I. Aljabar Himpunan
-
Upload
fariza-andriyawan -
Category
Documents
-
view
920 -
download
32
description
Transcript of I. Aljabar Himpunan
BAB II
ALJABAR HIMPUNAN
Pendahuluan
Pada BAB II ini akan dibahas lebih lanjut tentang hukum-hukum dan rumus-rumus
yang berlaku pada himpunan Untuk lebih memahami materi pada bab 1 ini pengguna
diharapakan sudah menguasai dasar-dasar matematika modern yang mana dibutuhkan
pemahaman tentang pembuktian-pembuktian teorema seperti pembuktian dengan cara
reductio ad absurdum ataupun dengan direct proof
Secara terperinci setelah mempelajari bab 1 ini diharapkan pengguna dapat
1 Memahami hukum-hukum yang berlaku dan tidak berlaku pada himpunan
2 Menggunakan operasi dan rumus-rumus himpunan dengan benar
3 Merumuskan pembuktian dengan Diagram Venn selain dengan reductio ad absurdum dan
direct proof
4 Menggambarkan komposisi himpunan sesuai dengan permasalahan yang ada
5 Membedakan plain set dengan ordered set
6 Menghitung Cartesian product dua himpunan
7 Memahami dan membentuk Himpunan Kuasa
8 Membuktikan himpunan yang ekuivalen
9 Memahami Ekuipotensi himpunan
10 Memahami konsep awal Kardinalitas himpunan
Untuk menguji kepahaman pembaca tentang materi pada BAB II ini pada akhir bab akan
diberikan beberapa latihan soal
Kegiatan Belajar
II 1 Aljabar Himpunan
Himpunan menurut operasi gabungan (union) irisan (intersection) dan komplemen
(complemen) akan memenuhi berbagai hukum yang merupakan identitas Berbagai rumus dan
definisi di bawah akan menjelaskan hukum-hukum pada himpunan Salah satu cabang
matematika yang menyelidiki teori himpunan dengan mempelajari teorema-teorema yang
dihasilkan dari hukum-hukum ini yakni teorema-teorema yang buktinya memerlukan
penggunaan hukum-hukum ini saja tanpa menggunakan hukum lain adalah aljabar himpunan
Pembahasan berikut merupakan pembahasan dari aljabar himpunan
Definisi X disebut himpunan bagian dari Y dengan notasi X Y jika dan hanya jika
( a) a X a Y Sedangkan X = Y jika dan hanya jika ( a) a X a Y
Apabila X Y dan X Y maka X disebut himpunan bagian sejati dari Y
Himpunan kosong dan Y sendiri disebut himpunan bagian tak sejati dari Y
( improper subset )
Berikut diberikan rumus-rumus himpunan ( tidak disertai bukti ) berlaku untuk setiap X Y Z
Rumus 1
X X sifat refleksif
X Y amp Y X X = Y sifat anti-symetris
X Y amp Y Z X Z sifat transitif
Rumus 2
X X = X dan X X = X sifat idempoten
X Y = Y X dan X Y = Y X sifat komutatif
(X Y) Z = X (Y Z) dan (X Y) Z = X (Y Z) sifat assosiatif
X (Y Z) = (X Y) (X Z) dan
X (Y Z) = (X Y) (X Z) sifat distributif
Rumus 3
X (X Y) dan Y (X Y)
( X Y ) X dan (X Y) Y
X Z amp Y Z X Y Z
Z X amp Z Y Z (X Y)
Rumus 4
X Y X Y = Y X Y = X
Rumus 5 (Rumus de Morgan )
13
( X Y )C = XC YC
( X Y )C = XC YC
Rumus 6
( XC ) C = XC = S
SC =
Rumus 7
X S
X = dan S X = X
X = X dan S X = S
X XC = dan X XC = S
Rumus 8 ( Hukum Absorpsi)
X (X Y) = X (X Y)
Rumus 9
X - Y = X YC
Contoh 21
Buktikan X Y YC XC
Bukti
i ) X Y YC XC
Andaikan YC XC maka ada a YC sedemikian sehingga a XC Karena a YC
berarti a Y dan dilain pihak a XC berarti a X Terlihat adanya a X dengan a Y
Hal ini bertentangan dengan ketentuan X Y Kontradiksi sehingga pengandaian harus
diingkar maka terbukti YC XC
ii ) YC XC X Y
Andaikan X Y maka ada a dengan a X dan a Y Sehingga ada a dengan a
XC dan a YC Kontradiksi dengan ketentuan YC XC
14
X Y
SXC
YC
Bukti semacam diatas disebut reduction ad absurdum ( bukti kemustahilan ) Dari
ingkaran apa yang harus dibuktikan ( pengandaian adalah ingkaran dari apa yang harus
dibuktikan ) diturunkan suatu kontradiksi sesuatu yang mustahil Umpama sesuatu yang
bertentangan dengan ketentuan atau umpama kalimat 1 = 2 dst Karena kemustahilan ini tidak
mungkin terjadi maka pengandaian harus diingkar dan terbuktilah soalnya
Perhatikan bahwa bukti dari contoh 1 di atas juga dapat dipandang sebagai bukti dari
kalimat kontraposisi dari kalimat yang harus dibuktikan yaitu bukti dari kalimat
YC XC X Y
Perbedaan dari reduction ad absurdum dengan bukti dari kalimat kontraposisi ialah bahwa
pada reduction ad absurdum kontradiksi yang diturunkan tidak perlu berupa ingkaran dari
anteseden dari kalimat
yang harus dibuktikan
melainkan dapat berupa
apapun asal mustahil terjadi
Dengan
diagram Venn benarnya
soal 1 diatas memang
mudah diyakini
Gambar 21
Contoh 1 di atas dapat juga dibuktikan secara langsung ( direct proof ) yaitu
X Y X Y = Y rumus 4
(X Y)C = YC
XC YC = YC rumus de Morgan
YC XC rumus 4
terbukti X Y YC XC
15
YX Z
YX
Z
Contoh 22
Buktikan (A B) (A Brsquo) = A
Bukti (A B) (A Brsquo) = A (B Brsquo) rumus distributif
B Brsquo = rumus komplemen
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
A = A rumus identitas
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
Contoh 23
Buktikan X Y dan Y Z menunjukkan X Z
Bukti X = X Y dan Y = Y Z definisi sub himpunan
X = X (Y Z) rumus subtitusi
X = (X Y) Z rumus assosiatif
X = X Z rumus subtitusi
X Z definisi sub himpunan
Pada himpunan hukum-hukum kanselasi dalam aljabar himpunan tidak berlaku Yaitu dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
16
Demikian pula dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
Hal ini jelas terlihat dari diagram-diagram Venn di bawah ini
X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z
Gambar 22
Perhatikan bahwa dengan sendirinya diagram Venn dapat digunakan untuk membuktikan
bahwa sesuatu ucapan tidak berlaku umum Sebab diagram dalam keadaan tersebut
memberikan suatu contoh-lawanan ( counter example ) atau dapat juga disimpulkan bahwa
diagram Venn tidak dapat dipakai untuk membuktikan suatu teorema kecuali buktinya berupa
contoh kontra
Contoh 24
Buktikan X Z = Y Z dan X Z = Y Z maka X = Y
Bukti
X = X ( X Z ) rumus absorpsi
= X ( Y Z )
= (X Y) (X Z) rumus distributif
= (Y X) (X Z) rumus komutatif
= (Y X) (Y Z)
= Y (X Z) rumus distributif
= Y (Y Z)
= Y
terbukti bahwa X = Y
Selanjutnya didefinisikan symmetric difference ( selisih symetris ) dari dua himpunan
X dan Y dengan tanda X Y sebagai berikut
17
X Y = (X Y) - (X Y)
Dengan diagram Venn
Gambar 23
Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y
yang tidak berada dalam X
Contoh 25
Buktikan
i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)
ii) X Y = Y X
iii) ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)
Bukti
Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri
iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas
anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada
dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak
berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z
Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari
( X Y) Z terdiri atas
1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z
2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z
Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan
diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran
18
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
dihasilkan dari hukum-hukum ini yakni teorema-teorema yang buktinya memerlukan
penggunaan hukum-hukum ini saja tanpa menggunakan hukum lain adalah aljabar himpunan
Pembahasan berikut merupakan pembahasan dari aljabar himpunan
Definisi X disebut himpunan bagian dari Y dengan notasi X Y jika dan hanya jika
( a) a X a Y Sedangkan X = Y jika dan hanya jika ( a) a X a Y
Apabila X Y dan X Y maka X disebut himpunan bagian sejati dari Y
Himpunan kosong dan Y sendiri disebut himpunan bagian tak sejati dari Y
( improper subset )
Berikut diberikan rumus-rumus himpunan ( tidak disertai bukti ) berlaku untuk setiap X Y Z
Rumus 1
X X sifat refleksif
X Y amp Y X X = Y sifat anti-symetris
X Y amp Y Z X Z sifat transitif
Rumus 2
X X = X dan X X = X sifat idempoten
X Y = Y X dan X Y = Y X sifat komutatif
(X Y) Z = X (Y Z) dan (X Y) Z = X (Y Z) sifat assosiatif
X (Y Z) = (X Y) (X Z) dan
X (Y Z) = (X Y) (X Z) sifat distributif
Rumus 3
X (X Y) dan Y (X Y)
( X Y ) X dan (X Y) Y
X Z amp Y Z X Y Z
Z X amp Z Y Z (X Y)
Rumus 4
X Y X Y = Y X Y = X
Rumus 5 (Rumus de Morgan )
13
( X Y )C = XC YC
( X Y )C = XC YC
Rumus 6
( XC ) C = XC = S
SC =
Rumus 7
X S
X = dan S X = X
X = X dan S X = S
X XC = dan X XC = S
Rumus 8 ( Hukum Absorpsi)
X (X Y) = X (X Y)
Rumus 9
X - Y = X YC
Contoh 21
Buktikan X Y YC XC
Bukti
i ) X Y YC XC
Andaikan YC XC maka ada a YC sedemikian sehingga a XC Karena a YC
berarti a Y dan dilain pihak a XC berarti a X Terlihat adanya a X dengan a Y
Hal ini bertentangan dengan ketentuan X Y Kontradiksi sehingga pengandaian harus
diingkar maka terbukti YC XC
ii ) YC XC X Y
Andaikan X Y maka ada a dengan a X dan a Y Sehingga ada a dengan a
XC dan a YC Kontradiksi dengan ketentuan YC XC
14
X Y
SXC
YC
Bukti semacam diatas disebut reduction ad absurdum ( bukti kemustahilan ) Dari
ingkaran apa yang harus dibuktikan ( pengandaian adalah ingkaran dari apa yang harus
dibuktikan ) diturunkan suatu kontradiksi sesuatu yang mustahil Umpama sesuatu yang
bertentangan dengan ketentuan atau umpama kalimat 1 = 2 dst Karena kemustahilan ini tidak
mungkin terjadi maka pengandaian harus diingkar dan terbuktilah soalnya
Perhatikan bahwa bukti dari contoh 1 di atas juga dapat dipandang sebagai bukti dari
kalimat kontraposisi dari kalimat yang harus dibuktikan yaitu bukti dari kalimat
YC XC X Y
Perbedaan dari reduction ad absurdum dengan bukti dari kalimat kontraposisi ialah bahwa
pada reduction ad absurdum kontradiksi yang diturunkan tidak perlu berupa ingkaran dari
anteseden dari kalimat
yang harus dibuktikan
melainkan dapat berupa
apapun asal mustahil terjadi
Dengan
diagram Venn benarnya
soal 1 diatas memang
mudah diyakini
Gambar 21
Contoh 1 di atas dapat juga dibuktikan secara langsung ( direct proof ) yaitu
X Y X Y = Y rumus 4
(X Y)C = YC
XC YC = YC rumus de Morgan
YC XC rumus 4
terbukti X Y YC XC
15
YX Z
YX
Z
Contoh 22
Buktikan (A B) (A Brsquo) = A
Bukti (A B) (A Brsquo) = A (B Brsquo) rumus distributif
B Brsquo = rumus komplemen
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
A = A rumus identitas
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
Contoh 23
Buktikan X Y dan Y Z menunjukkan X Z
Bukti X = X Y dan Y = Y Z definisi sub himpunan
X = X (Y Z) rumus subtitusi
X = (X Y) Z rumus assosiatif
X = X Z rumus subtitusi
X Z definisi sub himpunan
Pada himpunan hukum-hukum kanselasi dalam aljabar himpunan tidak berlaku Yaitu dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
16
Demikian pula dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
Hal ini jelas terlihat dari diagram-diagram Venn di bawah ini
X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z
Gambar 22
Perhatikan bahwa dengan sendirinya diagram Venn dapat digunakan untuk membuktikan
bahwa sesuatu ucapan tidak berlaku umum Sebab diagram dalam keadaan tersebut
memberikan suatu contoh-lawanan ( counter example ) atau dapat juga disimpulkan bahwa
diagram Venn tidak dapat dipakai untuk membuktikan suatu teorema kecuali buktinya berupa
contoh kontra
Contoh 24
Buktikan X Z = Y Z dan X Z = Y Z maka X = Y
Bukti
X = X ( X Z ) rumus absorpsi
= X ( Y Z )
= (X Y) (X Z) rumus distributif
= (Y X) (X Z) rumus komutatif
= (Y X) (Y Z)
= Y (X Z) rumus distributif
= Y (Y Z)
= Y
terbukti bahwa X = Y
Selanjutnya didefinisikan symmetric difference ( selisih symetris ) dari dua himpunan
X dan Y dengan tanda X Y sebagai berikut
17
X Y = (X Y) - (X Y)
Dengan diagram Venn
Gambar 23
Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y
yang tidak berada dalam X
Contoh 25
Buktikan
i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)
ii) X Y = Y X
iii) ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)
Bukti
Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri
iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas
anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada
dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak
berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z
Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari
( X Y) Z terdiri atas
1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z
2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z
Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan
diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran
18
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
( X Y )C = XC YC
( X Y )C = XC YC
Rumus 6
( XC ) C = XC = S
SC =
Rumus 7
X S
X = dan S X = X
X = X dan S X = S
X XC = dan X XC = S
Rumus 8 ( Hukum Absorpsi)
X (X Y) = X (X Y)
Rumus 9
X - Y = X YC
Contoh 21
Buktikan X Y YC XC
Bukti
i ) X Y YC XC
Andaikan YC XC maka ada a YC sedemikian sehingga a XC Karena a YC
berarti a Y dan dilain pihak a XC berarti a X Terlihat adanya a X dengan a Y
Hal ini bertentangan dengan ketentuan X Y Kontradiksi sehingga pengandaian harus
diingkar maka terbukti YC XC
ii ) YC XC X Y
Andaikan X Y maka ada a dengan a X dan a Y Sehingga ada a dengan a
XC dan a YC Kontradiksi dengan ketentuan YC XC
14
X Y
SXC
YC
Bukti semacam diatas disebut reduction ad absurdum ( bukti kemustahilan ) Dari
ingkaran apa yang harus dibuktikan ( pengandaian adalah ingkaran dari apa yang harus
dibuktikan ) diturunkan suatu kontradiksi sesuatu yang mustahil Umpama sesuatu yang
bertentangan dengan ketentuan atau umpama kalimat 1 = 2 dst Karena kemustahilan ini tidak
mungkin terjadi maka pengandaian harus diingkar dan terbuktilah soalnya
Perhatikan bahwa bukti dari contoh 1 di atas juga dapat dipandang sebagai bukti dari
kalimat kontraposisi dari kalimat yang harus dibuktikan yaitu bukti dari kalimat
YC XC X Y
Perbedaan dari reduction ad absurdum dengan bukti dari kalimat kontraposisi ialah bahwa
pada reduction ad absurdum kontradiksi yang diturunkan tidak perlu berupa ingkaran dari
anteseden dari kalimat
yang harus dibuktikan
melainkan dapat berupa
apapun asal mustahil terjadi
Dengan
diagram Venn benarnya
soal 1 diatas memang
mudah diyakini
Gambar 21
Contoh 1 di atas dapat juga dibuktikan secara langsung ( direct proof ) yaitu
X Y X Y = Y rumus 4
(X Y)C = YC
XC YC = YC rumus de Morgan
YC XC rumus 4
terbukti X Y YC XC
15
YX Z
YX
Z
Contoh 22
Buktikan (A B) (A Brsquo) = A
Bukti (A B) (A Brsquo) = A (B Brsquo) rumus distributif
B Brsquo = rumus komplemen
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
A = A rumus identitas
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
Contoh 23
Buktikan X Y dan Y Z menunjukkan X Z
Bukti X = X Y dan Y = Y Z definisi sub himpunan
X = X (Y Z) rumus subtitusi
X = (X Y) Z rumus assosiatif
X = X Z rumus subtitusi
X Z definisi sub himpunan
Pada himpunan hukum-hukum kanselasi dalam aljabar himpunan tidak berlaku Yaitu dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
16
Demikian pula dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
Hal ini jelas terlihat dari diagram-diagram Venn di bawah ini
X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z
Gambar 22
Perhatikan bahwa dengan sendirinya diagram Venn dapat digunakan untuk membuktikan
bahwa sesuatu ucapan tidak berlaku umum Sebab diagram dalam keadaan tersebut
memberikan suatu contoh-lawanan ( counter example ) atau dapat juga disimpulkan bahwa
diagram Venn tidak dapat dipakai untuk membuktikan suatu teorema kecuali buktinya berupa
contoh kontra
Contoh 24
Buktikan X Z = Y Z dan X Z = Y Z maka X = Y
Bukti
X = X ( X Z ) rumus absorpsi
= X ( Y Z )
= (X Y) (X Z) rumus distributif
= (Y X) (X Z) rumus komutatif
= (Y X) (Y Z)
= Y (X Z) rumus distributif
= Y (Y Z)
= Y
terbukti bahwa X = Y
Selanjutnya didefinisikan symmetric difference ( selisih symetris ) dari dua himpunan
X dan Y dengan tanda X Y sebagai berikut
17
X Y = (X Y) - (X Y)
Dengan diagram Venn
Gambar 23
Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y
yang tidak berada dalam X
Contoh 25
Buktikan
i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)
ii) X Y = Y X
iii) ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)
Bukti
Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri
iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas
anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada
dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak
berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z
Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari
( X Y) Z terdiri atas
1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z
2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z
Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan
diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran
18
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
X Y
SXC
YC
Bukti semacam diatas disebut reduction ad absurdum ( bukti kemustahilan ) Dari
ingkaran apa yang harus dibuktikan ( pengandaian adalah ingkaran dari apa yang harus
dibuktikan ) diturunkan suatu kontradiksi sesuatu yang mustahil Umpama sesuatu yang
bertentangan dengan ketentuan atau umpama kalimat 1 = 2 dst Karena kemustahilan ini tidak
mungkin terjadi maka pengandaian harus diingkar dan terbuktilah soalnya
Perhatikan bahwa bukti dari contoh 1 di atas juga dapat dipandang sebagai bukti dari
kalimat kontraposisi dari kalimat yang harus dibuktikan yaitu bukti dari kalimat
YC XC X Y
Perbedaan dari reduction ad absurdum dengan bukti dari kalimat kontraposisi ialah bahwa
pada reduction ad absurdum kontradiksi yang diturunkan tidak perlu berupa ingkaran dari
anteseden dari kalimat
yang harus dibuktikan
melainkan dapat berupa
apapun asal mustahil terjadi
Dengan
diagram Venn benarnya
soal 1 diatas memang
mudah diyakini
Gambar 21
Contoh 1 di atas dapat juga dibuktikan secara langsung ( direct proof ) yaitu
X Y X Y = Y rumus 4
(X Y)C = YC
XC YC = YC rumus de Morgan
YC XC rumus 4
terbukti X Y YC XC
15
YX Z
YX
Z
Contoh 22
Buktikan (A B) (A Brsquo) = A
Bukti (A B) (A Brsquo) = A (B Brsquo) rumus distributif
B Brsquo = rumus komplemen
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
A = A rumus identitas
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
Contoh 23
Buktikan X Y dan Y Z menunjukkan X Z
Bukti X = X Y dan Y = Y Z definisi sub himpunan
X = X (Y Z) rumus subtitusi
X = (X Y) Z rumus assosiatif
X = X Z rumus subtitusi
X Z definisi sub himpunan
Pada himpunan hukum-hukum kanselasi dalam aljabar himpunan tidak berlaku Yaitu dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
16
Demikian pula dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
Hal ini jelas terlihat dari diagram-diagram Venn di bawah ini
X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z
Gambar 22
Perhatikan bahwa dengan sendirinya diagram Venn dapat digunakan untuk membuktikan
bahwa sesuatu ucapan tidak berlaku umum Sebab diagram dalam keadaan tersebut
memberikan suatu contoh-lawanan ( counter example ) atau dapat juga disimpulkan bahwa
diagram Venn tidak dapat dipakai untuk membuktikan suatu teorema kecuali buktinya berupa
contoh kontra
Contoh 24
Buktikan X Z = Y Z dan X Z = Y Z maka X = Y
Bukti
X = X ( X Z ) rumus absorpsi
= X ( Y Z )
= (X Y) (X Z) rumus distributif
= (Y X) (X Z) rumus komutatif
= (Y X) (Y Z)
= Y (X Z) rumus distributif
= Y (Y Z)
= Y
terbukti bahwa X = Y
Selanjutnya didefinisikan symmetric difference ( selisih symetris ) dari dua himpunan
X dan Y dengan tanda X Y sebagai berikut
17
X Y = (X Y) - (X Y)
Dengan diagram Venn
Gambar 23
Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y
yang tidak berada dalam X
Contoh 25
Buktikan
i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)
ii) X Y = Y X
iii) ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)
Bukti
Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri
iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas
anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada
dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak
berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z
Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari
( X Y) Z terdiri atas
1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z
2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z
Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan
diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran
18
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
YX Z
YX
Z
Contoh 22
Buktikan (A B) (A Brsquo) = A
Bukti (A B) (A Brsquo) = A (B Brsquo) rumus distributif
B Brsquo = rumus komplemen
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
A = A rumus identitas
(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi
Contoh 23
Buktikan X Y dan Y Z menunjukkan X Z
Bukti X = X Y dan Y = Y Z definisi sub himpunan
X = X (Y Z) rumus subtitusi
X = (X Y) Z rumus assosiatif
X = X Z rumus subtitusi
X Z definisi sub himpunan
Pada himpunan hukum-hukum kanselasi dalam aljabar himpunan tidak berlaku Yaitu dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
16
Demikian pula dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
Hal ini jelas terlihat dari diagram-diagram Venn di bawah ini
X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z
Gambar 22
Perhatikan bahwa dengan sendirinya diagram Venn dapat digunakan untuk membuktikan
bahwa sesuatu ucapan tidak berlaku umum Sebab diagram dalam keadaan tersebut
memberikan suatu contoh-lawanan ( counter example ) atau dapat juga disimpulkan bahwa
diagram Venn tidak dapat dipakai untuk membuktikan suatu teorema kecuali buktinya berupa
contoh kontra
Contoh 24
Buktikan X Z = Y Z dan X Z = Y Z maka X = Y
Bukti
X = X ( X Z ) rumus absorpsi
= X ( Y Z )
= (X Y) (X Z) rumus distributif
= (Y X) (X Z) rumus komutatif
= (Y X) (Y Z)
= Y (X Z) rumus distributif
= Y (Y Z)
= Y
terbukti bahwa X = Y
Selanjutnya didefinisikan symmetric difference ( selisih symetris ) dari dua himpunan
X dan Y dengan tanda X Y sebagai berikut
17
X Y = (X Y) - (X Y)
Dengan diagram Venn
Gambar 23
Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y
yang tidak berada dalam X
Contoh 25
Buktikan
i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)
ii) X Y = Y X
iii) ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)
Bukti
Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri
iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas
anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada
dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak
berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z
Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari
( X Y) Z terdiri atas
1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z
2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z
Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan
diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran
18
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Demikian pula dari
X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y
Hal ini jelas terlihat dari diagram-diagram Venn di bawah ini
X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z
Gambar 22
Perhatikan bahwa dengan sendirinya diagram Venn dapat digunakan untuk membuktikan
bahwa sesuatu ucapan tidak berlaku umum Sebab diagram dalam keadaan tersebut
memberikan suatu contoh-lawanan ( counter example ) atau dapat juga disimpulkan bahwa
diagram Venn tidak dapat dipakai untuk membuktikan suatu teorema kecuali buktinya berupa
contoh kontra
Contoh 24
Buktikan X Z = Y Z dan X Z = Y Z maka X = Y
Bukti
X = X ( X Z ) rumus absorpsi
= X ( Y Z )
= (X Y) (X Z) rumus distributif
= (Y X) (X Z) rumus komutatif
= (Y X) (Y Z)
= Y (X Z) rumus distributif
= Y (Y Z)
= Y
terbukti bahwa X = Y
Selanjutnya didefinisikan symmetric difference ( selisih symetris ) dari dua himpunan
X dan Y dengan tanda X Y sebagai berikut
17
X Y = (X Y) - (X Y)
Dengan diagram Venn
Gambar 23
Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y
yang tidak berada dalam X
Contoh 25
Buktikan
i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)
ii) X Y = Y X
iii) ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)
Bukti
Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri
iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas
anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada
dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak
berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z
Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari
( X Y) Z terdiri atas
1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z
2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z
Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan
diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran
18
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
X Y = (X Y) - (X Y)
Dengan diagram Venn
Gambar 23
Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y
yang tidak berada dalam X
Contoh 25
Buktikan
i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)
ii) X Y = Y X
iii) ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)
Bukti
Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri
iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas
anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada
dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak
berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z
Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari
( X Y) Z terdiri atas
1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z
2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z
Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan
diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran
18
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Gambar 24
Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga
terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)
iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)
X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC
Sedangkan
(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C
= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)
= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
= X Y ZC X Z YC
Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)
II2 PERGANDAAN KARTESIUS
Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga
ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan
(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b
Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan
sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka
tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa
Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs
Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian
19
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df
a ab
Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini
Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
bukti
1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2
Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )
2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2
maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2
dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2
Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua
pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K
H x K = df (hk) | h H dan k K
(hk) H x K jhj h H dan k K
Apabila H = ab dan K = cd maka
H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )
K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )
H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )
Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai
meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1
Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan
Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2
Bukti
( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2
= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2
= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2
= H1 x K1 H2 x K2
20
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus
x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus
memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-
elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q
saja
Demikian juga dapat dibuktikan rumus
x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)
Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah
himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-
anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja
Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)
Contoh 26
Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )
Bukti
H - ( K M ) = a | a H amp a K M
= a | a H amp a K amp a M
Sedangkan
( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M
= a | a H amp a K amp a M
Ternyata kedua syarat keanggotaan sama
Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H
Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc
Perhatikan ab H tetapi ab 2H
Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H
mempunyai 2n anggota
Bukti
Himpunan kuasa 2H terdiri atas
1 Himpunan kosong banyaknya 1
21
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton
banyaknya
3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian
seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen
banyaknya
Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi
1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer
dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan
lain
Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-
anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan
hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K
Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat
berikut
1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri
2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h
3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka
h dipetakan kepada l
Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H
Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga
menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang
berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak
anggota yang sama Jadi
Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan
sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan
Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan
lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan
ekuivalensi dari dua definisi itu
22
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2
H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)
dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2
Bukti
Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan
atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K
Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)
Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri
atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan
mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n
Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K
Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan
bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A
Gambar 25
Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu
pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa
dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan
mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi
2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota
Definisi = df
Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated
multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan
disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)
K
A
H
1
0
23
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2
Gambar 26
Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan
dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan
sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan
semua pemetaan dari H ke K
Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya
Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi
ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-
pandangan tersebut menghasilkan
KH ~ K x K x K dan =
Maka
= = 23 = = = 2 2 2 = 8
Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus
dalam teori kombinasi
Rumus 11
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
Bukti
Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka
k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2
karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2
menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2
K
k1 k2
K
h1 h2 h3
H
24
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
f1 k f1 (k) = h1
f2 k f2 (k) = h2
Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2
K
Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di
atas
Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini
Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan
domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2
sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian
sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan
proyeksi kedua
Gambar 27
Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi
anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya
komutatif
Bukti
Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2
Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan
p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g
Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)
maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan
kata lain g1 = g
Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =
b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2
(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan
( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2
K
H1p2p1
H2H1 x H2
gf1 f2
K
h1 p2 p1
h2(h1 h2)
gf1 f2
k
25
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan
f K1 x K2 H
(xy) f (xy)
Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi
fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H
Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal
suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke
yang kita sebut F sebagai berikut
F K2
y f(y) = fy = F (-y)
dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu
F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)
Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan
dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi
~
Bukti
Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil
sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H
dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan
menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain
setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif
Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan
fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung
dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)
= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah
terbukti surjektif mak f1 F bijektif
26
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
Latihan Soal
1) Buktikan X YC jhj X Y =
2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y
3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC
4) Buktikan X - (Y X) = X - Y
5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )
6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC
7) Buktikan X Y = X YC maka X =
8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika
demikian
9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)
10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z
11) Sederhanakanlah
X (XC Y) Y (Y Z) Y
12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-
anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri
13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua
himpunan saling-asing yaitu
X = ( X - Y ) ( X Y)
Buktikan juga soal-soal
14) H x (K M) = H x K H x M
15) H x (K M) = H x K H x M
16) (H K) x M = H x M K x M
17) (H K) x M = H x M K x M
18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2
Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2
19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )
27
28
28