matematika dasar

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

A. De� nisi FungsiFungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

B. Domain, Kodomain, dan RangeJika fungsi f memetakan A ke B (f : A → B) dan jika x ∈ A dan y ∈ B, maka f : x → y atau f(x) = y. Dengan demikian, berlaku hal-hal berikut.

1. Domain (daerah asal) adalah himpunan semua anggota A dari pasangan terurut (x, y) dengan notasi D x yf ={ }= terdefinisi A.

a. Jika f xg x

h xD x h xf( ) = ( )

( ) → = ( ) ≠{ }| .0

b. Jika f x h x D x h xf( ) = ( ) → = ( ) ≥{ }| .0

c. Jika f x h x D x h x g x g xg xf( ) = ( )→ = ( ) > > ≠{ }( )log | , ( ) , ( ) .0 0 1

2. Kodomain (daerah kawan) adalah himpunan semua anggota B.

3. Range (daerah hasil) adalah himpunan semua anggota B dari pasangan terurut (x, y) dengan notasi R y y f x x Df f= = ∈{ }| ( ), .

Persiapan SBMPTN 2017

2

C. Operasi Aljabar Fungsi1. Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi

f g x f x g x D D Df g f g±( )( ) = ( ) ± ( ) = ∩±;

2. Perkalian Fungsia. k f x k f x⋅( )( ) = ⋅ ( )

b. f g x f x g x D D Df g f g. . ; .( )( ) = ( ) ( ) = ∩

3. Pembagian Fungsi

fg

xf x

g xD D Df

gf g

( ) = ( )

( ) = ∩; dengan g(x) ≠ 0

4. Perpangkatan

f x f x x D

n nf( )( ) = ( ) ∈,

D. Fungsi Komposisi1. De� nisi Fungsi Komposisi

Jika f suatu fungsi dari A ke B (f : A → B) dan g suatu fungsi dari B ke C (g : B → C), maka h suatu fungsi dari A ke C (h : A → C) disebut fungsi komposisi yang dinyatakan dengan h = (g f ) (dibaca: g bundaran f(x)).

A

x f(x)

h = (g f ) (x)

g(f (x))

f g

B C

Fungsi komposisi (g f)(x).

Secara matematis, de� nisi fungsi komposisi dapat ditulis sebagai berikut.

f g x f g x f( )( ) = ( )( )→ komposisi g x

g f x g f x g( )( ) = ( )( )→ komposisi f x

3

g

x g (x) f (g(x))

f

(f g)(x) = f (g(x))

Fungsi komposisi (f g)(x).

2. Sifat-Sifat Fungsi KomposisiSifat-sifat fungsi komposisi antara lain sebagai berikut.

a. Tidak komutatif: f g x g f x ( )( ) ≠ ( )( )

b. Asosiatif: f g h x f g h x ( )( )( ) = ( )( )( )

c. Terdapat unsur identitas I x f I x I f x f x( )( ) ( )( ) = ( )( ) = ( ):

3. Syarat Fungsi Komposisi Syarat fungsi komposisi (f g)(x) adalah sebagai berikut.

a. Irisan antara daerah hasil fungsi g dengan daerah asal fungsi f bukan himpunan kosong (Rg ∩ Df ≠ φ).

b. Daerah asal fungsi komposisi (f g)(x) adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g (D(f g) ⊆ Dg).

c. Daerah hasil fungsi komposisi (f g)(x) adalah himpunan bagian dari daerah hasil fungsi f (R(f g) ⊆ Rf).

4. Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain DiketahuiJika fungsi f dan fungsi komposisi (f g)(x) atau (g f)(x) diketahui, kamu dapat menentukan fungsi g, demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 1Diketahui fungsi komposisi (f g)(x) = –4x + 4 dan f(x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g(x).

Pembahasan

f g x x

f g x x

g x x

g x x

g

( )( ) = − +

⇔ ( )( ) = − +

⇔ ( )( ) + = − +

⇔ ( ) = − +

⇔

4 4

4 4

2 2 4 4

2 4 2

(( )

( )

xx

g x x

=− +

⇔ = − +

4 22

2 1

4

f g x x

f g x x

g x x

g x x

g

( )( ) = − +

⇔ ( )( ) = − +

⇔ ( )( ) + = − +

⇔ ( ) = − +

⇔

4 4

4 4

2 2 4 4

2 4 2

(( )

( )

xx

g x x

=− +

⇔ = − +

4 22

2 1

Jadi, fungsi g(x) = –2x + 1.

E. Fungsi Invers1. De� nisi Fungsi Invers

Fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f –1 : B → A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif/korespondensi satu-satu.

2. Menentukan Fungsi InversLangkah-langkah menentukan fungsi invers adalah sebagai berikut.

a. Ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.

b. Misalkan x sebagai fungsi y ini adalah x = f –1 (y).

c. Gantilah variabel y pada y–1 (y) dengan x untuk mendapatkan f –1 (x).

3. Sifat-Sifat Fungsi Inversa. f g x g f x ( ) ( ) = ( )( )− − −1 1 1

b. g f x f g x ( ) ( ) = ( )( )− − −1 1 1

c. f f x f f x I x − −( )( ) = ( )( ) = ( )1 1

d. f x f x− −( )( ) = ( )1 1

4. Invers Operasi Aljabar

Operasi Invers Operasi

Penjumlahan (+) Pengurangan (–)

Perkalian (×) Pembagian (:)

Perpangkatan a n1

Akar pangkat an

Eksponen (ab = c) Logaritma (alog c = b)

Operasi dan Invers Operasi Aljabar

5

SUPER "Solusi Quipper"5. Menentukan Fungsi Invers

a. f(a) = b ⇔ f b a− ( ) =1

b. f(x) = ax ± b ⇔ f xx b

a− ( ) =1

c. f xax bcx d

( ) = ++

⇔ f xdx b

cx a− ( ) = − +

−1