Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya - Share...

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

MATERI

Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar

Sub Pokok BahasanAnda akan belajar

1. Prosedur plot Letak Kedudukan Akar

2. Prosedur plot dengan bantuan Matlab

Pengantar

1. Respon system tergantung pada letak / posisi pole

2. Saat menambahkan sebuah pengendali, makabesarnya gain perlu disesuaikan /diatur

3. Peyesuaian gain ini pada dasarnya adalahmemindahkan letak pole untuk menyesuaikandengan respon yang diinginkan

4. Terkadang penyesuaian nilai gain tidak selalumenghasilkan performansi respon seperti yang diharapkan. Apabila seperti ini maka dilakukanperancangan system kendali yang lebih kompleks

ROOT LOCUS

• ROOT = akar-akar

• LOCUS = tempat kedudukan

• ROOT LOCUS

– Tempat kedudukan akar-akar persamaankarakteristik dari sebuah sistem pengendalianproses

– Digunakan untuk menentukan stabilitas sistemtersebut: selalu stabil atau ada bataskestabilannya?

Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS

• Cara 1: Mencari akar-akar persamaankarakteristik pada tiap kenaikan gain kontroler Kc

• Cara 2: Didasarkan pada pengalaman

– Mencari nilai pole dan zero

– Menentukan breakaway point, center of gravity, asimptot

– Mencari nilai u (titik potong dengan sumbuimajiner, dengan substitusi langsung)

RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar


• Persamaan karakteristik fungsi alih loop tertutup adalah,

0)()(1 shsKGK

zszszs

pspsps

m

n

)())((

)())((

21

21

• Dari persamaan tersebut, untuk suatu titik dalam bidang-s, tempat

kedudukan akar untuk nilai 0<K< bila memenuhi dua kondisi berikut,

berhingga zero dari vektor panjangPerkalian

berhingga pole dari vektor panjangPerkalian K

,5,3,1

)180()()( polesudut )()( zerosudut 0

r

rsHsGsHsG

atau


Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar

1. Jumlah kedudukan (loci). Untuk n>m, jumlah cabang kedudukan

tempat kedudukan akar, adalah sama dengan jumlah pole fungsi alih

loop terbuka G(s)H(s). Kedudukan akar adalah simetris terhadap

sumbu real pada bidang-s.

2. Titik awal dan titik akhir. Jika K dinaikkan dari nol menuju ke

takberhingga, kedudukan awal pole loop tertutup bergerak dari pole

loop terbuka (K=0), dan berhenti pada zero loop terbuka (K).

Zero terbentang kearah tempat kedudukan akarnya, dan pole

terbentang kearah sebaliknya.

3. Segmen tempat kedudukan akar dalam sumbu real.

Untuk K>0, tempat kedudukan akar terjadi pada suatu

segmen tertentu pada sumbu real, jika dan hanya jika ada

selisih jumlah pole dan zero dari fungsi alih loop terbuka

yang terebah disisi kanan segmen.



4. Interseksi sumbu imajiner. Dengan menggunakan kriteria Routh-

Hurwitz, tentukan titik kedudukan akar yang terletak di sumbu-j.

Harga K dan dapat diperoleh dari array Routh.

5. Asymptot (Untuk nm). Untuk sebagian besar sistem perhatikan,

n>m. Untuk n>m ada (n-m) zero pada takberhingga, untuk 0<K<,

akhir tempat kedudukan akar (n-m) pada zero takberhingga.

Titik-titik tempat kedudukan akar terhadap garis lurus dengan sudut

sebagi berikut,


,5,3,1180

rmn

r o



karena s mendekati takberhingga. Berikut adalah tabel sudut

asimtotik,

Garis lurus menyebar dari suatu titik s pada sumbu real

dinyatakan dengan,


n-m (selisih jumlah pole – jumlah zero)

Sudut Asimtotik

01234

Tidak-asimtot180o

90o

180o, 60o

45o, 135o

mn

sHsGzerosHsGpolea

)()()()(



6. Sudut berangkat dan sudut datang. Anggap titik s sebarang

didekat pole (untuk berangkat) atau zero (untuk datang) dan

kemudian gunakan persamaan sudut sebagai berikut,

7. Titik breakaway dan titik re-entry. Titik-titik pada sumbu real

dimana dua atau lebih cabang tempat kedudukan akar berangkat

dari atau datang pada sumbu real. Titik breakaway dapat ditentukan

dengan pernyataan persamaan karakteristik untuk gain K sebagai

fungsi s, K=-1/(G(s)H(s)), dan kemudian menyelesaikan titik

breakaway s dari,


)180(

)180(

0

0

r

r

i

zi

i

pia

i

pi

i

zid

0)(

Bssds

sdK

akar-akar real persamaan ini, yang sesuai dengan

langkah (3), adalah titik breakaway atau re-entry.


• Perhatikan diagram blok di bawah ini

• Persamaan Karakteristiknya:

atau 1 + G(s)H(s) = 0

11

Kc

0.5

R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

0)1)(13(

1

ss

Kc

Penentuan Akar Pers. Karakteristik

3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0

12

c

cK

Kss 31

3

1

3

2

6

)1(12164, 21

Plot Root Locus

Kc AKAR

0 -1; -1/3

1 -2/3 ± j (2)/3

5 -2/3 ± j (14)/3

10 -2/3 ± j (29)/3

20 -2/3 ± j (59)/3

50 -2/3 ± j (149)/3

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3-2/3

-

Sistem SELALU STABIL karenaakar-akarnya selalu beradadi sebelah KIRI

Persamaan karakteristik:

0

15,0)1)(13(1

sss

Kc

14

Kc

R(s) C(s)

)1)(13(

2

ss

15,0

5,0

s

Persamaan Karakteristik

015.455.1

015.0)1)(13(

015.0)1)(13(

15.0)1)(13(

015.0)1)(13(15.0)1)(13(

15.0)1)(13(

015.0)1)(13(

1

23

c

c

c

c

c

Ksss

Ksss

sss

Ksss

sss

K

sss

sss

sss

K

Gambar Root Locus

Kc AKAR

0 -1; -1/3; -2

1 -2.271; -0.53±j0.55

5 -2.77; -0.281±j1.168

14 -3.3; ±j1.732

20 -3.586; 0.126±j1.97

30 -3.92; 0.29±2.279j

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

-

X

-2

Sistem ADA BATAS KESTABILANkarena akar-akarnya ada yang beradadi sebelah KANAN

Cara 2

• Persamaan karakteristik:

• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3

• zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0

0

15,0)1)(13(1

sss

Kc

Uji Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

n – m = 3 – 0 = ganjil

tempatkedudukan akar

Uji Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

n – m = 2– 0 = genapBUKAN tempatkedudukan akar

Uji Letak Pole/Zero

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

n – m = 1– 0 = ganjil

tempatkedudukan

akar

Plot Semua daerah yang terdapat Pole

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2

Di Antara Tempat Kedudukan2 Pole Ada BREAKAWAY POINT

0363

01223

0213/1

13/123/121

2

1

1

1

3/1

10

11

322

31

312

32

3122

11

ss

ssssss

sss

ssssss

sss

pszs

n

j j

m

i i

0.6268

1.5954

2

1

s

s DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN

YANG DIPAKAI

Letak Breakwaway Point

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6

Penentuan Center of Gravity danSudut Asimtot

1.13

3

03

2131

31

1 1

mn

zp

CG

n

j

m

i

ij

o

o

o

mn

k

30003

2)360(180

18003

1)360(180

6003

0)360(180

)360(180

00

2

00

1

00

0

00

Center of Gravity dan Sudut Asimtot

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6-1.1

60o

180o

300o

Cg

Titik Potong pada Sumbu Imajiner

015.455.1 23 cKsssSubstitusi dengan

uis

01)(5.455.1

01)(5.4)(5)(5.1

23

23

cuuu

cuuu

Kii

Kiii

3dan 0

05.45.1

05.45.1

2

2

3

uu

uu

uu

i

ii

14

01)3(5

0152

c

c

cu

K

K

K

7.1 u TITIK POTONGNYA

Titik Potong dengan Sumbu Imajiner

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6-1.1

1.7

-1.7

Hasil Plot ROOT LOCUS

REAL

IMAJINER

X X

-1 -1/3

X

-2 -0.6-1.1

Program Matlab

2

( 8)( )

( 2)( 8 32)

K sG s

s s s s

Root Locus

>> rlocus(tf([1 8], conv(conv([1 0],[1 2]),[1 8 32])))

Tugas Latihan 1

1. Plot Root Locus sebuah sistem dengan G(s) = 1/s(s+0,8)

2. Hasil plot di scan, dan diupload di Minggu 11, dengan nama file= nama mahasiswa


10167)13)(13)(1()()(

23

sss

K

jsjss

KsHsG

a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0.

b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar

Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,

Latihan SOAL 2


34

)5(

)3)(1(

)5()()(

2

ss

sK

ss

sKsHsG

Latihan SOAL 3





182710

)5(

)6)(3)(1(

)5()()(

23

sss

sK

sss

sKsHsG

Latihan SOAL 4





RINGKASAN

1. Letak kedudukan akar diperoleh dari persamaan

persamaan close loop, dengan gain kendali bernilai K

2. Letak kedudukan akar diuji dengan cara, menentukan

selisih jumlah pole dengan zero di suatu letak titik uji

3. Bila selisih pole dengan zero di lokasi titik uji bernilai

ganjil, maka titik uji terdapat akar

4. Bila selisih pole dengan zero di lokasi titik uji bernilai

genap, maka tidak ada akar

5. Plot letak kedudukan akar dapat digunakan untuk

menguji kestabilan sebuah system

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya - Share...

Documents

Transcript of Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya - Share...