Kekonvergenan Deret
6
How to know which convergence test is best for a series 1. Identifkasiapakah yang ditanyakan barisan atau deret. Jika barisan dengan suku ke-n adalah a n , evaluasi hasil apabila n→∞ . Jika menuju satu bilangan (ada hasilnya, termasuk 0) maka barisan tersebut konvergen ke nilaitersebut. Sebaliknya, jika hasilnya adalah ∞ , maka barisan tersebut divergen. ontoh! "entukan barisan dengan suku ke-n a n = ( 1 − 1 n 2 ) konvergen atau divergen. Jika n→∞ , maka nilai a n = 1 − 0 = 1 . #aka barisan itu konvergen ke $. 2. Jika ditanyakan apakah a n pada suatu deret konvergen atau tidak, pertama evaluasi apakah jika n→∞ hasilnya adalah 0 atau tidak. Jika lim n→∞ a n ≠ 0 maka deretnya divergen. ontoh! • "entukan deret dengan suku ke-n a n = ( 1 − 1 n 2 ) konvergen atau divergen. Jika n→∞ , maka nilai a n = 1 − 0 = 1 ≠ 0 . #aka deret tersebut divergen. • %eret ∑ n= 0 ∞ n 2 5 n 2 +5 & 1 5 ≠ 0 divergen 3. Jika a n memuat 'aktorial (n ) atau pangkat-n ( a n ¿ gunakan ratio test. ontoh! "entukan himpunan kekonvergenan dari ∑ n= 0 ∞ n ! 2 n ( 2 x − 1 ) n ji kekonvergenan dengan *atio test!
description
Kalkulus 2. Kekonvergenan Deret
Transcript of Kekonvergenan Deret
How to know which convergence test is best for a series1. Identifikasi apakah yang ditanyakan barisan atau deret. Jika barisan dengan suku ke-n adalah , evaluasi hasil apabila . Jika menuju satu bilangan (ada hasilnya, termasuk 0) maka barisan tersebut konvergen ke nilai tersebut. Sebaliknya, jika hasilnya adalah , maka barisan tersebut divergen.Contoh:Tentukan barisan dengan suku ke-n konvergen atau divergen.Jika , maka nilai . Maka barisan itu konvergen ke 1.
2. Jika ditanyakan apakah pada suatu deret konvergen atau tidak, pertama evaluasi apakah jika hasilnya adalah 0 atau tidak. Jika maka deretnya divergen.Contoh: Tentukan deret dengan suku ke-n konvergen atau divergen. Jika , maka nilai . Maka deret tersebut divergen. Deret = divergen
3. Jika memuat faktorial (n!) atau pangkat-n (gunakan ratio test.Contoh: Tentukan himpunan kekonvergenan dari
Uji kekonvergenan dengan Ratio test:
Sedangkan syarat agar konvergen adalah , jadi: = Karena , maka:
atau Sehingga himpunan kekonvergenan dari adalah
4. Jika hanya memuat fungsi akar dan fungsi pangkat/polinomial gunakan limit comparison test
5. Jika merupakan fungsi pecahan maka gunakan comparison test.Comparison test digunakan untuk menguji kekonvergenan suatu deret dengan menggunakan deret yang lain.Contoh: Tentukan apakah konvergen.Penyelesaian:Karena (ln n tidak mungkin bernilai kurang dari 1, maka dengan comparison test diperoleh dan adalah p-series dengan yang berarti deret tersebut divergen. Jadi juga divergen.
6. Jika berupa yaitu p-series, maka untuk menentukan apakah deret itu konvergen atau divergen hanya dengan melihat nilai p-nya. Apabila maka deretnya konvergen, dan apabila maka deretnya divergen.
7. Jika suatu fungsi merupakan fungsi turun dan positif, gunakan integral test untuk menentukan kekonvergenannya.
8. Jika , maka bentuk ini adalah merupakan improper integral . Dengan memisalkan dan , maka didapat yang hanya akan konvergen apabila . Mengapa?Karena apabila maka pangkat dari akan menjadi negatif, misal , maka dan deretnya menjadi konvergen. Apabila, misalkan , maka , karena , maka hasilnya akan menjadi (konvergen)
9. Jika fungsinya mengandung cosinus dan sinus, gunakan comparison test. Jika merupakan alternating series, cari nilai absolutenya terlebih dahulu.Contoh: Tentukan apakah deret konvergenSolusi:Karena tidak mungkin negatif untuk semua n, maka: dan merupakan p-series dengan , maka deret tersebut konvergen. Tentukan apakah konvergenSolusi:Cek nilai absolute dari , yaitu , maka dengan comparison test diperoleh:
karena konvergen (lihat poin nomor 2), maka juga konvergen.
10. Jika fungsinya berbentuk , gunakan alternating series. Alternating series dapat diidentifikasi dengan sebagai faktor pengali deret tersebut. Dua (2) aturan yang biasa digunakan pada alternating series adalah:a. Untuk deretnya konvergen.b. deretnya divergen.
11. Ratio test sebenarnya dapat digunakan semua deret, tapi akan lebih mudah menggunakan test sesuai dengan tipe fungsinya.12. Untuk mengetahui apakah sebuah deret absolute converge (konvergen mutlak), converge conditionally (konvergen bersyarat), atau diverge (divergen), yang harus dilakukan adalah:a. Cek nilai absolutenya dulu. Jika konvergen, maka deret tersebut konvergen mutlak.b. Jika divergen, tetapi konvergen, maka deret tersebut konvergen bersyarat.c. Jika dan sama-sama divergen, maka deret tersebut divergen.Contoh: Tentukan apakah konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen.Penyelesaian:Nilai absolute dari deret didapat dari mengeluarkan faktor , sehingga deretnya menjadi yang merupakan p-series dengan (konvergen). Karena nilai absolutenya konvergen, maka deret tersebut konvergen mutlak. Tentukan apakah deret konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.Penyelesaian:Nilai absolute dari deret didapat dari mengeluarkan faktor , sehingga deretnya menjadi . Karena nilai bervariasi mulai -1 sampai dengan 1, maka menggabungkan squeeze theorem dan comparison test didapat maka (konvergen, sesuai dengan definisi pada poin 2).Karena konvergen, maka konvergen mutlak.
