1

BAB I

HIMPUNAN BILANGAN

Bilangan Ril = R#

Himpunan bilangan ril terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional.

Bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif,

bilangan nol dan bilangan pecahan a/b dengan a dan b bilangan bulat.

Bilangan Kompleks

Bilangan Imajiner

Bilangan Riil

Bilangan Rasional

Bilangan Irasional

Rasional Pecahan

Rasional Bulat

Bulat Positif (Bil. Asli/Alam)

Nol Bulat Negatif

-2 4

-3/2

-1

-1/2

0

1/2

1

√2 √6

2 3

2

Bilangan Bulat

Yang disebut bilangan bulat adalah

…….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……..

Himpunan bilangan bulat

Z = {……., -3, -2, -1, 0, 1, 2,…….}

Bilangan Rasional Q

Himpunan bilangan rasional Q dinyatakan sebagai berikut

𝑄 = {𝑥|𝑥 =𝑎

𝑏 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 ∈ 𝑧, 𝑏 ∈ 𝑧}

Bilangan Asli

Bilangan-bilangan asli adalah bilangan-bilangan bulat positif

N = {1,2,3,…….}

Bilangan prima adalah bilangan asli tidak termasuk 1, yang habis dibagi satu

atau bilangan itu sendiri

Contoh bilangan prima: 2,3,5,7,11,17,19,……..

Bilangan Irasional Q

Bilangan-bilangan irasional adalah bilangan-bilangan riil yang tidak rasional

Contoh: √2, √3, π, e = 2,718…….

3

Pertidaksamaan

Definisi: bilangan riil a dinyatakan kurang dari bilangan riil b, ditulis a < b jika

b – a adalah bilangan positif.

Dua bilangan riil a dan b terdapat hubungan salah atau diantara hubungan-

hubungan berikut ini: a < b atau a = b atau a > b

Pernyataan-pernyataan a < b, a > b, a ≤ b dan a ≥ b disebut pertidaksamaan

Contoh:

Selesaikan pertidaksamaan: x2-5x-24 ≤ 0

Jawab:

𝑥2 − 5𝑥 − 24 = 0

𝑥 − 8 𝑥 + 3 = 0

𝑥1 = 8 𝑥2 = −3

Nilai-nilai x yang memenuhi: -3 ≤ x ≤ 8 atau {x | x -3 ≤ x ≤ 8}

Interval (Selang)

Bilangan a dan b bilangan riil dan a < b, maka himpunan bagian dari R#:

A1 = {x | a < x < b} ________________ interval buka

A2 = {x | a ≤ x < b} ________________ interval tutup buka

A3 = {x | a ≤ x ≤ b} ________________ interval tutup tutup

A4 = {x | a < x ≤ b} ________________ interval buka tutup

-3 8

-- ++ ++

O I I I I I I I O

O I I I I I I I O

O I I I I I I I O

O I I I I I I I O

4

Interval Tak Hingga

A = {x | x < a} = {x | - ~ < x < a) = (- ~, a)

B = {x | x > a} = {x | a < x < ~) = (a, + ~)

C = {x | x ≤ a} = {x | - ~ < x ≤ a) = (- ~, a)

D = {x | x ≥ a} = {x | a ≤ x < ~) = (a, + ~)

E = {x | x € R#} = {x | - ~ < x < + ~) = (- ~, n) = (- ~, ~)

Harga Mutlak

Harga mutlak dari suatu bilangan riil didefinisikan:

|𝑎| = 𝑎, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎 ≥ 0

−𝑎, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎 < 0

Contoh: |3| = 3 karena 3 > 0

|2| = -(-2) = -2(-2) = 2, karena -2 < 0

|√3-2| = -(√3-2)

= 2-√3, karena (√3-2) < 0

Sifat-Sifat Harga Mutlak

Jika a, b, € R#, maka:

| a | < b jika –b < a < b, dimana b > 0

| a | > b jika a < -b atau a > b

|a ± b| = |a ± b|

|a b| ≥ |a| |b|

𝑎 𝑏| = 𝑎

𝑏 , 𝑏 ≠ 0

| a+b | ≥ |a| - |b|

| a+b | ≤ |a| + |b|

| a-b | ≥ |a| - |b|

| a+b | ≤ |a| + |b|

5

Contoh:

1. |2𝑥 + 3| < 7

−7 < 2𝑥 + 3 < 7

−10 < 2𝑥 < 4

−5 < 𝑥 < 2

2. |𝑥 + 1| > 5

𝑥 + 1 < −5 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 1 > 5

𝑥 < −6 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 4

(- ~, -6) U (4, ~)

3. Carilah harga-harga x yang memenuhi

|2x - 1| = |4x + 3|

Jawab:

2𝑥 − 1 = 4𝑥 + 3

2𝑥 − 4𝑥 = 3 + 1

−2𝑥 = 4

𝑥 = −2

2𝑥 − 1 = −(4𝑥 + 3)

2𝑥−1 = -4x – 3

2𝑥 + 4𝑥 = −3+1

𝑥 = −1

3

Selesaikan pertidaksamaan:

a. 18𝑥 − 3𝑥2 > 0

b. 𝑥 + 3 𝑥 − 2 𝑥 − 4 < 0

6

Permutasi dan Kombinasi

Definisi:

n adalah bilangan asli. Maka n! dibaca n faktorial

𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 = ⋯ 3.2.1

Contoh:

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

8!

6!=

8.7.6!

6!= 56

Definisi:

Jika ada himpunan n unsur (objek) yang berlainan, maka banyaknya susunan

unsur-unsur itu, disebut banyaknya permutasi himpunan tersebut

Contoh:

H = {a,b,c}, kita dapat mengurutkan unsur-unsur H sebagai berikut: abc, acb,

bac, cab, cba, bca

Terdapat 6 urutan yang berbeda, jadi banyak permutasi = 6 = (3!)

Definisi:

Bila dari himpunan n unsur-unsur yang berlainan disebut susunan yang terdiri

dari k unsur (k < n). Maka banyaknya susunan itu disebut banyaknya permutasi

himpunan tersebut dengan ambilan k

Contoh:

H = {4,7,8,9}, kita hendak menyusun bilangan yang terdiri dari 3 angka. Angka

tidak boleh berulang

4 3 2 = 24 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

7

Catatan:

Permutasi dengan pengulangan: banyak permutasi dari n unsur dimana terdapat

unsur yang berulang (sama) n1, n2, … nk adalah:

𝑛!

𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑘 !

Contoh:

𝐷𝐴𝑆𝐴𝑅:5!

1! 2! 1! 1!=

5.4.3.2!

2!= 60

Definisi:

Jika dari himpunan n buah unsur yang berlainan, akan disusun dengan masing-

masing susunan terdiri dari k unsur (k ≤ n) tanpa memperhatikan urutannya,

maka banyak susunan itu disebut banyaknya kombinasi himpunan tersebut

dengan ambilan k

Contoh:

Berapa banyak kombinasi himpunan H = {a,b,c,d} diambil 3 susunan yang

mungkin: abc, abd, acd, bcd. Terdapat 4 kombinasi

Kita bedakan dengan kombinasi:

kombinasi (u) Permutasi (24)

abc

abd

acd

bcd

abc, acb, bac, bca, cab, cba

abd, adb, bad, bda, dab, dba

acd, adc, cad, cda, dac, dca

bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

8

Pada contoh ini banyaknya permutasi = 6 kali banyak kombinasi

Rumus kombinasi:

𝑛𝑘 = 𝐶𝑛

𝑘 =𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

Contoh:

Ada beberapa cara membentuk suatu panitia yang terdiri atas 3 orang dari 8

orang?

Jawab:

𝐶83 =

8!

3! 5!=

8.7.6.5!

3! 5!=

8.7.6

3.2.1= 56 𝑐𝑎𝑟𝑎

Binomium Newton

Yang dimaksud binomium Newton adalah uraian binomium (suku dua) dengan

rumus sebagai berikut:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝐶𝑛0𝑎𝑛𝑏0 + 𝐶𝑛

1𝑎𝑛−1𝑏 + 𝐶𝑛2𝑎𝑛−2𝑏 + ⋯ + 𝐶𝑛

𝑛−1𝑎𝑏𝑛−1 + 𝐶𝑛𝑛𝑎0𝑏𝑛

Dengan a dan b bilangan riil serta n bilangan asli

Contoh:

Tentukan suku yang tak mengandung x dari:

(2𝑥2 +1

𝑥)9 = 𝐶9

6(2𝑥2)9(𝑥−1)0 + 𝐶91(2𝑥2)8(𝑥−1) + 𝐶9

2(2𝑥2)7(𝑥−1)2

+ 𝐶93(2𝑥2)6(𝑥−1)3 + ⋯ 𝑡𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 𝑥

Jadi suku yang tak mengandung x:

9!

6! 9 − 6 !8𝑥6 . 𝑥−6 =

9!

6! 3!8 =

9.8.7.6!

6! 3.28 = 672

9

Deret Binomial

Menurut binomium Newton:

(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + 𝑛1 𝑥 +

𝑛2 𝑥2 + ⋯ +

𝑛𝑛 − 1

𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛

= 1 +𝑛

1𝑥 +

𝑛(𝑛 − 1)

1.2𝑥2 +

𝑛 𝑛 − 1 (𝑛 − 2)

1.2.3𝑥3 + ⋯

Dimana n = bilangan bulat positif

Bila α bilangan riil sebarang:

(1 + 𝑥)𝛼 = 1 +𝛼

1𝑥 +

𝛼(𝛼 − 1)

1.2𝑥2 +

𝛼 𝛼 − 1 (𝛼 − 2)

1.2.3𝑥3 + ⋯

Ruas kanan merupakan deret tak hingga yang dinamakan deret

Contoh:

Tentukan suku ketiga dari 𝑥1/2 +2

𝑦

2/3

Jawab:

(𝑎 + 𝑏)𝛼 = 𝑎𝛼 +𝛼

1𝑎𝛼−1𝑏 +

𝛼(𝛼 − 1)

1.2𝑎𝛼−2𝑏2 + ⋯ +

𝛼 𝛼 − 1

1.2𝑎𝛼−2. 𝑏2

=

23

(23

− 1)

1.2(𝑥1/2)

23−2(

2

𝑦)2 =

23

−13

2 𝑥

12

−43

4

𝑦2

= −1

9𝑥−2/34𝑦−2 = −

4

9𝑥−2/3𝑦−2

10

Mencari Harga Pendekatan

Dari (1+x)n, bila x kecil mendekati nol (x 0), maka:

(1 + 𝑥)𝑛 ≈ 1 + 𝑛𝑥

Dari uraian deret binomial diatas bila x 0, maka:

(1 + 𝑥)𝛼 ≈ 1 + 𝛼𝑥

Contoh:

1 + 𝑥 = 1 + 𝑥 12 ≈ 1 +

1

2𝑥

Dari:

𝑎 + 𝑏 𝛼 = 𝑎𝛼 +𝛼

1𝑎𝛼−1𝑏 +

𝛼 𝛼 − 1

1.2𝑎𝛼−2𝑏2 + ⋯

Maka:

𝑥 + ∆𝑥 = 𝑥 + ∆𝑥 12 = 𝑥1/2 +

1

2𝑥−1/2∆𝑥 +

12

(−12

)𝑥−3/2(∆𝑥)2

1.2+ ⋯

Bila |Δx| kecil dibandingkan x maka suku ke-3 dapat diabaikan sehingga:

𝑥 + ∆𝑥 = 𝑥 +∆𝑥

2 𝑥

Contoh:

a. (1,04)3 = (1 + 0,04)3 ≈ 1 + 3 0,04 = 1 + 0,12 = 1,12

b. 99 = 100 − 1 = 100 −1

2 100= 10 −

1

20= 9,95

c. Tentukan suku yang mengandung 𝑥10 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑢𝑟𝑎𝑖𝑎𝑛 (2𝑥2 − 𝑦3)8

11

Jawab:

Bentuk umum suku uraian: 𝐶83(2𝑥2)8−𝑘(−𝑦3)𝑘

Berarti: 16 − 2𝑘 = 10

2𝑘 = 6

𝑘 = 3

Jadi suku itu:

= 𝐶83(2𝑥2)8−3(−𝑦3)3

=8!

3! 5!(2𝑥2)5(−𝑦3)3

=8.7.6.5!

3! 5!32𝑥10 −𝑦9

= −1792 𝑥10𝑦9

Latihan:

1. Tentukan suku ke-6 dari (2𝑥 −1

𝑥)7

2. Tentukan suku yang mengandung a6 dari uraian (2𝑎 −

1

𝑎)10

3. Hitung pendekatan dari:

a. 0,93 4

b. 1

0,97

c. 0,97

d. 26

12

Rumus Binomial

Suku ke-r dari ekspansi (a+x)n adalah:

Suku ke-r = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … (𝑛 − 𝑟 + 2)𝑎𝑛−𝑟+1𝑥𝑟−1

Contoh:

Tulis suku ke-5 dari ekspansi 𝑥

𝑦−

𝑦

𝑥

−4

Jawab:

𝑛 = −4, 𝑟 = 5, 𝑛 − 𝑟 + 2 = −4 − 5 + 2 = −7

𝑟 − 1 = 5 − 1 = 4, 𝑛 − 𝑟 + 1 = −4 − 5 + 1 = −8

Jadi suku ke-5

= − −4 −5 −6 (−7)

1.2.3.4

𝑥12

𝑦12

−8

−𝑦

12

𝑥12

4

= 35𝑥−6𝑦6