Integral Dan Persamaan Diferensial

8/10/2019 Integral Dan Persamaan Diferensial

1/52

Integral danPersamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham

Klik untuk melanjutkan


2/52

Bahan Kuliah Terbuka

dalam format pdf tersedia diwww.buku-e.lipi.go.id

dalam format pps beranimasi tersedia diwww.ee-cafe.org


3/52

Bahasan akan mencakup

1. Integral Tak Tentu2. Integral Tentu3. Persamaan Diferensial


4/52

1. Integral Tak Tentu


5/52

Misalkan dari suatu fungsi f (x) yang diketahui, kita diminta untukmencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x

tertentu, misalnya a< x < b , dipenuhi persamaan

)( x f dxdy

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti inidisebut persamaan diferensial .

036

652

222

2

2

y xdxdy

xydx

yd

x xdxdy

Contoh persamaan diferensial

Pengertian-Pengertian


6/52

)( x F y Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaandiferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat

memenuhi

)()(

x f dx

xdF

)( x f dxdy

Tinjau persamaan diferensial

0

)()()(dx

xdF dxdK

dx xdF

dx K x F d Karena maka

K x F y )(fungsi juga merupakan solusi


7/52

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

K x F dx x f )()(

dx x f xdF )()(

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri

ditambah suatu nilai tetapan . Integral semacam ini disebut integral taktentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

)()(

x f dx

xdF

dapat dituliskan


8/52

45 xdxdy

dx xdy 45

dx x xd 45 5)(

K x xd dx x y 554 )(5

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh:

oleh karena itu


9/52

Carilah solusi persamaan

y xdxdy 2

Contoh:

dx y xdy 2 kelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kanan mengandung

peubah berbedadx xdy y 22/1

dy y yd 2/12/12 dx x xd 2331

32/131

2 xd yd

Jika kedua ruas diintegrasi

23

12/1

312 K x K y

K x K K x y 31232/1

31

31

2


10/52

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untukmemiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini

dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

K ydy

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K .

dyaady

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika ,1

1 n K

n y

dy yn

n

3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh denganmenambah pangkat n dengan 1 menjadi ( n + 1) dan membaginya dengan(n + 1).


11/52

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidaktunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang

dimiliki oleh K .

kurva 210 x y adalah kurva bernilai tunggal

50

100

-5 -3 -1 1 3 5 x

y = 10 x2 y

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K 1 K 2

K 3

yi = 10 x2 + K i

y

x

K xdx x 2

310

310kurva

adalah kurva bernilai banyak


12/52

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh denganmenerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

30 sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.

Contoh:t at v 3

kecepatan percepatan waktu

dt ds

v Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt dv

a Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

.

vdt ds

K t K t atdt s 22

5,12

3

274 ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K 03 3 K Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 t s


13/52

Luas Sebagai Suatu Integral


14/52

Luas Sebagai Suatu Integral

)( x f y Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva

sumbu- x , garis vertikal x = p , dan x = q.Contoh:

y = f ( x) =2 y

x 0

2

p x x+ x q

A px A px

)(2 x f x

A px atau

2)(lim0

x f dx

dA

x

A px px

x

K xdxdA A px px 22

Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p

K p20 p K 2 atau

x A px 2

p x A px 22 )(222 pq pq A pq


15/52

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang q x p

p x x+ x q

y

x

y = f ( x)

0

f ( x) f ( x+ x )

A px A px

A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan A px = f ( x) x atau A px = f ( x+ x) x

x x x f x x f x x f A px )()()( 0x0 adalah suatu nilai x yangterletak antara x dan x+ x

Jika x 0: )(lim0

x f dx

dA

x

A px px x

K x F dx x f dA A px px )()(

q p pq x F p F q F A )()()(


16/52

2. Integral Tentu


17/52

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai

suatu limit.

p x2 xk xk +1 xn q

y

x

y = f ( x)

0

Bidang dibagi dalam segmen-segmen

Luas bidang dihitung sebagai jumlah luassegmen

p x2 xk xk +1 xn q

y

x

y = f ( x)

0 p x2 xk xk +1 xn q

y

x

y = f ( x)

0

Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk ) xk

Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk + x) xk

Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen


18/52

k k k k k k x x x f x x f x x f )()()( 0

k

n

k

k

n

k

k k

n

k

k k x x x f x x f x x f

11

0

1

)()()(

Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekatisuatu nilai limit yang sama

p x2 xk xk +1 xn q

y

x

y = f ( x)

0 p x2 xk xk +1 xn q

y

x

y = f ( x)

0

Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk ) xk

Luas tiap segmen dihitungsebagai f ( xk + x) xk

Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka

Nilai limit itu merupakan integral tentu


19/52

q

p pq dx x f A )(

)()()()( p F q F x F dx x f A q pq

p pq

p x2 xk xk +1 xn q

y

x

y = f ( x)

0

Luas bidang menjadi


20/52

Luas Bidang


21/52

A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f (x) dan sumbu- x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu -x dikurangi

dengan luas bagian yang di bawah sumbu -x.

Definisi

x x y 123Luas antara dan sumbu- xdari x = 3 sampai x = + 3.

Contoh:

x x y 123

- 20

- 10

0

10

20

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 x

75,33)5425,20(0

64

)12(

0

3

24

03

3 x xdx x x Aa

75,33)0(5425,20

64

)12(

3

0

243

0

3 x x

dx x x Ab

5,67)755,33(75,33 ba pq A A A


22/52

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisimengenai A px , formulasi

))()( p F q F dx x f Aq

p

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu- x

p q

y

x A4

A1

A2 A3

y = f ( x)

))()( p F q F dx x f Aq

p pq

4321 A A A A A pq


23/52

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

)(11 x f y )(

22 x f y

berada di atas

p q

y

x 0

y1

y2

x x+ x

A px

x x f x f A A px segmen )()( 21

Rentang q x p dibagi dalam n segmen

xq x

p x

n

segmen x x f x f A )()( 211

jumlah semua segmen:

q p

n

segmen pq dx x f x f A A )()(lim 211

Dengan membuat n menuju takhingga sehingga x menuju nol kitasampai pada suatu limit


24/52

30)12(186)2(4( 323

2

xdx A pq

41 y 22 y Jika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2

dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = + 3.

Contoh:

21 x y 42 y Jika dan

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y 1 dan y2.

2 ,24 212

21 q x p x x y y

332

316

316

38

838

8

34)4(

2

2-

32

2

2

x xdx x A pq

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y2

y1 y2di atas

y1

y

x


25/52

221 x y x y 2 Jika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva

22

811 ;1

2811

02atau2

2

2

2

1

2221

q x p x

x x x x y y

5,4221

31

4238

223

)2(

2

1

232

1

2

x

x xdx x x A pq

-4

-2

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y1 di atas y2

y1

y2

y

x


26/52

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangankonstan 200V. Berapakah energi yang diserap olehpiranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p danenergi diberi simbol w , maka

yang memberikandt dw

p pdt w

[kWh]hourWattkilo 8,0

[Wh]rWatt.hou80010010080

8

0

8

0 t dt pdt w

Penerapan Integral

Contoh:

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengansatuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jamadalah


27/52

dt

dq

i

idt q

coulomb 625,0225,1

205,0

05,05

0

5

0

25

0 t tdt idt q

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadapwaktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlahmuatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =0 sampai t = 5 detik ?

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

Contoh:

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.


28/52

Volume Sebagai Suatu Integral


29/52

Berikut ini kita akan melihat penggunaanintegral untuk menghitung volume.

Balok

x

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+ x) adalah luas irisan di sebelah kanan

maka volume irisan V adalah

x x x AV x x A )()(

Volume balok V adalah q

p

x x AV )(

luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+ x).

Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kitamemperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:

q

p

x x AV )(

Jika x menuju nol dan A(x)kontinyu antara p dan q maka :

q

p

q

po x

dx x A x x AV )()(lim


30/52

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x

y

x

x

O Q

P A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x)memiliki persamaan garis OP.

hhh

dx xmdx xr dx x AV 0

22

0

2

0)()(

m : kemiringan garis OPh : jarak O-Q.

3

3PQ/OQ)(

32

3232

kerucuth

r hhm

V

Jika garis OP memotong sumbu- y makadiperoleh kerucut terpotong


31/52

Rotasi Bidang Sembarang

y

x

x

0 a b

f ( x) 22 )()()( x f xr x A

b

adx x f V 2)(

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f (x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping initerdapat tiga rentang x dimanafungsi linier kontinyu. Kita dapatmenghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

y

x x

0 a b

f 2( x) f 1( x)

f 3( x)


32/52

3. PersamaanDiferensial Orde-1


33/52

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa danpersamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidaktermasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjaufungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggiturunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalahpangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

xe x

y

dx

yd

dx

yd

12

5

2

22

3

3

Contoh:

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat

satu atau lebih turunan fungsi.


34/52

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan

diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

0 x x keke

xke y 0 ydt

dy adalah solusi dari persamaan

xke y xkedt dy karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaanakan kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yangmengandung n tetapan sembarang.


35/52

Pers amaan Diferensia l Ord e SatuDeng an Peub ah Yang

Dapat Dipisah kan


36/52

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaandiferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

0)()( dx x g dy y f

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusiumum dengan satu tetapan sembarang K , yaitu

K dx x g dy y f ))()(

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda


37/52

y xe

dx

dy

0 dxedye x y

y

x

e

edxdyPersamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisah

K ee x y

K ee x y

sehingga atau

Contoh:

K dxedye x yIntegrasi kedua ruas memberikan:


38/52

Contoh:

xydx

dy 1

0 xdx

ydy

K xdx

ydy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

K x y

ln2

2

K x y 2ln

atau

xdx

ydy atau

Integrasi kedua ruas:


39/52

Persam aan Diferensial Hom o gen

Orde Satu


40/52


41/52

Contoh: 02)( 22 xydydx y x

02)1(2

22 xydydx

x

y xUsahakan menjadi homogen

dy x y

dx x

y2)1(

2

2

)/()/(2)/(1 2

x y F x y x y

dxdy

Peubah baru v = y/x

vx y

dxdv

xvdxdy v

vdxdv

xv2

1 2

vv

vv

vdxdv

x 231

21 22

xdx

v

vdv231

2 031

22

v

vdv xdx

Peubah terpisah atau

)(21 2

v F vv

dxdy


42/52

Kita harus mencari solusi persamaanini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.

031

22

v

vdv xdx

dx xd

x)(ln1

)6(31

1

)31(

)31(

)31ln()31ln(2

2

2

22v

vdvvd

vd

vd dv

vd Kita coba hitung

K K v x ln3

1)31ln(

3

1ln 2

0)31ln(

31 2

dvdv

vd xdx

K K v x ln)31ln(ln3 2

K v x )31( 23

K x y x 23 )/(31 K y x x 22 3

Suku ke-dua ini berbentuk 1/xdan kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:


43/52

Persamaan Diferensial Linier

Orde Satu


44/52

Dalam persamaan diferensial linier,semua suku berderajat satu atau nol

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Halini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan

pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umumsebagai

)(t f bydt dy

a

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f (t) tidak terlalu bervariasi.Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia

merupakan bentuk komposityang merupakan gabungan dari bentuk utama.

Q PydxdyOleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang

juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk


45/52

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui padaperistiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.

Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah carapendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah

fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkansolusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan

homogen

0bydt dy

a

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapanrangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai

a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentukrangkaian.

Fungsi f (t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupategangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksaatau fungsi

penggerak.


46/52

Hal ini dapat difahami karena jika f 1(t) memenuhi persamaanyang diberikan dan fungsi f 2(t) memenuhi persamaan homogen,

maka y = ( f 1+f 2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,sebab

0

)(

11

22

11

2121

bf dt df

abf dt df

abf dt df

a

f f bdt

f f d aby

dt dy

a

Jadi y = ( f 1+ f 2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dankita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah

dari solusi khusus dan solusi homogen.


47/52

Solusi Homogen

Persamaan homogen 0bydt

dya

Jika ya adalah solusinya maka

0 dt ab

ydy

a

a

Integrasi kedua ruas memberikan

K t ab

ya ln

sehingga

K t ab

ya ln

t aba

K t ab

a e K e y)/(

Inilah solusi homogen


48/52

)(t f bydt

dya p

p

Bentuk f (t) ini menentukan bagaimana bentuk y p.

t K t K yt At f t At f

Ke y Aet f

K y At f

yt f

sc p

t p

t

p

p

sincos cos)(atau,sin)(Jika

aleksponensi al,eksponensi)(Jika

konstan konstan,)(Jika

00)(Jika

Jika solusi khusus adalah y p , maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi y p yang tergantung dari f (t) inidapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalah t aba ptotal e K y y)/(

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.


49/52

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 vdt

dv

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.

Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusikhusus bernilai nol.

01000 dt vdv

K t v 1000lnt

a K t e K ev 10001000

Penerapan kondisi awal: a K 12

Solusi total: V12 1000t ev


50/52

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 vdt

dv

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 010 3 aa v

dt dv

010 3 dt v

dv

a

a

t aa e K v

1000

Solusi khusus: 12 pv karena f (t) = 12

Solusi total (dugaan):t

atotal e K v100012

Penerapan kondisi awal: a K 120 12a K

Solusi total: V 12121000t

total ev


51/52

Contoh:

t vdt

dv10cos1005

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien

menghasilkan persamaan

Carilah solusi total.Solusi homogen: 05 aa vdt

dv05 dt

vdv

a

a

K t va 5ln t

aa e K v5

Solusi khusus: t At Av sc p 10sin10cos

t t At At At A sc sc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10

t t At A c s 10cos10010cos510cos10 100510 c s A A

010sin510sin10 t At A sc 0510 sc A A

8 s A 4c ASolusi total (dugaan): t a e K t t v

510sin810cos4

Penerapan kondisi awal: a K 40 4a K

Solusi total : t et t v 5410sin810cos4


52/52

Bahan Kuliah Terbuka

Integral danPersamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham

Integral Dan Persamaan Diferensial

Documents

Transcript of Integral Dan Persamaan Diferensial