1 PETA KONSEP LINGKARAN UNSUR-UNUSR LINGKARAN NILAI PHI KELILING DAN LUAS SUDUT-SUDUT PADA LINNGKARAN PANJANG BUSUR, LUAS JURING DAN TEMBERENG 2 BAB ILINGKARAN 1. DefinisiLingkaranadalahkumpulantitik-titikyang mempunyaijarakyangsamapadasuatutitik, dimanatitiktersebutdisebutPusat Lingkaran.PerhatikangambardisampingO adalah Pusat lingkaran. Bidanglingkaranadalahdaerahyang dibatasi oleh lingkaran. 2. Unsur-unsur lingkaran. a. Jari-jari lingkaran adalah jarak setiap titik yang pada lingkaran terhadap pusat lingkaran. Pada gambardisampingyangmerupakanjari-jari lingkaran adalahBO, CO,dan DO. b.Talibusuradalahgarisuangmeghubungkan duatitikberbedapadalingkaran.Pada gambar di samping yang merupakan tali busur adalahAB danCD. c.Diameteradalahtalibusuryangmelaluititik pusatlingkaran.Padagambardisamping adalahCD. Tujuan pembelajaran : a.Menyebutkan unsur-unsur dari lingkaran. b.Menentukan nilai Phi c.Menemukan rumus Keliling dan Luas lingkaran d.Menghitung Keliling dan Luas lingkaran e.Mengenal sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama. f.Menentukan sudut keliling jika menghadap diameter dan busur yang sama g.Menentukan panjang busur , luas juring dan tembereng h.Menggunakanhubungansudutpusat,panjangbusur,luasjuringdantemberenguntuk menyelesaikan masalah. i.Menentukan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang melalui titik pusat. - O - O - O A P B C D Q Gb. 1 Gb. 2 Gb.3 3 d. Apotema adalah ruas garis yang ditarik pusat lingkaran dan tegak lurus dengan tali busur dihadapannya. Pada gambar di samping adalahPO. e.Arahpanahadalahgarisperpanjangandariapotemasampaipadabusur lingkaran.Pada gambar di atas adalahPQ . f. Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran. Busur lingkaran ada duajenisyaitubusurkecildan busurbesar.Busurkeciladalahbusurlingkarandi depan sudut pusat yang besarnya kurang dari 180o. Sedangkanbusurbesaradalahbusurlingkarandi depansudutpusatyangbesarnyalebuhdari180o. Busur lingkaran dilambangan . g. Juring lingkaran atau sektor adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah tali busur di hadapan sudut pusatnya. Pada Gb.1 adalah BOC. h. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkarandantalibusurdidepannya.Dengan demikianmakatemberengpunadaduajenisyaitu tembereng kecil dan tembereng besar. Tetapi untuk pertanyaankedepanyangdimaksudtembereng adalah tembereng kecil. Perhatikan Gb. 5 ! I.Soal soal pemahaman konsep 1. Dari gambar di samping tentukan : a. Jari-jari b. Diameter c. Tali busur d. Busur kecil e. Busur besar f. Juring kecil g.Juring besar h. Apotema i. Arah panah j. Tembereng kecil k. Tembereng kecil - O Busur besar Busur kecil Gb. 4 - O Gb. 5 Tembereng kecil Tembereng besar - O AB C G D E F H 4 2. Dari gambar di samping tentukan : a. Jari- jari b. Diameter c. Busur d. Tali busur e. Juring, dan f. Tembereng .. 3.Darigambardisapingjikadiketahuijari-jari lingkaran = 10 cm, dan AB = 12 cm, maka hitunglah panjang : a. AE b. OE c. DE d. BC II. Soal Penalaran dan komunikasi 1.Perhatikangambardisamping !JikadiketahuiAC=BD, maka buktikan bahwa OA = OD ! 2.Diketahuitigatitiksepertipadagambarberikut!,makadenganmenggunakanjangkadan penggaris sebuah lukislah lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut ! - O P Q R S T - O A B C E D - O A BC D A B C - - - 5 III. Soal Pemecahan masalah 1. Sebuah pipa dengan diameter 20 cm dan panjang pipa1meter,berisiairsehinggatinggi kedalamanairpadapipatersebut4cm,maka hitungluaspermukaanairpadapipatersebut! (penampangpipadanairsepertigambardi samping ! ) 2.Sebuahpenampangpipaberisiairdenganlebar72cmdankedalamanair54cm,maka hitunglah diameter pipa ! 3. Keliling Lingkaran a. Menemukan nilai Phi (t) Lingkaranmerupakanbangundataryangdalammenentukankelilingnyaunsuryang mempengaruhiadalahdiameterya.Bilakitaperhatikanbangundataryanglainminimal mempunyai2unsuruntukmenentukankelilingatauluasnya.Sehinggaantaranilaikeliling suatu lingkaran akan sebanding dengan diamternya. Pada pelajaran-pelajaran di sekolah dasar (SD) sering kita nilai konstanta yang terdapat padalingkaranyangmerupakanhasilperbandinganKelilingdanDiameterlingkaranyang disebut Phi (t). Berikut ini langkah-langkah percobaan dalam menentukan nilai Phi (t). Percoban menemukan nilai Phi : 1.Bentuklah kelompok yang terdiri dari 4 atau 5 orang setiap kelompok 2.Sediakan lingkarandari kertas karton dengan unkuran diameter : 5 cm, 10 cm, 7 cm, dan 14 cm. 3.Sediakan pensil, spidol dan pengaris. Kemudian lakukan langkah-langkah percobaan berikut: 1.Ukurlahkelilingmasing-masinglingkaranyangterbuatdarikartontersebutdengancara seperti gambar di bawah 2.Berilah tanda dengan menggunakan spidol pada keliling lingkaran 3.Kemudian putarlah/gelindingkan lingkaran tersebut seperti roda ke arah seperti gambar 4.Lakukan sampai tanda pada keliling lingkaran tersebut berada pada bagian bahwah lagi 5.Kemudianukurlahpusisipertamatandadenganposisiterakhirtandapadakeliling lingkaran, maka itu adalah keliling lingkaran.6.Kemudian lakukan hal yang sama untuk lingkaran yang lain. 7.Catatlah hasilnya pada tabel yang telah disediakan. - O air - - - - - Keliling lingkaran 6 Tabel. NoDiameterKelilingt =DK 1 5 cm...... 2 10 cm...... 3 7 cm...... 4 14 cm...... Rata-rata ... Kesimpulan apa yang kamu peroleh dari percobaan di atas !: b. Menghitung Keliling Lingkaran Dari hasil percobaandi atas nilai t = DK, maka K = t.D atau K = t.2.r = 2tr, dimana K = kelilinglingkaran,D=diameterlingkarandanr=jari-jarilingkaran.Untukmempermudah dalam perhitungan jika diameter atau jari-jarinya merupakan bilangan kelipatan 7, maka nilai t = 722sedangkan yang lain t = 3,14. Contoh : 1.Hitunglah keliling lingkaran dengan diameter 7 cm ! 2.Diketahuisebuahrodadengandiameter10cm,jikarodatersebutberputar2.000kali, maka jarak yang roda tersebut adalah... Jawab :1.K = t D2.Jarak ( S ) = K. N ,N = jumplah putaran K = 722. 7 cmS = t.D . N K = 22 cm S= 3,14 . 10 cm. 2.000 S= 62.800 cm = 628 m I. Soal soal pemahaman konsep. 1.Sebuahlingkarandenganpanjangjari-jari5cm,dant=3,14,makakelilinglingkaran tersebut adalah...cm. a. 62,8b. 41,4c. 31,4d. 15,07 2.Sebuahmejaberbentuklingkarandengankelilingmeja88cmdant= 722,makajari-jari meja tersebut adalah ,,, cm. a. 21 b. 15c. 14 d. 7 3. Sebuah kawatdibentuk menjadi sebuah lingkaran, jika pajang kawat 50,24 cm dan t = 3,14, maka jari-jari lingkaran tersebut adalah...cm. a. 8 b. 10 c. 12 d. 14 7 4. Keliling bangun datar di samping adalah... cm a. 47c. 66 b. 58d. 73 5.Sebuahrodamempunyaidiameter14cmdanberputarsebanyak1.000kali,makajarak yang ditempuh roda tersebut adalah ...m. a. 440b, 540c. 880 d. 940 6.Sebuahrodaberputarsebanyak500kalit=3,14danjarakyangditempuh471m,maka jari-jari roda tersebut adalah...cm. a. 30 b. 20 c, 15 d. 10 7.Perhatikangambardisamping!.Tentukan panjangkawatyangdiperlukanuntukmembuat bangun tersebut ! a. 66 cmc. 44 cm b. 55 cmd. 21 cm 8. Jika diketahui r adalah jari-jari suatu lingkaran, maka rumus keliling lingkaran adalah.... a. K = t.rb. K = tr c.K = rtd.K = 2.t.r 9. Nilai t didapat dari ... a. Perbandingan antara jari-jari dengah keliling b. Perbandingan antara keliling dengan diameter c. Perbandingan antara dua kali jari-jari dengan keliling d. Perbandingan anatara keliling dengan dua kali diameter. 10.Jikasuaturodamempunyaidiameterd,danberputarsebanyakNkali,jikajarakyang ditempu roda tersebut S , maka rumus S adalah... a. S = 4.t.d.Nb. S = 2.t.d.Nc. S = t.d.Nd. S = . t.d.N II. Soal soal penalaran dan komunikasi 1. Hitunglah panjang kawat untuk membuat kerangka seperti bangun berikut ! a.b. 7 cm7 cm 7 cm 7 cm7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 8

c. 2.Jika tersedia sebuag kawat dengan panjang10 m , akan dibentuk sebuah kerangka bangun sepertibangunberikut,makaberapabanyakkerangkayangdandapatdibuatdansisa kawatnya ? III. Soal-soal penalaran dan komunikasi 1.Sebuahrodamobildenganjari-jari14cm,danrodatersebutberputarsebanyak2.000kali selama 20 menit, maka hitunglah : a. Jarak yang ditempuh mobil tersebut! b. Kecepatan mobil tersebut ! 2.Sebuahdengandiameterrodanya20cm,mobiltersebutmempunyaikecepatan72km/jam. Jika mobil berjalan selama 0,5 jam, maka tentukan : a. Jarak yang ditempuh mobilb. Berapa kali putaran roda mobil tersebut harus berputar 3.Sebuahsatelitdalammengitaribumimemerlukanwaktu20jam,dengankecepatan2015,88 km/jam.Jika jari-jari bumi 6400 km, maka hitunglah ketinggian satelit tersebut dari permukaan bumi! 7 cm7 cm 7 cm 7 cm 14 cm 14 cm 9 4. Luas lingkarana. Menemukan rumus luas lingkaran Untuk menemukan rumus luas lingkaran ada bebrapa cara, salah satunya dengan membagi lingkaran tersebut menjadi beberapa sektor kemudian disusun menjadi persegi panjang.Perhatikan tabel berikut ! NoLingkaran (dengan jari-jari r)Persegi panjang dari sektor-sektor lingkaran 1 2 Apabilaprosestersebutberlangsungsampailingkarantersebutdipotongmenjadisektor-sektor yang tak tehingga, maka akan terbentuk persegi panjang dari sektor-sektor lingkaran dengan jari-jari r. Sehingga L lingkaran ( L O ) = L persegi panjang L O = p x l L O = . K x r L O = . ( 2 t r )x r L O = t . r2 Jadi LO = tr2

- O - O - O r r K 10 b. Menghitung luas lingkaran Dari uraian sebelumnya diketahui bahwa Luas lingkaran =t.r2,untuk menenrapka rumus tersebut perahtikan contoh-contoh berikut! Contoh : 1.Hituglah luas lingkaran yang diketahui r = 7 cm ( t =722) ! 2.Hitunglah Luas lingkaran yang mempunyai keliling = 62,8 cm ( t = 3,14) ! 3.Hitunglah luas darah bidang datar berikut ! Jawab : 1.r = 7 cm, t = 22/7 L = t .r2 =22/7.72

= 154 cm2 2. K = 62,8 cm, t = 3.14 K= 2.t . r 62,8 = 2. 3,14 . r 62,8 = 6,28.r r= 62,8/6,28 = 10 cm L= t . r2 = 3,14 . 102 = 3,14 . 100 = 314 cm2 3.R = 7 cm, r = 7/2 cm L = ( t . R2 - t. r2) L = ||.|

\||.|

\|2227.7227 .722 L= ( 154 - 38,5) L= (115,2) L= 57,75cm2 I. Soal-soal pemahaman konsep 1.Suatulingkarandengandenganjari-jari5cm,t=3,14,makaluaslingkarantersebut adalah...cm2. a.78,5b. 157c. 185d. 300 2. Keliling lingkaran dengan 44 cm, t = 22/7, maka luas lingkaran tersebut adalah...cm2 a. 88b. 154c. 308d. 420 3. Jika suatu lingkaran dengan diameter = d, maka rumus luas lingkaran tersebut adalah.... a. L = 2..d t b. L = 2..21d t c. L = 2..31d t d. L = 2..41d t7 cm7 cm 11 4.Sebuahlingkarandenganluas=113,04cm2,t=3,14,makapanjangdiameterlingkaran adalah...cm. a. 18b. 16c. 14d. 12 5.Luasdaerahyangdiarsirpadagambardi samping.Jikapersegitersebutmempunyai panjang rusuk 7 cm adalah...cm2. a. 10,5c. 15,5 b. 12,5d. 21,0 6.Luasdaerahyangdiarsirpadagambardi samping adalah... cm2 a. 121,5c. 118.5 b. 120,5d. 115,5 7.Luasdaerahyangdiarsirpadagambardi sampingjikapersegitersebutmempunyairusuk 10 cm adalah...cm2. a. 65,125c. 45,125 b. 55,125d. 41,125` 8. Jika dua buah lingkaran dengan r1 : r2 = 2 : 3, maka, perbandingan luas lingkaran pertama dengan lingkaran ke dua adalah... a. 2 : 3b. 3 : 2c.4 : 9 d. 9 : 4 9.Sebuahlingkarandenganjari-jarir,kemudianjari-jarilingkarantersebutditambah10%, maka pertambahan luas lingkaran tersebut adalah... a. 10%b. 20%c. 21%d. 22% 10.DiketahuiduabuahlingkarandengandeganL1:L2=9:16,makaperbandinganr1:r2 adalah... a. 2 : 3b. 4 : 6c. 6 : 9d. 9 : 16 II. Soal-soal penalaran dan komunikasi 1.Duabuahlingkarandenganjar-jari=rcm,makajikalingkarantersebutdiperkecil15%, maka hitunglah luas lingkaran tersebut ! 2. Berapakah diameter lingkaran agar luas lingkaran tersebut 4 kali kelilingnya?

3.Dua buah lingkaran diketahui K1 = L2 dan L1 = K2, maka tentukan jari-jari lingkaran tersebut masing-masing !

7 cm7 cm 12 4. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ! ab. III. Soal- Soal Pemecahan masalah Berikut ini adalah suatu hiasan pada kaca jendela. Jika daerah yang diarsir akan dicat, maka berapa luas daerah yang akan di cat dan hitunglah biaya untuk membeli catnya jika setiap cm2nya Rp5.000,00 ! (Untuk soal b daerah yang akan dicat adalah daerah bertanda x ) a.b. 5. Lingkaran singgung pada segitiga a. Lingkaran singgung dalam Langkah-langkah melukis Lingkaran singgung dalam pada segitiga. 1.Buatlah Garis bagi sudut pada titik A. Buat busur lingkaran dengan pusat di A. dan memotong sisi AB dan AC. Gb.1 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm A B C Gb.1 x x xx 13 2.Buat busur lingkaran pada dengan pusat masing-masing perpotongan busur pada langkah pertama dengan jari-jari yang sama. Gb. 2. 3.Lakukan langkah 1 dan 2 untuk titik sudut B dan C. Gb 3. 4.Buatlah lingkaran singgung dalam pada segitiga dengan pusat perpotongan ketiga garis bagi sudut tersebut. Gb. 4. Soal-soal Pemahaman konsep. Gambarlah lingkaran singgung dalam pada segitiga-segitiga ini ! 1 A B C Gb.2 A B C Gb.3 A B C Gb.3 A B C 14 2. 3. b. Menentukan panjang jari-jari lingkaran singgung dalam pada segitiga. Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran dinggung dalam pada suatu segitiga perhatikan uraian berikut ! LA = LAOAB + LAOBC + LAOAC LA = .AB.r+ .BC.r + .AC.r LA= .r.(AB + BC + AC) r = ) (21AC BC ABL+ + A, (AB+BC+AC) = s r= sLA, ataur = sc s b s a s s ) )( )( ( Contoh : 1.Tentukan panjang jari-jari lingkaran singgung dalam suatu segitiga ABC yang diketahui panjang sisi a = 12 cm, b = 13 cm dan c= 5 cm ! 2. Jika diketahui sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 10 cm, maka panjang jari -jari lingkaran singgung dalam pada segitiga tersebut ! A B C A B C A B C O K L M 15 Jawab : 1. a = 12 cm, b = 13 cm, c = 5 cm, s = .( a + b + c) = ( 12 + 13 + 5) = 15 cm. r = sc s b s a s s ) )( )( ( =15) 5 15 )( 13 15 )( 12 15 ( 15 =1510 . 2 . 3 . 15 =21530= cm. 2. s = (10 +10 +10)/1 =15 r = sc s b s a s s ) )( )( ( r = 15) 10 15 )( 10 15 )( 10 15 ( 15 = 155 . 5 . 5 . 15

r=153 25= 33 5cm. c. Lingkaran singgung luar pada segitiga. Untuk dapat melukis lingkaran singgung luar pada segitiga perhatikan langkah-langkah berikut ini ! 1. Buatlah garis sumbu pada sisi AC,dengan memuat bususe lingkaran dengan pusat di A. Gb. 1 2. Buatlah juga dengan jari-jari yang sama dengan pusat di C. Kemudian tariklah titik potong antara busur lingkaran tersebut! Gb.2. A B C Gb.1 A B C Gb.2 16 3. Lakukan langkah yang sama untuk membuat garis sumbu pada sisi AB. Gb. 3 4. Lakukan berikutnya untuk membuat garis sumbu pda sisi BC. Gb. 4. 5. Ketiga garis umbu pada masing-masing sisi tersebut berpotongan pada satu titik, titik tersebut merupakan titik pusat dari lingkaran singgung luar segitiga ABC. Gb. 5 A B C Gb.3 A B C Gb.4 A B C Gb.5 17 Soal-soal Pemahaman konsep. Lukislah lingkaran singgung luar pada segitiga-segitiga berikut ini ! 12. . 3. d. Menentukan panjang panjang jari-jari lingkaran singgung luar suatu segitiga. Darigambardisamping,terdapatZADEdanZABCyang besarnyasama,karenasama-samasudutkelilingdan. menghadapbusuryangsama,ZAED=ZDAC=90o,sehinggaAADC dan A BEC sebangun. Akibatnya : BC: DC = CE : AC CEBCxACDC = ......(1) LA ABC =xABxCE21 CE =ABLA 2........(2) Dari persamaan(1) dan (2), maka diperoleh : A=A=LABxBCxACABLBCxACDC22, DC = 2RA=LABxBCxACR22A=LABxBCxACR4=A Laxbxc4 atau R = ) )( )( ( 4 c s b s a s saxbxc

A B C A B C A B C - O DE A B C 18 Contoh Soal 1.Tentukan panjang jari-jari lingkaran singgung Luar suatu segitiga ABC yang diketahui panjang sisi a = 12 cm, b = 13 cm dan c= 5 cm ! 2. Jika diketahui sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 10 cm, maka panjang jari -jari lingkaran singgung luar pada segitiga tersebut ! Jawab: 1. a = 12 cm, b = 13 cm, c = 5 cm, s = .( a + b + c) = ( 12 + 13 + 5) = 15 cm. R = ) )( )( ( 4 c s b s a s saxbxc R =) 5 15 )( 13 15 )( 12 15 ( 15 45 13 12 x x=10 2 3 15 45 13 12x x xx x R =cmxx x286584 45 13 12= 2. s = (10 +10 +10)/1 =15 R = ) )( )( ( 4 c s b s a s saxbxc R = ) 10 15 )( 10 15 )( 10 15 ( 10 410 10 10 x x=5 5 5 10 410 10 10x x xx x R = 3 25 410 10 10xx x=cm33 10310= I. Soal soal Penalaran dan komunikasi 1.Darigambardisamping,jikadiketahuipanjagsisi segitigatersebuta=13cm,b=14cm,danc=15 cm,makahitunglahpanjangjari-jarilingkaran singgung dalam dan luar segitiga tersebut ! 2. Gambar di samping A PQR sama sisi dengan panjang sisinya 10 cm. Hitunglah : a. Panjang R dan r b. Luas daerah yang diarsir. A C B r R 19 3. Dari gambar di samping hitunglah : a. jari-jari lingkaran singgung dalam. b. luas daerah yang diarsir. 4.Darigambardisampinghitunglahluasdaerahyang diarsir! II. Soal soal soal pemecahan masalah. 1.Sebuahbalokdenganukuran10cmx10cmx500cm.Jikakedalambaloktersebut dimasukkan pipa dengan panjang yang sama dengan balok tersebut, maka berapakah jari -jari pipa tersebut ? 2. Gambar di samping adalah gambar sebuah tiang penyangga yang terbuatdarigift.Supayalebihkuatbagiandalamnyadilubagi berbentuk tabung, kemudian di isi dengan campuran semen, pasir dan batu. Jika alas tiang tersebut sama sisi dengan panjang 15 cm, dantinggitiang4m,makahitunglahvolumegiftyangdiperlukan dan voluma campuran semen , pasir dan batu ! ( Volume tabung = L alas x tinggi, volume tiang / prisma = L alas x tinggi). 9 cm 12 cm 8 cm 10 cm 20 6. Panjang busur, luas juring dan tembereng.a. Panjang busur ( ) Untukmengetahuicaramenghitungpanjangbusursuatulingkaranperhatikanuraian berikut ! Dari gambar di samping diketahui : Sudut lingkaran dengan pusat O = 360o ZAOB=o,denganmenggunkanperbandingansenilai,maka berlaku : lingkaranKAB =0360o AB x 360o = o x Klingkaran AB =lingkaranxK0360o AB = r x to. 23600atau AB = D xto.3600 Contoh: 1. Dari gambar di samping jika diketahui jari-jari lingkaran 7 cm, dan o = 80o, maka hitunglah panjang AB ! Jawab : r = 7 cm, o =80o AB = r x to. 23600 AB = r x to. 23600 AB = cm x 7722. 23608000 AB = cm x4492= cm988 2.DarigambardisampingjikadiketahuiAB=12cm, ZAOB = 80o, ZBOC = 60o, maka hitunglah panjang BC ! Jawab : BCAB=|oBCcmo=1260800 BC x 80o= 12 x 60o BC =1280600xo= 9 cm. O-A B o O-A B o O-A B o C | 21 3. Suatu busur lingkaran panjangnya 5,5 cm, t = 22/7, dan sudut pusat yang menghadap busur tersebut adalah 45o, maka hitunglah jari-jari lingkaran tersebut ! Jawab : AB = r x to. 23600 5,5 = r x72223604500 5,5 = r x722281 5,5 = r1411 r=1114 5 , 5 x=7 cm b. Luas juring. Sama halnya dengan panjang busur, untuk menentukan luas juring pun dapat menggunkan cara yang sama dengan menentukan panjang busur. Perhatikan uraian berikut ! DarigambardisampingdiketahuiterdapatSudutpusatyang besarnya=o,lingkarandenganbesarsudut360o,makakan berlakut : lingkaranLLjAOB=0360o, LjAOB = Luas juring AOB. Lj AOB x 360o = o x Llingkaran Lj AOB=lingkaranxL0360o Lj AOB=20360r xtoatau Lj AOB =2041.360D x to Contoh : 1. Dari gambar di samping jika diketahui jari-jari lingkaran 7 cm, dan o = 80o, maka hitunglah panjang Lj AOB ! Jawab : r = 7 cm, o =80o Lj AOB=20360r xto Lj AOB=200772236080x x Lj AOB= 15492x Lj AOB=292349308cm = O-A B o O-A B o 22 2.DarigambardisampingjikadiketahuiLjAOB=18cm2, ZAOB=80o,ZBOC=60o,makahitunglahpanjang LjBOC ! Jawab : LjBOCLjAOB=|oLjBOCcmo 20186080= Lj BOC x 80o = 18 x 60o LjBOC=1880600xo= 13,5 cm2. 3.Juringsuatulingkaranmempunyailuas39,25cm2,t=3,14,dansudutpusatpadajuring tersebut adalah 45o, maka hitunglah diameter lingkaran tersebut ! Jawab : Lj AOB =2041.360D x to 39,25 =20014 , 341.36045xD x x 39,25 =214 , 341.81xD x x D2 =14 , 34 8 25 , 39 x x= 400 D=cm 20 400 = 4. Dari gambar di samping hitunglah daerah yang diarsir, jika diketahui OA = 10 cm, AB = 8 cm! Jawab : Pada rumus busurluas juring berlaku perbandingan senilai, maka : lingkaranKAB =0360o dan lingkaranLLjAOB=0360o, sehingga : lingkaran lingkaranLLjAOBKAB==0360o lingkaran lingkaranLLjAOBKAB=

Lj AOB = lingkaranlingkaranxLKAB Lj AOB = 22r xrABtt Lj AOB =xrAB2=ABxr x 21 Lj AOB = 240 10 821cm cm cmx x = O-A B o C | O A B 23 c. Luas tembereng Tembreng merupakan bagian dari sektor atau juring, perhatikan gambar disamping ! Tembereng adalah daerah yang diarsir. Sehingga untuk mementukan luas tembereng, langkah pertama yang kita lakukan adalah menhitung luas sektor atau juring AOB, kemudian dikurangi luas segitiga AOB. L tembereng = Lj AOB - LAAOB. Contoh: Dari gambar disamping diketahui, r = 7 cm, ZAOB siku-siku, maka hitunglah : a.Luas juring AOB b.Luas tembereng ( daerah yang diarsir) Jawab :a. Lj AOB=20360r xto Lj AOB=200772236090x x Lj AOB= 25 , 38 15441cm x =b. L tembereng = LjAOB - LAAOB

L tembereng = 38,5 x7x7 L tembereng = 38,5 24,5 =14 cm2. I. Soal-soal pemahaman konsep 1. Sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari7 cm, terdapat dua titik A dan B pada keliling lingkaran tersebut sehingga ZAOB = 60o, maka panjang AB adalah...cm. a. 7,33b. 3,67 c. 2,67d. 2,33 2. Jika pada lingkaran dengan pusat O terdapat dua titik A dan B pada keliling lingkaran ,maka berlaku.... a. lingkaranoK AOBAB 360=Zc. lingkaranKAOB AB Z=0360 b. 0360AOBKABlingkaranZ=d. AOBKABlingkaranZ=0360 O-A B o O- A B 24 3. Sebuah AB panjangnya 16 cm, ZAOB = 50o,ZBOC = 80o, jika titik A,B dan C berada pada keliling suatu lingkaran yang sama, maka BC =...cm. a. 12,0 b. 20,6 c. 21,5d. 25,6 4. Dari gambar di samping, panjang AB adalah...cm. a. 10 c. 25 b. 20d. 30 5. Dari gambar di samping, panjang diameter lingkaran tersebut adalah...cm.(t =3,14) a. 9 c. 18 b. 14d. 21 6. Dari gambar di samping , maka berlaku hibungan.... a. 0360lingkaranLLjAOB =oc. lingkaranLLjAOB0360=o b. lingkaranL LjAOB0360=o d. o0360=lingkaranLLjAOB 7. Dari gambar di samping jika diketahui o = 45o, r = 10 cm dan t = 3,14, maka LjAOB adalah...cm2. a. 78,50c. 19,63 b. 39,25d. 7,85 8. Dari gambar di samping diketahui LjBOC= 12 cm2, maka LjAOB adalah...cm2.a. 22c. 10 b. 18d. 8 O-A B 50o 3,925 cm O-A B o O-A B o O- A B 400 C 600 O-A B 60o C 15 cm 25 9. Dari gambar di samping , jika diketahui r = 14 cm, dan LjAOB = 297119 cm , maka besar sudut o adalah...o. a. 100c. 80 b. 90d. 70 10. Hubungan berikut yang benar adalah.... a. LKABLjAOB=c. 360o= ABLjAOB b. LABKLjAOB = d. KABLLjAOB = 11. Dari gambar di samping, jika diketahui r = 10 cm,maka luas daerah yang di arsir (tembereng) adalah...cm2. a. 57,0c. 20,5 b. 28,5 d. 18,2 12. Luas juring disamping adalah...cm2. a. 50c. 20 b. 40d. 14 13.Darigambardisampingadalahgambarsebuah kolamrenangjikadaerahpersegimerupakan daerah yang 1 meter lebih dalam dari bagian yang lain . Jika diameter kolam tersebut 8 m, maka luas daerah yang dangkal adalah...m2. (t = 3,14) a. 168,96c. 337,92 b. 286,26d. 423,29 14. Dari gambar di samping jika diketahui r = 10 cm, dansegitigaAOBsamasisi,makaluasdaerah yang diarsir adalah...cm2. . (t = 3,14) a. (52,33 - 25\3)c. (55,33 - 25\3) b. (52,33 - 25\5)d. (65,33 - 25\5) O-A B o O-A B O A B 10 cm 4 cm O-O-A B 26 II. Soal Soal Penalaran dan komunikasi 1. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini ! a. b c. 2. Dari gambar di samping ! Buktikan bahwa luas daerah x sama dengan Luas daerah y ! 7 cm 7 cm x y 7 cm 7 cm10 cm 10 cm 7 cm 7 cm 27 III. Soal pemecahan masalah.1.Seorangahlidesainpertamanan membuat sketsa taman seperti gambar disampingdanperencanaan pengairannya. Dari keterangan gambar tersebutberapakahluasarealyang dapat disirami ? 2.Jikatekananairnyadikurangidan luas arealyangdisiramimenjadisetengah dariluaspadano.1,makaberapakah panjang jari-jarinya? 7. Sudut pusat dan Sudut keliling. a. Sudut pusat. Sudutpusatadalahsudutyangdibentukdaridua buahjari-jaripadasuatulingkaran.Perhatikan gambar di samping o adalah salah satu contoh dari sudut pusat. b. Sudut keliling. Sudut keliling adalah sudut yang terbentuk dari dua buahtalibusuryangberpotonganpadakeliling lingkaran.Padagambardisamping|adalahsalah satu contoh sudut keliling pada lingkaran. O-A B o O-A C | B 28 c. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling. Untuk mengetahui hubungan sudut pusat dan sudut keliling perhatikan uraian berikut! Perhatikan gambar disamping! DarigambardisampingZCBD=ZBCO=Zx( karena A BCO sama kaki). Demikian pula ZBAO=ZABD = Zy. ZCOD = 2Zx ( karena sudut luar A DCO) ZAOD = 2Zy ( karena sudut luar A DOA), ZCOA = ZCOD + ZAOD ZCOD = 2Zx + 2Zy = 2 (Zx +Zy), jadi ZCOA = 2ZCBA. Contoh: 1. Tentukan besar Zo dan Z| pada gambar di samping ! Jawab : Zo = ZDOA Zo = . 80o Zo = 40o Zo = Z| = 40o( karena mengahadap pada busur yang sama yaitu AD). 2. Tentukan besar Zo pada gambar di samping ! Jawab : Besar refleks ZCOA = 360o 76o = 284o Jadi Zo = . ZCOB = . 284o . = 142o.( menghadap busur yang sama yaitu busur besar CA). Cara langsung : Zo = . (360 76)o = 142o. O-A C x B x y y D Sudut pusat = 2 x sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama. O-A C B 80o o | D O-A B 76o o C 29 3. Dari gambar di samping tentukan besar Zo dan Z| ! Jawab : ZOAC = ZOCA = 25o ( karena AOCA sama kaki) ZCOA = 180o 2.25o = 130o. Zo= . ZCOA = . 130o = 65o. Z|= . (360 130)o = 115o. Dari hasil tersebut dapat ditarik hubungan antara dua Zo da Z|, sebagai berikut : Zo + Z| = 180o. ( sudut yang saling berhadapan dalam segiempat tali busur jumlahnya 180o) 4. Dari gambar di samping hitunglah besar sudut | ! Jawab : ZAOB = 180o ( garis lurus/diameter) Z|= . ZAOB Z|= . 180o

Z|= 90o Darihasiltersebutmakadapatdisimpulkan bahwahsetiapsudutkelilingyangmengahadap diameter lingkaran besarnya 90o atau siku-siku. d. Sudut yang terbentuk di dalam lingkaaran dari perpotongan dua tali busur. Darigambardisampingsudutoadalahsudutyang terbentukdariperpotongantalibusurABdabCD. Untukmenentukanbesarsuduto,perhatikanuraian berikut ! ZAODsudutpusatdengansudutkelilingnyaZABD, ZCOBsudutpusatdengansudutkelilingnya ZCDB.SehinggapadasegitiaBDE,Zoadalahsudut luar segitiga, maka: Zo = ZABD + ZCDB Zo = ZAOD + ZCOB Zo = (ZAOD + ZCOB) Contoh: Drai gambar si samping jika diketahuiZAOD = 120o, ZCOB = 80o, maka hitunglah Zo ! Jawab : Zo = (ZAOD + ZCOB) Zo = (120o + 80o) Zo = 100o. O-A B 25o | C o D O-A C | B O- A B C D o E O- A B C D o E 30 e. Sudut yang terbetuk di luar lingkaran dari perpanjangan dua tali busur lingkaran. Dari gambar di samping diketahuiZAOB sudut pusat dengansudutkelilinyaZADB,ZCODsudutpusat dengansudutkelilingnyaZCBD.Z|adalahsudut yangterbentukdariperpanjangantalibusurADdan BC.Bila diperhatikan segitiga BDT, maka sudut ADB adalah sudut luar dari segitiga BDT. Sehingga berlaku : ZADB = ZDBC + Z| Z| = Z ADB - Z DBC Z| = Z AOB Z DOC Z| = (Z AOB Z DOC) Contoh : Perhatikangambardisamping!JikadiketahuiZAOB = 100o, ZDOC=40o, maka hitunglah besar Z| ! Jawab : Z| = (Z AOB Z DOC) Z| = (100o 40o ) Z| = 30o. f. Panjang tali busur pada lingkaran (Pengayaan) a.Darigambardisampingdapatditarikhubungan sebagai berikut : AE x EB = DE x EC. b.Darigambardisampikdapatditarikhubungan sebagi berikut : AT x DT = BT x CT c.Dari gambar di samping dapat di tarik hubungan sebagai berikut : AB x CD = AD x CD + AC x BD O - A B C D T | O- A B C D E O - A B C D T O- A B C D E 31 I. Soal soal pemahaman konsep. 1.Dari gambar di samping hitunglah besar sudut ABC ! 2. Dari gambar di samping hitunglah besar sudut AOC ! 3.DarigambardisampingdikatahuisudutACD=50o, maka hitunglah besar sudut ABD dan sudut AOD ! 4.Dari gambar di samping hitung besar sudut ADC dan AOC ! 5. Dari gambar di samping hitung besar sudut ABC dan sudut AOC ! 6.Darigambardisampingjikadiketahuibesarsudut OCA=20o,makahitunglahbesarsudutAOC,sudut ABC dan sudut ADC ! O - A B C 100o O - A B C 55o O - A B C 50o D A O - B C 110o D O - B A C D 32 7. Dari gambar-gambar berikut tentukan besar sudut o,|,,x,dan y! a. b. c. d. b. c. e.f. g. h.i. 8. Tentukan panjang ruas garis-ruas garis pada gambar berikut ! a. Hitunglah panjang ED !b. Dari gambar berikut diketahui: AD = 10 cm, DT = 12 cm, dan 8 cm, maka hitunglah panjang BC an ET ! 80o O - 120o o O - 50o o 45o O - 110o o 70o O - 110o 40o o O - A B C D T 100o 40o o | O - A B C D T 80o 50o o | O - A B C D T oo 50o 30o |o O - A B C D T oo 25o 110o |o x y A O - B C 110o D 85o x y A O - B C 100o D 75o x y o O - 30o 70o x y o |o O- A B C D E 8 cm 6cm 10 cm O - A B C D T 33 c. Dari gambar berikut diketahui AD = 12 cm, BD = 8 cm, BC = 10 cm,AC = 7 cm, dan DC = 18 cm, maka hitunglah panjang AB ! II. Soal-soal penalaran dan komunikasi1.Darigambardisampingdiketahuiduabuah lingkarantersebutmempunyaijarijariyang sama. Maka buktikan bahwa : Besar AC = DC + DE ! 2. Dari gambar di samping buktikan bahwa : ZDFC = DC + ZDTC ! 3.DarigambardisampingdiketahuiBC=12cm, DE = 5 cm, ZD = 30o, maka hitung panjang AC !

O- A B C D E -A- C- - -D E- - B O - A B C D T F O-D E A C B 34 PETA KONSEP GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN MEMOTONGMENYINGGUNGTIDAK MEMOTONG DAN TIDAK MENYINGGUNG TITIK SINGGUNG DI LUAR LINGKARAN TITIK SINGGUNG PADA LINGKARAN GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM 35 BAB II GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN . 1. Kedudukan garis terhadap lingkaran. Perahatikan beberapa contoh kedudukan garis terhadap suatu lingkaran. Dari gambar di samping dapat dilihat bahwah garis atidakmemotongataumenginyinggunglingkarn. Garisbmenginggunglingkarandangarisc memotong lingkaran. Dengandemikian,makagarisdikatakan menyinggunglingkaranjikaanatagarisdan lingkarantersebutmemilikisatutitik persekutuan. Sedangkansuatugarisdikatakanmemotong lingkaranjikaantaragarisdanlingkaran tersebut memiliki 2 titik pesekutuan. 2. Garis singunggung pada lingaran melalui sebuah titik pada lingkaran. Jikaterdapatsebuahtitikpadalingkaranmaka akandapattepatsatubuahgarissinggungyang melalui titik tersebut. Perhatikan gambar di samping ! Cara melukis garis singgung dengan titik singgung pada lingkaran. Gb.1Gb.2 O-a b c -P -Q -R O-l -P

O--P- - O--P- -Tujuan pembelajaran : a.Menentukan sifat-sifat garis singgung dan garis yang melalui titik pusat. b.Mengenal garis singgung persekutuan luar dan dalam pada dua lingkaran. 36 Gb.3 Langkah : 1.Buatlahgarisyangmenghubungkantitikpusatdengatitikp,kemudianbuatlahlingkaran dengan pusat titik P. Gb.1 2.Buatlahbusurlingkarandenganpusatmasing-masingperpotonganantaralingkaran dengan garis yang melalui titik O dan P,kedua busur tersebut harus berjari-jari sama . Gb 2 3.Tariklahgarismelaluiperpotongan-perpotongantitikbusur lingkaranyangterbentukpada langkah ke-2. Gb 3., maka garis yang terbentuk (garis l ). 3. Garis singgung pada lingkaran yang melalui titik diluar lingkaran, Dari sebuah titik yang terdapat di luar lingkaran akan dapatdibuatduabuahgarisyangmenyinggung linfgkaran tersebut. Perhatikan gambar di samping ! a. Cara melukis garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. O-l -P- -O--P O--P O--P 37 Gb. 1Gb.2

Gb.3Gb.4. Gb.5Gb.6 Langkah-langkah: 1.Buatlah garis yang melalui titik O dan P. Gb.1 2.Buatlah busur lingkaran dengan pusat O dan Pdengan jari-jari yang sama. Gb 2 3.Tariklahgarisyangmenghubungkanduatitikperpotongankeduabusurlingkaranpada langkah ke-2. Gb3. 4.BuatlahlingkarandenganpusatperpotonganantaragarisOPdangarisyangtadidibuat pada langkah ke-3.Gb4. 5.Buatlahgarissinggungyangmelaluiperpotonganlingkaranpadalangkahke-4dengan lingkaran O ke titik P. Gb5. 6.Tariklah masing-masing jari pada masing-masing titik singgungnya. Garis yang melalui titik AP dan BP adalah garis singgung yang kita cari. Gb 6. -P O- - O--P- O--P- O--P A B 38 Soal-soal Pemahaman konsep Lukislah garis singgung-garis singgung pada lingkaran yang melalui titik-titik berikut ! 1.2. 34.. 5. O--P O--P O--P O--P O--P 39 b. Menghitung panjang garis singgung yang dibentuk dari titik di luar lingkaran. Perhatikan gambar di samping ! Dari gambar tersebut, makadapatdibuatpersamaanyangmenggunakan dalilPythagoras,karenapadagambartersebut terbentukduasegitigasiku-sikuyaituAAOPdan ABOP. Sehingga dapat ditarik hubungan: AP = 2 2OA OP AP = 2 2r OP Contoh soal : 1.Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari6 cm, dari titik P yang berjarak 10cmdaripusatlingkarantersebutditarikgarissinngungterhadaplingkarantersebut. Maka hitunglah panjang garis singgung yang terbentuk ! Jawab : r = 6 cm, OP = 10 cm Panjang garis singggung = 2 2r OP = 2 26 10 =cm 8 64 = 2. Dari gambar di samping jika diketahui OA = 3 cm, OP = 5 cm, maka hitunglah : a. AP b. Luas OAPB c. AB Jawab : a. AP = 2 2r OP =2 23 5 =. 4 16 cm = b. Luas OAPB = 2x LAOAP (karena layang-layang OAPB terbentuk dari AOAP dan AOBP) = 2x (1/2 . 3 x 4 ) = 2 x 6 cm= 12 cm2. c. AB = salah satu diagonal layang-layang OAPB. Luas OAPB =2OPxAB 12 cm2= 25xAB 5x AB= 2 x 12 AB = 24/5 = 4,8 cm. O--P A B O--P A B D 40 I. Soal Pemahaman konsep. 1. Sebuah titik berada pada jarak 10 cm dari pusat suatu lingkaran dengan jari-jari 6 cm, maka panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik tersebut adalah... cm. a. 10b. 9 c. 8d. 5 2. Dari gambar di samping diketahui OA= 5 cm dan OB = 13 cm, maka luas layang-layang OABC adalah...cm2 a. 65c. 55 b. 60d. 50 3.DraigambardisampingjikadiketauipanjangOA=6cm dan OB = 10 cm, maka panjang AC adalah...cm. a. 9,6c. 4,8 b. 5,4d. 2,4 4.DarigambardisapingjikadiketahuipanjangAP=9cm dan OC = 7 cm, maka panjang BC adalah....cm a. 6,00c. 9,50 b. 6,72d. 9,75 5.Draigambardisampingjikadiketahui luaslayang-layang OABC = 150 cm2, dan panjang AB = 20 cm, maka panjang Ac adalah....cm a. 48c. 24 b. 25d. 20 O--B A C O--B A C D O-P-A B C D O--B A C D 41 6.Darigambardisampingluasdaerahyangdiarsir adalah...cm2. a. 31102 3 45 + c. 31103 5 45 +b. 32102 3 49 + d. 31103 5 49 + 7. Sebuah lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari r, jika terdapat titik P , maka syarat berikut yang harus berlaku agar terdapat minimal satu garis yang melewati titik P dan menyinggung lingkaran O adalah.... a. OP < rb. OP > rc. OP = rd. 2OP = r 8. Jika terdapat lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r, terdapat titik P di luar lingkaran, sehinggaterbentukgarisyangmelaluititikPdanmenyinggunglingkaranO,garistersebut AP, maka perssamaan berikut yang benar adalah.... a. 2 2 2r OP AB + =b. 2 2 2r OP AB = c. 2 2 2OP r AB = d.r OP AB + = 9.Darigambardisampingjikajari-jarilingkaran=r, maka luas OABC adalah.... a. 2.AB rL = c.AB r L . . 2 =b. 2.AC rL = d.AB r L . = 10.SebuahlingkarandenganpusatOdanberjari-jari5cm,dansebuahtitikPdiliuar lingkaran. Jika panjang garis singgung yang melalui titik P pada lingkaran O adalah12 cm ,maka panjang OP adalah...cm. a. 16b. 16c. 14d. 13 II. Soal penalaran dan komunikasi. 1. Dari gambar di samping buktikan bahwa : AD + BC = AB + DC ! 2.Darigambardisampinjikadiketahuipanjangjari-jarilingkaran=5cm,danpanjangOP=13cm, maka luas hitunglah luas daerah yang diarsir ! 30o 7 cm - 14 cm O--B A C D A B C D -Q -R P- -R O--B A C 42 3. Dari gambar di samping hitunglah besar ZA , ZB dan Z C ! 4. Jika terdapat sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r,dan terdapat titik P. Jelaskan kapan kita dapat melukis garis yang menyinggung lingkaran O dan melalui titik P ! ( gunakan gambar untuk menjelaskan jawabanmu! )

45o 65o AB C 43 4. Garis singgung persekutuan antara dua lingkaran. Garis singgung persekutuan antara dua lingkaran ada dua jenis yaitu: 1.Garissinggungpersekutuanluar,seperti gambar 1 (Gb. 1). 2.Garissinggungpersekutuandalam,seperti gambar 2 (Gb. 2). Gb. 1 Gb.2 Dalamkehidupansehari-hariseringkitajumpaipenggunaandarigarissinggungpersekutuan antara dua lingkaran.Sebagai contoh rantai pada sepeda, ban pengerak pada mesin dan ada beberapa bagian dari mesin mobil yang menggunakan prinsip garis singgung persekutuan luar antara duda lingkaran, dan sebenarnya masih banyak contoh-contoh yang lain. A. Melukis garis singgung persekutuan dalam. Langkah-langakah: 1.Tariklahgarisyang menghubungkandautitikpusat lingkaranAdabB.Kemudianbuat lahlingkarandenganpusatdiA dengan panjang jari-jari merupakan penjumlahandariduajari-jari lingkaran tersebut ( R+r). 2.Lukislahbusurlingkarandengan pusatdiAdanBdenganjari-jari lebihpanjangdarisetengahAB. Kemudiantariklahgarisyang menghubungkantiti-titikada perpotongan dua busur tersebut. A - - B A - - B- R 44 3.Lukislah lingkaran dengan pusat titik R. Dengan panjang jari-jarinya sama dengansetengahdaripanjangAB. KemudiantariklahgarisAX. TandailahperptongangarisAX dengan lingkaran A dengan titik P. 4.Tariklahgarisyangmengubungkan titikXdenganB.Kemudianbuatlah garis yang sama dan sejajar dengan XBdanmelaluititikPsehingga menyinggunglingkaranBdititikQ. MakaPQadalahgarissinggung persekutuandalamlingkaranAdan B. B. Melukis garis singgung persekutuan luar. 1.HubungkanduatitikpusatAdanB padakedualingkarantersebut. Kemudianbuatlahlingkarandengan pusatdiAdenganpanjangjari-jari hasilpenguranganjari-jarilingkaran A dan B ( R r). 2.Lukislahbusurlingkarandengan pusatdiAdanBdenganjari-jari lebihpanjangdarisetengahAB. Kemudiantariklahgarisyang menghubungkantiti-titikada perpotongan dua busur tersebut. 3.Lukislahlingkarandenganpusat titikR.Denganpanjangjari-jarinya samadengansetengahdari panjangAB.Kemudiantariklah garisAX.Tandailahperptongan garisAXdenganlingkaranA dengan titik P A - - B- R x P A - - B- R x P Q A - - B A - - B- R A - - B- R X P 45 4.Tariklahgarisyangmengubungkan titikXdenganB.Kemudianbuatlah garis yang sama dan sejajar dengan XBdanmelaluititikPsehingga menyinggunglingkaranBdititikQ. MakaPQadalahgarissinggung persekutuandalamlingkaranAdan B. Soal-soal Pemahaman konsep Lukislah garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran berikut ! 1. 2.

Lukislah garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran berikut ! 1.2. A - - B- R X P Q A - - B A - - B A - - B A - - B 46 C. Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran. 1. Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran. Perhatikan segitiga ABX adalah segitiga siku-sikudiX.PanjangXB=PQ(garissinggung persekutuan dalam). Sehingga berlaku ; 2 2 2AX XB AB + =2 2 2AX AB XB =2 2) ( r R AB XB + = ,jadi panjang PQ2 2) ( r R AB + = . Contoh soal. 1. Dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, masing-masing berjari-jari 4 cm dan 2 cm, jika jarak kedua pusatnya 10 cm, maka hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya ! Jawab: AB = 10 cm, R = 4 cm, r = 2 cm,Garis singgung persekutuan dalam ( gd ) 2 2) ( r R AB + = 2 2) 2 4 ( 10 + = 2) 6 ( 100 =36 100 =cm 8 64 = = 2.Duabuahlingkarandenganjari-jarimasing-masing8cmdan4cm,jikadiketahui panjang garis singgung prsekutuan dalamnya 9 cm, berapakah jarak kedua pusatnya ? Jawab : R = 8 cm, r = 4 cm, gd = 9 cm gd 2 2) ( r R AB + =9 2 2) 4 8 ( + = AB 2 2 212 9 = AB 2 2 212 9 + = AB15 144 81 = + = ABcm. 2. Garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar di Samping !. Segitiga ABXadalahsegitigasiku-sikudansiku-sikudiX.PanjangXB=PQ.Maka berlaku: 2 2 2AX XB AB + =2 2 2AX AB XB =2 2) ( r R AB XB = ,jadi panjang PQ ( gl )2 2) ( r R AB = Contoh: A - - B x P Q R r A - - B X P Q 47 1. Dua buah lingkaran dengan pusat A dan B dengan jari-jari masing-masig 16 cm dan 4 cm.Jikajarakkeduapusatnya20cm,makahitunlahpanjanggarissinggung persekutuan luar (gl) kedua lingkaan tersebut ! Jawab: R = 16 cm, r = 4 cm, AB = 20 cm.gl 2 2) ( r R AB =gl 2 2) 4 16 ( 20 =gl 2) 12 ( 400 =glcm 16 144 400 = = 2. Dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusatnya 15 cm, salah satu jari -jari lingkaran tersebut 11 cm, dan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaan tersebut 12 cm. Maka hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain ! Jawab : R = 11 cm, AB = 15 cm, dan gl = 12 cm gl 2 2) ( r R AB =12 2 2) 11 ( 15 r =122 2 2) 11 ( 15 r =144 225 ) 11 (2 = r81 ) 11 ( = r11- r= 9 - r= 9 -11 = -2 r= 2 cm I. Soal-soal pemahaman konsep. 1. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 6 cm dan 2 cm. Jika jarak kedua pusatnya 10 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah.... a. 8 cmb. 7 cm c. 6 cmd. 5 cm 2. Dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusatnya 25 cm , jika panjang masing-masing jari-jarinya18cmdan3cm,makapanjanggarissingungpersekutuanluardualingkaran tersebjut adalah.... a. 24 cmb. 20 cmc. 12 cmd. 10 cm 3. Lingkaran dengan pusat O berjari-jari 8 cm, lingkaran dngan pusat Q dengan jari-jari 4 cm, jikapanjanggarissingungpersekutuandalandualingkarantersebutmakajarakkedua pusatnya adalah.... a. 24 cmb. 20 cmc. 18 cm d. 16 cm 4.Duabuahlingkaranjarakkeduapusatnya10cm.Salahsatujari-jarilingkarantersebut adalah 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalamnya 8 cm, maka pajang jari-jari lingkaran yang lain adalah....cm. a. 10b. 8c. 6d. 2 48 5. Diketahuilingkaran dengan pusat O berjari-jari 5 cm dan dengan pusat P jari-jarinya 2 cm. Jarakkeduapusatlingkarantersebut24cm.Jikagarissinggngpersekutuanluardua lingkarantersebutdiperpanjangsehingganmemotongdixdenganperpanjangOP,maka panjan OX adalah ....cm. a. 7626b. 7617 c. 7610d. 7176.Diketahuiduabuahlingkarandenganjari-jaimasing-masing20cmdan8cm,jarakkedua pusatnya37cm.Makapanjanggarissinggungpersekutuanluardualingkarantersebut adalah....cm. a. 45b. 40c. 35d. 30 7. Dikatahui dua buah lingkaran dengan jari-jari masing-masing 16 cm dan 6 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luar adanata kedua lingkaran tersebut adal ah 12 cm, maka jarak kedua pusat dua lingkaran tersebut adalah....cm. a. 10 b. 13c. 14d. 15 8.Duabuahlingkarandenganjarakkeduapusatnya20cm,panjanggarissinggung persekutuanluarnya16cm.Jikapanjangjari-jarilingkaranyangkecil4cm,maka perpandingan jari-jari lingkaran besar dan kecil adalah....cm. a. 2 : 1b. 4 :1c. 5 :1d. 6 :1 9. Jika dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari x dan y ( x > y),jika jarak kedua pusatnya z,jikapanjanggarissinggungpersekutuandalamdualingkarantersebutadalahwmaka dapat dinyatakan sebagai.... a.) (2 2 2 2y x z w + = c. 2 2 2) ( y x z w + =b.) (2 2 2 2y x z w = d. 2 2 2) ( y x z w + = 10.Jikaduabuahlingkaranmasing-masingberjari-jarixdany(x>y),jikajarakkedua pusatnyaz,jikapanjanggarissinggungpersekutuanluardualingkarantersebutadalahwmaka dapat dinyatakan sebagai.... a.) (2 2 2 2y x z w + = c. 2 2 2) ( y x z w + =b.) (2 2 2 2y x z w = d. 2 2 2) ( y x z w + = II. Soal-soal penalaran dan komunikasi 1.DarigambardisampingjikadiketahuiDA= 12cm,BC=5cmdanAB=25cm,maka hitunglah : a. DC b. DE c. BE 2.Duabuah lingkaran denganpusatAdan Bberjari-jariR, r(R>r).Tentukansyaratjarak kedua pusat lingkaran tersebut agar kedua lingkaran tersebut : a. mempunyai garis singgung persekutuan luar b. mempunyai garis singgung persekutuan dalam

3.DarigambardisampingjikadiketahuiOB=2 cm,PO=8cm,makahitunglahluasdaerah yang di arsir !

... D C E A B PO A B 49 4. Dari gambar di samping hitung panjang: a. DC b. Jari-jari masing-masing lingkaran. 5. Dari gambar di samping jika diketahui panjang jari-jarilingkaranA=9cm,danlingkaranB=4cm, maka hitung panjang jari-jari lingkaran C ! ( boleh menggunakan Kalkulator) D. Panjang sabuk lilitan luar dan dalam antar dua linkaran.

Panjang seluruh rantai yang digunakan untuk menghubungkan kedua roda tersebut adalah panjang sabuk luar (Gb. 1) dan panjang sabuk dalam (Gb.2) 1.Menghitung panjang sabuk luar. Darigambardisampingmakadapat untukmenghitungpanjangsabuk lilitan luar adalah ( SL) : 2 2000) ( . 2 2 .3603602 .360r R AB r R SL ++ = toto Gb.1 Gb.2 A - - B P Q o 360o-o R r 20 cm C A B 15 cm 25 cm D A- -B -C 50 Contoh : Perhatikan gambar di samping ! Hitunglahpanjangsabuklilitanyang diperlukan oleh gambar di samping. Jawab : o = 360o-2x60o =240o R = 7 cm, r = 2 cm 2 2000) ( . 2 2 .3603602 .360r R AB r R SL ++ = toto 2 200 000) 2 7 ( 10 . 2 2 . 14 , 3 . 2 .360240 3607 .7222 .360240 ++ = SL 75 . 2 19 , 4 33 , 29 + + = SL = 50,84 cm. 2. Menghitung panjang sabuk lilitan dalam. Dari gambar di samping, maka panjang sabukliltandalam(SD)dapatdihitung sebagai berikut : 2 20 0) ( . 2 2 .3602 .360r R AB r R SD + + + = toto ( )2 20) ( . 2 2 .360r R AB r R SD + + + = to Contoh : Hitunglah panjang sabuk lilitan dalam pada gambar di samping ! Jawab :R = 5 cm, AB = 14 cm, r = 2 cm, o = 360o-2x60o =240o ( )2 20) ( . 2 2 .360r R AB r R SD + + + = to ( )2 20) 2 5 ( 14 . 2 2 57222 .360240+ + + =oSD SD = 29,33 + 24,48 = 53,81cm 2 cm A - - B P Q 60o 7 cm 10 cm A - - B P Q R r oo A - - B P Q 5 cm 2 cm 60o 14 cm 51 I. Soal-soal pemahaman konsep. Hitunglahpanjangsabukdalamdanluarpadagambarberikut!(bolehmenggunakan kalkulator) 1. 2. 3.4. II. Soal-soal pemecahan masalah. 1.Terdapat6buahpipadengandiameteryangsama.Bagaimanakahcaramengikat6pipa tersebut menjadi satu dengan menggunakan tali yang seminim mungkin ? Jelaskan dengan menggunakan gambar ! 2.Gambardisampingadalahsebuahfigoraberbentuklingkaran. Jika diameter figora tersebut 20 cm dan sudut POA = 30o, maka panjang tali yang digunakan untuk menggantung figora tersebut!

3. Jika terdapat sepuluh pipa seperti gambar berikut. Maka cara mengikat yan manakah yang memerlukan tali yang paling sedikit, jika diameter pipa sama? Jelaskan dengan menghitung masing-masing panjang tali pada gambar berikut !

A - - B P Q 60o 8 cm 15 cm 3 cm A - - B P Q 8 cm 2 cm 60o 20 cm D C E A B 4 cm 4 cm 4 cm 10 cm 10 cm 10 cm O P A a.b. c. d. 12cm 25cm 5cm 850 52 PETA KONSEP BANGUN RUNAG SISI DATAR(BRSD) UNSUR-UNSUR BRSD JARING-JARING BRSD LAS PERMUKAAN VOLUME 53 BAB III BANGUN RUANG SISI DATAR (BRSD) 1. Unsur-unsur bangun ruang sisi datarBilakitaperhatikanBangunruangsisidataradalahsuatutopikpelajaranyangpernah kitapelajaridisekolahdasar(SD).Cobakamuingatbangunruangsisidatarapasajayang pernahkamupelajari?.Bilakitasekarangberadadidalamsuatumodelbangunruang,kira-kira bangun ruang apa yang sedang kita amati ?Mengapa demikian ? Coba perhatikan baik-baik unsur-unsur apa sajakah yang dimiliki oleh ruangan kelasmu tersebut ! Bilakitaperhatikanbangunruangyangmenyerupaikelaskitaadalahbalok.Karena ukuran panjang lebar dan tingginya tidak sama. Unsur-unsur Balok dan kubus Dari gambar di samping maka dapat kita ketahui unsur balok adalah: 1.Memiliki12rusukyangterdiridari4rusuk panjang, 4 rusuk lebar dan 4 rusuk tinggi. 2.Memiliki 4 titik sudut 3.Memilki 6 sisi ( dinding ) 4.Memiliki 12 diagonal sisi 5.Memiliki 4 diagonal ruang 6.Memilki 6 bidang diagonal BerdasarkangambarbalokABCD.EFGHdiatas,makajawablahpertanyaan-pertanyaan berikut ! 1.Sebutkan semua rusuk dari balok tersebut ! 2.Sebutkan semua titik sudutnya ! 3.Sebutkan semua sisinya ! 4.Sebutkan semua diagonal sisinya ! Tunjukkan pula dengan gambar ! Tujuan pembelajaran : a. Menyebutkan unsur-unsur kubus, balok, prisma dan limas. b. Membuat jaring-jaring kubus, balok, primas dan limas c. Menemukan luas pemukan kubus ,balok, prisma dan limas d. Menentujan luas permukaan kubus, balok, prisma dan limas e. Menemukan rumus volume kubus, balok, prisma dan limas f. Menentukan volume kubus, balok, prisma dan limas AB C E F G H AB C E F G H D AB C E F G H D 54 5.Sebutkan semua diagonal ruangnya !Tunjukkan pula dengan gambar ! 6.Sebutkan semua bidang diagonalnya ! Tunjukkan pula dengan gambar ! 7. Sebutkan semua pasangan rusuk yang saling sejajar ! 8. Sebuatkan semua pasangan rusuk yang saling berpotongan ! 9. Sebutkan semua pasangan rusuk yang saling bersilangan ! 10. Sebutkan semua pasangan sisi yang saling sejajar ! 11. Sebutkan pasangan sisi yang saling tegak lurus ! 12.Apakahperbedaanantararusukyangsalingberpotongandan rusuksalingbersilangan ?. Jelaskan ! Untuk berikutnya perhatikan gambar di samping !.PQRS.TUVW adalah sebuah kubus. Berdasarkan model kubus PQRS.TUVW tersebut, maka jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut : 1.Sebutkan semua unsur-unsur dari kubus PQRS.TUVW ! PQ R T U V W PQ R T U V W S AB C E F G H D AB C E F G H D AB C E F G H D AB C E F G H D AB C E F G H D AB C E F G H D AB C E F G H D 55 2.Sebutkan semua rusuk dari balok tersebut ! 3.Sebutkan semua titik sudutnya ! 4.Sebutkan semua sisinya ! 5.Sebutkan semua diagonal sisinya ! Tunjukkan pula dengan gambar ! 6.Sebutkan semua diagonal ruangnya ! Tunjukkan pula dengan gambar ! 7.Sebutkan semua bidang diagonalnya ! Tunjukkan pula dengan gambar ! . 8. Sebutkan semua pasangan rusuk yang saling sejajar ! 9. Sebuatkan semua pasangan rusuk yang saling berpotongan ! 10. Sebutkan semua pasangan rusuk yang saling bersilangan ! 11. Sebutkan semua pasangan sisi yang saling sejajar ! 12. Sebutkan pasangan sisi yang saling tegak lurus ! 13.Apakahperbedaanantararusukyangsalingberpotongandan rusuksalingbersilangan ?. Jelaskan ! PQ R T U V W S PQ R T U V W S PQ R T U V W S PQ R T U V W S PQ R T U V W S PQ R T U V W S PQ R T U V W S PQ R T U V W S 56 2. Jaring-jaring Balok dan kubus Contoh jaring-jaring Balok Dari gambar di atas adalah suatu gambar dari bentuk balok sebuah kotak roti kemudian kita lepas bagian-bagian sehingga menjadi jaring-jaringnya. Tugas kelompok :1.Carilah dua buah kotak tempat makanan atau roti yang ukuran dan jenisnya sama. 2.Ukurlah panjang rusuk-rusuknya. 3.Satu diantara dua kotak tersebut di lepas menjadi-jaringnya 4.kemudian satu buah kotak yang utuh ditempelkan pada kertas karon dan sebelanya jaring-jarinya dan sebelahnya gambar jaring-jarinya dengan ukuran yang sama dengan aslinya. Perhatikan jaring-jaring balok berikut dan cara memotongnya menjadi jaring-jaring balok !

AB C E F G H D A B CD G H B F F E A E FE Arah guntingan 57 Contoh Jaring-jaring kubus.

Soal-soal pemahaman konsep 1.Buatlah 4 jaring-jaring berbeda dari balok ABCD.EFGH berikut ! Ukuran balok AB = 4 cm, BC = 2 cm, dan AE = 3 cm. .. 2. Buatlah 6 buah jaring-jaring yang berbeda dari kubus dengan panjang rusuk 3 cm, berikut ini ! AB C D E F GH A B CD EF EF HGF B A E Arah guntingan AB C E F G H D PQ R T U V W S 58 3. Besaran-besaran pada Kubus dan balok 1. Luas permukaan kubus Luas permukaan kubus adalah jumlah dari luas masing-masing sisi kubus tersebut. Perhatikan Gambar kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk s cm berikut ! Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa mencari luas permukaan kubus PQRS.TUVW sama halnya menghitung luas daerah dari jaring-jaring kubus tersebut. Deengan demikian maka dapat ditulis : Luas permukaan kubus = Luas juring kubus = 6 x luas persegi = 6 x s x s Luas permukaan kubus = 6 x s2 2. Luas permukaan balok Demikian pula untuk meghitungluas permukaan balok caranya sama dengan cara menghitung luas permukaan kubus.Cobalah tunjukkan bahwa luas permukaan balok =) ( 2 lxt pxt pxl x + + , bila balok ABCD.EFGH mempunyai panjang = p cm, lebar = l cm dan tinggi = t cm.

PQ R T U V W PQ R T U V W S s s s s s s s s L = s2 AB C E F G H AB C E F G H D A B CD G H B F F E A E FE 59 Contoh : 1.Sebuah kubus dengan panjang rusuk 6 cm, maka hitunglah : a. Panjang seluruh rusuknya b. Luas permukaannya Jawab : Panjang rusuknya ( s) = 6 cm a. Panjang seluruh rusuk kubus = 12 x s = 12 x 6 cm = 72 cm. b. Luas permukaan = 6 x s2 = 6 x 62 = 216 cm2. 2. Sebuah kubus dengan panjang diagonal sisinya 8 2 cm, maka hitunglah : a. panjang rusuk b. Luas permukaan. Jawab : a. Diagonal sisi (ds) = 8 2 cm. ds = 2 2s s + ds= 22s 8 2 = s 2 s = 8 cm. 3. Kubus ABCD.EFGH diketahui panjang AG = 10 3 cm, maka hitunglah : a. panjang rusuk kubus b. luas permukaaanya Jawab : a. AG = diagonal ruang = 2 2 2s s s + + 10 3= 23s10 3=3 s s= 10 cm 4. Sebuah balok dengan ukuran panjang = 8 cm, lebar = 5 cm dan tinggi = 4 cm, maka hitunglah: a. panjang seluruh rusuknya b. luas permukaanya Jawab : P = 8 cm, l = 5 cm dan t = 4 cm a. Panjang seluruh rusuk balok = 4.( p + l + t ) = 4 .( 8 + 5 + 4 ) =4. 17 = 68 cm. 5. Sebuah balok dengan panjang seluruh rusuknya 76 cm, jika p = 10 cm, l = 4 cm, maka hitunglah : a. tinggi balok tersebut b. luas balok tersebut. Jawab : a. Panjang seluruh rusuk balok = 4.( p + l + t ) 76 = 4. (10 + 4 + t) b. Luas = 6 x s2 = 6 x 82 = 384 cm2 b. Luas = 6 x s2 = 6 x 102 = 600 cm2 b. Luas = 2 x ( pxl + lxt + pxt ) = 2 x ( 8x5 + 5x4 + 8x4) = 184 cm2 60 76= 4.( 14 + t) 76/4 = 14 + t 19 14 = t t = 5 cm. b. Luas = 2 x ( pxl + lxt + pxt ) Luas= 2 x ( 10x4 + 4x5 + 10x5) Luas= 2 x(110) = 220 cm2 6. Dari gambar di samping jika diketahui luas ABFE = 60 cm2, luas EFGH = 40 cm2 dan AE = 6 cm, maka hitubglah : a. panjang AB , dan EH b. Luas permukaan ABCD.EFGH Jawab : Luas ABFE = 60 cm2, luas EFGH = 40 cm2 dan AE = 6 cm a. Luas ABFE = AB x AE 60= AB x 6 60/6 = AB AB = 10 cm. Luas EFGH = EF x EH, EF = AB = 10 cm 40= 10 x EH 40/10= EH EH= 4 cm I. Soal-soal Pemahaman Konsep 1. Luas permukaan kubus dengan panjang rusuk 5 cm adalah....cm2. a. 20b. 30c. 125d. 130 2. Sebuah balok dengan ukuran 8 cm x 6 cm x 5 cm ,maka luas permukaan balok tersebut adalah...cm2. a. 19b. 76c. 236d. 240 3. Kubus dengan luas permukaan 96 cm2, maka panjang seluruh rusuk kubus tersebut adalah....cm.a. 4 b. 12c. 24d. 48 4. Sebuah balok bagian alas luasnya 48 cm2, bagian depan 32 cm2, jika tinggi balok tersebut 4 cm, maka luas permukaan balok tresebut adalah....cm2. a. 208b. 158c. 104d. 80 5. Sebuah kubus dengan panjang rusuknya 4 cm, maka luas bidang diagoalnya adalah....cm2. a.3 8 b.3 12 c.3 16 d.3 20 6. Sebuah balok ABCD.EFGH dengan ukuran AB = 8 cm, BC = 6 cm dan AE = 4cm, maka luas daerah ACGE adalah....cm2. a. 80b. 60c. 40d. 24 7. Sebuah kubus dengan keliling alas 40 cm, maka luas permukaan kubus tersebut adalah....cm2. a. 160b. 200c. 400d. 1000 AB C E F G H D b. Luas = 2 x ( pxl + lxt + pxt ) = 2 x ( 10x4 + 4x6 + 10x6) = 296 cm2 61 8. Kubus dengan luas permukaannya 216 cm2. Maka luas bidang diagonal kubus tersebut adalah....cm2

a.3 36 b.3 49 c.3 81 d.3 100 9. Sebuah balok dengan p : l : t = 3 : 2 : 1. Jika diketahu panjang balok tersebut 6 cm, maka luas permukaan balok tersebut adalah....cm2. a. 88b. 102c. 120d. 150 10. Sebuah kubus rusunya s, kemudian rusuk kubus tersebut diperkecil 10 %, maka perbandingan luas permukaan semula dengan luas setelah diperkecil adal ah..., a. 100 : 90b. 100 : 81c. 91: 100d. 81 : 100 II. Soal-soal penalaran dan komunikasi. 1. Tentukan besar perubahan luas permukaan kubus yang mempunyai rusuk 8 cm, dan mengalami : a. rusuknya dikurangi 10% dari panjang semula b. rusuknya diperpanjang 20% dari semula 2. Sebuah balok dengan perbandingan p : l : t = 4 : 3 : 2 dan lluas permukaan balok tersebut 208 cm2. Maka hitung : a. p , l dan t b. panjang selurruh rusuknya. 3. Sebuah balok dengan p = 12 cm, l = 10 cm, t = 8 cm. Maka hitunglah : a. perubahan luas permukaanya jika masing-masing rusuknya diperkecil 10 %. b. perubahan luas permukaanya jika masing-masing rusuknya diperpanjang 20% 4. Sebuah kubus dengan luas bidang diagonalnya 144 3 cm2. Mka hitunglah ; a. panjang rusuknya b. luas permukaannya 5. Gambar balok di samping terbentuk dari tiga buah kubus jika panjang rusuk kubus 6 cm, maka hitunglah luas permukaan balok ! 62 III. Soal soal pemecahan masalah. 1. Terdapat dua buak kertas karton dengan ukuran yang sama, yaitu 14 cm x 12 cm. Masing, masing akan dibuat jaring-jaring kubus dan balok, maka tentukan ukuran kubus dan balok yang dapat dibentuk agar sisa kertas korton yang terbuang minimum (paling sedikit) ! 2. Dari karton berikut buatlah sebuah kotak tempat kue masing-masing berbentuk kubus dan balok lengkap dengan ukuran kertas untuk penutup dan lipatan untuk lemnya ! Kubus Balok

63 3. Volume Kubus Untuk mengetahui volume atau isi kubus perhatikan ilustrasi berikut ! Kubusyangbesarakankitaisidengankubuskecilsampaipenuh.Perhatikangambar beriku ! Darigambardiatasmakamenurutkamuberapakahjumlahkubuskecilyangdapat dimasukkan kedalam kubus besar ?. Jumlah kubus kecil yang dapat masuk edalam kubus besarmerupakanisiatauvolumedarikubusbesartersebut.Bilakitalanjutkansampai penuhternyatajumlahkubusyangdiperlukanuntukmemenuhikubusbesaradalah27 kubus kecil. Dengan demikian maka Volume atau isi kubus besar = 27 kubus kecil. Volume kubus = 27 kubus kecil ternyata sama dengan 3 x 3 x 3. Jadi Volume Kubus = s x s x s = s3 4. Volume Balok. Bagaimana halnya dengan volume balok ?. Pada prinsipnya sama. Dengan menggunakan ilustrasi berikut tentukan rumus volume balok ! Dariilustrasidiaatas,makaberapajumlahkubuskecilyangdiperlukanuntukmemenuhi balok ?, Jadi volume balok = .........Kubus kecil. Dan Volume kubus =.............................. I. Soal-soal Pemahaman konsep. 1. Sebuah kubus dengan rusuk s, maka rumus volume kubus tersebut adalah.... a. V = s3b. V = 6xs2c. V = 4xs2d. V = s2 2. Sebuah balok dengan ukuran panjang = p, lebar = l dan tingginya = t,maka volume balok tersebut adalah.... a. V = 2x( pxl + pxt + lxt )b. V = 4x( p + l + t)c. V = pxlxtd. V = 2xpxlxt 3 cm 3 cm 3 cm 1 cm 1 cm 1 cm 3 cm 3 cm 3 cm 1 cm 1 cm 1 cm 5 cm 3 cm 2 cm 5 cm 3 cm 2 cm 64 3. Sebuah kubus dengan panjang rusuk10 cm, maka volume kubus tersebut adalah....cm3. a.600b. 800c. 1.000d. 1.200 4.Sebuahbalokdenganukuranpanjang=10cm,lebar=8cm,dantinggin=6cm.Maka volume balok tersebut adalah....cm3. a. 480b. 490c. 376d. 200 5. Sebuah kubus dengan luas permukaan 150 cm2. Maka volume kubus tersebut adalah....cm3. a. 125b. 150c. 525d. 625 6. Sebuah balok dengan luas permukaan 166 cm2. Jika p= 7 cm dan l = 4 cm,maka volume balok tersebut adalah....cm3. a. 140b. 200c. 220d. 280 7.Sebuahkubusdenganluasbidangdiagonalnya100\2cm2.Makavolumekubustersebut adalah....cm3. a. 200b. 400c. 800d. 1.000 8.Sebuahbalokdengan p: l:t=3:2:1.Jikapanjangbaloktersebut12cm,makavolume balok tersebut adalah....cm3. a. 384b. 684c. 804d. 814 9. Sebuah kubus dengan kliling alasnya 28 cm, maka volume balok tersebut adalah....cm3. a. 284b. 343c. 383d. 443 10. Kubus dengan panjang rusuknya s cm. Jika rusuknya diperkecil 10 %, maka perbandingan volume mula-mula dengan volume setelah diperkecil adalah.... a. 10 : 9b. 1000 : 729c. 9 : 10d. 729 : 1000 11.Sebuahtandonberbentukkubusdenganrusuk1m.Jikaairmengalirkedalamtandon dengan kecepatan 0,5 liter/detik, maka waktu yang diperlukan untuk mengisi tandon tersebut sampai penuh adalah....menit. a. 200/3b. 100/3c. 80/3d. 20/3 12.Sebuahtandonairberbentukbalokdenganukuran1mx2mx3m.Diisidenganair dengankecepatanairmengalir1liter/detik.Makawaktuyangdiperlukanuntukmengisi tandon tersebut adalah....menit. a. 150b. 120c. 100d. 60 II. Soal soal penalaran dan komunikasi. 1.Sebuahkubusberukuran6cmterbuatdarikayu.Kemudiankubustersebutdicat permukaannya dengan warna biru. Setelah kering kubus tersebut dipotong menjadi kubus kubus kecil dengan dengan ukuran 1 cm.Maka jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ! a. Banyaknya kubus kecil yang mempunyai satu sisi yang berwarna biru. b. Banyaknya kubus kecil yang mempunyai dua sisi yang berwarna biru. c. Banyaknya kubus kecil yang mempunyai tiga sisi yang berwarna biru. d. Banyaknya kubus kecil yang tidakmempunyai sisi yang berwarna biru. 2. Sebuah balok dengan ukuran 12 cm x 10 cm x 8 cm, hitunglah perubahan yang terjadi jika : a. perubahan luas permukaan jika masing-masing rusuknya diperpanjang 10 %. b. perubahan volumenya jika masing-masing rusuknya diperkecil 20 %. 65 3. Dua buah kubus dengan perbandingan rusuk-rusuknya 2 : 3, maka hitunglah : a. Perbandingan luas permukaannya b. Perbandingan volumenya. 4. Sebuah kubus dan balok mempunyai hubungan rusuk-rusuknya sebagai berikut : panjang balok 1,5 rusuk kubus, lebar balok 2/3 rusuk kubus dan tinggi balok dari panjang balok. Maka hitunglah perabndingan volume kubus dan balok ! 5. Kubus ABCD.EFGH dengan luas segitiga ACF = 32\3 cm.Maka tentukan : a. Luas permukaan kubus b. Volume kubus. III. Soal-soal pemecahan masalah. 1.Sebuahbalokdenganukuran10cmx8cmx6cm.Jikabaloktersebutdiisidenganair sampaidenganpenuhkemudiansebagianairnyadipindahkankesebuahkubusdengan rusuk 8 cm,sehingga tinggi air di kedua tempat sama, maka berapakah tinggi air tersebut ! 2.Sebuahkertaskartondenganukuran12cmx25cm.Jikakartontersebutakandibuat modelbangunruang,modelmanakanhyangmemilikivolumeyangpalingbesardengan sissa kertas yang paling sedikit ( model balok atau kubus )? Dan hitunglah volume dan sisa kortonya ! 3.Sebuahkawatpanjang8makandibuatkerangkabangunruang,makabangunruang apakah yang mempunyai volume paling besar dan sisa kawat yang paling sedikit? ( bangun ruang Kubusa atau balok ). Berapakan besar volume dan sisa kawatnya ? 66 4. Prisma dan LimasA. Prisma Dari gambar berikut terlihat sebuah bangunan. Bila diperhatikan bentuk-bentuk bangunn ruang yang menyusun bangunan tersebut beragam, salah satunya balok. Coba perhatikan bentuk salah-satu atap bangunan tersebut sepertibangun ruang berikut : Bangundiatasdinamakanprismasegitigasamakaki.Prismasegitigaadalahbangun ruangyangmemilikiduasisiyangmempunyaibentukdanukuransamasertasalingsejajar. Padagambardiatassisiyangsamadansejajaradalahsegitigasamakaki.Makaprisma tersebut dinamakan prisma segitiga sama kaki. Dalampemberiannamaprismaberdasarkanpadaduasisiyangsamadansejajar tersebut. Berikut ini adalah contoh beberapa prisma serta unsur-unsurnya. ModelNamaUnsur-unsurGambar jaring-jaringya Banyaknya Titik sudut Banyaknya sisi Banyaknya rusuk Prisma segitiga 6 5 9 67 ModelNamaUnsur-unsurGambar jaring-jaringya Banyaknya Titik sudut Banyaknya sisi Banyaknya rusuk Prisma segi lima beraturan 10 7 15 .... .... .... .... .... .... Dengan demikian definisiPrismaadalah :bangun ruang tertutup yang dibatasi oleh duasisiberbentuksegibanyakyangsejajardankongruen,sertasisi-sisilainnya berbentuk persegipanjang. Perhatikan contoh berikut : Gambardisampingadalahprismasegilima.Duasisiyangsama yangsejajardankongruenadalahbangunABCDEdanFGHIJ,yang sebagaialasdanatapnya.SedangkansisitegaknyaABGF,BCIG, CDJI, DEKJ dan AEKF. Untuk bangun-bangun prisma yang lain pastilah akan demikian artinya selalumemilikiduabangundataryangsejajardankongruendansisi tegak yang menghubungkan dua bangundatar tersebut. Dalam pemberian nama prisma tergantun pada dua bangun datar yang sejajardankongruentersebut.Seperticontohdisampingkarena bangunyangsejjajardankongruenberbentuksegilimamakadiberi nama Prisma segi lima. Dari definisi prisma terebut diatas apakah balok temasuk prisma ? Jelaskan jawabanmu ! AB C D E F G I J K 68 B. Limas Sama halnya dengan prisma limas, suatu saat kita akan temui bangun-bangun ruang sisi dataryangbentuknyatidakmenyerupaikubus,balokatauprisma.Sebagicontohcoba perhatikan gambar berikut ! Darigambardiatasterdapatmodelbangunruangyangbukanmerupakankubus,balok maupun prisma, bila kita buat sketsanya sebagi berikut : BanguntersebutnamanyaLimas.Namalimastersebutadalah limaspersegi.Samahalnyadenganprismapemberiannama limas tergantung pada alasnya. Unsur-unsurlimasdisampingantaralain:ABCDadalahalas, TA,TB,TCdanTDadalahrusuktegakAB,BC,CDdanAD adalahrusukalas,TOadalahgaristegakdenganbidangalas dan melalui T adalah tinggi limas.

Sedangkangambardisampingadalahjaring-jaring dari limas persegi. Trebentuk dari sebuah persegiABCDdanempatsegitigayaituABT, BCT,CDTdanADTsebagaidinding-dindingnya. Garis TX adalah garis tinggi bidang tegaknya. Desain Lampu Foto gedung AB C D T O A T T T T B CD X 69 ModelNamaUnsur-unsurGambar jaring-jaringya Banyaknya Titik sudut Banyaknya sisi Banyaknya rusuk Limas segitiga/bidang empat ( Okta hedron) 4 4 6 Limas segi lima 6 6 10 .... .... .... .... .... .... Dengan demikian maka definisi limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang segibanyak sebagai sisi alas dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga. 70 C. Luas permukaan Prisma dan Limas Luaspermukaanprismaadalahluasseluruhsisidariprisma,Dengankatalainluas permukaanprimsaadalahjumlahdariluasmasing-masingbangunpembentuksisiPrisma tersebut . Berikut ini uraian tentang cara menenmukan rumus luas permukaan prisma : Sebagai contoh kita akan mencari luas permukaan prisma segitiga dengan rusuk alas a cm, b cm dan c cm dan tinggi t cm..

Luas permukaan prisma = luas jaring-jaringnya = L1 + L2 + L3 + L4 + L5,L4 = L5= Lalas = 2. Lalas + L1 + L2 + L3 = 2. Lalas + c.t + a.t + b.t = 2. Lalas + ( a + b + c ).t Luas permukaan prisma= 2. Lalas + Kalas.t Contoh:Sebuahorismasegitigasiku-sikudenganrusukalas 3cm,4cmdan5cmtinggiPrisma12 cm, maka hitunglah luas permukaan prisma tersebut ! Jawab : a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm, dan t = 12 cm. Luas permukaan prisma= 2. Lalas + Kalas.t = 2. 4 .3 + (3 + 4 + 5).12 = 12 + 168 = 180 cm2. Luas permukaan Limas adalah luas seluruh sisi limas atau luas seluruh bangun datar yang membentuk sisi limas. Luas permukaan limas= luas jaring-jaringnya = LABCD + LAABT + LABCT + LACDT LAADT Luas permukaan limas= L alas + L Bidang tengaknya a bc t a c b tt a b ca ca b b ca ttL1L2 L3 L4 L5 a bc t AB C D T O A T T T T B CD X 71 Contoh: Sebuahlimaspersegidenganpanjangrusukalasnya6cmdantingginya4cm,maka hitunglah luas permukaan limas tersebut ! Jawab : AB = BC = 6 cm, TO = 4 cmTX = 2 20 T OX +TX = 2 24 3 + =25TX= 5 cm L alas = 6 x 6 = 36 cm2. L bidang tegak = 4 x L AABT = 4 x x6 x 5 = 60 cm2. Jadi luas limas = L alas + L bidang tegak = 36 + 60 = 96 cm2. D. Volume Prisma dan limas. Volume Prisma. Untukmenemukanrumusvolumeprimadapatkitaambilsalahsatucontohprismayaitu prisma persegi panjang. Perhatikan uraian berikut !

Volume Prisma ABCD.EFGH = V balok = p x l x t,p x l= L alas prisma Volume Prisma= Lalas x t Contoh soal : Sebuahprismasegitigasiku-sikudenganalas4cm,3cmdan5cm,tinggiprisma20cm, maka hitunglah volume prisma tersebut ! Jawab : Volume = L alas x t = x 4 x 3 x 20 = 120 cm2. Volume Limas. Untuk menentukan rumus volume Limas perhatikan uraian berikut ! Kita akan mengambil contoh Limas persegi yang diambil dari kubus. Darigambardisampingdapatkitalihatbahwadarisebuahkubus dapatkitabentuk6limasyangsamabesaryaituLimasPQRST, SRVWX,EUVWX,PQUTX,QRVUX dan PSMTX. Tinggi limas = tinggi rusuk kubus t= . s ,atau s = 2.t Volume Kubus = 6x Volume limas Volume limas= 61 x Volume kubus = s s s . . .61,sxs = L alas = ) . 2 .( .61t Lalas Volume limas= t Lalas. .31 AB C D T O B C E F G H D p l t PQ R T U V W X S 72 Contoh soal: Sebuahlimaspersegidenganpanjangrusukalas6cm,dantinggilimas3cm,maka hitunglah volumenya ! Jawab :S = 6 cm , t = 4 cm. Vaolume =t Lalas. .31 =4 . 6 . 6 .31= 48 cm3. I. Soal-soal pemahaman konsep 1. Hitunglah Volume dan luas permukaan bangun ruang berikut ! a. Prisma alas segitiga dengan sisi alas 6 cm, 8 cm dan 10 cm, dan tinggi 20 cm b. Prisma alas segitiga sama sisi dengan panjang rusuk alas 8 cm dan tinggi prisma 12 cm. c. Prisma segienam beraturan dengan panjang rusuk alas 10 cm dan tingginya 20 cm d. Limas persegi dengan panjang rusuk alas 10 cm dan tingginya 12 cm e. Limas persegi panjang dengan rusuk alas 10 cm dan 18 cm dan tingginya 12 cm. 2.SebuahPrismasegitigasiku-sikudenganluaspermukaan660cm2.Panjangrusukalas siku-sikunya 5 cm dan 12 cm, maka hitunglah : a. t b. Volume 3. Sebuah limas alas persegi dengan luas permukaan864 cm2. Jika diketahui tinggi limas 12 cm, maka hitunglah : a. panjang rusuk alas b.Volume 4. Sebuah balok dengan panjang rusuknya 10 cm x 8 cm x 6 cm.Hitungalah : a. Luas permukaan Limas ABCDT b. Volume limas ABCDT II. Soal-soal penalaran dan kominikasi 1. Gambarlah jaring-jaring bangun ruang berikut sesuaikan dengan ukuran yang tertera ! a. b.

2. Tentukan volume dan luas permukaan bangun berikut ! a. Tetrahedron dengan panjang rusuk 6 cm.b. A X B C E F G H D p l tT 10 cm 5 cm 5 cm 4 cm 10 cm8 cm 4 cm 10 cm 5 cm 12 cm A X B C E F G H D 10cm 6 cm 8cm 5cm 5cm 73 3.Jikadiketahuipanjangrusuklimasberikutacm,makatunjukkanbahwa Volumenya = 3. 231a ! 4. Perhatikan gambar berikut ! Hitunglah volume bangun tersebut ! III. Soal Pemecahan Masalah 1. Sebuah tandon air berbentuk risma segitiga siku-siku. Dengan rusuk alas siku-siku 2 m dan 1 m. Tinggi limas 2 m, maka hitunglah ; a. Volume tandon air tersebut ! b.Jikaairpadatandontersebutdialitkandengankecepatanmengalir1liter/detik,maka tentukan waktunya sehingga air pada tandon tersebut tinggal setengahnya ! 2. Seseorang akan membuat tandon air berbentuk piramida, semula dibuat dengan tinggi 5 m danrusukalas6m.Karenatempatnyatidakcukupterpaksaprismatersebutdipotong dibagian ujungnya sehingga tingginya tinggal 3 m seperti gambar berikut . Tentukan Volume bangun setelah dipotong ! 3.Bilakitaakanmembuatpondasiuntuktiangrumahberbentuklimasterpancungseperti gambar berikut, maka hitunglah : a. Semen yang diperlukan jika tiap 10 cm3 memerlukan 1 ons semen ! b. Luas permukaan pondasi tersebut ! 10 cm 10 cm 10 cm 5m 6 m 6 m 3m 12m 12m 12 cm 7cm 7cm 74 Latihan soal Ulangan umum semester genap. 1. Sebuah segitiga sama kaki dengan panjang alasnya 10 cm dan panjang kaki-kakinya 13 cm, maka luas segitiga tersebut adalah... cm2 a. 36b. 45 c. 65d. 60 2. Sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisisiku-sikunya 12 cm dan 5 cm, maka keliling segitiga tersebut adalah ... cm2. a. 29b. 30c. 32d. 60 3. Perhatikan segitiga di samping! JikapanjangAB=14cm,BC15cm danAC13cm,makapanjanggaris tinggi yang titik C adalah... cm. a. 15 c. 13 d. 14d. 12 4. Sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisinya 10 cm, maka luas segitiga tersebut adalah...cm2 a.3 25 b.3 20 c.2 15 d. 2 10 5. Jika diketahui AB = 6 cm , AC = 8 cm danZAsiku-siku,makapanjangjari-jarilingkaransinggungdalampada gambar di samping adalah....cm a. 6c. 4 b. 5d2. 6.Seorangpetanimempunyaitanah seperti pada gambar di samping ! JikapanjangAB=26m,BC=28m dan AC = 30 m, maka luas tanah petani tersebut adalah...m2. a. 356c. 336 b. 345d. 300 7.Sebuahlingkarandenganjari-jarinya7cmdant= 722,makakelilinglingkaran tersebut adalah.... cm a. 154c. 88c. 44d. 22 8.Sebuahlingkarandenganluas314cm2,jikat=3,14,makadiameterlingkaran tersebut adalah...cm. a. 20 b. 10 c. 8d. 5 A B C A C B A B C 75 9.Luasdaerahyangdiarsirpadagambar disamping,jikaAB=7cmdanAC 14 cm adalah...cm2 .(t =722) a. 57,75c. 77,00 b. 67,77d. 115,50 10.Sebuahrodadengandiameter10cm.Jikarodatersebutmengelindingsebanyak 1.000 kali, maka jarak yang ditempuh oleh roda tersebut adalah...m.(t = 3,14) a. 314 b. 3.140c. 31.400d. 62.800 11.Perhatikangambardisamping!Jika panjangOA=7cm,t=22/7dan ZAOB= 060 ,makaluasjuringAOB adalah...m2 a. 154,00 c. 38,50b. 77,00d. 25,67 12.Perhatikangambardisamping!Jika panjang jari-jari lingkaran = 12 cm , t= 3,14danZAOB=120o,makapanjang busur AB adalah... cm a. 15,12c. 28,15 b. 25,12d. 30,15 13. Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping jika AE = 2r , AB= BC = CD = DE adalah... a. 2r t c. 243r tb. 221r t d. 22r t 14.BesarZAOB= 0120 ,makabesar ZACB adalah...o. a. 20c. 40 b. 30d. 60 15.BesarZATBpadagambardisamping jikadiketahuiZAOB= 0140 ,ZDOC= 050 adalah...o. a. 95c. 65b. 90d. 45 A B C O A B O A B A C E BD O A B C A D B C T O 76 16.BesarZABCpadagambardisamping adalah... o. a. 90c.70 b. 80d.20 17.Besaropadagambardisamping adalah...o. a. 60c. 80 b. 70d. 100 18.Duabuahlingkaranberjari-jari8cmdan4cmdanjarakkeduapusatnya15cm, makapanjanggarissinggungpersekutuandalamdualingkarantersebutadalah... cm. a. 27b. 23c. 12 d. 9 19.Duabuahlingkarandenganjari-jarimasing-masing15cmdan3cm,jikajarak keduapusatlingkarantersebut20cm,makapanjanggarissinggungpersekutuan luarnya adalah ...cm a. 16 b. 18c. 20 d. 25 20.JikadiketahuiPanjangOP=25cm,dan panjangjari-jarilingkaran7cm,makaAP adalah...cm.a. 18 c. 22 b. 20 d. 24 21.Garissinggungpersekutuanluarduabuahlingkaran12cm,jikajarakkedua pusatnya 15 cm dan panjang jari-jari salah satu lingkarannya 11 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah...cm a. 5b. 4c. 3d. 2 22.Sebuahbalokdenganukuranpanjang10cm,lebar8cmdantinggi5cm,maka luas permukaan balok tersebut adalah...cm2. a. 400b. 340c. 170c. 92 23.Sebuakkubusdenganpanjangrusuk10cm,makavolumekubustersebut adalah...cm3. a. 400c. 600c. 600c. 1.000 - A B C O 20o - O 100o o O A P 77 24. Pada gambar di samping jika panjang AB = 8 cm , BC = 6 cm, ZB siku-sikudan tinggi prisma 20 cm, maka volume prisma adalah...cm3. a. 480c. 600 b. 528d. 960 25.Sebuahlimasdenganalaspersegiyangpanjangrusukalasnya10cmdantinggi limas 12 cm, maka volume limas tersebut adalah...cm3. a. 400b. 360c. 450d. 1.200 26.Sebuahkubusdenganvolume125cm,makaluaspermukaankubustersebut adalah...cm2. a. 150b. 200c. 250d. 300. 27.Sebuahbakmandiberbentukbalokdenganukuranpanjang1m,lebar1mdan tinggi 1,5 m, maka volume air pada bak mandi tersebut adalah...liter. a. 15b. 150c. 500d. 1.500 28. Berikut ini adalah jaring-jaring bangun rung ... a. Balokc. Limas b. Prisma segitgac. Prisma persegi 29. Banyaknya diagonal ruang pada kubus adalah ... buah a. 2b. 3c. 4d. 6 30. Banyaknya rusuk pada balok adalah... buah a. 4b. 8c. 12d. 14 II. Jawablah dengan benar dan singkat ! 31.Hitunglahpanjangrangkauntukmembuat bangun di samping ! 32.Gambarlahsebuahjaring-jaringbalokdansebuahjaring-jaringkubusdengan ukuran terserah kamu ! A B C D E F 7 cm7 cm7 cm 78 33. Sebuah balok berukuran 10 cm x 8 cm x 6 cm. Balok tersebut akan diisi dengan air dengankecepatanairmengalir12cm3/menit,makaberapakahwaktuyang diperlukan agar balok tersebut penuh ? 34.Sebuahtandonairberbentukkubusdenganpanjangrusuk1m.Jikatandon tersebutdiisiairdenganmenggunkantimbabalokdenganukuranpanjang50cm, lebar50cmdantinggi20cm,makaberapakahbalokkecilyangdiperlukanagar tandon tersebut penuh? 35. Sebuah roda berputar 500 kali dan jarak yang ditempuh 220 m, jikat = 722, maka berapakah diameter roda ?