STRUKTUR ALJABAR 1

Winita Sulandari

FMIPA UNS

Pengantar Struktur Aljabar

Sistem Matematika terdiri dari

• Satu atau beberapa himpunan

• Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas

• Operasi-operasi di atas memenuhi ketentuan atau aksioma tertentu

Pengantar Struktur Aljabar

• Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi

grup, semi grup, monoid, grupoid

• Sruktur aljabar dengan satu himpunan dan lebih dari satu operasi

gelanggang, lapangan, daerah integral, dll

• Struktur aljabar dengan dua himpunan dan beberapa operasi

ruang vektor, modul, dll

GRUP dan SUBGRUP

Operasi Biner (def 1.4.1)

Bila A suatu himpunan, maka suatu Operasi biner T : A x A A adalah pemetaan yang mengawankan setiap pasang (a,b) A x A dengan satu unsur c A

Notasi: T(a,b) = c

a T b = c

a. b = c, di mana a, b, c A.

Operasi biner

Dengan kata lain…

Terdapat operasi antara unsur-unsur dalam himpunan A yang bersifat tertutup,

setiap dua unsur dalam A, bila

dioperasikan menghasilkan unsur ketiga

yang juga unsur dalam A kembali.

Operasi Biner

• Dalam bahasa matematika:

• ( a,b A ) (c A) a * b = c

• dimungkinkan c = a atau c = b atau c a dan c b.

Contoh Operasi Biner

• Operasi (+) dan (.) pada himp bil bulat (Z)

• Coba cek!

Operasi * pada Z+ dengan n*m = n – m. Apakah biner?

GRUPOID

Definisi 2.1.1

Suatu himpunan tidak kosong G dengan operasi biner ( *) di dalamnya, disebut grupoid

Notasi: (G, *)

Contoh Grupoid

• (Z,+)

• (G,*)

dgn G = { x, y, z } dan

* x y z

x x y y

y y x y

z z y x

Grupoid Abel

• Grupoid dengan sifat komutatif

• Jika (G, *) maka x, y G berlaku

x * y = y * x

Semi Grup

• Definisi 2.1.2

Suatu grupoid (G, * ) disebut semi-grup, apabila terhadap operasi biner dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut:

x, y, z G berlaku (x * y) * z = x * (y * z)

Contoh Semi Grup

• (Q,.)

berlaku (n. m). p = n .( m. p ), n,m,p Q.

LATIHAN

• Bila R’=R|{-1} himpunan bil riil tanpa -1 dan operasi dalam R’ ditentukan sbb:

x*y = x + y + xy, dengan x, y R’. Apakah operasi * merupakan operasi biner?

LATIHAN

Manakah di antara struktur aljabar berikut

mrpk grupoid, grupoid yang komutatif

dan yang berupa semi-grup:

a). Operasi biner * dalam Z dgn a* b = a - b

b). Operasi biner * dalam Q dgn a * b = ab + 1

c). Operasi biner * dalam Z+ dgn a * b = 2a b

LATIHAN

• Bila S himpunan berhingga, A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif } maka A(S) merupakan semi-grup terhadap operasi komposisi, jelaskan !

Sifat-sifat istimewa dalam grupoid

• Idempoten

• Mempunyai unsur identitas

• Mempunyai unsur invers

Sifat-sifat tersebut kadang terdapat pada grupoid

Sifat idempoten

• Suatu unsur a G disebut idempoten jika

a* a = a

• Contoh:

1. Unsur 0 dalam semi-grup ( Z,+ )

2. Unsur 1 dan 0 dalam Semi-grup ( Z, . )

Latihan : Tentukan unsur idempotent pada Z4 dan Z6

Unsur Identitas

• Suatu unsur e G disebut unsur identitas kiri jika berlaku sifat:x G maka berlaku

e * x = x.

• unsur e’ disebut identitas kanan jika x G maka x * e’ = x.

• Identitas kiri = identitas kanan e tunggal

Contoh unsur Identitas

• Unsur 0 dalam ( Z, + )

• Unsur 1 dalam (Z,. )

• unsur 1 dalam Z6 dengan operasi perkalian modulo 6

Unsur Invers

• Pada grupoid ( G, * ) dgn unsur identitas e,

unsur a G dikatakan mempunyai invers jika terdapat unsur a-1 G yang memenuhi

a-1 *a = e = a * a-1

Contoh unsur invers

• Setiap n dalam (Z,+) mempunyai invers yaitu (-n).

• G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut:

* a b c

a b a c

b a b c

c a c a

unsur identitas : b

a-1=a dan b-1=b, c-1 =?

Perhatikan tabel berikut

• G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut:

tentukan unsur identitas

dan unsur inversnya?

* a b c

a b a c

b a b c

c a c b

GRUP

Semi grup yang memuat unsur identitas dan setiap unsurnya mempunyai invers merupakan struktur aljabar yang disebut grup.

Grup (def 2.1.4)

Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi biner, misalkan “ . ” yang memenuhi sifat - sifat

a,b,c G berlaku :

a). Assosiatif : a . ( b . c ) = ( a . b ) . c

b). e G a . e = e . a = a

c). a G a-1 G a . a-1 = a-1 . a = e

Grup (def 2.1.4’)

Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi *

dan unsur-unsur dalam G memenuhi sifat

a) tertutup: a,b G maka a *b = c dengan c G

b) Assosiatif : a,b,c G berlaku a*(b*c ) = (a*b) *c

c). e G a * e = e * a = a, a G

d). a G a-1 G a * a-1 = a-1 * a = e

Contoh Grup

• A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif, S } dengan operasi “komposisi “

• (Z, +)

• (Z6, +)

• Bagaimana dengan (Z,.) dan (Z6, .), apakah keduanya Grup?

LATIHAN

• Apabila G = { 1, -1, i, -i } di mana i2 = -1 dengan operasi dalam G adalah perkalian bilangan kompleks, Selidiki apakah ( G,. ) merupakan suatu grup .

LATIHAN

Apakah struktur aljabar brkt mrpk suatu grup,

bila jawab ‘ya’ , buktikan dan bila jawab bukan ,

syarat grup mana yang tidak dipenuhi

a). Himpunannya Z dengan operasi yang ditentukan a * b = ab

b). Pada 2Z = { 2n / n Z } dengan operasi sebagai berikut: a * b = a + b

LATIHAN

Selidiki manakah struktur aljabar berikut

membentuk grup:

a). Z ‘ = { 2n + 1 / n Z } dengan operasi +

b). Z dengan operasi yang ditentukan

a * b = a + b + 1

LATIHAN

• Buktikan dengan menggunakan tabel bahwa Z 4 merupakan grup terhadap penjumlahan modulo 4.

LATIHAN

• Himpunan H = { 1, 2, 3 } dengan operasi perkalian modulo 4, apakah merupakan grup ? Bila bukan, syarat mana yang tidak dipenuhi.

• Bagaimana dengan himpunan K={1, 2, 3, 4} terhadap operasi perkalian modulo 5, jelaskan dengan bukti.

Grup Komutatif

Apabila dalam grup G juga dipenuhi sifat

a ∗ b = b ∗ a

untuk setiap a,b ∈ G, maka grup G disebut

sebagai grup komutatif

Contoh : (Z, +)

Grup Komutatif

• Bagaimana dengan (Z, .)?

• Bukan merupakan grup karena tidak setiap unsur Z mempunyai invers

Grup Komutatif

Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe

2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil

dari himpunan bilangan riil, apakah

merupakan suatu grup komutatif terhadap

operasi perkalian matriks?

38

Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2

dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan

bilangan riil, bukanlah suatu grup terhadap

operasi pergandaan matriks.

Jawab:

Pandang , jelas bahwa

tidak mempunyai invers di dalam M2(R)

Jadi M2(R) bukan grup terhadap pergandaan matriks.

)R(M00

102

00

10