BAB 2 INTEGRAL LIPAT

2.1 Integral Lipat Dua pada Persegi PanjangTelaah Ulang Integral TentuMisalkan f terdefinisi pada selang [a,b].Bagi [a,b] menjadin selang bagian [xi-1, xi] dengan lebar x = (b a)/n danpilih titik sampelBentuk jumlah Riemann

maka integral tentu f dari a ke b diberikan olehjumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagaijumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, danmenyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.

0aGambar 1

Volume dan Integral Lipat DuaMisalkan f fungsi dua peubah pada segiempat tertutupMisalgrafik f adalah permukaan z = f(x,y). Misalkan S adalah benda padat yang terletak di atas R dandi bawah grafik f, yaituBagaimana mencari volume S ?

bacdxyozz = f(x,y)RGambar 2

Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadibeberapa segiempat bagian.Bagi interval [a,b] menjadi m interval [xi-1, xi] dengan lebar x = (b a)/m, dan bagi [c,d]menjadi n interval [yj-1, yj] dengan lebar y = (d c)/n.Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui titik ujunginterval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat bagianmasing-masing dengan luas A = x y.

ax1x2xi-1xibx0cy1yj-1yjydyxRijGambar 3

Jika dipilih titik sampeldalam setiap Rij, makabagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh kotak segi-empat dengan alas Rij dan tinggiVolume kotakini adalah Jika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat danmenambahkan volume kotak yang berkaitan, diperolehhampiran terhadap volume total S ; 1

bacdxyozGambar 4

Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m dan nbesar, sehinga diharapkan2Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda padatS yang terletak di bawah grafik f dan di atas segiempat R.

Definisi 3Integral lipat-dua dari f pada segiempat R adalahjika limit ini ada.Jika f kontinu, maka integral-lipat dua ada.

Jikaterletak di atas segiempat R dan di bawah permukaanmaka volume V dari benda padat yangz = f(x,y) adalah

CONTOH 1Taksirlah volume benda padat yang terletak di atas bujur dan di bawah paraboloida elipssangkarBagilah R menjadi empat bujur sangkaryang sama dan pilih titik sampel berupa pojok kanan atas dari setiap bujur sangkar Rij.

PENYELESAIANPerhatikan bujur sangkar berikutR11R21R12R22012xy12(2,1)(1,1)(2,2)(1,2)Gambar 5

Paraboloida adalah grafik dari danluas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan menghampirivolume menggunakan jumlah Riemann untuk m = n = 2,diperoleh

CONTOH 2Jikahitunglah integralPENYELESAIANKarenaintegral dapat ditafsirkan sebagai volumeJika makadansehingga integrallipat-dua yang diberikan menyatakan volume benda padat

S yang terletak di bawah silinder lingkarandandi atas segiempat R.Volume S adalah luas setengahlingkaran dengan jari-jari 1 kali panjang silinder. Jadi

Aturan Titik-TengahAturan Titik-Tengah untuk integral Lipat-Duadengan titik-tengahdantitik-tengah

CONTOH 3Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m = n = 2 untukmenaksir nilai integraldenganPENYELESAIANDengan Aturan Titik-tengah untuk m = n = 2, dihitung

di pusat-pusat empat segiempat bagian.012xy12(2,2)3/2Gambar 6SehinggadanLuas setiap

segiempat bagian adalah A = .Jadi,Jadi,

Nilai Rata-rataNilai rata-rata fungsi dua peubah f pada segiempat Rdengan A(R) adalah luas R.

Sifat Integral Lipat-Dua