Sas Wahid H 10 Desember 2012

1

x adalah variable integrasi

batas bawah integrasi

symbol integrasi

integrand adalah fungsi

yang akan diintegralkan

batas atas integrasi

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

INTEGRAL

A. PEMAHAMAN INTEGRAL

Cukup sulit untuk mendefinisikan apa sebenarnya integral, namun bisa lebih dipahami

bahwa integral adalah antiturunan (antiderivative). Apabila 𝑓(𝑥) merupakan turunan dari

𝐹(𝑥), maka 𝐹(𝑥) adalah hasil integral atau antiturunan dari 𝑓(𝑥). Integrasi fungsi 𝑓(𝑥)

terhadap variable 𝑥 dapat dinotasikan sebagai berikut :

B. INTEGRAL TAK TENTU (INDEFINITE INTEGRAL)

Berdasarkan hubungan yang diberikan oleh teorema fundamental calculus diatas,

notasi 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 secara tradisional adalah berarti antiderivatif 𝑓 dan disebut sebagai integral

tak tentu. Sehingga

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑟𝑡𝑖 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)

Sebagai contoh, kita bisa menuliskan sebagai berikut

𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝐶 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3

3+ 𝐶) = 𝑥2

Jadi kita dapat menganggap integral tak tentu sebagai representasi dari suatu keluarga

fungsi (satu anti turunan untuk setiap nilai konstanta C)

Berikut ini merupakan teorema – teorema yang digunakan dalam menyelesaikan

integral tak tentu, dengan menggunakan 𝑥 sebagai variable integrasi.

1. 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

2. 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

3. 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Sas Wahid H 10 Desember 2012

2

4. 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1 + 𝐶 (𝑛 ≠ −1)

5. 1

𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶

6. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

7. 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶

8. sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

9. cos 𝑥 𝑑𝑥 = − sin𝑥 + 𝐶

10. 𝐴𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑆𝑢𝑏𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖

𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑢 = 𝑔 𝑥 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝐼 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝐼, 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

11. 𝐴𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑠𝑖𝑎𝑙

𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑣 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 − 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢

12. 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖

Integral dengan bentuk – bentuk dibawah ini dapat disubstitusi sebagai berikut

𝑎2 − 𝑏2𝑥2 ⇒ 𝑥 =𝑎

𝑏𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝑏2𝑥2 − 𝑎2 ⇒ 𝑥 =𝑎

𝑏𝑠𝑒𝑐 𝜃

𝑎2 + 𝑏2𝑥2 ⇒ 𝑥 =𝑎

𝑏𝑡𝑎𝑛 𝜃

C. INTEGRAL TERTENTU (DEFINITE INTEGRAL)

Definisi Integral Sebagai Limit Jumlahan Riemann

Jika 𝑓 adalah fungsi kontinyu yang didefinisikan untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, kita membagi interval

[𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 subinterval dengan luasan yang sama 𝛥𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/𝑛. Taruhlah

𝑥0 = 𝑎 , 𝑥1, 𝑥2, ……𝑥𝑛 (= 𝑏) sebagai titik akhir dari subinterval – subinterval tersebut, dan

taruhlah 𝑥1,∗ 𝑥2,

∗ …… 𝑥𝑛 ,∗ sebagai sembarang titik sample pada interval – interval tersebut

sehingga 𝑥𝑖 ∗ terletak pada subinterval ke-i [𝑥𝑖−1,

∗ 𝑥𝑖 ∗] . Maka integral tertentu dari fungsi 𝑓

dari 𝑎 ke 𝑏 adalah

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

lim𝑛→∞

𝑓(𝑥𝑖∗

𝑛

𝑖=1

) 𝛥𝑥

Sas Wahid H 10 Desember 2012

3

Aturan Pada Integral Tertentu

1. 𝑂𝑟𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

𝑏

2. 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑁𝑜𝑙 ∶ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑎

0

3. 𝑃𝑒𝑟𝑘𝑎𝑙𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 ∶ 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

4. 𝑃𝑒𝑛𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑃𝑒𝑛𝑔𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 ∶ (𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

5. 𝐴𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑎𝑠 ∶ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐

𝑏

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐

𝑎

6. 𝑃𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑀𝑎𝑥 − 𝑀𝑖𝑛 ∶

𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 max f 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 min f 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎, 𝑏 , 𝑚𝑎𝑘𝑎

min 𝑓 . 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

≤ max 𝑓 . (𝑏 − 𝑎)

7. 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎, 𝑏 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

≥ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

𝑓 𝑥 ≤ 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎, 𝑏 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

≥ 0 (𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢)

Integral Tak Wajar

Dalam mendefinisikan integral tertentu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 kita berhadapan dengan suatu fungsi 𝑓

yang terdefinisikan terhingga pada interval [𝑎, 𝑏] dan diasumsikan bahwa 𝑓 tidak memiliki

diskontinuitas tak hingga. Pada bagian ini kita akan memperluas konsep mengenai

integral tertentu yang memiliki dua kasus yaitu kasus interval yang tak hingga dan kasus

dimana 𝑓 memiliki diskontinuitas tak hingga pada [𝑎, 𝑏]. Dalam hal ini, persoalan integral

dengan dua kasus diatas disebut sebagai integral tak wajar (improper integral).

Integral Tak Wajar Tipe I : Interval Tak Hingga

Perhatikan area 𝑆 yang berada di bawah kurva 𝑦 = 1/𝑥2, diatas sumbu 𝑥, dan disebelah

kanan garis 𝑥 = 1. Anda mungkin berpikir bahwa karena 𝑆 tidak memiliki batas bila kita

perpanjang ke sebelah kanan, maka seolah – olah area 𝑆 akan memiliki luas tak hingga,

namun coba lihat lebih seksama. Bagian dari area 𝑆 yaitu area berbayang di sebelah

kanan garis 𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = 𝑡 dapat kita hitung luasnya yaitu :

𝐴 𝑡 = 1

𝑥2

𝑡

1

= −1

𝑥│

𝑡1

= 1 −1

𝑡

Perhatikan bahwa 𝐴 𝑡 < 1, tidak peduli berapapun nilai t yang diambil.

Sas Wahid H 10 Desember 2012

4

Kita juga mengamati bahwa

lim𝑡→∞

𝐴 𝑡 = lim𝑡→∞

1 −1

𝑡 = 1

Luas dari area berbayang tersebut mendekati 1 apabila 𝑡 → ∞ (lihat gambar diatas),

sehingga kita bisa mengatakan bahwa luas dari area S yang tak terhingga adalah 1 dan

kita dapat menuliskannya sebagai berikut

1

𝑥2 𝑑𝑥

∞

1

= lim𝑡→∞

1

𝑥2 𝑑𝑥

𝑡

1

= 1

Aturan Integral Tak Wajar Tipe I

1. 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑓 𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎, ∞ , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∞

𝑎

lim𝑏→∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

2. 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑓 𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 −∞, 𝑏 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏

−∞

lim𝑎→−∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

3. 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑓 𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 (−∞, ∞), 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∞

−∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∞

𝑐

𝑐

−∞

𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑐 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

Integral Tak Wajar Tipe II : Diskontinuitas Fungsi

Tipe lain dari integral tak wajar terjadi ketika integrand memiliki suatu asymptote vertical

pada suatu batas integrasi atau pada beberapa titik di antara batas integrasi. Apabila

integrand 𝑓 positif terhadap interval integrasi, kita dapat memahami integral tak wajar

tersebut sebagai luas area dibawah grafik 𝑓, diatas sumbu 𝑥, dan diantara batas – batas

integrasi.

Sas Wahid H 10 Desember 2012

5

Aturan Integral Tak Wajar Tipe I

1. 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑓 𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎, 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

lim𝑐→𝑎+

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑐

2. 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑓 𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 [𝑎, 𝑏) 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑏 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

lim𝑐→𝑏+

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎

3. 𝐴𝑝𝑎𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑐, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑦𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎, 𝑐 ∪ 𝑐, 𝑏 ,

𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐

𝑎

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑐

Misalnya kita akan menghitung

1

𝑥 − 2

5

2

𝑑𝑥

Jika kita perhatikan fungsi integrand diatas, maka kita mengetahui bahwa fungsi tersebut

memiliki asymptote vertical pada 𝑥 = 2. Dikarenakan diskontinuitas tak hingga terjadi

pada sebelah kiri batas integrasi [2, 5], maka kita menggunakan teorema pertama untuk

menyelesaikannya

1

𝑥 − 2

5

2

𝑑𝑥 = lim𝑡=2+

𝑑𝑥

𝑥 − 2

5

𝑡

= lim𝑡=2+

2 𝑥 − 2 │5𝑡

= lim𝑡=2+

2( 3 – 𝑡 − 2 ) = 2 3

D. APLIKASI MATLAB UNTUK INTEGRAL TAK TENTU

Untuk sembarang integral tak tentu, maka dalam perhitungannya harus diperkenalkan

terlebih dahulu variable – variable pada fungsi integrand, dalam hal ini kita ambil contoh

variable yang umum kita pakai adalah 𝑥 (dalam hal ini kita hanya akan menggunakan

𝑥 sebagai variable, variable ini tentu saja bisa diganti dengan yang lain, seperti 𝑡 dan

sebagainya).

Untuk memperkenalkan variable (contohnya 𝑥) yang ada pada fungsi yang akan di-

integralkan, dan untuk mengintegralkan fungsi, digunakan perintah :

≫ 𝑖𝑛𝑡(𝑓)

Contohnya kita akan mengintegralkan fungsi sebagai berikut :

𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 4 𝑑𝑥

Maka kita tuliskan perintah perintah sebagai berikut (↲ berarti tekan tombol ENTER)

Sas Wahid H 10 Desember 2012

6

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥 ↲

≫ 𝑓 = 𝑥^2 + 3 ∗ 𝑥 + 4 ↲

≫ 𝐹 = 𝑖𝑛𝑡(𝑓) ↲

Maka MATLAB akan mengeluarkan hasil sebagai berikut :

Hasil tersebut tentu saja dapat kita sederhanakan menjadi 1

3𝑥3 +

3

2𝑥2 + 4𝑥 yang merupakan

solusi atas persolan diatas. Lebih lengkapnya kita tambahkan suatu nilai constanta sehingga

menjadi 1

3𝑥3 +

3

2𝑥2 + 4𝑥 + 𝐶

Contoh Penyelesaian MATLAB untuk Integral Substitusi

Dalam hal ini akan dikerjakan persoalan integral substitusi seperti halnya contoh diatas,

2𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 maka kita tuliskan perintah sebagai berikut

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥 ↲

≫ 𝑓 = 2 ∗ 𝑥 ∗ (1 + 𝑥^2)^(1/2) ↲

≫ 𝐹 = 𝑖𝑛𝑡(𝑓) ↲

Sas Wahid H 10 Desember 2012

7

Hasil tersebut dapat kita tuliskan menjadi 2

3(𝑥2 + 1)

3

2 yang merupakan solusi atas

persolan diatas. Lebih lengkapnya kita tambahkan suatu nilai constanta sehingga menjadi

2

3(𝑥2 + 1)

3

2 + 𝐶

Contoh Penyelesaian MATLAB untuk Integral Substitusi Trigonometri:

Kita akan mencoba menyelesaikan persoalan sebagai berikut :

𝑆𝑜𝑎𝑙 ∶ 9 − 𝑥2

𝑥2𝑑𝑥

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥 ↲

≫ 𝑓 = (9 − 𝑥^2)^(1/2)/ 𝑥^2

≫ 𝐹 = 𝑖𝑛𝑡(𝑓) ↲

Jawaban dari MATLAB bisa kita tuliskan lagi sebagai berikut, dengan menambahkan

suatu nilai konstanta :

= −𝑎𝑟𝑐 sin𝑥

3−

9 − 𝑥2

𝑥+ 𝐶

E. APLIKASI MATLAB UNTUK INTEGRAL TERTENTU

Untuk sembarang integral tertentu, syntax yang digunakan hampir sama saja dengan

syntax untuk perhitungan integral tertentu, hanya saja ada tambahan untuk menuliskan

batas atas dan batas bawah. Bahkan untuk perhitungan integral tak wajar, dengan tipe dan

kondisi apapun, kita tidak perlu mengubahnya menjadi bentuk limit atau memecahnya

menjadi dua integral, mengingat software MATLAB sudah bisa menganalisisnya.

Untuk melakukan perhitungan integral tertentu dengan fungsi 𝑓, batas bawah 𝑎, dan

batas atas 𝑏, kita gunakan syntax sebagai berikut :

≫ 𝑖𝑛𝑡(𝑓, 𝑎, 𝑏)

Sas Wahid H 10 Desember 2012

8

Contohnya kita akan mengintegralkan fungsi sebagai berikut :

𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 43

1

𝑑𝑥

Kita tuliskan syntax sebagai berikut :

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥 ↲

≫ 𝑓 = 𝑥^2 + 3 ∗ 𝑥 + 4 ↲

≫ 𝐹 = 𝑖𝑛𝑡(𝑓, 1,3) ↲

Contoh Penyelesaian MATLAB untuk Integral Tak Wajar

Contohnya kita akan mengintegralkan fungsi sebagai berikut :

𝐹 𝑥 = 𝑑𝑥

𝑥 − 1 23

3

0

Dimana pada fungsi tersebut terdapat asimptot vertical diantara dua batas integrasi, yaitu

pada 𝑥 = 1

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥 ↲

≫ 𝑓 = 1/(𝑥 − 1)^(2/3) ↲

≫ 𝐹 = 𝑖𝑛𝑡(𝑓, 0,3) ↲

Kita bisa menyederhanakan jawaban diatas menjadi :

= 3 + 3 23

Sas Wahid H 10 Desember 2012

9

F. APLIKASI MATLAB UNTUK INTEGRAL TRIGONOMETRI

Untuk integral tak tentu hampir sama formatnya dengan integral pada aljabar biasa,

dapat dicontohkan sebagai berikut :

𝐹(𝑥) = sin𝑥 𝑑𝑥

Maka :

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥 ↲

≫ 𝑓 = sin(𝑥) ↲

≫ 𝐹 = 𝑖𝑛𝑡(𝑓) ↲

Sedangkan pada integral tertentu, misalnya saja

𝐹 𝑥 = sin 𝑥𝜋

0

𝑑𝑥

Maka :

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥 ↲

≫ 𝑓 = sin(𝑥) ↲

≫ 𝐹 = 𝑖𝑛𝑡(𝑓, 0, 𝑝𝑖) ↲

Sas Wahid H 10 Desember 2012

10

REFERENSI

Stewart, James. 2008. Calculus, 6 th Edition . California : Thomson Brooks/Cole

Varberg, D.E, Purcell, E.J., Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9 th Edition . New Jersey :Pearson

Prentice Hall

Thomas, G.B., Weir, D.B., Hass, J. Giordano, F.R. 2004. Calculus, 11 th Edition

.Massachussets : Addison Wesley