Jawaban Uas Pemodelan - Azmi Asyidda Mushoffa f151150111 (Final)

AZMI ASYIDDA MUSHOFFA F151150111JAWABAN TAKE HOME EXAM (UAS)

TMB501 TEKNIK PEMODELAN DAN SIMULASI MATEMATIKA

Suatu fungsi

Dimana f(x) periodik pada T= 2π1. Gambar grafik f(x) pada selang -2π < x < 2π

2. Fungsi deret Fourier yang mempresentasikan f(x)

STEP 1

STEP 2

STEP 3



Didapatkan nilai:

Nilai koefisien:1 2 3 4 5

0 0

-1

Sehingga didapatkan deret Fourier yang mempresentasikan f(x)

3. Gambar grafik fungsi Fourier f(x) dibandingkan dengan grafik no.1

Terlihat grafik fungsi Fourier (kurva warna merah) cukup memuaskan (didekati hanya dengan angka harmonik n=5) mendekati dengan kurva sketsa grafik nomor 1.



4. Cari nilai x sehingga memenuhi:

(i)

Bandingkan dengan deret yang diperoleh dari nomor sebelumya:

Terlihat nilai cos nx harus sama dengan nol, sehingga dicoba nilai x = π/2

sehingga didapatkan , maka:

terbukti, nilai x = π/2 memenuhi

(ii)

Bandingkan dengan deret:

Terlihat nilai sin nx harus sama dengan nol, sehingga dicoba nilai x = 0

terlihat diskontinyu saat x = 0

deret Fourier konvergen di nilai tengah diantara nilai yang diskontinyu.

sehingga didapatkan , maka:



terbukti, nilai x =0 memenuhi

5. Digunakan 𝐹(𝑥) = log (𝑥), dengan x = 100. Tentukan nilai log101 dengan metode proksimasi.

Nilai sebenarnya 6. Digunakan 𝐹(𝑥) = 2x, dengan x = 3. Tentukan nilai 23.015 dengan metode

aproksimasi.

Nilai sebenarnya

7. Carilah suatu fungsi segitiga penuh periodik pada T=2𝜋 yang terdifinisi pada selang −2𝜋<𝑥<2𝜋. Definisikan fungsi tersebut pada selang −2𝜋<𝑥<2𝜋. Lalu carilah fungsi deret fourier yang mempresentasikan fungsi periodik segitiga anda definisikan tersebut. Tentukan sampai deret fourier yang keberapa anda merasa puas dengan aproksimasi fourier tersebut terhadapa fungsi f(x) tersebut.

Definisi fungsi segitiga penuh periodik pada T=2π:

Sketsa Grafik fungsi f(x) pada selang −2𝜋<𝑥<2𝜋:



fungsi deret Fourier yang mempresentasikan fungsi periodik segitiga:

STEP 1

STEP 2

STEP 3



Didapatkan nilai:

Nilai koefisien:1 2 3 4 5

0 0

0 0 0 0 0

Sehingga didapatkan deret Fourier yang mempresentasikan fungsi periodik segitiga f(x)

Gambar grafik fungsi Fourier f(x) dibandingkan dengan sketsa grafik fungsi f(x) pada selang −2𝜋<𝑥<2𝜋:

Terlihat grafik fungsi Fourier yang mempresentasikan fungsi periodik segitiga f(x) (kurva warna merah) cukup memuaskan (didekati hanya dengan angka harmonik n=5) mendekati dengan kurva sketsa grafik fungsi f(x) pada selang −2𝜋<𝑥<2𝜋.

8. Lakukan solusi regresi linier dengan metoda least square untuk fungsi y = f(x)n daridata hasil percobaan sbb dan plotkan hasilnya.



Tabel penghitungani 1 2 3 4 5 6 7 S rata-rataxi 3 4 5 7 8 9 10 46 6.57yi 4 8 12 14 23 26 31 118 16.86xi² 9 16 25 49 64 81 100 344 49.14yi² 16 64 144 196 529 676 961 2586 369.43xiyi 12 32 60 98 184 234 310 930 132.86

Solusi persamaan regresi linier: a dan b, dicari melalui least square

Bentuk matriknya:

Pada

Jadi solusi regresi liniernya:

Tabel pendugaani 1 2 3 4 5 6 7xi 3 4 5 7 8 9 10yi 4 8 12 14 23 26 31



yduga 3.62 7.33 11.03 18.45 22.15 25.86 29.56

Plot hasil pendugaan

Koefisien korelasi

9. Lakukan solusi regresi non-linier dengan fungsi plinomial degree 2 (kuadratik) untuk fungsi y = f(x)n dari data hasil percobaan sbb dan plotkan hasilnya.



Tabel penghitungani 1 2 3 4 5 6 7 Sxi 0.40 1.20 3.50 4.60 7.20 11.50 13.20 41.60yi 12.40 9.20 8.30 2.20 7.50 12.40 18.00 70.00xi² 0.16 1.44 12.25 21.16 51.84 132.25 174.24 393.34xi³ 0.06 1.73 42.88 97.34 373.25 1520.88 2299.97 4336.09xi

4 0.03 2.07 150.06 447.75 2687.39 17490.06 30359.58 51136.93xiyi 4.96 11.04 29.05 10.12 54.00 142.60 237.60 489.37xi²yi 1.98 13.25 101.68 46.55 388.80 1639.90 3136.32 5328.48

Solusi persamaan regresi non-linier dengan fungsi plinomial degree 2 (kuadratik):

a, b dan c, dicari melalui non-liniar least square

Jadi solusi regresi liniernya:



Tabel pendugaani 1 2 3 4 5 6 7xi 0.40 1.20 3.50 4.60 7.20 11.50 13.20yi 12.40 9.20 8.30 2.20 7.50 12.40 18.00

yduga 11.78 9.95 6.34 5.48 5.64 12.74 17.90

Plot hasil pendugaan

10. Gunakan interpolasi polinomial ordo 3 untuk mencari y = f(x) untuk data pengamatan sbb dan plotkan hasilnya

n x y0 4.1168 0.2136311 4.19236 0.2142322 4.20967 0.214413 4.46908 0.218788



solusi interpolasi polynomial ordo 3:

n x y yduga

0 4.1168 0.213631 0. 2063361 4.19236 0.214232 0. 2065582 4.20967 0.21441 0. 207013 4.46908 0.218788 0. 211091



Plot hasil

11. Kegunaan permodelan dalam bidang engineering:- Pemodelan dalam menentukan kadar air keseimbangan saat melakukan

pengeringan lapisan tipis;- Pemodelan pemotongan tanah secara realtime dalam pengolahan tanah;- Pemodelan perpindahan panas saat sterilisasi pada kaleng daging olahan;- Pendugaan gizi protein ikan dan lama waktu perebusan ikan pindang;- Pemodelan getaran mekanis pada suatu engine;- Pemodelan penyebaran polutan pabrik;- Pemodelan kerusakan jaringan mata pada penyemprot pestisida.

12. Berikan 1 kasus nyata bagaimana permodelan matematik dapat digunakan untuk melihat suatu fenomena nyata sehingga bisa digunakan untuk rekayasa. Ulas cukup jelas dan rinci sehingga mudah dipahami.

Jawab:Pemodelan kedalaman pemotongan pisau dan volume tanah yang dipindahkan pada mesin pembuat parit (soil trencher).



Kedalaman pemotongan pisau

Pada kondisi up-cutting, saat posisi pisau di A, kedalaman pemotongan pisau l sama dengan nol. l akan bertambah seiring dengan naiknya kurva (busur AB).

U/ut merupakan rasio antara kecepatan perpindahan U, kecepatan linier dari batang pemotong relatif terhadap kerja alat dengan kecepatan tangensial alat ut, kecepatan linier pisau pemotong pada bagian rantai. Spasi pisau longitudinal S, jarak antar satu pisau ke pisau berikut dari arah atas ke bawah. Sehingga Δt=S/ut. θ merupakan sudut sapuan nose sproket. Sudut batang pemotong ϕ, sudut yang terbentuk antara arah kecepatan maju alat dan permukaan aktif dari batang pemotong. Saat θ sudut sapuan nose sproket mencapai ϕ, maka:

Kedalaman pemotongan pisau maksimal didapat jika nilai sin ϕ =1. Maka:

Volume tanah yang dipindahkanTiap pisau menghasilkan potongan tanah. Potongan-potongan tanah tersebut akan terakumulasi dan dipindahkan secara cepat ke atas melalui rantai. Volume pemotongan tanah sepanjang kuva nose (vn) didekati dengan mengintegralkan persamaan

.

Dimana R adalah jari-jari nose sproket dan d adalah kedalaman total, diukur dari kedalaman penetrasi dari batang pemotong tegak lurus terhadap permukaan tanah. Volume pemotongan tanah sepanjang garis lurus batang pemotong (vb) adalah

Volume total per unit lebar dari batang pemotong (vc) adalah



Dalam beberapa kasus:

maka:

Untuk memprediksi aktual volume pemotongan vc’ , faktor balki diperkenalkan Kb

Jawaban Uas Pemodelan - Azmi Asyidda Mushoffa f151150111 (Final)

Documents

Transcript of Jawaban Uas Pemodelan - Azmi Asyidda Mushoffa f151150111 (Final)