k pada fungsi percobaan.

𝑦𝑘 = (0,15) cos 2𝑥 − (0,05) sin 2𝑥

Langkah terakhir kita gabungkan jawab homogen dengan jawab khusus.

𝑦𝑢 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑘

𝑦𝑢 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥 + 0,15 cos 2𝑥 − 0,05 sin 2𝑥)

2.3 Latihan soal

1. Aljabar

𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ − 4𝑦 = 𝑥2

Persamaan pembantu yh

𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ − 4𝑦 = 0

𝑡2 + 3𝑡 − 4 = 0

𝑡1 = 1 ; 𝑡2 = −4

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−4𝑥

Mencari persamaan khusus yk

𝑓(𝑥) = 𝑥2

𝑎 = 0; 𝑏 = 0; 𝑚 = 2

Fungsi percobaannya adalah

𝑦 = 𝑘0𝑥2 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2

𝑦 ′ = 2𝑘0𝑥 + 𝑘1

𝑦 ′′ = 2𝑘0

Memasukkan variabel y, y’, dan y’’ ke persamaan awal

𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ − 4𝑦 = 𝑥2

2𝑘0 + 3(2𝑘0𝑥 + 𝑘1) − 4(𝑘0𝑥2 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2) = 𝑥2

2𝑘0 + 6𝑘0𝑥 + 3𝑘1 − 4𝑘0𝑥2 − 4𝑘1𝑥 − 4𝑘2 = 𝑥2

−4𝑘0𝑥2 + 6𝑘0𝑥 − 4𝑘1𝑥 + 2𝑘0 + 3𝑘1 − 4𝑘2 = 𝑥2

−4𝑘0𝑥2 = 𝑥2 ; 2𝑘0 + 3𝑘1 − 4𝑘2 = 0

Page | 10

𝑘0 = −1

4 ; 2 (−

1

4) + 3 (−

3

8) − 4𝑘2 = 0

6𝑘0 − 4𝑘1 = 0 ; −1

2−

9

8= 4𝑘2

6 (−1

4) = 4𝑘1 ; −

12

8= 4𝑘2

−3

2= 4𝑘1 ; 𝑘2 = −

3

8

𝑘1 = −3

8

Setelah itu akan ditemukan yk

𝑦𝑘 = −1

4𝑥2 + (−

3

8) 𝑥 −

3

8

= −1

4𝑥2 −

3

8𝑥 −

3

8

Sehingga jawab unmumnya adalah

𝑦𝑢 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑘

𝑦𝑢 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−4𝑥 −1

4𝑥2 −

3

8𝑥 −

3

8

2. Eksponensial

𝑦" + 25𝑦 = 𝑒2𝑥

Mencari jawaban umum

𝑡2 + 25 = 0

𝑡1 = 5 𝑡2 = −5

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒5𝑖 + 𝐶2𝑒−5𝑖

𝑦ℎ = 𝐴 cos 5𝑥 + 𝐵 sin 5𝑥

Mencari jawaban khusus yk

𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥

𝑎 = 4, 𝑏 = 0 , 𝑚 = 0

𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 = 𝑒2𝑥

𝑒𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 = 0

Fungsi percobaannya :

𝑦 = 𝑒2𝑥𝑘0

𝑦′ = 2𝑒2𝑥𝑘0

𝑦" = 4𝑒2𝑥 𝑘0

Page | 11

Masukkan fungsi percobaan ke soal

𝑦" + 25𝑦 = 𝑒2𝑥

4𝑒2𝑥𝑘0 + 25 (𝑒2𝑥𝑘0) = 𝑒2𝑥

29𝑒2𝑥𝑘0 = 𝑒2𝑥

𝑘0 = 1

29

𝑦𝑘 = 1

5 𝑒4𝑥

Sehingga jawab umum :

𝑦𝑢 = (𝐴𝑐𝑜𝑠 5𝑥 + 𝐵 sin 5𝑥) +1

29 𝑒2𝑥

3. Trigonometri

𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥

Mencari jawaban homogeny 𝑦ℎ

𝑡2 − 𝑡 − 2 = 0

(𝑡 − 1)(𝑡 + 1) = 0

𝑡 1 = 1 dan 𝑡 2 = −1

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑥

Mencari jawaban khusus yk

𝑓(𝑥) = 10 cos 𝑥

𝑎 = 10; 𝑏 = 1; 𝑚 = 0

Fungsi percobaan

𝑦 = 𝑘 cos 𝑥 + 𝑙0 sin 𝑥

𝑦′ = −𝑘 sin 𝑥 + 𝑙0 cos 𝑥

𝑦" = −𝑘 cos 𝑥 − 𝑙0 sin 𝑥

Masukkan fungsi percobaan ke PDL

𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 10 cos 𝑥

(−𝑘 cos 𝑥 − 𝑙0 sin 𝑥) − (−𝑘 sin 𝑥 + 𝑙0 cos 𝑥) − 2(𝑘 cos 𝑥 + 𝑙0 sin 𝑥)

= 10 cos 𝑥

(−3𝑙0 − 𝑙0)𝑐𝑜𝑠𝑥 + (𝑘 − 3𝑙0)𝑠𝑖𝑛𝑥 = 10 𝑐𝑜𝑠𝑥

−3𝑙0 − 𝑙0 = 10 ; 𝑘 − 3𝑙0 = 0

𝑘 = −3 ; 𝑙0 = −1

𝑦𝑘 = −3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥

Page | 12

Maka jawaban umumnya adalah

𝑦𝑢 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑘

𝑦𝑢 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥

2. 4 Penerapan Persamaan Differensial Linier Tidak Homogen (PDLTH)

Ketika saklar pertama kali ditutup, tegangan pada induktor langsung melompat dari

nol volt hingga nilai tegangannya sama seperti tegangan pada baterai (seakan-akan induktor

berkelakuan seperti open circuit), sehingga drop tegangan pada kedua terminalnya akan

langsung sama dengan nilai tegangan sumber. Seiring berjalannya waktu, arus yang mengaliri

induktor akan naik dan berusaha mencapai nilai arus maksimumnya, sedengakan tegangan

pada induktor akan turun menuju nilai minimumnya. Saat tegangan pada induktor sudah

berkurang dan mencapai nilai minimumnya (nol volt untuk induktor “sempurna”), arusnya

akan berada pada level maksimumnya dan pada kondisi ini induktor seperti short circuit.

Dimana pada tegangan sumber (V) atau tegangan bolak balik (VAC) pada gambar di atas

dituliskan dalam persamaan :

𝑽 = 𝑽𝟎 𝒔𝒊𝒏 (𝒕 + )

Maka persamaan untuk mencari tegangan rangkaiannya dapat kita cari dengan menjumlahkan

tegangan pada inductor dan tegangan pada resistor sehingga kita dapat menuliskan;

𝑽 = 𝑽𝑳 + 𝑽𝑹

𝑉 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑅. 𝐼 = 𝑉0 sin(t + )

Untuk menyesaikan persamaan diatas dapat menggunakan “Persamaan Deferensial Derajat

Satu yang Tidak Homogen”. Sehingga untuk mencari hasil persamaan rangkaian RL diatas,

ada beberapa langkah yang harus kita lakukan seperti menyelesaikan persoalan PDLTH,

yaitu:

Hasil Persamaan Homogen

Hasil Istimewa

Page | 13

Menjumlah Hasil Persamaan Homogen dengan Hasil Istimewa

Dalam gejala transien atau peralihan kapasitor dalam rangkaian bekerja menyimpan

energi listrik yang terhubung dengan tegangan bolak balik (AC). Ketika muatan dalam

kapasitor penuh maka kapasitor akan mengalami keadaan yang biasa disebut dengan keadaan

stasioner. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut ini:

Dimana pada tegangan sumber (VS) atau tegangan bolak balik (VAC) pada gambar di atas

dituliskan dalam persamaan :

𝑽 = 𝑽𝟎 𝒔𝒊𝒏 (𝒕 + )

Maka persamaan untuk mencari tegangan rangkaiannya dapat kita cari dengan menjumlahkan

tegangan pada kapasitor dan tegangan pada resistor sehingga kita dapat menuliskan;

𝑉=→

𝑉𝑅+

→𝑉𝐶

𝑉 = 𝐼. 𝑅 +𝑞

𝐶

𝐼. 𝑅 +𝑞

𝐶= 𝑉0sin (𝜔𝑡 + )

Untuk menyesaikan persamaan diatas dapat menggunakan “Persamaan Deferensial Derajat

Satu yang Tidak Homogen”. Sehingga untuk mencari hasil persamaan rangkaian RC diatas,

ada beberapa langkah yang harus kita lakukan seperti menyelesaikan persoalan PDLTH,

yaitu:

Hasil Persamaan Homogen

Hasil Istimewa

Menjumlah Hasil Persamaan Homogen dengan Hasil Istimewa

Page | 14

2. 5 Algoritma Program

Mulai

Tampilan depan dengan judul “Persamaan Differensial Linier Tidak Homogen”

Masuk ke Latihan Soal

Masukan soal dari Persamaan Differensial Linier Tidak Homogen (PDLTH):

ø(y) = f(x) dimana f(x) berupa Aljabar, Eksponensial atau Trigonometri

Masukan fungsi ø(y) = 0 untuk mencari jawab homogennya.

Masukan konstanta dari persamaan karakteristik.

Proses :

roots(f) : untuk mencari hasil akar- akar karakteristik dimana f adalah masukan

dari koefisien persamaan karakteristik

dsolve(d) : untuk mencari jawab homogen dimana d adalah masukan dari fungsi

ø(y) = 0

dsolve(b) : untuk mencari jawab umum dimana b adalah masukan dari soal

PDLTH

g = d – b : untuk mencari jawab khusus

clear : untuk mereset kembali suatu perhitungan

Hasil program akan mencetak akar- akar persamaan, jawaban homogen dan jawaban

umum, dan jawab khusus.

Selesai

Page | 15

2.6 Flowchart Program

MULAI

INPUT

ø(y) = f(x) : Aljabar, Eksponen, Trigonometri

INPUT

ø(x) = 0 : Aljabar, Eksponen, Trigonometri

INPUT

Koefisien PK

OUTPUT

? Akar-Akar Persamaan

Proses

Roots()

OUTPUT

? Jawaban Homogen

Proses

Dsolve()

OUTPUT

? Jawaban Umum

SELESAI

Proses

Jawab Khusus = Jawab Umum – Jawab Homogen

Proses

Dsolve()

OUTPUT

? Jawaban Khusus

Page | 16

2. 7 List Program

Tampilan Depan

function varargout = cover(varargin) % COVER M-file for cover.fig % COVER, by itself, creates a new COVER or raises the existing % singleton*. % % H = COVER returns the handle to a new COVER or the handle to % the existing singleton*. % % COVER('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in COVER.M with the given input arguments. % % COVER('Property','Value',...) creates a new COVER or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs

are % applied to the GUI before cover_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property

application % stop. All inputs are passed to cover_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Edit the above text to modify the response to help cover

% Last Modified by GUIDE v2.5 06-Dec-2014 15:27:54

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @cover_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @cover_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before cover is made visible. function cover_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to cover (see VARARGIN)

Page | 17

% Choose default command line output for cover handles.output = hObject;

% Update handles structure guidata(hObject, handles); axes(handles.axes1); image(imread('cover','png')); grid off axis off

% UIWAIT makes cover wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = cover_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;

% --- Executes on button press in pushbutton1. function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run untitled

Tampilan Latihan Soal

function varargout = untitled(varargin) % UNTITLED M-file for untitled.fig % UNTITLED, by itself, creates a new UNTITLED or raises the existing % singleton*. % % H = UNTITLED returns the handle to a new UNTITLED or the handle to % the existing singleton*. % % UNTITLED('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in UNTITLED.M with the given input

arguments. % % UNTITLED('Property','Value',...) creates a new UNTITLED or raises

the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs

are % applied to the GUI before untitled_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property

application % stop. All inputs are passed to untitled_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)".

Page | 18

% % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Edit the above text to modify the response to help untitled

% Last Modified by GUIDE v2.5 09-Dec-2014 19:09:16

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @untitled_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @untitled_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before untitled is made visible. function untitled_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to untitled (see VARARGIN)

% Choose default command line output for untitled handles.output = hObject;

% Update handles structure guidata(hObject, handles); axes(handles.axes1); image(imread('gambar','png')); grid off axis off

% UIWAIT makes untitled wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = untitled_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;

Page | 19

function masuk_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to masuk (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of masuk as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of masuk as a

double

% --- Executes during object creation, after setting all properties. function masuk_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to masuk (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

% --- Executes on button press in tekan. function tekan_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to tekan (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) c=get(handles.masuk,'string') c=str2mat(c) d=dsolve(c) d=subs(d,'t','x') d=subs(d,'C2','C1') d=subs(d,'C3','C2') d=subs(d,'C4','C3') d=subs(d,'C5','C4') d=subs(d,'C6','C5') d=str2mat(d) d=mat2str(d) set(handles.keluar,'string',d)

e=get(handles.persamaan,'string') e=str2num(e) f=roots([e]) f=mat2str(f) set(handles.akar,'string',f)

function keluar_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to keluar (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

Page | 20

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of keluar as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of keluar as a

double

% --- Executes during object creation, after setting all properties. function keluar_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to keluar (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

% --- If Enable == 'on', executes on mouse press in 5 pixel border. % --- Otherwise, executes on mouse press in 5 pixel border or over text2. function text2_ButtonDownFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to text2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% --- Executes during object deletion, before destroying properties. function text2_DeleteFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to text2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

function akar_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to akar (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of akar as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of akar as a

double

% --- Executes during object creation, after setting all properties. function akar_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to akar (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

Page | 21

% --- Executes on button press in pushbutton2. function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) b=get(handles.akhir,'string') d=get(handles.keluar,'string') syms C1 syms C2 syms C3 syms C4 syms C5 syms C6 syms C7 syms t syms x g=sym(b)-sym(d) j=str2mat(g) set(handles.khusus,'string',j)

% -------------------------------------------------------------------- function menu_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to menu (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close; run cover

function persamaan_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to persamaan (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of persamaan as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of persamaan as

a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties. function persamaan_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to persamaan (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

% --- Executes on button press in pushbutton3. function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)

Page | 22

% hObject handle to pushbutton3 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) a=get(handles.awal,'string') a=subs(a,'x','t') a=str2mat(a) b=dsolve(a) b=subs(b,'t','x') b=subs(b,'C2','C1') b=subs(b,'C3','C2') b=subs(b,'C4','C3') b=subs(b,'C5','C4') b=subs(b,'C6','C5') b=str2mat(b) b=mat2str(b) set(handles.akhir,'string',b)

function awal_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to awal (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of awal as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of awal as a

double

% --- Executes during object creation, after setting all properties. function awal_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to awal (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

function akhir_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to akhir (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of akhir as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of akhir as a

double

% --- Executes during object creation, after setting all properties. function akhir_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to akhir (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

Page | 23

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

% -------------------------------------------------------------------- function petunjuk_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to petunjuk (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run petunjuk

% -------------------------------------------------------------------- function tentang_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to tentang (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close; run tentang

function khusus_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to khusus (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of khusus as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of khusus as a

double

% --- Executes during object creation, after setting all properties. function khusus_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to khusus (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end

% --- Executes on button press in hapus. function hapus_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to hapus (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) set(handles.keluar,'string','') set(handles.khusus,'string','') set(handles.akar,'string','')

Page | 24

set(handles.akhir,'string','') set(handles.masuk,'string','') set(handles.awal,'string','') set(handles.persamaan,'string','')

% --- Executes on button press in clear. function clear_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to clear (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) clear all clc

% -------------------------------------------------------------------- function flowchart_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to flowchart (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run flowchart

% -------------------------------------------------------------------- function materi_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to materi (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run materi

Tampilan Petunjuk

function varargout = petunjuk(varargin) % PETUNJUK M-file for petunjuk.fig % PETUNJUK, by itself, creates a new PETUNJUK or raises the existing % singleton*. % % H = PETUNJUK returns the handle to a new PETUNJUK or the handle to % the existing singleton*. % % PETUNJUK('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in PETUNJUK.M with the given input

arguments. % % PETUNJUK('Property','Value',...) creates a new PETUNJUK or raises

the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs

are % applied to the GUI before petunjuk_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property

application % stop. All inputs are passed to petunjuk_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

Page | 25

% Edit the above text to modify the response to help petunjuk

% Last Modified by GUIDE v2.5 09-Dec-2014 20:18:28

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @petunjuk_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @petunjuk_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before petunjuk is made visible. function petunjuk_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to petunjuk (see VARARGIN)

% Choose default command line output for petunjuk handles.output = hObject;

% Update handles structure guidata(hObject, handles); axes(handles.axes1); image(imread('petunjuk','png')); grid off axis off

% UIWAIT makes petunjuk wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = petunjuk_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;

Page | 26

% -------------------------------------------------------------------- function menu_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to menu (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run cover

% -------------------------------------------------------------------- function latihan_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to latihan (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run untitled

% -------------------------------------------------------------------- function tentang_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to tentang (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run tentang

% -------------------------------------------------------------------- function flowchart_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to flowchart (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run flowchart

% -------------------------------------------------------------------- function materi_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to materi (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run materi

Tampilan Tentang

function varargout = tentang(varargin) % TENTANG M-file for tentang.fig % TENTANG, by itself, creates a new TENTANG or raises the existing % singleton*. % % H = TENTANG returns the handle to a new TENTANG or the handle to % the existing singleton*. % % TENTANG('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in TENTANG.M with the given input arguments. % % TENTANG('Property','Value',...) creates a new TENTANG or raises the

Page | 27

% existing singleton*. Starting from the left, property value pairs

are % applied to the GUI before tentang_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property

application % stop. All inputs are passed to tentang_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Edit the above text to modify the response to help tentang

% Last Modified by GUIDE v2.5 09-Dec-2014 19:10:08

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @tentang_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @tentang_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before tentang is made visible. function tentang_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to tentang (see VARARGIN)

% Choose default command line output for tentang handles.output = hObject;

% Update handles structure guidata(hObject, handles); axes(handles.axes1); image(imread('tentang','png')); grid off axis off

% UIWAIT makes tentang wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

Page | 28

% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = tentang_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;

% -------------------------------------------------------------------- function menu_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to menu (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close; run cover

% -------------------------------------------------------------------- function petunjuk_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to petunjuk (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run petunjuk

% -------------------------------------------------------------------- function latihan_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to latihan (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close; run untitled

% -------------------------------------------------------------------- function flowchart_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to flowchart (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run flowchart

% -------------------------------------------------------------------- function materi_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to materi (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run materi

Tampilan Flowchart

function varargout = flowchart(varargin)

Page | 29

% LATIHAN M-file for latihan.fig % LATIHAN, by itself, creates a new LATIHAN or raises the existing % singleton*. % % H = LATIHAN returns the handle to a new LATIHAN or the handle to % the existing singleton*. % % LATIHAN('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in LATIHAN.M with the given input arguments. % % LATIHAN('Property','Value',...) creates a new LATIHAN or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs

are % applied to the GUI before flowchart_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property

application % stop. All inputs are passed to flowchart_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Edit the above text to modify the response to help latihan

% Last Modified by GUIDE v2.5 09-Dec-2014 19:10:56

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @flowchart_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @flowchart_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before latihan is made visible. function flowchart_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to latihan (see VARARGIN)

% Choose default command line output for latihan handles.output = hObject;

% Update handles structure guidata(hObject, handles);

Page | 30

axes(handles.axes1); image(imread('flow','png')); grid off axis off

% UIWAIT makes latihan wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = flowchart_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;

% -------------------------------------------------------------------- function menu_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to menu (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run cover

% -------------------------------------------------------------------- function petunjuk_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to petunjuk (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run petunjuk

% -------------------------------------------------------------------- function tentang_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to tentang (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run tentang

% -------------------------------------------------------------------- function latihan_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to latihan (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run untitled

Page | 31

% -------------------------------------------------------------------- function materi_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to materi (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run materi

Tampilan Materi

function varargout = materi(varargin) % MATERI M-file for materi.fig % MATERI, by itself, creates a new MATERI or raises the existing % singleton*. % % H = MATERI returns the handle to a new MATERI or the handle to % the existing singleton*. % % MATERI('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in MATERI.M with the given input arguments. % % MATERI('Property','Value',...) creates a new MATERI or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs

are % applied to the GUI before materi_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property

application % stop. All inputs are passed to materi_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Edit the above text to modify the response to help materi

% Last Modified by GUIDE v2.5 09-Dec-2014 19:07:40

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @materi_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @materi_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before materi is made visible.

Page | 32

function materi_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to materi (see VARARGIN)

% Choose default command line output for materi handles.output = hObject;

% Update handles structure guidata(hObject, handles); axes(handles.axes1); image(imread('materi','png')); grid off axis off

% UIWAIT makes materi wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = materi_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;

% -------------------------------------------------------------------- function menu_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to menu (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run cover

% -------------------------------------------------------------------- function petunjuk_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to petunjuk (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run petunjuk

% -------------------------------------------------------------------- function tentang_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to tentang (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run tentang

Page | 33

% -------------------------------------------------------------------- function flowchart_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to flowchart (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run flowchart

% -------------------------------------------------------------------- function latihan_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to latihan (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) close run untitled

2.8 Tampilan Program

Page | 34

Page | 35

Page | 36

Page | 37

Page | 38

BAB III

PENUTUP

3.1 Rangkuman

Persamaan diferensial linier tidak homogen berbeda dengan persamaan differensial linier

homogen karena dalam PDLTH fungsi dari ∅(𝑦) tidak bernilai 0 melaikan terdapat f(x).

Dimana bentuk PDLTH sebagai berikut:

𝑎0

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎1

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥)

Atau

∅(𝑦) = 𝑓(𝑥)

Sehingga untuk menyelesaikan PDLTH kita harus melakukan beberapa langkah, yaitu:

Mencari jawab homogen (yh) dimana ∅(𝑦) = 0. Kemudian disubstitusikan dengan

𝑦 = 𝑒𝑡𝑥

Mencari jawab khusus (yk) dimana ∅(𝑦) = 𝑓(𝑥) ≠ 0 dengan menggunakan fungsi

percobaan

Maka jawab umum :

𝑦𝑢 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑘

3.2 Kesimpulan

Demikianlah yang dapat kami sajikan kepada pembaca tentang laporan makalah

Persamaan Diferensial Linier Tidak Homogen. Dalam pengerjaan Makalah ini kami

menggunakan beberapa buku sebagai sumber serta referensi lainnya. Untuk pemograman

kami menggunakan software Matlab R2009a Student dalam penyelesaian Persamaan

Diferensial Linier Tidak Homogen. Makalah kami sajikan secara bertahap, mulai dari

pengenalan teori, contoh soal latihan, latihan soal, algoritma, Flow Chart, list program

dan hasil program, sehingga makalah ini dapat mempermudah pembaca dalam mengikuti

panduan penggunaan dari Program tersebut. Akhir kata, kami berharap mudah-mudahan

makalah kami dapat bermanfaat dan bakerja dengan optimal apabila digunakan. Saran

yang kami harapkan dari pembaca untuk pengembangan makalah dan program

kedepanya. Apabila diproyek dan dimakalah ini terdapat kesalahan kami mohon maaf

sebesar-besarnya.

Page | 39

Daftar Pustaka

Kreyszig, Erwin. (1991). Matematika Teknik Lanjutan Jilid I. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Rawuh, B. Kartasasmita, I Nyoman Susila.(1984). Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2.

Jakarta: Penerbit Erlangga.

Riogilang, RH. (1979). Persamaan Diferensial. Bandung: Penerbit Bina Cipta.

Pptx. Bapak Dr.Ir, Rusmono, M.Pd