7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 1/25
BAB I
HIMPUNAN
A. Himpunan
Satu dari sekian banyak hal yang sangat penting dalam matematika adalah teori
himpunan, karena kenyataan menunjukkan bahwa matematika dapat dipelajari dari gambar
himpunan dengan melengkapi struktur-strukturnya, yang dikenal dengan sistem
matematika. Untuk itu dalam bab ini akan dipelajari beberapa dasar teori himpunan yang
nantinya banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Adapun teori himpunan yang
akan dipelajari dalam bagian ini tidak secara rinci, hanya terbatas pada definisi-definisi
sederhana dan sifat-sifatnya.
1. Konsep Dasar Himpunan
Suatu koleksi (kumpulan) objek yang didefinisikan dengan baik (well defined)
disebut himpunan. leh karena itu jika suatu objek telah didefinisikan dengan baik ke
dalam suatu kumpulan, maka dapat diketahui sifat-sifat dari objek tersebut. !adi, jika "
merupakan sifat dari objek tersebut secara umum, maka setiap yang termuat dalam
kumpulan tersebut memenuhi sifat ". bjek dalam suatu himpunan disebut anggota
(atau elemen atau unsur ). !ika # anggota himpunan A maka ditulis dalam notasi # ∈ A
(dibaca # anggota A) dan jika # bukan anggota anggota A ditulis # ∉ A. "engertian ini
dapat ditulis dalam diagram venn sebagai berikut.
# ∈ A # ∉ A.
A
x
Ax
$
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 2/25
%enuliskan keanggotaan suatu himpunan, dapat digunakan dua cara atau metode
yaitu&
(a) Metode Tabulasi
'alam metode ini, semua anggota himpunan dituliskan satu persatu, seperti $, , *,
+ yang menyatakan himpunan empat bilangan asli yang pertama.
(b) Metode Builder
'alam metode ini hanya dituliskan syarat keanggotaan dari suatu himpunan yaitu #&
"(#) (dibaca himpunan # dengan syarat # memiliki sifat ").
!adi himpunan $, , *, + dapat ditulis&
# & # adalah bilangan bulat positif dan # .
Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dan
dinyatakan dengan simbol ∅ atau . %isalnya, # & # ∈ ℝ dan # / 0 ∅. 1impunan
yang hanya mempunyai satu anggota, seperti #, disebut himpunan singleton.
Selanjutnya, notasi ℕ, ℚ, ℝ, ℤ, dan ℂ akan digunakan berturut-turut sebagai
himpunan bilangan asli, rasional, real, bulat, dan komplek. 'an kita gunakan notasi khusus
untuk inter2al dari garis bilangan real sebagai berikut.
!ika a,b bilangan-bilangan real dengan a b, maka&
3a,b4 0 #∈ ℝ & a ≤ # ≤ b disebut inter2al tutup
(a,b) 0 #∈ ℝ & a # b disebut inter2al buka
3a,b) 0 #∈ ℝ & a ≤ # b disebut inter2al setengah buka
(buka kanan)
(a,b4 0 #∈ ℝ & a # ≤ b disebut inter2al setengah buka
(buka kiri)
2. Subset dari Himpunan
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 3/25
!ika A dan 5 masing-masing himpunan sedemikian rupa sehingga setiap anggota
dari A juga anggota dari 5, maka A disebut subset dari 5, ditulis dalam simbol A ⊆ 5.
5ersesuaian dengan pengertian di atas, jika ditulis A ⊆ 5 ini berarti ∀ (untuk setiap) # ∈
A, maka # ∈ 5. !ika A ⊆ 5 dan 5 ⊆ A, maka A dan 5 dikatakan himpunan yang sama,
ditulis A 0 5.
!ika A ⊆ 5 dan A ≠ 5, maka A disebut subset murni dari 5 dan ditulis A ⊂ 5.
'engan demikian, setiap himpunan merupakan subset dari dirinya sendiri, tatapi bukan
subset murni, dan himpunan kosong merupakan subset murni dari setiap himpunan yang
tidak kosong. !ika A bukan subset dari 5 ditulis A⊄ 5.
!ika tidak ada elemen A di dalam 5 dan tidak ada elemen 5 di dalam A, maka A
dan 5 dikatakan disjoin (saling lepas). !ika salah satu A ⊆ 5 atau 5 ⊆ A, maka A dan 5
disebut comparable (dapat dibandingkan), dan sebaliknya jika A ⊆ 5 dan 5 ⊆ A, maka
A dan 5 disebut non-comparable (tidak dapat dibandingkan).
Satu hal yang perlu ditekankan dalam bagian ini, adalah jika kita ingin
menunjukkan bahwa A ⊆ 5, maka langkah yang harus ditempuh adalah mengambil # ∈
A sebarang, kemudian menunjukkan bahwa # ∈ 5. 'emikian juga untuk menunjukkan
kesamaan dari suatu himpunan, maka harus ditunjukkan bahwa himpunan tersebut saling
memuat yaitu A⊆ 5 dan 5 ⊆ A . (A⊆ 5 juga dapat dibaca 5 memuat A).
B. Operasi Pada Himpunan
Sudah umum kita kenal operasi penjumlahan, perkalian pada bilangan di dalam
aritmetika. 5erikut ini akan diperkenalkan operasi pada himpunan yang mungkin ada
persesuaian dengan operasi pada bilangan di dalam aritmetika. Adapun operasi pada
himpunan yang dimaksud adalah sebagai berikut.
*
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 4/25
1. Gabungan (Union)
6abungan himpunan A dan himpunan 5 ditulis A ∪ 5 adalah himpunan yang
anggotanya semua anggota dari A atau 5.
!adi A∪ 5 0 # & # ∈ A atau # ∈ 5
7ontoh $.$. A 0 a, b, c, d, e
5 0 b, d, f
maka A∪ 5 0 a, b, c, d, e, f
7ontoh $.. A 0 # & #∈ ℝ, # 8 /
5 0 # ∈ ℝ, # /
maka A∪ 5 0 # & # ∈ ℝ, # ≠ /
2. Irisan (Intersection)
9risan dua himpunan A dan 5 ditulis A ∩ 5 adalah himpunan yang anggotanya
semua anggota A yang sekaligus anggota 5.
!adi A∩ 5 0 # & # ∈ A dan # ∈ 5
leh karena itu dua himpunan A dan 5 yang saling lepas maka
A∩ 5 0 ∅
!adi A dan 5 saling lepas⇔ A∩ 5 0∅ (⇔ dibaca jika dan hanya jika).
Contoh 1.3. A 0 a, b, c 7 0 f, g
5 0 a, d, e
A∩ 5 0 a dan 5 ∩ 7 0 ∅
Contoh 1.4. A 0 *# & # ∈ ℤ}
5 0 +# & # ∈ ℤ}
A∩ 5 0 $# & # ∈ ℤ}
3. Pengurangan (Difference)
+
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 5/25
"engurangan dari dua himpunan A dan 5 ditulis A:5 adalah himpunan semua
anggota A yang bukan anggota 5. leh karena itu jika A 0 a, b, c, d,
dan 5 0 b, d, e, f,), maka A:5 0 a,c dan 5:A 0 e, f. 1al ini menunjukkan
bahwa secara umum A:5 ≠ 5:A.
. Komp!emen
!ika A subset dari himpunan semesta S, maka komplemen dari A dalam S, ditulis
A7 atau S:A yaitu himpunan semua anggota S yang bukan anggota A.
!adi A7 0 S:A 0 # & # ∈ S dan # ∉ A
Contoh 1.5. A 0 $, *, , ;
S 0 $, , *, +, , <, ;, =
A7 0 S:A 0 , +, <, =
>arena A⊆ S
A7 0 # & # ∈ S dan # ∉ A, juga dapat ditulis
A7 0 #∈ S & # ∉ A
'engan demikian
(A7)7 0 # ∈ S & # ∉ A7
0 # ∈ S & # ∈ A 0 A
S7 0 # ∈ S & # ∉ S 0 ∅
∅7 0 # ∈ S & # ∉ ∅ 0 S
A∪ A7 0 # ∈ S & # ∈ A∪ # ∈ S & # ∉ A 0 S
A∩ A7 0 # ∈ S & # ∈ A∩ # ∈ S & # ∉ A 0 ∅
"eorema 1.1. (Hu#um $perasi Himpunan)
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 6/25
!ika A, 5, dan 7 masing-masing himpunan dan subset dari himpunan S, maka
berlaku&
a) 1ukum 9dompoten
(i) A∩ A 0 A (ii) A∪ A 0 A
b) 1ukum 9dentitas
(i) A∪ ∅ 0 A (ii) A∩ ∅ 0 ∅
c) 1ukum >omutatif
(i) A∪ 5 0 5 ∪ A (ii) A∩ 5 0 5 ∩ A
d) 1ukum Asosiatif
(i) A∪ (5 ∪ 7) 0 (A∪ 5) ∪ 7
(ii) A∩ (5 ∩ 7) 0 (A∩ 5) ∩ 7
e) 1ukum 'istributif
(i) A∪ (5 ∩ 7) 0 (A∪ 5) ∩ (A∪ 7)
(ii) A∩ (5 ∪ 7) 0 (A∩ 5) ∪ (A∩ 5)
f) 1ukum 'e? %organ
(i) (A∪ 5)7 0 A7 ∩ 57
(ii) (A∩ 5)7 0 A7 ∪ 57
@eorema di atas tidak akan dibuktikan satu persatu dalam buku ini. Sebagai
contoh dari cara pembuktiannya akan ditunjukkan bukti untuk bagian e (i) dan f (i).
Secara rinci untuk bagain lainnnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Bukti
e. (i) %isalkan #∈ A∪ (5 ∩ 7) sebarang, maka
# ∈ A atau # ∈ (5 ∩ 7)
⇔ # ∈ A atau (# ∈ 5 dan # ∈ 7)
⇔ (# ∈ A atau # ∈ 5) ∩ (# ∈ A atau # ∈ 7)
<
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 7/25
⇔ # ∈ (A∪ 5) dan # ∈ (A∪ 7)
⇔ # ∈ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7)
>arena # ∈ A∪ (5 ∪ 7) diambil sebarang, maka dapat disimpulkan ∀ # ∈ A∪
(5 ∩ 7) ⇒ # ∈ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7).
'engan demikian diperoleh,
A∪ (5 ∩ 7) ⊆ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7) ($)
7ara yang sama dapat ditunjukkan bahwa,
A∪ (5 ∩ 7) ⊇ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7) ()
'engan memisalkan y ∈ (A∪ 5) ∩ (A∪ 7) sebarang, kemudian menunjukkan
bahwa y ∈ A∪ (5 ∩ 7)
'ari ($) dan () disimpulkan bahwa,
A∪ (5 ∩ 7) 0 (A∪ 5) ∩ (A∪ 7)
f. (i) %isalkan # ∈ (A∪ 5)7 sebarang,
maka # ∉ (A∪ 5)
⇔ # ∉ A dan # ∉ 5
⇔ # ∈ A7 dan # ∈ 57
⇔ # ∈ (A7 ∩ 57)
ini berarti (A ∪ 5)7 ⊆ (A7 ∩ 57)
'engan cara yang sama dapat ditunjukkan
A7 ∩ 57 ⊆ (A∪ 5)7
!adi (A∪ 5)7 0 (A7 ∩ 57).
;
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 8/25
"eorema 1.2.
%isalkan A, 5, dan 7 himpunan sebarang,
(i) A⊆ 5 5 ⊆ 7 ⇒ A⊆ 7
(ii) A∩ 5 ⊆ A dan A∩ 5 ⊆ 5
(iii) A:5 ⊆ A
(i2) A:5 0 A∩ 57
%isalkan B adalah suatu himpunan tertentu, maka himpunan semua subset-subset
dari B, disebut sebagai himpunan keluarga dari B atau klas subset dari B, dan lebih
umum dikenal sebagai himpunan kuasa dari B. 1impunan kuasa dari B dinotasikan
dengan ℙ(B).
Contoh 1.. %isalkan B 0 a, b, c
Subset-subset dari B adalah∅, a, b, c, a,b,
a,c, b,c, dan B maka,
ℙ(B) 0 ∅, a, b, c, a,b, a,c, b,c, B
1impunan indeks dinyatakan C ∧ C adalah suatu himpunan yang anggota-
anggotanya kita bentuk untuk memberikan nama-nama suatu himpunan. Untuk itu, jika
kita bentuk sejumlah koleksi dari subset himpunan B, tiap anggota dari koleksi ini kita
berikan nama himpunan indeks ∧ sedemikian sehingga setiap anggota dalam koleksi
mempunyai paling sedikit satu nama, dan setiap nama dalam himpunan indeks ∧
memberikan satu himpunan dalam koleksi. !ika nama-nama di dalam ∧ adalah subset
dari B bersesuaian dengan β maka dinotasikan C∧βD dan seterusnya. 1impunan indeks ∧,
dapat ditulis dalam bentuk koleksi himpunan yaitu
Aα & α ∈ ∧
=
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 9/25
banyaknya himpunan dalam koleksi ini tergantunmg dari banyaknya anggota dalam
himpunan indeks ∧.
Contoh 1.!. %isalkan ∧ 0 $, , *, + dan ∀ α ∈ ∧
Aα 0
α
$,.....,
*
$,
)
$,$
%aka koleksi himpunan yang terbentuk (indeks keluarga) memuat empat
himpunan yaitu &
A$, A, A*, A+
dengan& A$ 0 $ A 0
)
$,$
A* 0
*
$,
)
$,$ A+ 0
+
$,
*
$,
)
$,$
5ersesuaian dengan pengertian indeks keluarga dari suatu himpunan yang
diuraikan di atas, maka untuk Aα & α ∈ ∧ adalah koleksi sebarang subset dari B maka&
Aα&α∈∧ 0
{ }
≠∧∧∈∈
=∧
φ α α
φ φ
jika satu sedikit paling A x x
jika
,,&
,
"enulisan Aα & α ∈ ∧0 Aα
α
Contoh 1.". %isalkan ∧ 0 # ∈ℤ & # 8 / dan
∀α ∈ ∧, Aα 0# ∈ℝ & -α ≤x≤α 0 3-α , α4
maka koleksi indeksnya adalah &
Aα & α ∈ ∧ 0 A$, A, A*, E..
'ari definisi Aα, diperoleh&
F
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 10/25
A$ 0 3-$, $4 A 0 3-, 4 A* 0 3-*, *4 dst.
Akibatnya,
Aα
α
0 A$ ∪ A ∪ A* ∪ E..
0 3-$, $4 ∪ 3-, 4 ∪ 3-*, *4 ∪ E..
0 ℝ
Selanjutnya jika Aα & α ∈ ∧ didefinisikan
{ } { }
≠∧∧∈∀∈
=∧
=∧∈= φ α
φ φ
α α
α α α jika A x x
jika
A A ,&&
Contoh 1.#. %isalkan ∧ 0 $, , *, E dan ∀ α ∈ ∧
'efinisikan Aα 0 3-α , α4
%aka Aα & α ∈ ∧ 0 A$, A, E..
'imana A$ 0 3-$, $4 A 0 3-, 4 dstleh karena itu,
Aα
α
0 A$ ∩ A ∩ A* ∩ E
0 3-$, $4 ∩ 3-, 4 ∩ 3-*, *4 ∩ ...
0 3-$, $4 0 A$
"eorema 1.3. (Hu#um De% &organ)
!ika Aα & α ∈ ∧ koleksi sebarang subset himpunan B, maka
(i) Aα & α ∈ ∧7 0 Aα7 & α ∈ ∧
(ii) Aα & α ∈ ∧7 0 Aα7 & α ∈ ∧
$/
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 11/25
Bukti
5ukti teorema di atas tidak akan diberikan secara rinci dalam buku ini, hanya
bagian (i) akan diberikan sedangkan bagian (ii) diserahkan kepada pembaca sebagai
latihan.
(i) Kasus & !ika ∧ 0 ∅, maka
Aα & α ∈ ∧ 0 ∅0 ∅
'engan demikian
( Aα & α ∈ ∧ 0 ∅)7 0 ∅7 0 S
Selanjutnya,
Aα7 & α ∈ ∧ 0 ∅0 S
!adi dalam kasus ∧ 0 ∅, diperoleh &
( Aα & α ∈ ∧)7 0 Aα7 & α ∈ ∧
Kasus & ∧ ≠ ∅
%isalkan # ∈ ( Aα & α ∈ ∧)7 sebarang maka
# ∉ Aα & α ∈ ∧
⇔ # ∉ Aα untuk setiap α ∈ ∧
⇔ # ∈ Aα7 untuk setiap α ∈ ∧
⇔ # ∈ Aα7 & α ∈ ∧
1al tersebut menunjukkan,
( Aα & α ∈ ∧)7 ⊆ Aα7 & α ∈ ∧ ($)
Selanjutnya, ambil y ∈ Aα7 untuk setiap α∈ ∧
y ∉ Aα untuk setiap α ∈ ∧
⇔ y ∉ Aα & α ∈ ∧
⇔ y ∈ ( Aα & α ∈ ∧)7
$$
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 12/25
'engan demikian diperoleh&
(Aα & α ∈ ∧)7 ⊇ Aα7 & α ∈ ∧ ()
'ari ($) dan () disimpulkan&
(Aα & α ∈ ∧)7 0 Aα7 & α ∈ ∧
'. Per#a!ian Himpunan (Product Set)
!ika A dan 5 dua himpunan, maka himpunan semua pasangan berurutan (a, b)
dengan a ∈ A dan b ∈ 5 dikatakan perkalian kartesius dari A dan 5 ditulis A× 5.
!adi A × 5 0 (a, b) & a ∈ A dan b ∈ 5
'ua pasangan berurutan (a$,b$) dan (a,b) dikatakan sama jika a$ 0 a dan b$ 0 b,
oleh karena itu secara umum A × 5 ≠ 5 × A. >onsep perkalian dua himpunan di atas,
dapat diperluas untuk perkalian lebih dari dua himpunan, yaitu&
!ika A, 5, dan 7 masing-masing himpunan,
(A × 5) × 7 0 (a, b) & a ∈ A, b ∈ 5 × 7
0 (a, b, c) & a ∈ A, b ∈ 5, c ∈ 7 dan
A × (5 × 7) 0 (a, b, c) & a ∈ A, b ∈ 5, c ∈ 7
!adi perkalian kartesius dari suatu himpunan memenuhi hukum assosiatif, sehingga dapat
ditulis A × (5 × 7) 0 (A × 5) × 7.
Secara umum perkalian dari n himpunan A$, A, E, An didefinisikan sebagai berikut.
A$ × A × E An 0 (a$, a, E, an) & ai ∈ Ai, i 0 $, , E, n
!ika A$ 0 A 0 E 0 An 0 A, maka A$ × A × E An 0 An
"eorema 1.
$
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 13/25
!ika A, 5, dan 7 masing-masing subset tidak kosong dari himpunan S, maka&
(i) A × (5 ∩ 7) 0 (A × 5) ∩ (A× 7)
(ii) A × (5 ∪ 7) 0 (A × 5) ∪ (A × 7)
Bukti
(i) A × (5 ∩ 7) 0 (#,y) & # ∈ A dan y ∈ 5 ∩ 7
0 (#,y) & # ∈ A dan y ∈ 5 dan y ∈ 7
0 (#,y) & (#,y) ∈ (A × 5) dan (#,y) ∈ (A × 7)
0 (#,y) & (#,y) ∈ (A × 5) ∩ (A × 7)
0 (A × 5) ∩ (A × 7)
'engan cara yang sama, (ii) dapat dibuktikan, dan diserahkan kepada pembaca
sebagai latihan.
Teorema !."
!ika A, 5, 7, dan ' subset dari himpunan S, maka&
(i) (A × 5) ∩ (7 × ') 0 (A∩ 7) × (5 ∩ ')
(ii) !ika A⊆ 5 dan 7 ⊆ ', maka (A × 7) ⊆ (5 × ')
Bukti
5ukti (i) diserahkan pada pembaca, berikut ini akan diberikan bukti (ii), yaitu&
%isalkan (#,y) ∈ (A × 7) sebarang, maka
# ∈ A dan y ∈ 7
>arena A⊆ 5 dan 7 ⊆ ', maka # ∈ 5 dan y ∈ '
!adi (#,y) ∈ (5 × ')
Atau dengan kata lain (A × 7) ⊆ (5 × ').
C. $e%asi dan &un'si
Sebelum membahas pengertian fungsi dari himpunan A ke himpunan 5, terlebih
dahulu akan diperkenalkan relasi dari himpunan A ke himpunan 5.
$*
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 14/25
1. e!asi
Gelasi adalah suatu pengaitan dari suatu himpunan ke himpunan lain yang
memenuhi aturan-aturan tertentu, atau dengan kata lain suatu relasi f dari himpunan A ke
himpunan 5 adalah subset dari A × 5. !adi relasi f merupakan suatu himpunan suset dari
A × 5.
1impunan # & (#,y) ∈ f dikatakan domain dari f dan himpunan y & (#,y) ∈ f
disebut range dari f. 9n2ers dari f ditulis f -$ adalah relasi dari 5 ke A yang didefinisikan
sebagai berikut.
f -$ 0 (y,#) & (#,y) ∈ f
!ika A 0 5, maka subset sebarang dari A × A dikatakan relasi dari himpunan A. !ika f
relasi dan (#,y) ∈ f, dikatakan bahwa # dikaitkan oleh f ke y
Contoh 1.1(. Gelasi kurang dari () dalam himpunan bilangan bulat ℤ, maka f dapat
ditulis,
f 0 (#,y) & # ∈ ℤ, y ∈ ℤ, dan # y
!elas ($,) ∈ f, tetapi (, -$) ∉ f.
Definisi 1. Gelasi f dalam himpunan A dikatakan,
i. Gefleksif, jika ∀ # ∈ A, (#,#) ∈ f
ii. Simetri, jika (#,y) ∈ f, maka (y,#) ∈ f, ∀ #, y ∈ A
iii. @ransitif, jika (#,y) ∈ f dan (y,H) ∈ f,
maka (#,H) ∈ f , ∀ #, y, H, ∈ A
i2. Anti Simetri, jika (#,y) ∈ f dan (y,#) ∈ f,
maka # 0 y, ∀ #, y ∈ A.
Suatu relasi yang memenuhi sifat refleksif, simetri, dan transitif, disebut relasi
ekuivalen, dan jika memenuhi refleksif, antisimetri, dan transitif, maka disebut relasi
orde parsial .
$+
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 15/25
Contoh 1.11. %isalkan A 0 $, , *, +
f 0 ($, $), (, ), (*, *), (+, +), ($, ), ($, *), (, $),
(*, $), (*, ), (, *)
%aka f memenuhi refleksif, simetri dan tansitif, yaitu&
(i) (#, #) ∈ f, ∀ # ∈ A
(ii) (#, y) ∈ f, ⇒ (y, #) ∈ f, ∀ #, y ∈ A
(iii) (#, y) ∈ f, (y,H) ∈ f ⇒ (#, H) ∈ f, ∀ #, y, H, ∈ A
!adi f merupakan relasi ekui2alen
Contoh 1.1). %isalkan ℕ 0 $, , *, E
'efinisikan relasi g pada ℕ, sebagai berikut&
g 0 (#, y) & # ∈ ℕ dan # ≥ y
maka relasi g memenuhi&
(i) Gefleksif, karena ∀ # ∈ ℕ, # 0 #, maka (#, #) ∈ g
(ii)Anti simetri, karena jika # ≥ y dan y ≥ #
maka # 0 y. !adi jika (#, y) ∈ g, (y, #) ∈ g
maka # 0 y,∀ #, y, ∈ ℕ.
(iii) @ransitif karena jika # ≥ y, y ≥ H, maka # ≥ H. !adi jika (#, y) ∈
g, (y, H) ∈ g, maka (#, H) ∈ g, ∀ #, y, H, ∈ ℕ.
'engan demikian, g merupakan relasi orde parsial.
Contoh 1.13. %isalkan 5 0 $, , * dan
h 0 ($, $), ($, ), (, *), (, ), (*, *), maka h
memenuhi&
(i) refleksif, karena (#, #)∈ h, ∀ # ∈ 5
(ii) @idak simetri, karena ($, )∈ h tetapi (, $) ∉ h
(iii) @idak transitif, karena ($, )∈ h, (, *) ∈ h, tetapi ($, *) ∉ h
$
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 16/25
!adi h bukan relasi ekui2alen dan bukan relasi orde parsial.
Definisi 1.*. (Ke!as +#ui,a!en)
!ika f adalah relasi ekui2alen pada himpunan A, maka kelas ekui2alen yang
ditentukan oleh # ∈ A, ditulis 3#4, adalah himpunan semua anggota A yang oleh f
dikaitkan dari #.
'efinisi di atas dapat dinotasikan sebagai berikut.
3#4 0 y & (#, y) ∈ f
>oleksi kelas ekui2alen dari A oleh f, dinyatakan dengan AIf.
!adi AIf 03#4 & # ∈ A
Contoh 1.14. %isalkan A 0 garis lurus pada bidang datar dan
f 0 (#, y) & #, y ∈ A dan # sejajar dengan y.
%aka f merupakan relasi ekui2alen (kenapaJ).
Ambil y ∈ A, tetapi y tidak sejajar dengan #,
(y ∉ 3#4).
5entuk kelas ekui2alen 3y4, sebagai berikut,
3y4 0 b ∈ A & (y, b) ∈ f
!elas bahwa 3#4 ∩ 3y4 0 ∅.
!ika masih ada H ∈ A dengan H ∉ 3#4 dan H ∉ 3y4, maka proses diatas
dapat dilanjutkan dengan membentuk kelas ekui2alen 3H4.
5egitu seterusnya sampai semua anggota dari A termuat dalam salah satu
kelas ekui2alen yang telah terbentuk. Sehingga A merupakan gabungan
dari semua kelas ekui2alen yang saling lepas.
Definisi 1.-. (Definisi ungsi)
$<
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 17/25
%isalkan A dan 5 dua buah himpunan tidak kosong, fungsi f dari A ke 5 adalah
suatu relasi yang mengaitkan setiap anggota a ∈ A dengan hanya satu pasangan
yang dinyatakan dengan f(a) di 5, dan ditulis f & A → 5 dengan f adalah fungsi
dari A ke 5.
"engertian fungsi di atas dapat juga dinyatakan bahwa untuk A, 5 masing-masing
himpunan tidak kosong, suatu pengaitan f yang dinyatakan dengan f & A→ 5 dikatakan
fungsi jika dan hanya jika, ∀ a, b ∈ A dengan a 0 b, maka f (a) 0 f (b).
Contoh 1.15. %isalkan A 0 $, , * 5 0 /, $, , *, +
"engertian f & A→ 5 yang disefinisikan, f(a) 0 a-$ merupakan fungsi.
Definisi 1./.
%isalkan f & A→ 5 suatu fungsi
a) f dikatakan fungsi satu-satu jika ∀#, y ∈ A dengan f (#) 0 f (y) maka #
0 y
b) f dikatakan fungsi onto jika ∀ b ∈ 5, ada a ∈ A sehingga f (a) 0 b
c) !ika f fungsi satu-satu dan onto maka f dikatakan fungsi bijektif.
Contoh 1.1. a) f & ℕ → ℕ dengan f (n) 0 n, ∀ n ∈ ℕ adalah fungsi
satu-satu.
b) f & ℝ→ ℝK dengan f (#) 0 #, ∀ # ∈ ℝ adalah fungsi onto.
c) f & ℤ → ℤ dengan f (H) 0 H, ∀ H ∈ ℝ adalah fungsi bijektif.
!ika A, 5, dan 7 masing-masing himpunan, f& A → 5 dan g& 5 → 7 masing-masing
fungsi. Suatu fungsi dari A ke 7 yang dinyatakan dengan (g ∘ f) disebut fungsi
komposisi dan didefinisikan
$;
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 18/25
(g ∘ f) (#) 0 g (f(#)), ∀ # ∈ A
"eorema 1.10.
Lungsi komposisi selalu assosiatif
Bukti
%isalkan A, 5, 7, ' himpunan-himpunan tidak kosong dan
f & A→ 5 g & 5 → 7 h & 7 → '.
%asing-masing fungsi, dengan f(A) 0 5 dan g(5) 0 7.
Ambil sebarang # ∈ A, maka
3(h ∘ g) ∘ f 4 (#) 0 (h ∘ g) (f (#))
0 h 3g (f (#))4
0 h 3(g ∘ f) (#)4
0 (h ∘ (g ∘ f )) (#)
!adi (h ∘ g) ∘ f 0 h ∘ (g ∘ f)
Definisi 1.11
%isalkan f & A → 5 fungsi bijektif, fungsi g & 5 → A yang didefinisikan ∀ y ∈ 5,
g(y) 0 #, jika dan hanya jika f(#) 0 y, maka g disebut in2ers dari f (dinotasikan g 0 f -$).
Contoh 1.1!. f & ℝK → ℝK yang didefinisikan f (#) 0 e# ∀ # ∈ ℝK, maka f -$& ℝK → ℝK
adalah f -$(y) 0 ln y, ∀ y ∈ ℝK
"eorema 1.12
%isalkan B, M, N himpunan tidak kosong dan f & B → M
g & M→ N masing-masing fungsi bijektif, maka
(g ∘ f)-$ 0 f -$ ∘ g -$
Definisi 1.13
Suatu fungsi f & B → M dengan A⊆ B dan 5 ⊆ M
f(A) 0 (y ∈ M y 0 f (#) untuk suatu # ∈ Adisebut peta (image) A dari fungsi f dan
f -$(5) 0 (# ∈ B& f (#) ∈ 5 disebu peta in2ers (invers image) 5 dari fungsi f.
$=
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 19/25
'efinisi di atas, dapat dijelaskan sebagai berikut.
!ika y ∈ f (A), maka y 0 f (#) untuk suatu # ∈ A, dan
jika # ∈ f -$(5), maka f (#) ∈ 5.
atatan
!ika f(#) ∈ f(A) tidak mutlak # ∈ A, tetapi jika # ∈ A maka selalu f (#) ∈ f(A).
Contoh 1.1". %isalkan fungsi f & ℝ → ℝ yang didefinisikan
f (#) 0 #
, ∀ # ∈ ℝ dan jika A 0 3/ , $4 ⊆ ℝ.
!elas f (A) 0 3/ , $4 dan f (-$) 0 $ ∈ 3/ , $4 0 f (A), tetapi (-$) ∉ A.
Definisi 1.1
!ika f & B → M suatu fungsi dan A ⊆ B, maka fungsi g yang didefinisikan g & A → M
dengan g(#) 0 f(#), ∀ # ∈ A, g dikatakan pembatasan (restriction) dari f pada A dan
f dikatakan perluasan (extension) dari g.
Contoh 1.1#. f & ℤ → ℤ dengan f (#) 0 # ∀ # ∈ ℤ
g & ℕ → ℕ dengan g (#) 0 # ∀ # ∈ ℕ
!elas ℕ ⊆ ℤ dan g (#) 0 f (#), ∀ # ∈ ℕ
!adi g merupakan pembatasan dari f, dan
f merupakan perluasan dari g.
1. Operasi Biner Pada Himpunan
%isalkan 6 himpunan tidak kosong, fungsi dari 6×6 ke 6 mengaitkan setiap
pasangan berurutan (a,b) ∈ 6×6 dengan suatu pasangan di 6 (yaitu aO b ∈ 6), maka O
dikatakan operasi biner (komposisi biner) pada 6. 'engan demikian, operasi O pada
himpunan tidak kosong 6 adalah operasi biner jika dan hanya jika&
$F
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 20/25
a ∈ 6, b ∈ 6 ⇒ a O b ∈ 6, ∀ a, b ∈ 6
!adi operasi biner merupakan operasi tertutup yang didefinisikan pada himpunan tidak
kosong.
Contoh 1.)(. perasi penjumlahan (K) merupakan komposisi biner pada himpunan
bilangan asli ℕ, karena ∀ a, b ∈ ℕ, a K b ∈ ℕ
Definisi 1.1' (Hu#um $perasi)
Suatu operasi biner O dan ∘ pada himpunan tidak kosong 6 dikatakan &
(i) Assosiatif, jika (aOb)Oc 0 aO(bOc),∀ a, b, c ∈ 6
(ii) >omutatif, jika aOb 0 bOa, ∀ a, b ∈ 6
(iii) %empunyai unsur identitas, jika ada e ∈ 6, sehingga eOa 0 aOe 0 a ∀ a ∈ 6
(i2) Setip anggota mempunyai in2ers di 6, jika ∀ a ∈ 6 ada a-$ ∈ 6 sehingga
aOa-$ 0 a-$Oa 0 e
(2) perasi O pada 6 dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri, jika aOb 0 aOc
mengakibatkan b 0 c untuk setiap a, b, c ∈ 6
(2i) perasi O pada 6 dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan, jika bOa 0
cOa, mengakibatkan b 0 c, untuk setiap a, b, c ∈ 6
(2ii) Anggota e ∈ 6 dikatakan identitas kiri di 6, jika aOe 0 a, ∀ a ∈ 6
(2iii) !ika e identitas kanan di 6, maka elemen b ∈ 6, dikatakan in2ers kanan dari
a ∈ 6, jika aOb 0 e
(i#) perasi ∘ dikatakan distributif kiri terhadap O jika a∘(bOc) 0 (a∘ b) O (a∘c),
∀ a, b, c ∈ 6(#) perasi ∘ dikatakan distributif kanan terhadap O jika (aOb) ∘ c 0
(a∘c)O(b∘c), ∀ a, b, c ∈ 6.
Definisi 1.1
/
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 21/25
Suatu himpunan tidak kosong 6 dengan satu atau lebih operasi biner pada 6
dikatakan struktur aljabar, atau sistem aljabar dan ditulis (6,O).
Contoh 1.)1. >omposisi biner (K) pada bilangan asli ℕ merupkan operasi biner,
sehingga (ℕ, K) merupakan struktur aljabar.
*. Operasi Modu%o
%isalkan ℤ himpunan bilangan bulat, kita akan definisikan operasi penjumlahan
dan perkalian modulo pada ℤ sebagai berikut.
1. Penum!a4an 5i!angan 5u!at &odu!o m
%isalkan m bilangan bulat positif sebarang (tetapi tetap), kita definisikan
penjumlahan bilangan modulo m, yang dinotasikan dengan Km pada himpunan bilangan
bulat ℤ, yaitu untuk setiap a, b ∈ ℤ, a Km b adalah bilangan bulat taknegatif terkecil yang
merupakan sisa pembagian dari penjumlahan a dan b oleh m.
!adi a Km b 0 r, dengan r bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa
pembagian (a K b) dibagi m. 'engan demikian jelas / ≤ r m.
Contoh 1.)). Ambil bilangan bulat positif m 0 <.
!ika a,b ∈ ℤ dengan a 0 , b 0 =, maka a K m b 0 K< = 0 $, karena $
merupakan bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian
( K =) dibagi <. 'alam hal ini dapat ditulis&
K = 0 $* 0 × (<) K $
'engan cara yang sama, untuk m 0 ; dengan a 0 -$< dan b 0 *, maka -$< K ;
* 0 $, karena dapat ditulis&
-$< K * 0 -$* 0 (-) × ; K $
!adi bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian -$*
dibagi * adalah $.
$
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 22/25
2. Per#a!ian 5i!angan 5u!at &odu!o p
%isalkan p bilangan bulat positif sebarang (tetapi tetap), kita definisikan perkalian
modulo p, yang dinotasikan × p pada himpunan bilangan bulat ℤ yaitu untuk setiap a, b ∈
ℤ, a × p b adalah bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian
perkalian a dan b dibagi p.
!adi a × p b 0 r, dengan r adalah bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan
sisa pembagian (a × b) dibagi p, dan / ≤ r p.
Contoh 1.)3. Ambil bilangan bulat positif p 0 , jika a 0 < dan b 0 =, maka a × p b 0
< × = 0 *, karena * merupakan bilangan bulat taknegatif terkecil yang
merupakan sisa pembagian (< × =) dibagi .
'alam hal ini dapat ditulis&
< × = 0 += 0 ( × F) K *
'engan cara yang sama (-<) × = 0 , karena
(-<) × = 0 -+= 0 (-$/) × K
!adi bilangan bulat taknegatif terkecil yang merupakan sisa pembagian
-+= dibagi adalah .
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 23/25
Latihan 1
$. %isalkan A 0 #& # ∈ℝ dan *# 0 F dan b 0 *, apakah A 0 bJ
. %anakah himpunan berikut yang sama,
(i) A 0 #, y, H
5 0 #, y, y, #, H
7 0 #, y, H, ) #
(ii) ' 0 #& # adalah huruf pada kata CatikD
P 0 #& # adalah huruf pada kata CtakitaD
L 0 i, t, a, k
3. %isalkan A 0 #, y, H. 5erapa banyak subset dari A, dan tuliskan subset
tersebut.
. Untuk sebarang A dan 5 subset dari S, tunjukkan &
a. !ika A⊆ ∅, maka A 0 ∅
b. !ika A⊆ 5, maka 57 ⊆ A7
c. !ika A⊆ 5, maka A ∪ (5 : A) 0 5
d. !ika A∪ 5 0 ∅, maka A 0 ∅ dan 5 0 ∅
e. (A : 5) ∩ 5 0 ∅
f. A7 : 57 0 5 : A
g. !ika A∩ 5 0 ∅, maka 5 ∩ A7 0 5
h. !ika A∩ 5 0 ∅, maka A∪ 57 0 57
'. !ika g & S → @ dan f & @→ U keduanya fungsi satu-satu. 5uktikan f ∘g & S → U
juga fungsi satu-satu.
. !ika g & S → @ dan f & @→ U keduanya fungsi bijektif. 5uktikan f ∘g & S → U juga fungsi bijektif.
*. 'iberikan himpunan S dan @ dan f & S → @ berikut.
@entukan f mana yang merupakan fungsi dan jika bukan berikan alasan.
*
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 24/25
a. S 0 semua wanita, dan @ 0 semua laki-laki
f (s) 0 suami dari S
b. S 0 bilangan bulat positif
@ 0 bilangan bulat taknegatif , dan f (s) 0 s Q $
c. S 0 bilangan bulat positif, @ 0 S, dan f (s) 0 s Q $
d. S 0 bilangan bulat taknegatif, @ 0 S, dan f (s) 0 s Q $
e. S 0 bilangan bulat, @ 0 S, dan f (s) 0 s Q $
f. S 0 bilangan real, @ 0 S, dan f (s) 0 √s
g. S 0 bilangan real positif, @ 0 S, dan f (s) 0 √s
-. "ada soal no. ;, jika f mendefinisikan fungsi, tentukan apakah fungsi tersebut
satu-satu, onto, atau keduanya.
/. !ika f & S → @ fungsi satu-satu dan onto.
5uktikan f -$ & @→ S juga satu-satu dan onto.
10. !ika f & S → @ onto, dan g & @ → U dan h & @ → U sehingga (g∘f) 0 (h∘f),
buktikan g 0 h.
11. %isalkan S 0 himpunan bilangan bulat dan @ 0 $, -$, f & S → @ yang
didefinisikan&
f (s) 0
− ganjil s jika
genap s jika
,$
,$
a. apakah f merupakan fungsiJ
b. @unjukkan f (a K b) 0 f (a) f (b). Apa yang anda dapat simpulakan tentang
hal ini J
c. Apakah f (ab) 0 f (a) f (b) juga benarJ
12. %isalkan S 0 himpunan bilangan real, definisikan pemetaan f & S → S, f (s) 0 s
dan g & S → S, g (s) 0 s K $
a. @entukan f ∘ g b. @entukan g ∘ f
+
7/23/2019 Bab I Aljabar Linier
http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-aljabar-linier 25/25
13. %isalkan S 0 himpunan bilangan real, dan untuk a, b ∈ S dengan a ≠ /,
definisikan f a . b (s) 0 as K b
a. 5uktikan = $ $ d cba ..
$ vu.
, untuk suatu u, 2 ∈ S
b. Apakah = $ $ d cba ..
$ $ bad c ..
selalu benarJ
c. @entukan (f a . b) sehingga
= $ $ ba $.$.
= $ $ ba $.$.
$ ba.
d. 5uktikan
− $
ba
$
. ada, dan tentukan bentuknya.
$+. %isalkan S himpunan bilangan rasional taknegatif, yaitu
S 0 mIn & m,n bilangan bulat taknegatif, n ≠ /, dan
@ 0 himpunan bilangan bulat.
a. Apakah f & S→ @ yang didefinisikan f(mIn) 0 m *n merupakan suatu fungsiJ
b. !ika tidak, dapatkah anda memodifikasi pendefinisian tersebut sehingga
membentuk fungsi.
$. !ika f & S→ @ fungsi satu-satu dan onto.
5uktikan (f -$)-$ 0 f , (f -$ in2ers dari f).
$<. !ika S himpunan terhingga dan f & S → S fungsi satu-satu. 5uktikan f juga fungsi
onto. (1impunan terhingga adalah himpunan yang banyaknya anggota terhingga).
$;. !ika S himpunan terhingga dan f & S → S onto. 5uktikan f juga satu-satu.
Top Related