Sas Wahid H 10 Desember 2012
1
x adalah variable integrasi
batas bawah integrasi
symbol integrasi
integrand adalah fungsi
yang akan diintegralkan
batas atas integrasi
π π₯ ππ₯
π
π
INTEGRAL
A. PEMAHAMAN INTEGRAL
Cukup sulit untuk mendefinisikan apa sebenarnya integral, namun bisa lebih dipahami
bahwa integral adalah antiturunan (antiderivative). Apabila π(π₯) merupakan turunan dari
πΉ(π₯), maka πΉ(π₯) adalah hasil integral atau antiturunan dari π(π₯). Integrasi fungsi π(π₯)
terhadap variable π₯ dapat dinotasikan sebagai berikut :
B. INTEGRAL TAK TENTU (INDEFINITE INTEGRAL)
Berdasarkan hubungan yang diberikan oleh teorema fundamental calculus diatas,
notasi π(π₯) ππ₯ secara tradisional adalah berarti antiderivatif π dan disebut sebagai integral
tak tentu. Sehingga
π π₯ ππ₯ = πΉ π₯ π¦πππ ππππππ‘π πΉβ² π₯ = π(π₯)
Sebagai contoh, kita bisa menuliskan sebagai berikut
π₯2 ππ₯ =π₯3
3+ πΆ ππππππ
π
ππ₯(π₯3
3+ πΆ) = π₯2
Jadi kita dapat menganggap integral tak tentu sebagai representasi dari suatu keluarga
fungsi (satu anti turunan untuk setiap nilai konstanta C)
Berikut ini merupakan teorema β teorema yang digunakan dalam menyelesaikan
integral tak tentu, dengan menggunakan π₯ sebagai variable integrasi.
1. ππ(π₯) ππ₯ = π π(π₯) ππ₯
2. π ππ₯ = ππ₯ + πΆ
3. π π₯ + π π₯ ππ₯ = π(π₯) ππ₯ + π(π₯) ππ₯
Sas Wahid H 10 Desember 2012
2
4. π₯π ππ₯ =π₯π+1
π + 1 + πΆ (π β β1)
5. 1
π₯ ππ₯ = ln |π₯| + πΆ
6. ππ₯ ππ₯ = ππ₯ + πΆ
7. ππ₯ ππ₯ =ππ₯
ln π+ πΆ
8. sin π₯ ππ₯ = β cos π₯ + πΆ
9. cos π₯ ππ₯ = β sinπ₯ + πΆ
10. π΄π‘π’πππ ππ’ππ‘ππ‘π’π π
π΄ππππππ π’ = π π₯ ππππ’πππππ ππ’πππ π π¦πππ πππππ‘ ππππππππππ ππππππ ππππππ πππππ
πππ‘πππ£ππ πΌ πππ π ππππ‘πππ¦π’ ππππ πΌ, ππππ
π π π₯ πβ² π₯ ππ₯ = π π’ ππ’
11. π΄π‘π’πππ πΌππ‘πππππ ππππ πππ
π΄ππππππ π’ πππ π£ ππππ’πππππ ππ’πππ π β ππ’πππ π π¦πππ πππ π ππππππππππ ππππππ ππππ
π’ ππ£ = π’π£ β π£ ππ’
12. πΌππ‘πππππ ππ’ππ π‘ππ‘π’π π ππππππππππ‘ππ
Integral dengan bentuk β bentuk dibawah ini dapat disubstitusi sebagai berikut
π2 β π2π₯2 β π₯ =π
ππ ππ π
π2π₯2 β π2 β π₯ =π
ππ ππ π
π2 + π2π₯2 β π₯ =π
ππ‘ππ π
C. INTEGRAL TERTENTU (DEFINITE INTEGRAL)
Definisi Integral Sebagai Limit Jumlahan Riemann
Jika π adalah fungsi kontinyu yang didefinisikan untuk π β€ π₯ β€ π, kita membagi interval
[π, π] menjadi π subinterval dengan luasan yang sama π₯π₯ = (π β π)/π. Taruhlah
π₯0 = π , π₯1, π₯2, β¦β¦π₯π (= π) sebagai titik akhir dari subinterval β subinterval tersebut, dan
taruhlah π₯1,β π₯2,
β β¦β¦ π₯π ,β sebagai sembarang titik sample pada interval β interval tersebut
sehingga π₯π β terletak pada subinterval ke-i [π₯πβ1,
β π₯π β] . Maka integral tertentu dari fungsi π
dari π ke π adalah
π π₯ ππ₯ =π
π
limπββ
π(π₯πβ
π
π=1
) π₯π₯
Sas Wahid H 10 Desember 2012
3
Aturan Pada Integral Tertentu
1. ππππ πΌππ‘πππππ π βΆ π π₯ ππ₯ = π
π
β π π₯ ππ₯π
π
2. πΌππ‘πππ£ππ πππ βΆ π π₯ ππ₯ = π
π
0
3. πππππππππ ππππππ πΎπππ π‘πππ‘π βΆ ππ π₯ ππ₯ = π
π
π π π₯ ππ₯ π
π
4. πππππ’ππππππ πππ πππππ’ππππππ βΆ (π π₯ Β± π π₯ ) ππ₯ = π
π
π π₯ ππ₯ π
π
Β± π π₯ ππ₯ π
π
5. π΄ππππ‘ππ£ππ‘ππ βΆ π π₯ ππ₯ π
π
+ π π₯ ππ₯ π
π
= π π₯ ππ₯ π
π
6. ππππ‘πππππ πππππ πππ₯ β πππ βΆ
π½πππ π ππππππππ πππππ ππππ πππ’π max f πππ πππππ ππππππ’π min f ππππ π, π , ππππ
min π . π β π β€ π π₯ ππ₯ π
π
β€ max π . (π β π)
7. π·ππππππ π βΆ π π₯ β€ π π₯ ππππ π, π β π π₯ ππ₯ π
π
β₯ π π₯ ππ₯ π
π
π π₯ β€ 0 ππππ π, π β π π₯ ππ₯ π
π
β₯ 0 (ππππ πππ π’π π‘πππ‘πππ‘π’)
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tertentu π π₯ ππ₯π
π kita berhadapan dengan suatu fungsi π
yang terdefinisikan terhingga pada interval [π, π] dan diasumsikan bahwa π tidak memiliki
diskontinuitas tak hingga. Pada bagian ini kita akan memperluas konsep mengenai
integral tertentu yang memiliki dua kasus yaitu kasus interval yang tak hingga dan kasus
dimana π memiliki diskontinuitas tak hingga pada [π, π]. Dalam hal ini, persoalan integral
dengan dua kasus diatas disebut sebagai integral tak wajar (improper integral).
Integral Tak Wajar Tipe I : Interval Tak Hingga
Perhatikan area π yang berada di bawah kurva π¦ = 1/π₯2, diatas sumbu π₯, dan disebelah
kanan garis π₯ = 1. Anda mungkin berpikir bahwa karena π tidak memiliki batas bila kita
perpanjang ke sebelah kanan, maka seolah β olah area π akan memiliki luas tak hingga,
namun coba lihat lebih seksama. Bagian dari area π yaitu area berbayang di sebelah
kanan garis π₯ = 1 dan garis π₯ = π‘ dapat kita hitung luasnya yaitu :
π΄ π‘ = 1
π₯2
π‘
1
= β1
π₯β
π‘1
= 1 β1
π‘
Perhatikan bahwa π΄ π‘ < 1, tidak peduli berapapun nilai t yang diambil.
Sas Wahid H 10 Desember 2012
4
Kita juga mengamati bahwa
limπ‘ββ
π΄ π‘ = limπ‘ββ
1 β1
π‘ = 1
Luas dari area berbayang tersebut mendekati 1 apabila π‘ β β (lihat gambar diatas),
sehingga kita bisa mengatakan bahwa luas dari area S yang tak terhingga adalah 1 dan
kita dapat menuliskannya sebagai berikut
1
π₯2 ππ₯
β
1
= limπ‘ββ
1
π₯2 ππ₯
π‘
1
= 1
Aturan Integral Tak Wajar Tipe I
1. π΄ππππππ π π₯ ππππ‘πππ¦π’ ππππ π, β , ππππ π π₯ ππ₯ = β
π
limπββ
π π₯ ππ₯π
π
2. π΄ππππππ π π₯ ππππ‘πππ¦π’ ππππ ββ, π , ππππ π π₯ ππ₯ = π
ββ
limπβββ
π π₯ ππ₯π
π
3. π΄ππππππ π π₯ ππππ‘πππ¦π’ ππππ (ββ, β), ππππ π π₯ ππ₯ = β
ββ
π π₯ ππ₯ + π π₯ ππ₯ β
π
π
ββ
ππππππ π ππππππ π ππππππππ ππππππππ ππππ
Integral Tak Wajar Tipe II : Diskontinuitas Fungsi
Tipe lain dari integral tak wajar terjadi ketika integrand memiliki suatu asymptote vertical
pada suatu batas integrasi atau pada beberapa titik di antara batas integrasi. Apabila
integrand π positif terhadap interval integrasi, kita dapat memahami integral tak wajar
tersebut sebagai luas area dibawah grafik π, diatas sumbu π₯, dan diantara batas β batas
integrasi.
Sas Wahid H 10 Desember 2012
5
Aturan Integral Tak Wajar Tipe I
1. π΄ππππππ π π₯ ππππ‘πππ¦π’ ππππ π, π πππ πππ ππππ‘πππ¦π’ ππππ π ππππ
π π₯ ππ₯ = π
π
limπβπ+
π π₯ ππ₯π
π
2. π΄ππππππ π π₯ ππππ‘πππ¦π’ ππππ [π, π) πππ πππ ππππ‘πππ¦π’ ππππ π ππππ
π π₯ ππ₯ = π
π
limπβπ+
π π₯ ππ₯π
π
3. π΄ππππππ π π₯ πππ ππππ‘πππ¦π’ ππππ π, ππππππ π < π < π, πππ ππππ‘πππ¦π’ ππππ π, π βͺ π, π ,
ππππ
π π₯ ππ₯ = π
π
π π₯ ππ₯ π
π
+ π π₯ ππ₯ π
π
Misalnya kita akan menghitung
1
π₯ β 2
5
2
ππ₯
Jika kita perhatikan fungsi integrand diatas, maka kita mengetahui bahwa fungsi tersebut
memiliki asymptote vertical pada π₯ = 2. Dikarenakan diskontinuitas tak hingga terjadi
pada sebelah kiri batas integrasi [2, 5], maka kita menggunakan teorema pertama untuk
menyelesaikannya
1
π₯ β 2
5
2
ππ₯ = limπ‘=2+
ππ₯
π₯ β 2
5
π‘
= limπ‘=2+
2 π₯ β 2 β5π‘
= limπ‘=2+
2( 3 β π‘ β 2 ) = 2 3
D. APLIKASI MATLAB UNTUK INTEGRAL TAK TENTU
Untuk sembarang integral tak tentu, maka dalam perhitungannya harus diperkenalkan
terlebih dahulu variable β variable pada fungsi integrand, dalam hal ini kita ambil contoh
variable yang umum kita pakai adalah π₯ (dalam hal ini kita hanya akan menggunakan
π₯ sebagai variable, variable ini tentu saja bisa diganti dengan yang lain, seperti π‘ dan
sebagainya).
Untuk memperkenalkan variable (contohnya π₯) yang ada pada fungsi yang akan di-
integralkan, dan untuk mengintegralkan fungsi, digunakan perintah :
β« πππ‘(π)
Contohnya kita akan mengintegralkan fungsi sebagai berikut :
πΉ(π₯) = π₯2 + 3π₯ + 4 ππ₯
Maka kita tuliskan perintah perintah sebagai berikut (β² berarti tekan tombol ENTER)
Sas Wahid H 10 Desember 2012
6
β« π π¦ππ π₯ β²
β« π = π₯^2 + 3 β π₯ + 4 β²
β« πΉ = πππ‘(π) β²
Maka MATLAB akan mengeluarkan hasil sebagai berikut :
Hasil tersebut tentu saja dapat kita sederhanakan menjadi 1
3π₯3 +
3
2π₯2 + 4π₯ yang merupakan
solusi atas persolan diatas. Lebih lengkapnya kita tambahkan suatu nilai constanta sehingga
menjadi 1
3π₯3 +
3
2π₯2 + 4π₯ + πΆ
Contoh Penyelesaian MATLAB untuk Integral Substitusi
Dalam hal ini akan dikerjakan persoalan integral substitusi seperti halnya contoh diatas,
2π₯ 1 + π₯2 ππ₯ maka kita tuliskan perintah sebagai berikut
β« π π¦ππ π₯ β²
β« π = 2 β π₯ β (1 + π₯^2)^(1/2) β²
β« πΉ = πππ‘(π) β²
Sas Wahid H 10 Desember 2012
7
Hasil tersebut dapat kita tuliskan menjadi 2
3(π₯2 + 1)
3
2 yang merupakan solusi atas
persolan diatas. Lebih lengkapnya kita tambahkan suatu nilai constanta sehingga menjadi
2
3(π₯2 + 1)
3
2 + πΆ
Contoh Penyelesaian MATLAB untuk Integral Substitusi Trigonometri:
Kita akan mencoba menyelesaikan persoalan sebagai berikut :
ππππ βΆ 9 β π₯2
π₯2ππ₯
β« π π¦ππ π₯ β²
β« π = (9 β π₯^2)^(1/2)/ π₯^2
β« πΉ = πππ‘(π) β²
Jawaban dari MATLAB bisa kita tuliskan lagi sebagai berikut, dengan menambahkan
suatu nilai konstanta :
= βπππ sinπ₯
3β
9 β π₯2
π₯+ πΆ
E. APLIKASI MATLAB UNTUK INTEGRAL TERTENTU
Untuk sembarang integral tertentu, syntax yang digunakan hampir sama saja dengan
syntax untuk perhitungan integral tertentu, hanya saja ada tambahan untuk menuliskan
batas atas dan batas bawah. Bahkan untuk perhitungan integral tak wajar, dengan tipe dan
kondisi apapun, kita tidak perlu mengubahnya menjadi bentuk limit atau memecahnya
menjadi dua integral, mengingat software MATLAB sudah bisa menganalisisnya.
Untuk melakukan perhitungan integral tertentu dengan fungsi π, batas bawah π, dan
batas atas π, kita gunakan syntax sebagai berikut :
β« πππ‘(π, π, π)
Sas Wahid H 10 Desember 2012
8
Contohnya kita akan mengintegralkan fungsi sebagai berikut :
πΉ π₯ = π₯2 + 3π₯ + 43
1
ππ₯
Kita tuliskan syntax sebagai berikut :
β« π π¦ππ π₯ β²
β« π = π₯^2 + 3 β π₯ + 4 β²
β« πΉ = πππ‘(π, 1,3) β²
Contoh Penyelesaian MATLAB untuk Integral Tak Wajar
Contohnya kita akan mengintegralkan fungsi sebagai berikut :
πΉ π₯ = ππ₯
π₯ β 1 23
3
0
Dimana pada fungsi tersebut terdapat asimptot vertical diantara dua batas integrasi, yaitu
pada π₯ = 1
β« π π¦ππ π₯ β²
β« π = 1/(π₯ β 1)^(2/3) β²
β« πΉ = πππ‘(π, 0,3) β²
Kita bisa menyederhanakan jawaban diatas menjadi :
= 3 + 3 23
Sas Wahid H 10 Desember 2012
9
F. APLIKASI MATLAB UNTUK INTEGRAL TRIGONOMETRI
Untuk integral tak tentu hampir sama formatnya dengan integral pada aljabar biasa,
dapat dicontohkan sebagai berikut :
πΉ(π₯) = sinπ₯ ππ₯
Maka :
β« π π¦ππ π₯ β²
β« π = sin(π₯) β²
β« πΉ = πππ‘(π) β²
Sedangkan pada integral tertentu, misalnya saja
πΉ π₯ = sin π₯π
0
ππ₯
Maka :
β« π π¦ππ π₯ β²
β« π = sin(π₯) β²
β« πΉ = πππ‘(π, 0, ππ) β²
Sas Wahid H 10 Desember 2012
10
REFERENSI
Stewart, James. 2008. Calculus, 6 th Edition . California : Thomson Brooks/Cole
Varberg, D.E, Purcell, E.J., Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9 th Edition . New Jersey :Pearson
Prentice Hall
Thomas, G.B., Weir, D.B., Hass, J. Giordano, F.R. 2004. Calculus, 11 th Edition
.Massachussets : Addison Wesley
Top Related