Bab I Aljabar Linier

7/23/2019 Bab I Aljabar Linier

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 1/25

BAB I

HIMPUNAN

A. Himpunan

Satu dari sekian banyak hal yang sangat penting dalam matematika adalah teori

himpunan, karena kenyataan menunjukkan bahwa matematika dapat dipelajari dari gambar

himpunan dengan melengkapi struktur-strukturnya, yang dikenal dengan sistem

matematika. Untuk itu dalam bab ini akan dipelajari beberapa dasar teori himpunan yang

nantinya banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Adapun teori himpunan yang

akan dipelajari dalam bagian ini tidak secara rinci, hanya terbatas pada definisi-definisi

sederhana dan sifat-sifatnya.

1. Konsep Dasar Himpunan

Suatu koleksi (kumpulan) objek yang didefinisikan dengan baik (well defined)

disebut himpunan. leh karena itu jika suatu objek telah didefinisikan dengan baik ke

dalam suatu kumpulan, maka dapat diketahui sifat-sifat dari objek tersebut. !adi, jika "

merupakan sifat dari objek tersebut secara umum, maka setiap yang termuat dalam

kumpulan tersebut memenuhi sifat ". bjek dalam suatu himpunan disebut anggota

(atau elemen atau unsur ). !ika # anggota himpunan A maka ditulis dalam notasi # ∈ A

(dibaca # anggota A) dan jika # bukan anggota anggota A ditulis # ∉ A. "engertian ini

dapat ditulis dalam diagram venn sebagai berikut.

# ∈ A # ∉ A.

A

x

Ax

$



%enuliskan keanggotaan suatu himpunan, dapat digunakan dua cara atau metode

yaitu&

(a) Metode Tabulasi

'alam metode ini, semua anggota himpunan dituliskan satu persatu, seperti $, , *,

+ yang menyatakan himpunan empat bilangan asli yang pertama.

(b) Metode Builder

'alam metode ini hanya dituliskan syarat keanggotaan dari suatu himpunan yaitu #&

"(#) (dibaca himpunan # dengan syarat # memiliki sifat ").

!adi himpunan $, , *, + dapat ditulis&

# & # adalah bilangan bulat positif dan # .

Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dan

dinyatakan dengan simbol ∅ atau . %isalnya, # & # ∈ ℝ dan # / 0 ∅. 1impunan

yang hanya mempunyai satu anggota, seperti #, disebut himpunan singleton.

Selanjutnya, notasi ℕ, ℚ, ℝ, ℤ, dan ℂ akan digunakan berturut-turut sebagai

himpunan bilangan asli, rasional, real, bulat, dan komplek. 'an kita gunakan notasi khusus

untuk inter2al dari garis bilangan real sebagai berikut.

!ika a,b bilangan-bilangan real dengan a b, maka&

3a,b4 0 #∈ ℝ & a ≤ # ≤ b disebut inter2al tutup

(a,b) 0 #∈ ℝ & a # b disebut inter2al buka

3a,b) 0 #∈ ℝ & a ≤ # b disebut inter2al setengah buka

(buka kanan)

(a,b4 0 #∈ ℝ & a # ≤ b disebut inter2al setengah buka

(buka kiri)

2. Subset dari Himpunan



!ika A dan 5 masing-masing himpunan sedemikian rupa sehingga setiap anggota

dari A juga anggota dari 5, maka A disebut subset dari 5, ditulis dalam simbol A ⊆ 5.

5ersesuaian dengan pengertian di atas, jika ditulis A ⊆ 5 ini berarti ∀ (untuk setiap) # ∈

A, maka # ∈ 5. !ika A ⊆ 5 dan 5 ⊆ A, maka A dan 5 dikatakan himpunan yang sama,

ditulis A 0 5.

!ika A ⊆ 5 dan A ≠ 5, maka A disebut subset murni dari 5 dan ditulis A ⊂ 5.

'engan demikian, setiap himpunan merupakan subset dari dirinya sendiri, tatapi bukan

subset murni, dan himpunan kosong merupakan subset murni dari setiap himpunan yang

tidak kosong. !ika A bukan subset dari 5 ditulis A⊄ 5.

!ika tidak ada elemen A di dalam 5 dan tidak ada elemen 5 di dalam A, maka A

dan 5 dikatakan disjoin (saling lepas). !ika salah satu A ⊆ 5 atau 5 ⊆ A, maka A dan 5

disebut comparable (dapat dibandingkan), dan sebaliknya jika A ⊆ 5 dan 5 ⊆ A, maka

A dan 5 disebut non-comparable (tidak dapat dibandingkan).

Satu hal yang perlu ditekankan dalam bagian ini, adalah jika kita ingin

menunjukkan bahwa A ⊆ 5, maka langkah yang harus ditempuh adalah mengambil # ∈

A sebarang, kemudian menunjukkan bahwa # ∈ 5. 'emikian juga untuk menunjukkan

kesamaan dari suatu himpunan, maka harus ditunjukkan bahwa himpunan tersebut saling

memuat yaitu A⊆ 5 dan 5 ⊆ A . (A⊆ 5 juga dapat dibaca 5 memuat A).

B. Operasi Pada Himpunan

Sudah umum kita kenal operasi penjumlahan, perkalian pada bilangan di dalam

aritmetika. 5erikut ini akan diperkenalkan operasi pada himpunan yang mungkin ada

persesuaian dengan operasi pada bilangan di dalam aritmetika. Adapun operasi pada

himpunan yang dimaksud adalah sebagai berikut.

*



1. Gabungan (Union)

6abungan himpunan A dan himpunan 5 ditulis A ∪ 5 adalah himpunan yang

anggotanya semua anggota dari A atau 5.

!adi A∪ 5 0 # & # ∈ A atau # ∈ 5

7ontoh $.$. A 0 a, b, c, d, e

5 0 b, d, f

maka A∪ 5 0 a, b, c, d, e, f

7ontoh $.. A 0 # & #∈ ℝ, # 8 /

5 0 # ∈ ℝ, # /

maka A∪ 5 0 # & # ∈ ℝ, # ≠ /

2. Irisan (Intersection)

9risan dua himpunan A dan 5 ditulis A ∩ 5 adalah himpunan yang anggotanya

semua anggota A yang sekaligus anggota 5.

!adi A∩ 5 0 # & # ∈ A dan # ∈ 5

leh karena itu dua himpunan A dan 5 yang saling lepas maka

A∩ 5 0 ∅

!adi A dan 5 saling lepas⇔ A∩ 5 0∅ (⇔ dibaca jika dan hanya jika).

Contoh 1.3. A 0 a, b, c 7 0 f, g

5 0 a, d, e

A∩ 5 0 a dan 5 ∩ 7 0 ∅

Contoh 1.4. A 0 *# & # ∈ ℤ}

5 0 +# & # ∈ ℤ}

A∩ 5 0 $# & # ∈ ℤ}

3. Pengurangan (Difference)

+



"engurangan dari dua himpunan A dan 5 ditulis A:5 adalah himpunan semua

anggota A yang bukan anggota 5. leh karena itu jika A 0 a, b, c, d,

dan 5 0 b, d, e, f,), maka A:5 0 a,c dan 5:A 0 e, f. 1al ini menunjukkan

bahwa secara umum A:5 ≠ 5:A.

. Komp!emen

!ika A subset dari himpunan semesta S, maka komplemen dari A dalam S, ditulis

A7 atau S:A yaitu himpunan semua anggota S yang bukan anggota A.

!adi A7 0 S:A 0 # & # ∈ S dan # ∉ A

Contoh 1.5. A 0 $, *, , ;

S 0 $, , *, +, , <, ;, =

A7 0 S:A 0 , +, <, =

>arena A⊆ S

A7 0 # & # ∈ S dan # ∉ A, juga dapat ditulis

A7 0 #∈ S & # ∉ A

'engan demikian

(A7)7 0 # ∈ S & # ∉ A7

0 # ∈ S & # ∈ A 0 A

S7 0 # ∈ S & # ∉ S 0 ∅

∅7 0 # ∈ S & # ∉ ∅ 0 S

A∪ A7 0 # ∈ S & # ∈ A∪ # ∈ S & # ∉ A 0 S

A∩ A7 0 # ∈ S & # ∈ A∩ # ∈ S & # ∉ A 0 ∅

"eorema 1.1. (Hu#um $perasi Himpunan)



!ika A, 5, dan 7 masing-masing himpunan dan subset dari himpunan S, maka

berlaku&

a) 1ukum 9dompoten

(i) A∩ A 0 A (ii) A∪ A 0 A

b) 1ukum 9dentitas

(i) A∪ ∅ 0 A (ii) A∩ ∅ 0 ∅

c) 1ukum >omutatif

(i) A∪ 5 0 5 ∪ A (ii) A∩ 5 0 5 ∩ A

d) 1ukum Asosiatif

(i) A∪ (5 ∪ 7) 0 (A∪ 5) ∪ 7

(ii) A∩ (5 ∩ 7) 0 (A∩ 5) ∩ 7

e) 1ukum 'istributif

(i) A∪ (5 ∩ 7) 0 (A∪ 5) ∩ (A∪ 7)

(ii) A∩ (5 ∪ 7) 0 (A∩ 5) ∪ (A∩ 5)

f) 1ukum 'e? %organ

(i) (A∪ 5)7 0 A7 ∩ 57

(ii) (A∩ 5)7 0 A7 ∪ 57

@eorema di atas tidak akan dibuktikan satu persatu dalam buku ini. Sebagai

contoh dari cara pembuktiannya akan ditunjukkan bukti untuk bagian e (i) dan f (i).

Secara rinci untuk bagain lainnnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Bukti

e. (i) %isalkan #∈ A∪ (5 ∩ 7) sebarang, maka

# ∈ A atau # ∈ (5 ∩ 7)

⇔ # ∈ A atau (# ∈ 5 dan # ∈ 7)

⇔ (# ∈ A atau # ∈ 5) ∩ (# ∈ A atau # ∈ 7)

<



⇔ # ∈ (A∪ 5) dan # ∈ (A∪ 7)

⇔ # ∈ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7)

>arena # ∈ A∪ (5 ∪ 7) diambil sebarang, maka dapat disimpulkan ∀ # ∈ A∪

(5 ∩ 7) ⇒ # ∈ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7).

'engan demikian diperoleh,

A∪ (5 ∩ 7) ⊆ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7) ($)

7ara yang sama dapat ditunjukkan bahwa,

A∪ (5 ∩ 7) ⊇ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7) ()

'engan memisalkan y ∈ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7) sebarang, kemudian menunjukkan

bahwa y ∈ A∪ (5 ∩ 7)

'ari ($) dan () disimpulkan bahwa,

A∪ (5 ∩ 7) 0 (A∪ 5) ∩ (A∪ 7)

f. (i) %isalkan # ∈ (A∪ 5)7 sebarang,

maka # ∉ (A∪ 5)

⇔ # ∉ A dan # ∉ 5

⇔ # ∈ A7 dan # ∈ 57

⇔ # ∈ (A7 ∩ 57)

ini berarti (A ∪ 5)7 ⊆ (A7 ∩ 57)

'engan cara yang sama dapat ditunjukkan

A7 ∩ 57 ⊆ (A∪ 5)7

!adi (A∪ 5)7 0 (A7 ∩ 57).

;



"eorema 1.2.

%isalkan A, 5, dan 7 himpunan sebarang,

(i) A⊆ 5 5 ⊆ 7 ⇒ A⊆ 7

(ii) A∩ 5 ⊆ A dan A∩ 5 ⊆ 5

(iii) A:5 ⊆ A

(i2) A:5 0 A∩ 57

%isalkan B adalah suatu himpunan tertentu, maka himpunan semua subset-subset

dari B, disebut sebagai himpunan keluarga dari B atau klas subset dari B, dan lebih

umum dikenal sebagai himpunan kuasa dari B. 1impunan kuasa dari B dinotasikan

dengan ℙ(B).

Contoh 1.. %isalkan B 0 a, b, c

Subset-subset dari B adalah∅, a, b, c, a,b,

a,c, b,c, dan B maka,

ℙ(B) 0 ∅, a, b, c, a,b, a,c, b,c, B

1impunan indeks dinyatakan C ∧ C adalah suatu himpunan yang anggota-

anggotanya kita bentuk untuk memberikan nama-nama suatu himpunan. Untuk itu, jika

kita bentuk sejumlah koleksi dari subset himpunan B, tiap anggota dari koleksi ini kita

berikan nama himpunan indeks ∧ sedemikian sehingga setiap anggota dalam koleksi

mempunyai paling sedikit satu nama, dan setiap nama dalam himpunan indeks ∧

memberikan satu himpunan dalam koleksi. !ika nama-nama di dalam ∧ adalah subset

dari B bersesuaian dengan β maka dinotasikan C∧βD dan seterusnya. 1impunan indeks ∧,

dapat ditulis dalam bentuk koleksi himpunan yaitu

Aα & α ∈ ∧

=



banyaknya himpunan dalam koleksi ini tergantunmg dari banyaknya anggota dalam

himpunan indeks ∧.

Contoh 1.!. %isalkan ∧ 0 $, , *, + dan ∀ α ∈ ∧

Aα 0

α

$,.....,

*

$,

)

$,$

%aka koleksi himpunan yang terbentuk (indeks keluarga) memuat empat

himpunan yaitu &

A$, A, A*, A+

dengan& A$ 0 $ A 0

)

$,$

A* 0

*

$,

)

$,$ A+ 0

+

$,

*

$,

)

$,$

5ersesuaian dengan pengertian indeks keluarga dari suatu himpunan yang

diuraikan di atas, maka untuk Aα & α ∈ ∧ adalah koleksi sebarang subset dari B maka&

Aα&α∈∧ 0

{ }

≠∧∧∈∈

=∧

φ α α

φ φ

jika satu sedikit paling A x x

jika

,,&

,

"enulisan Aα & α ∈ ∧0 Aα

α

Contoh 1.". %isalkan ∧ 0 # ∈ℤ & # 8 / dan

∀α ∈ ∧, Aα 0# ∈ℝ & -α ≤x≤α 0 3-α , α4

maka koleksi indeksnya adalah &

Aα & α ∈ ∧ 0 A$, A, A*, E..

'ari definisi Aα, diperoleh&

F



A$ 0 3-$, $4 A 0 3-, 4 A* 0 3-*, *4 dst.

Akibatnya,

Aα

α

0 A$ ∪ A ∪ A* ∪ E..

0 3-$, $4 ∪ 3-, 4 ∪ 3-*, *4 ∪ E..

0 ℝ

Selanjutnya jika Aα & α ∈ ∧ didefinisikan

{ } { }

≠∧∧∈∀∈

=∧

=∧∈= φ α

φ φ

α α

α α α jika A x x

jika

A A ,&&

Contoh 1.#. %isalkan ∧ 0 $, , *, E dan ∀ α ∈ ∧

'efinisikan Aα 0 3-α , α4

%aka Aα & α ∈ ∧ 0 A$, A, E..

'imana A$ 0 3-$, $4 A 0 3-, 4 dstleh karena itu,

Aα

α

0 A$ ∩ A ∩ A* ∩ E

0 3-$, $4 ∩ 3-, 4 ∩ 3-*, *4 ∩ ...

0 3-$, $4 0 A$

"eorema 1.3. (Hu#um De% &organ)

!ika Aα & α ∈ ∧ koleksi sebarang subset himpunan B, maka

(i) Aα & α ∈ ∧7 0 Aα7 & α ∈ ∧

(ii) Aα & α ∈ ∧7 0 Aα7 & α ∈ ∧

$/



Bukti

5ukti teorema di atas tidak akan diberikan secara rinci dalam buku ini, hanya

bagian (i) akan diberikan sedangkan bagian (ii) diserahkan kepada pembaca sebagai

latihan.

(i) Kasus & !ika ∧ 0 ∅, maka

Aα & α ∈ ∧ 0 ∅0 ∅

'engan demikian

( Aα & α ∈ ∧ 0 ∅)7 0 ∅7 0 S

Selanjutnya,

Aα7 & α ∈ ∧ 0 ∅0 S

!adi dalam kasus ∧ 0 ∅, diperoleh &

( Aα & α ∈ ∧)7 0 Aα7 & α ∈ ∧

Kasus & ∧ ≠ ∅

%isalkan # ∈ ( Aα & α ∈ ∧)7 sebarang maka

# ∉ Aα & α ∈ ∧

⇔ # ∉ Aα untuk setiap α ∈ ∧

⇔ # ∈ Aα7 untuk setiap α ∈ ∧

⇔ # ∈ Aα7 & α ∈ ∧

1al tersebut menunjukkan,

( Aα & α ∈ ∧)7 ⊆ Aα7 & α ∈ ∧ ($)

Selanjutnya, ambil y ∈ Aα7 untuk setiap α∈ ∧

y ∉ Aα untuk setiap α ∈ ∧

⇔ y ∉ Aα & α ∈ ∧

⇔ y ∈ ( Aα & α ∈ ∧)7

$$



'engan demikian diperoleh&

(Aα & α ∈ ∧)7 ⊇ Aα7 & α ∈ ∧ ()

'ari ($) dan () disimpulkan&

(Aα & α ∈ ∧)7 0 Aα7 & α ∈ ∧

'. Per#a!ian Himpunan (Product Set)

!ika A dan 5 dua himpunan, maka himpunan semua pasangan berurutan (a, b)

dengan a ∈ A dan b ∈ 5 dikatakan perkalian kartesius dari A dan 5 ditulis A× 5.

!adi A × 5 0 (a, b) & a ∈ A dan b ∈ 5

'ua pasangan berurutan (a$,b$) dan (a,b) dikatakan sama jika a$ 0 a dan b$ 0 b,

oleh karena itu secara umum A × 5 ≠ 5 × A. >onsep perkalian dua himpunan di atas,

dapat diperluas untuk perkalian lebih dari dua himpunan, yaitu&

!ika A, 5, dan 7 masing-masing himpunan,

(A × 5) × 7 0 (a, b) & a ∈ A, b ∈ 5 × 7

0 (a, b, c) & a ∈ A, b ∈ 5, c ∈ 7 dan

A × (5 × 7) 0 (a, b, c) & a ∈ A, b ∈ 5, c ∈ 7

!adi perkalian kartesius dari suatu himpunan memenuhi hukum assosiatif, sehingga dapat

ditulis A × (5 × 7) 0 (A × 5) × 7.

Secara umum perkalian dari n himpunan A$, A, E, An didefinisikan sebagai berikut.

A$ × A × E An 0 (a$, a, E, an) & ai ∈ Ai, i 0 $, , E, n

!ika A$ 0 A 0 E 0 An 0 A, maka A$ × A × E An 0 An

"eorema 1.

$



!ika A, 5, dan 7 masing-masing subset tidak kosong dari himpunan S, maka&

(i) A × (5 ∩ 7) 0 (A × 5) ∩ (A× 7)

(ii) A × (5 ∪ 7) 0 (A × 5) ∪ (A × 7)

Bukti

(i) A × (5 ∩ 7) 0 (#,y) & # ∈ A dan y ∈ 5 ∩ 7

0 (#,y) & # ∈ A dan y ∈ 5 dan y ∈ 7

0 (#,y) & (#,y) ∈ (A × 5) dan (#,y) ∈ (A × 7)

0 (#,y) & (#,y) ∈ (A × 5) ∩ (A × 7)

0 (A × 5) ∩ (A × 7)

'engan cara yang sama, (ii) dapat dibuktikan, dan diserahkan kepada pembaca

sebagai latihan.

Teorema !."

!ika A, 5, 7, dan ' subset dari himpunan S, maka&

(i) (A × 5) ∩ (7 × ') 0 (A∩ 7) × (5 ∩ ')

(ii) !ika A⊆ 5 dan 7 ⊆ ', maka (A × 7) ⊆ (5 × ')

Bukti

5ukti (i) diserahkan pada pembaca, berikut ini akan diberikan bukti (ii), yaitu&

%isalkan (#,y) ∈ (A × 7) sebarang, maka

# ∈ A dan y ∈ 7

>arena A⊆ 5 dan 7 ⊆ ', maka # ∈ 5 dan y ∈ '

!adi (#,y) ∈ (5 × ')

Atau dengan kata lain (A × 7) ⊆ (5 × ').

C. $e%asi dan &un'si

Sebelum membahas pengertian fungsi dari himpunan A ke himpunan 5, terlebih

dahulu akan diperkenalkan relasi dari himpunan A ke himpunan 5.

$*



1. e!asi

Gelasi adalah suatu pengaitan dari suatu himpunan ke himpunan lain yang

memenuhi aturan-aturan tertentu, atau dengan kata lain suatu relasi f dari himpunan A ke

himpunan 5 adalah subset dari A × 5. !adi relasi f merupakan suatu himpunan suset dari

A × 5.

1impunan # & (#,y) ∈ f dikatakan domain dari f dan himpunan y & (#,y) ∈ f

disebut range dari f. 9n2ers dari f ditulis f -$ adalah relasi dari 5 ke A yang didefinisikan

sebagai berikut.

f -$ 0 (y,#) & (#,y) ∈ f

!ika A 0 5, maka subset sebarang dari A × A dikatakan relasi dari himpunan A. !ika f

relasi dan (#,y) ∈ f, dikatakan bahwa # dikaitkan oleh f ke y

Contoh 1.1(. Gelasi kurang dari () dalam himpunan bilangan bulat ℤ, maka f dapat

ditulis,

f 0 (#,y) & # ∈ ℤ, y ∈ ℤ, dan # y

!elas ($,) ∈ f, tetapi (, -$) ∉ f.

Definisi 1. Gelasi f dalam himpunan A dikatakan,

i. Gefleksif, jika ∀ # ∈ A, (#,#) ∈ f

ii. Simetri, jika (#,y) ∈ f, maka (y,#) ∈ f, ∀ #, y ∈ A

iii. @ransitif, jika (#,y) ∈ f dan (y,H) ∈ f,

maka (#,H) ∈ f , ∀ #, y, H, ∈ A

i2. Anti Simetri, jika (#,y) ∈ f dan (y,#) ∈ f,

maka # 0 y, ∀ #, y ∈ A.

Suatu relasi yang memenuhi sifat refleksif, simetri, dan transitif, disebut relasi

ekuivalen, dan jika memenuhi refleksif, antisimetri, dan transitif, maka disebut relasi

orde parsial .

$+



Contoh 1.11. %isalkan A 0 $, , *, +

f 0 ($, $), (, ), (*, *), (+, +), ($, ), ($, *), (, $),

(*, $), (*, ), (, *)

%aka f memenuhi refleksif, simetri dan tansitif, yaitu&

(i) (#, #) ∈ f, ∀ # ∈ A

(ii) (#, y) ∈ f, ⇒ (y, #) ∈ f, ∀ #, y ∈ A

(iii) (#, y) ∈ f, (y,H) ∈ f ⇒ (#, H) ∈ f, ∀ #, y, H, ∈ A

!adi f merupakan relasi ekui2alen

Contoh 1.1). %isalkan ℕ 0 $, , *, E

'efinisikan relasi g pada ℕ, sebagai berikut&

g 0 (#, y) & # ∈ ℕ dan # ≥ y

maka relasi g memenuhi&

(i) Gefleksif, karena ∀ # ∈ ℕ, # 0 #, maka (#, #) ∈ g

(ii)Anti simetri, karena jika # ≥ y dan y ≥ #

maka # 0 y. !adi jika (#, y) ∈ g, (y, #) ∈ g

maka # 0 y,∀ #, y, ∈ ℕ.

(iii) @ransitif karena jika # ≥ y, y ≥ H, maka # ≥ H. !adi jika (#, y) ∈

g, (y, H) ∈ g, maka (#, H) ∈ g, ∀ #, y, H, ∈ ℕ.

'engan demikian, g merupakan relasi orde parsial.

Contoh 1.13. %isalkan 5 0 $, , * dan

h 0 ($, $), ($, ), (, *), (, ), (*, *), maka h

memenuhi&

(i) refleksif, karena (#, #)∈ h, ∀ # ∈ 5

(ii) @idak simetri, karena ($, )∈ h tetapi (, $) ∉ h

(iii) @idak transitif, karena ($, )∈ h, (, *) ∈ h, tetapi ($, *) ∉ h

$



!adi h bukan relasi ekui2alen dan bukan relasi orde parsial.

Definisi 1.*. (Ke!as +#ui,a!en)

!ika f adalah relasi ekui2alen pada himpunan A, maka kelas ekui2alen yang

ditentukan oleh # ∈ A, ditulis 3#4, adalah himpunan semua anggota A yang oleh f

dikaitkan dari #.

'efinisi di atas dapat dinotasikan sebagai berikut.

3#4 0 y & (#, y) ∈ f

>oleksi kelas ekui2alen dari A oleh f, dinyatakan dengan AIf.

!adi AIf 03#4 & # ∈ A

Contoh 1.14. %isalkan A 0 garis lurus pada bidang datar dan

f 0 (#, y) & #, y ∈ A dan # sejajar dengan y.

%aka f merupakan relasi ekui2alen (kenapaJ).

Ambil y ∈ A, tetapi y tidak sejajar dengan #,

(y ∉ 3#4).

5entuk kelas ekui2alen 3y4, sebagai berikut,

3y4 0 b ∈ A & (y, b) ∈ f

!elas bahwa 3#4 ∩ 3y4 0 ∅.

!ika masih ada H ∈ A dengan H ∉ 3#4 dan H ∉ 3y4, maka proses diatas

dapat dilanjutkan dengan membentuk kelas ekui2alen 3H4.

5egitu seterusnya sampai semua anggota dari A termuat dalam salah satu

kelas ekui2alen yang telah terbentuk. Sehingga A merupakan gabungan

dari semua kelas ekui2alen yang saling lepas.

Definisi 1.-. (Definisi ungsi)

$<



%isalkan A dan 5 dua buah himpunan tidak kosong, fungsi f dari A ke 5 adalah

suatu relasi yang mengaitkan setiap anggota a ∈ A dengan hanya satu pasangan

yang dinyatakan dengan f(a) di 5, dan ditulis f & A → 5 dengan f adalah fungsi

dari A ke 5.

"engertian fungsi di atas dapat juga dinyatakan bahwa untuk A, 5 masing-masing

himpunan tidak kosong, suatu pengaitan f yang dinyatakan dengan f & A→ 5 dikatakan

fungsi jika dan hanya jika, ∀ a, b ∈ A dengan a 0 b, maka f (a) 0 f (b).

Contoh 1.15. %isalkan A 0 $, , * 5 0 /, $, , *, +

"engertian f & A→ 5 yang disefinisikan, f(a) 0 a-$ merupakan fungsi.

Definisi 1./.

%isalkan f & A→ 5 suatu fungsi

a) f dikatakan fungsi satu-satu jika ∀#, y ∈ A dengan f (#) 0 f (y) maka #

0 y

b) f dikatakan fungsi onto jika ∀ b ∈ 5, ada a ∈ A sehingga f (a) 0 b

c) !ika f fungsi satu-satu dan onto maka f dikatakan fungsi bijektif.

Contoh 1.1. a) f & ℕ → ℕ dengan f (n) 0 n, ∀ n ∈ ℕ adalah fungsi

satu-satu.

b) f & ℝ→ ℝK dengan f (#) 0 #, ∀ # ∈ ℝ adalah fungsi onto.

c) f & ℤ → ℤ dengan f (H) 0 H, ∀ H ∈ ℝ adalah fungsi bijektif.

!ika A, 5, dan 7 masing-masing himpunan, f& A → 5 dan g& 5 → 7 masing-masing

fungsi. Suatu fungsi dari A ke 7 yang dinyatakan dengan (g ∘ f) disebut fungsi

komposisi dan didefinisikan

$;



(g ∘ f) (#) 0 g (f(#)), ∀ # ∈ A

"eorema 1.10.

Lungsi komposisi selalu assosiatif

Bukti

%isalkan A, 5, 7, ' himpunan-himpunan tidak kosong dan

f & A→ 5 g & 5 → 7 h & 7 → '.

%asing-masing fungsi, dengan f(A) 0 5 dan g(5) 0 7.

Ambil sebarang # ∈ A, maka

3(h ∘ g) ∘ f 4 (#) 0 (h ∘ g) (f (#))

0 h 3g (f (#))4

0 h 3(g ∘ f) (#)4

0 (h ∘ (g ∘ f )) (#)

!adi (h ∘ g) ∘ f 0 h ∘ (g ∘ f)

Definisi 1.11

%isalkan f & A → 5 fungsi bijektif, fungsi g & 5 → A yang didefinisikan ∀ y ∈ 5,

g(y) 0 #, jika dan hanya jika f(#) 0 y, maka g disebut in2ers dari f (dinotasikan g 0 f -$).

Contoh 1.1!. f & ℝK → ℝK yang didefinisikan f (#) 0 e# ∀ # ∈ ℝK, maka f -$& ℝK → ℝK

adalah f -$(y) 0 ln y, ∀ y ∈ ℝK

"eorema 1.12

%isalkan B, M, N himpunan tidak kosong dan f & B → M

g & M→ N masing-masing fungsi bijektif, maka

(g ∘ f)-$ 0 f -$ ∘ g -$

Definisi 1.13

Suatu fungsi f & B → M dengan A⊆ B dan 5 ⊆ M

f(A) 0 (y ∈ M y 0 f (#) untuk suatu # ∈ Adisebut peta (image) A dari fungsi f dan

f -$(5) 0 (# ∈ B& f (#) ∈ 5 disebu peta in2ers (invers image) 5 dari fungsi f.

$=



'efinisi di atas, dapat dijelaskan sebagai berikut.

!ika y ∈ f (A), maka y 0 f (#) untuk suatu # ∈ A, dan

jika # ∈ f -$(5), maka f (#) ∈ 5.

atatan

!ika f(#) ∈ f(A) tidak mutlak # ∈ A, tetapi jika # ∈ A maka selalu f (#) ∈ f(A).

Contoh 1.1". %isalkan fungsi f & ℝ → ℝ yang didefinisikan

f (#) 0 #

, ∀ # ∈ ℝ dan jika A 0 3/ , $4 ⊆ ℝ.

!elas f (A) 0 3/ , $4 dan f (-$) 0 $ ∈ 3/ , $4 0 f (A), tetapi (-$) ∉ A.

Definisi 1.1

!ika f & B → M suatu fungsi dan A ⊆ B, maka fungsi g yang didefinisikan g & A → M

dengan g(#) 0 f(#), ∀ # ∈ A, g dikatakan pembatasan (restriction) dari f pada A dan

f dikatakan perluasan (extension) dari g.

Contoh 1.1#. f & ℤ → ℤ dengan f (#) 0 # ∀ # ∈ ℤ

g & ℕ → ℕ dengan g (#) 0 # ∀ # ∈ ℕ

!elas ℕ ⊆ ℤ dan g (#) 0 f (#), ∀ # ∈ ℕ

!adi g merupakan pembatasan dari f, dan

f merupakan perluasan dari g.

1. Operasi Biner Pada Himpunan

%isalkan 6 himpunan tidak kosong, fungsi dari 6×6 ke 6 mengaitkan setiap

pasangan berurutan (a,b) ∈ 6×6 dengan suatu pasangan di 6 (yaitu aO b ∈ 6), maka O

dikatakan operasi biner (komposisi biner) pada 6. 'engan demikian, operasi O pada

himpunan tidak kosong 6 adalah operasi biner jika dan hanya jika&

$F



a ∈ 6, b ∈ 6 ⇒ a O b ∈ 6, ∀ a, b ∈ 6

!adi operasi biner merupakan operasi tertutup yang didefinisikan pada himpunan tidak

kosong.

Contoh 1.)(. perasi penjumlahan (K) merupakan komposisi biner pada himpunan

bilangan asli ℕ, karena ∀ a, b ∈ ℕ, a K b ∈ ℕ

Definisi 1.1' (Hu#um $perasi)

Suatu operasi biner O dan ∘ pada himpunan tidak kosong 6 dikatakan &

(i) Assosiatif, jika (aOb)Oc 0 aO(bOc),∀ a, b, c ∈ 6

(ii) >omutatif, jika aOb 0 bOa, ∀ a, b ∈ 6

(iii) %empunyai unsur identitas, jika ada e ∈ 6, sehingga eOa 0 aOe 0 a ∀ a ∈ 6

(i2) Setip anggota mempunyai in2ers di 6, jika ∀ a ∈ 6 ada a-$ ∈ 6 sehingga

aOa-$ 0 a-$Oa 0 e

(2) perasi O pada 6 dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri, jika aOb 0 aOc

mengakibatkan b 0 c untuk setiap a, b, c ∈ 6

(2i) perasi O pada 6 dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan, jika bOa 0

cOa, mengakibatkan b 0 c, untuk setiap a, b, c ∈ 6

(2ii) Anggota e ∈ 6 dikatakan identitas kiri di 6, jika aOe 0 a, ∀ a ∈ 6

(2iii) !ika e identitas kanan di 6, maka elemen b ∈ 6, dikatakan in2ers kanan dari

a ∈ 6, jika aOb 0 e

(i#) perasi ∘ dikatakan distributif kiri terhadap O jika a∘(bOc) 0 (a∘ b) O (a∘c),

∀ a, b, c ∈ 6(#) perasi ∘ dikatakan distributif kanan terhadap O jika (aOb) ∘ c 0

(a∘c)O(b∘c), ∀ a, b, c ∈ 6.

Definisi 1.1

/



Suatu himpunan tidak kosong 6 dengan satu atau lebih operasi biner pada 6

dikatakan struktur aljabar, atau sistem aljabar dan ditulis (6,O).

Contoh 1.)1. >omposisi biner (K) pada bilangan asli ℕ merupkan operasi biner,

sehingga (ℕ, K) merupakan struktur aljabar.

*. Operasi Modu%o

%isalkan ℤ himpunan bilangan bulat, kita akan definisikan operasi penjumlahan

dan perkalian modulo pada ℤ sebagai berikut.

1. Penum!a4an 5i!angan 5u!at &odu!o m

%isalkan m bilangan bulat positif sebarang (tetapi tetap), kita definisikan

penjumlahan bilangan modulo m, yang dinotasikan dengan Km pada himpunan bilangan

bulat ℤ, yaitu untuk setiap a, b ∈ ℤ, a Km b adalah bilangan bulat taknegatif terkecil yang

merupakan sisa pembagian dari penjumlahan a dan b oleh m.

!adi a Km b 0 r, dengan r bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa

pembagian (a K b) dibagi m. 'engan demikian jelas / ≤ r m.

Contoh 1.)). Ambil bilangan bulat positif m 0 <.

!ika a,b ∈ ℤ dengan a 0 , b 0 =, maka a K m b 0 K< = 0 $, karena $

merupakan bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian

( K =) dibagi <. 'alam hal ini dapat ditulis&

K = 0 $* 0 × (<) K $

'engan cara yang sama, untuk m 0 ; dengan a 0 -$< dan b 0 *, maka -$< K ;

* 0 $, karena dapat ditulis&

-$< K * 0 -$* 0 (-) × ; K $

!adi bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian -$*

dibagi * adalah $.

$



2. Per#a!ian 5i!angan 5u!at &odu!o p

%isalkan p bilangan bulat positif sebarang (tetapi tetap), kita definisikan perkalian

modulo p, yang dinotasikan × p pada himpunan bilangan bulat ℤ yaitu untuk setiap a, b ∈

ℤ, a × p b adalah bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian

perkalian a dan b dibagi p.

!adi a × p b 0 r, dengan r adalah bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan

sisa pembagian (a × b) dibagi p, dan / ≤ r p.

Contoh 1.)3. Ambil bilangan bulat positif p 0 , jika a 0 < dan b 0 =, maka a × p b 0

< × = 0 *, karena * merupakan bilangan bulat taknegatif terkecil yang

merupakan sisa pembagian (< × =) dibagi .

'alam hal ini dapat ditulis&

< × = 0 += 0 ( × F) K *

'engan cara yang sama (-<) × = 0 , karena

(-<) × = 0 -+= 0 (-$/) × K

!adi bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian

-+= dibagi adalah .



Latihan 1

$. %isalkan A 0 #& # ∈ℝ dan *# 0 F dan b 0 *, apakah A 0 bJ

. %anakah himpunan berikut yang sama,

(i) A 0 #, y, H

5 0 #, y, y, #, H

7 0 #, y, H, ) #

(ii) ' 0 #& # adalah huruf pada kata CatikD

P 0 #& # adalah huruf pada kata CtakitaD

L 0 i, t, a, k

3. %isalkan A 0 #, y, H. 5erapa banyak subset dari A, dan tuliskan subset

tersebut.

. Untuk sebarang A dan 5 subset dari S, tunjukkan &

a. !ika A⊆ ∅, maka A 0 ∅

b. !ika A⊆ 5, maka 57 ⊆ A7

c. !ika A⊆ 5, maka A ∪ (5 : A) 0 5

d. !ika A∪ 5 0 ∅, maka A 0 ∅ dan 5 0 ∅

e. (A : 5) ∩ 5 0 ∅

f. A7 : 57 0 5 : A

g. !ika A∩ 5 0 ∅, maka 5 ∩ A7 0 5

h. !ika A∩ 5 0 ∅, maka A∪ 57 0 57

'. !ika g & S → @ dan f & @→ U keduanya fungsi satu-satu. 5uktikan f ∘g & S → U

juga fungsi satu-satu.

. !ika g & S → @ dan f & @→ U keduanya fungsi bijektif. 5uktikan f ∘g & S → U juga fungsi bijektif.

*. 'iberikan himpunan S dan @ dan f & S → @ berikut.

@entukan f mana yang merupakan fungsi dan jika bukan berikan alasan.

*



a. S 0 semua wanita, dan @ 0 semua laki-laki

f (s) 0 suami dari S

b. S 0 bilangan bulat positif

@ 0 bilangan bulat taknegatif , dan f (s) 0 s Q $

c. S 0 bilangan bulat positif, @ 0 S, dan f (s) 0 s Q $

d. S 0 bilangan bulat taknegatif, @ 0 S, dan f (s) 0 s Q $

e. S 0 bilangan bulat, @ 0 S, dan f (s) 0 s Q $

f. S 0 bilangan real, @ 0 S, dan f (s) 0 √s

g. S 0 bilangan real positif, @ 0 S, dan f (s) 0 √s

-. "ada soal no. ;, jika f mendefinisikan fungsi, tentukan apakah fungsi tersebut

satu-satu, onto, atau keduanya.

/. !ika f & S → @ fungsi satu-satu dan onto.

5uktikan f -$ & @→ S juga satu-satu dan onto.

10. !ika f & S → @ onto, dan g & @ → U dan h & @ → U sehingga (g∘f) 0 (h∘f),

buktikan g 0 h.

11. %isalkan S 0 himpunan bilangan bulat dan @ 0 $, -$, f & S → @ yang

didefinisikan&

f (s) 0

− ganjil s jika

genap s jika

,$

,$

a. apakah f merupakan fungsiJ

b. @unjukkan f (a K b) 0 f (a) f (b). Apa yang anda dapat simpulakan tentang

hal ini J

c. Apakah f (ab) 0 f (a) f (b) juga benarJ

12. %isalkan S 0 himpunan bilangan real, definisikan pemetaan f & S → S, f (s) 0 s

dan g & S → S, g (s) 0 s K $

a. @entukan f ∘ g b. @entukan g ∘ f

+



13. %isalkan S 0 himpunan bilangan real, dan untuk a, b ∈ S dengan a ≠ /,

definisikan f a . b (s) 0 as K b

a. 5uktikan = $ $ d cba ..

$ vu.

, untuk suatu u, 2 ∈ S

b. Apakah = $ $ d cba ..

$ $ bad c ..

selalu benarJ

c. @entukan (f a . b) sehingga

= $ $ ba $.$.

= $ $ ba $.$.

$ ba.

d. 5uktikan

− $

ba

$

. ada, dan tentukan bentuknya.

$+. %isalkan S himpunan bilangan rasional taknegatif, yaitu

S 0 mIn & m,n bilangan bulat taknegatif, n ≠ /, dan

@ 0 himpunan bilangan bulat.

a. Apakah f & S→ @ yang didefinisikan f(mIn) 0 m *n merupakan suatu fungsiJ

b. !ika tidak, dapatkah anda memodifikasi pendefinisian tersebut sehingga

membentuk fungsi.

$. !ika f & S→ @ fungsi satu-satu dan onto.

5uktikan (f -$)-$ 0 f , (f -$ in2ers dari f).

$<. !ika S himpunan terhingga dan f & S → S fungsi satu-satu. 5uktikan f juga fungsi

onto. (1impunan terhingga adalah himpunan yang banyaknya anggota terhingga).

$;. !ika S himpunan terhingga dan f & S → S onto. 5uktikan f juga satu-satu.

Bab I Aljabar Linier

Documents

Transcript of Bab I Aljabar Linier