HIMPUNAN DAN FUNGSIBab ini menyajikan materi pengantar untuk dapat memahami materi utama (grup dan homomor sma) dalam perkuliahan Struktur Aljabar I. Karena pada dasarnya grup adalah sebuah himpunan dan homomor sma adalah sebuah fungsi, maka perlu dibahas tentang konsep dasar himpunan dan fungsi. Selain dua materi tersebut, dalam bab ini juga dibahas tentang konsep dasar yang lain yakni partisi, relasi ekuivalensi dan operasi biner. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memiliki pemahaman yang memadai tentang himpunan, fungsi, partisi, relasi ekuivalensi dan operasi biner. Sasaran bab ini adalah mahasiswa dapat 1. menyelesaikan operasi himpunan 2. mengidenti kasi relasi ekuivalensi 3. membuktikan partisi pada suatu himpunan 4. mengidenti kasi dan membentuk fungsi 5. membuktikan operasi biner.

HimpunanTidak semua konsep dalam matematika dapat dide nisikan secara tepat, sehingga adakalanya suatu konsep dapat dipahami dengan mengidenti kasi sifat-sifatnya. Hal serupa juga terjadi pada konsep himpunan. Seandainya himpunan dide nisikan sebagai "kumpulan dari obyek-obyek tertentu", maka akan timbul pertanyaan tentang apa pengertian dari kata kumpulan dalam de nisi ini. Kemudian seandainya kumpulan dide nisikan sebagai "sebuah kesatuan dari bendabenda", maka akan timbul pertanyaan tentang apa pengertian dari kata kesatuan dalam de nisi ini. Demikian seterusnya pertanyaan berantai ini tidak akan berhenti, atau kalau tidak memaksa kita untuk mengulang kata-kata dalam de nisi sebelumnya. Oleh karenanya dalam bab ini, pengertian himpunan tidak akan 1

Bab I. Himpunan dan Fungsi

antonius cp 2

dide nisikan, tetapi akan diidenti kasi dengan menampilkan beberapa karakteristik yang berhubungan dengannya. Secara singkat beberapa hal yang berkaitan dengan himpunan dapat disebutkan sebagai berikut. 1. Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a 2 S . 2. Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai . 3. Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai f2 3 5g, atau fxjx bilangan prima 5g. 4. Sebuah himpunan dikatakan well-de ned, jika secara de nitif dapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan, S = fbeberapa bilangan aslig, maka S bukan merupakan himpunan yang well-de ned sebab tidak dapat dinyatakan apakah 5 2 S ataukah 5 62 S . Berbeda jika dinyatakan, S = fempat bilangan asli pertama g, maka elemen-elemen S dapat disebutkan secara de nitif, yakni 1 2 3 4.

De nisi 1 Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) darihimpunan A dan dinotasikan "B merupakan elemen A.

A" atau "A

B ", jika setiap elemen B

Catatan : untuk setiap himpunan A, A dan keduanya merupakan himpunanbagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian tak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagian lainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset). Contoh : Misalkan S = fa b cg, maka S memiliki 8 macam himpunan bagian yakni , fag, fbg, fcg, fa bg, fa cg, fb cg, fa b cg.

Bab I. Himpunan dan Fungsi

antonius cp 3

Konsep himpunan bagian ini dapat dimanfaatkan untuk membuktikan kesamaan dua buah himpunan secara analisis aljabar, yakni dua buah himpunan A dan B dikatakan sama apabila A B dan B A.

Partisi dan Relasi EkuivalensiDe nisi 2 Suatu partisi dari sebuah himpunan A merupakan sebuah keluargahimpunan yang terdiri dari himpunan-himpunan bagian tak kosong dari A yang saling asing (disjoint) satu sama lain dan gabungan dari semua himpunan bagian tersebut akan kembali membentuk himpunan A

Contoh : ffa bg fcgg merupakan salah satu bentuk partisi terhadap himpunanS = fa b cg.Berdasarkan de nisi tersebut, untuk menunjukkan bahwa sebuah keluarga himpunan fA1 A2 A3 ::: A g merupakan partisi dari himpunan A, maka harus dibuktikan bahwa :n

1. 8i j 2 f1 2 3 ::: ng, jika i 6= j maka A \ A =i j

2.

n i

=1

A =Ai

Contoh :1. Himpunan bilangan bulat, Z , dapat dipartisi menjadi himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. 2. Z dapat juga dipartisi menjadi kelas-kelas yang masing-masing mempunyai sifat jika dibagi tiga menghasilkan sisa yang sama, sehingga partisi yang terjadi adalah f0 1 2g, dengan 0 = f::: ;9 ;6 ;3 0 3 6 9 :::g 1 = f::: ;8 ;5 ;2 1 7 10 :::g 2 = f::: ;7 ;4 ;1 2 8 11 :::g. Konsep lain yang erat kaitannya dengan partisi adalah relasi ekuivalensi. Maksudnya, jika sebuah himpunan dipartisi maka akan ada relasi ekuivalensi yang dapat ditemukan pada himpunan tersebut. Demikian pula sebaliknya, apabila pada suatu himpunan dide nisikan sebuah relasi ekuivalensi, maka himpunan semua kelas ekuivalensi akan merupakan sebuah partisi untuk himpunan tersebut.

Bab I. Himpunan dan Fungsi

antonius cp 4

De nisi 3 Suatu relasi " " pada sebuah himpunan A disebut relasi ekuivalensijika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut: 1. re eksif yakni 8x 2 A, x

x x z maka x z.

2. simetris yakni jika x y maka y 3. transitif yakni jika x y dan y

Contoh :1. Relasi "kesamaan" pada himpunan bilangan riil,