1

PENGGUNAAN INTEGRAL

A. VOLUME BENDA DALAM RUANG (Lempengan , Cakram, Cincin)

Integral tentu bisa digunakan untuk menghitung luas. Hal ini tidaklah mengherankan karena

Integral sesungguhnya diciptakan untuk hal demikian. Banyak besaran dapat dianggap sebagai

hasil pengirisan sesuatu menjadi potongan – potongan kecil, aproksimasi tiap potongan,

penjumlahan dan pengambilan limit ketika tiap potongan ukurannya mengecil. Metode yang

demikian dapat digunakan untuk mencari volume benda – benda tertentu.

Kita mulai dengan benda pejal sederhana yang disebut silinder tegak, diantaranya seperti

yang diperlihatkan pada gambar (i). dalam tiap kasus, benda itu diperoleh dengan cara

menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus dengan daerah tersebut.

Dalam tiap kasus itu, volume benda pejal didefinisikan sebagai luas A daerah alas dikalikan

tinggi h yakni :

V = A .h

Gambar (i)

Berikutnya perhatikan sebuah benda pejal yang penampang – penampangnya tegak lurus

dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Misalkan garis tersebut adalah sumbu – x dan

luas penampang pada x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b terlihat pada Gambar (ii). Selang [a,b]

dengan menyisipkan titik – titik = < < < ⋯ < = , kemudian kita lewatkan

bidang – bidang melalui titik – titik ini tegak lurus dengan sumbu x , sehingga mengiris benda

A

A

h

A

hh

2

menjadi lempengan – lempengan tipis seperti yang akan diperlihatkan pada Gambar (iii).

Volume ∆ suatu lempengan kira – kira sama dengan volume suatu silinder, yakni∆ = ( ) ∆Ketika norma partisi mendekati nol, akan diperoleh integral yang didefinisikan sebagai

volume benda pejal. = ( )Dalam menyelesaikan persoalan luas baiknya memahami proses menuju rumus tersebut.

Proses itu disebut dengan iris, aproksimasikan, integrasikan.

a. Benda-pejal Metode Cakram

Ketika ada sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari sebuah

garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut akan

membentuk sebuah benda-pejal putar. Garis yang tetap itu dikenal dengan sumbu benda-

pejal putar.

Ilustrasi 1, sebuah daerah oleh setengah lingkaran dan garis tengahnya, diputar

mengelilingi garis tengah tersebut. Maka daerah tersebut membentuk sebuah bola pejal.

Perhatikan gambar :

⤿ sumbu

Ilustrasi 2, sebuah daerah didalam suatu segitiga siku – siku diputar mengelilingi

salah satu kakinya, dia membentuk sebuah kerucut pejal. Perhatikan gambar :

sumbu

Ilustrasi 3, bila sebuah daerah lingkaran diputar mengelilingi sebuah garis pada

bidang lingkaran itu yang tidak memotong lingkaran, maka diperoleh sebuah poros.

3

Perhatikan gambar:

Sumbu

Dalam tiap kasus, dimungkinkan menyajikan volume itu sebagai suatu integral tentu.

Contoh soal :

1. Carilah volume benda-pejal putar yang diperoleh dari pemutaran daerah R yang

dibatasi oleh kurva y = Rx , sumbu x dan garis x = 4 mengelilingi sumbu x.

Jawab:

Daerah R dengn suatu irisan tertentu, diperagakan sebagai bagian kiri. Ketika

diputar mengelilingi sumbu x , daerah ini akan membentuk benda-pejal putar dan

irisan membentuk sebuah cakram, benda berbentuk uang logam tipis.

y

∆ = √x 4 x

√2

1

4

∆ ≈ √ ∆= ∫dengan mengingat bahwa silinder tegak adalah ℎ, kita aproksimasikan

volume ∆ cakram ini dengan ∆ = (√ ) ∆ dan kemudian integrasinya.= = 2 = 162 = 8 ≈ 25,132. Carilah volume benda-pejal yang terbentuk dari pemutaran daerah yang dibatasi

oleh kurva y = x3 , sumbu y dan garis y = 3 mengelilingi sumbu y.

Jawab :

y =3

△y

y △y

1 x ∆ ≈ ∆=

√

△x

x

y

5

Dalam kasus ini, lebih mudah y digunakan sebagai variable pengintegralan.

Perhatikan bahwa y = x3 setara dengan = dan ∆ ≈ ( ) ∆ maka

= = 35 = 9√95 ≈ 11, 76b. Benda-pejal Metode Cincin

= ( − )ℎAda kalanya apabila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu

putarnya, kita memperoleh sebuah cakram yang di tengah-tengahnya ada lubangnya. Daerah

demikian kita sebut cincin. Lihat Gambar diatas.

4

3

2

1

2

Gambar a ∆ ≈ √8 − ( ) ∆= ∫ (8 − )

h

= √8y = x2

x

Y

x

√8△x

x2

6

Contoh soal :

1. Tentukan Volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh parabol-parabol y = x 2

dan y2 = 8x diputar mengelilingi sumbu -x.

Jawab :

Disini kita juga menggunakan metode potong menjadi jalur-jalur, kemudian diaproksimasi,

dan akhirnya diintegralkan ( Gambar a).

V = ∫20 ( 8x – x4 ) dx = =485

≈ 30,16

2. Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva x = 4 − 2 di sumbu y

diputar mengelilingi garis x = -1. Susunlah integral yang merumuskan volume benda

putar.

Jawab :

Jari-jari luar cincin adalah 4 − + 1 sedangkan jari – jari dalam adalah1. Lihat

Gambar b. Integral yang bersangkutan dapat disederhanakan . Bgian yang terletak di

atas sumbu x, volumenya sama dengan bagian yang di bawah sumbu x. Jadi, kita cukup

mengintegralkan antara 0 dan 2 kemudian hasilnya dikalikan dua.

kita peroleh:

V = π∫ 1 + 4 − − 1= 2π ∫ 2 4 − + 4 −

y

Gambar b

2

1

y

x

∆ ≈ 1 + 4 + − 1 ∆= 1 + 4 + − 1-1

1 + 4 +

-2

X = -1

4 − △y

2

7

c. Benda-pejal lainnya yang penampangnya diketahui

Benda yang kita bahas memiliki daerah-daerah lingkaran sebagai penampang-

penampang tegak. Metode yang kita gunakan tetap berlaku untuk benda-benda yang

penampang tegaknya berbentuk bujur sangkar atau segitiga. Sesungguhnya yang kita

perlukan ialah bahwa kita dapat menghitung luas penampang-penampang tersebut.

Contoh Soal :

1. Andaikan alas sebuah benda adalah suatu daerah rata pada kuadran pertama yang

dibatasi oleh y = 1 − /4, sumbu x dan sumbu y. Andaikan penampang-

penampang yang tegaklurus pada sumbu x berbentuk bujur sangkar. Tentukan

volume benda lain.

Apabila kita potong-potong benda tegaklurus pada sumbu x kita peroleh lempeng

lempeng tipis yang berbentuk bujursangkar (Gambar c).

V = ∫ 1 − + = − += 2 – +

= ≈1,07

y

Gambar c

x 2 x

2. Alas sebuah benda diketahui merupakan daerah yang kurva y = sin dan sumbu x.

Tiap penampang yang tegaklurus sebuah segitiga sama sisi yang berdiri pada

alasnya. Tentukan volume benda itu .

△x

1 − 4

8

Kita ingat bahwa luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi u adalah √3 4⁄(Gambar 12). Kemudian lihatlah Gambar d. Untuk melakukan pengintegralan kita

menggunakan = (1 − cos 2 ) 2⁄ .

V = √ ∫ = √ ∫ (1 − cos 2 )= √ ∫ 1 − ∫ cos 2 .= √ − sin 2 = √ ≈ 0,68

Gambar d

xx

△x

= sin