KALKULUS IKALKULUS I

SRI REDJEKISRI REDJEKI

KLASIFIKASI BILANGAN RIILKLASIFIKASI BILANGAN RIIL Bilangan yang paling sederhana adalah Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli bilangan asli ::

1, 2, 3, 4, 5,….1, 2, 3, 4, 5,….

Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulatbilangan bulat : :

……, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari klas himpunan yang lebih besar yang disebut klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasionalbilangan rasional. . Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai contoh adalah :contoh adalah :

2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 )2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 ) 3 5 1 9 2 2 -23 5 1 9 2 2 -2

Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat. Contoh bilangan irasional :

√3, √5, 1 + √2, 3√7, π , cos 19°Bilangan rasional dan irasional bersama-sama membangun suatu klas bilangan yang lebih besar yang disebut bilangan riil atau kadang disebut system bilangan riil.

PEMBAGIAN DENGAN NOL

• Pada perhitungan dengan bilangan riil, pembagian dengan nol tidak pernah diperkenankan karena hubungan dalam bentuk y = p/0 akan mengakibatkan

• 0 . y = p

BILANGAN KOMPLEKSBILANGAN KOMPLEKS • Karena kuadrat suatu bilangan riil tidak negatif,

persamaan :• x2 = -1• i = √-1 didefinisikan memiliki sifat i2 = -1.• Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan yang

berbentuk :• a + bi• dengan a dan b bilangan riil. Beberapa contohnya adalah :• 2 + 3i [a = 2, b = 3]• 3 – 4i [a = 3, b = -4]• 6i [a = 0, b = 6]• 2 [a = 2 , b = 0]•

REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN RIIL

• Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat dibedakan berdasarkan bentuk penyajian desimalnya.

• 4 = 1.333…, [3 berulang]• 3• 3 = .272727…, [27 berulang] 11• 5 = .714285714285…, [714285 berulang]• 7• Desimal berulang yang memuat nol setelah

beberapa titik disebut desimal terakhir.• 1 = .50000…, 12 = 3.0000…, 8 = .320000…• 2 4 25

GARIS KOORDINATGeometri analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya, kurva geometri dengan rumus aljabar.Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan yang lain sebagai arah negatif.-+Titik Asal

Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat dari titik tersebut.Pada gambar diberi tanda tempat titik-titik dengan koordinat –4, -3, -2,75, -1/2, √2, π, dan 4. Tempat dari √2 merupakan hampiran yang diperoleh dari hampiran desimalnya yaitu π ≈ 3.14 dan √2 ≈ 1.41 -4 -3 -1.75 -1/2 √2 -4 -3 -2 -1 0 1 2

SIFAT-SIFAT URUTAN• KETIDAKSAMAAN :• 1. a < b atau b > a• Interpretasi geometri : a sebelah kiri b• Ilustrasi :• a b•

2. a ≤ b atau b ≥ a• Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atauberimpit dengan b• Ilustrasi : a b • a b•

3. 0 < a atau a > 0• Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal• Ilustrasi :• 0 a• Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal

• 4. a < 0 atau 0 > a• Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal• Ilustrasi :• a 0•

5. a < b < c• Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan• b sebelah kiri c• Ilustrasi : a b c•

Simbol a < b ≤ c artinya a < b dan b ≤ c. Silahkan menyimpulkan arti symbol-simbol seperti :

• a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c dan a < b < c < d• Ketidaksamaan berikut adalah benar :• 3 < 8, -7 < 1.5, -12 ≤ π, 5 ≤ 5, 0 ≤ 2 ≤ 4.• 8 ≥ 3, 1.5 > -7, -π > -12, 5 ≥ 5, 3 > 0 > -

1.

TEOREMA 1.1TEOREMA 1.1

• Misal a, b, c, dan d bilangan riil :Misal a, b, c, dan d bilangan riil :• a) Jika a < b dan b < c, maka a < ca) Jika a < b dan b < c, maka a < c• b) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a – c < b – cb) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a – c < b – c• c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac

> bc untuk c negatif> bc untuk c negatif• d) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + dd) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d• e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya • negatif dan a < b, maka 1/a > 1/bnegatif dan a < b, maka 1/a > 1/b

• Jika arah suatu ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka bagian (b)-(e) teorema di atas dapat diuraikan secara informal sebagai berikut :

• b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya • ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang • sama.• c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya • digandakan dengan bilangan positif yang sama, • tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua • sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang• sama.• d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat • dijumlahkan.• e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda • yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan • berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang • berlawanan pada setiap sisinya.

Pernyataan dlm teorema 1.1 diIlustrasikan : 1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7 Ketidaksamaan hasil : 5 < 13 2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8 Ketidaksamaan hasil : -10 < -2 3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 Operasi : kedua sisi digandakan 3 Ketidaksamaan hasil : -6 < 18 4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7 Operasi : kedua sisi digandakan 4 Ketidaksamaan hasil : 12 28 5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7 Operasi : kedua sisi digandakan –4 Ketidaksamaan hasil : -12 > -28

PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN Penyelesaian ketidaksamaan dalam x yang tidak diketahui

merupakan nilai untuk x yang membuat ketidaksamaan itu sebagai pernyataan yang benar. Sebagai contoh x = 1 merupakan penyelesaian dari ketidaksamaan x < 5, tetapi x = 7 bukan merupakan penyelesaian.

Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan disebut menyelesaikanketidaksamaan.

Contoh : Selesaikan 3 + 7x ≤ 2x – 9 Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1 dengan

mengumpulkan x pada satu sisi ketidaksamaan 3 + 7x ≤ 2x – 9 [diberikan] 7x ≤ 2x – 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi] 5x ≤ -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi] x ≤ - 12 [gandakan kedua sisi dengan 1/5] 5 krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung x,

ketidaksamaan (1)=(4). Jadi himpunannya berupa selang (-∞, - 12/5)

-12 5

Contoh : Selesaikan 7 ≤ 2 – 5x < 9

NILAI MUTLAK Nilai mutlak atau magnitude suatu

bilangan riil a dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan dengan :

|a| = +a jika a ≥ 0 -a jika a < 0 Contoh : |5| = +5 [karena 5 > 0] |-4/7| = -(-4/7) = + 4/7 [karena –4/7 < 0] |0| = +0 [karena 0 ≥ 0]

• Pengambilan nilai mutlak pada sebuah bilangan berakibat pada hilangnya tanda minus jika bilangan negatif dan tidak berubah jika bilangan itu tak-negatif. Jadi |a| merupakan bilangan tak-negatif untuk semua nilai a dan

• -|a| ≤ a ≤ |a|

HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN NILAI MUTLAK

Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar kuadrat dari a. Setiap bilangan riil positif a mempunyai dua akar kuadrat riil, satu positif dan satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan dengan √a.

Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua akar kuadrat –3 dan 3. Karena 3 merupakan akar kuadrat positif, diperoleh √9 = 3. Sebagai tambahan didefinisikan √0 = 0.

Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan √Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan √aa2 = 2 = aa. . Meskipun persamaan ini benar apabila Meskipun persamaan ini benar apabila aa tak negatif, tetapi tak negatif, tetapi salah untuk salah untuk aa negatif. Sebagai contoh jika negatif. Sebagai contoh jika aa = -4, maka : = -4, maka :

√√aa2 = √(-4)2 = √16 = 4 ≠ 2 = √(-4)2 = √16 = 4 ≠ aa

TeoremaTeorema : Untuk setiap bilangan riil : Untuk setiap bilangan riil aa

√√aa2 = |2 = |aa|| Bukti : Karena Bukti : Karena aa2 = (+2 = (+aa)2 = (-)2 = (-aa)2, maka bilangan +)2, maka bilangan +aa dan – dan –aa

merupakan akar-akar kuadrat dari merupakan akar-akar kuadrat dari aa2. Jika 2. Jika aa ≥ 0, maka + ≥ 0, maka +aa merupakan akar kuadrat tak-negatif dari merupakan akar kuadrat tak-negatif dari aa2, 2,

dan jika dan jika aa < 0, maka – < 0, maka –aa akar kuadrat tak-negatif dari akar kuadrat tak-negatif dari aa2, 2, sehingga diperolehsehingga diperoleh

√√aa2 = +2 = +aa jika jika aa ≥ 0 ≥ 0 √√aa2 = - 2 = - aa jika jika aa < 0 < 0 Jadi √Jadi √aa2 = |a|.2 = |a|.

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka (a) |-a| = |a| Suatu bilangan dan negatifnya

mempunyai nilai mutlak sama (b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian

merupakan perkalian nilai mutlak (c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian

merupakan pembagian nilai mutlak

Bukti (a) : |-a| = √(-a)2 = √a2 = |a| Bukti (b) : |ab| = √(ab)2 = √a2b2 = √a2√b2 = |a||b|

KETIDAKSAMAAN SEGITIGAKETIDAKSAMAAN SEGITIGA Secara umum tidak selalu benar bahwa |Secara umum tidak selalu benar bahwa |aa + + bb|=||=|aa|+||+|bb| |

Sebagai contoh, jika Sebagai contoh, jika aa = 2 dan = 2 dan bb = -3, maka = -3, maka aa + + bb = -1, sehingga| = -1, sehingga|aa + + bb| = |-1| = 1| = |-1| = 1

Sedangkan ;|Sedangkan ;|aa| + || + |bb| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5 Jadi |Jadi |aa + + bb| ≠ || ≠ |aa| + || + |bb|. |.

Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai mutlak. Hal ini merupakan isi teorema yang sangat mutlak. Hal ini merupakan isi teorema yang sangat penting, yang dikenal dengan penting, yang dikenal dengan ketidaksamaan ketidaksamaan segitigasegitiga..

Teorema (Ketidaksamaan Segitiga) : • Jika a dan b sebarang bilangan riil, maka• |a + b| ≤ |a| + |b|• Bukti :-|a| ≤ a ≤ |a| dan -|b| ≤ |b| ≤ |b|• Dengan menambahkan kedua

ketidaksamaan tersebut didapat • -(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|)

INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK• Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam

masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka jarak d antara A dan B adalah :

• b – a jika a < b• d = a – b jika a > b• 0 jika a = b • A B B A• a b b a• b-a a-b• (1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a|• (2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a|

TEOREMA 1.5TEOREMA 1.5 Rumus JarakRumus Jarak ; ; Jika A dan B titik –titik pada suatu garis Jika A dan B titik –titik pada suatu garis

koordinat yang masing-masing mempunyai koordinat yang masing-masing mempunyai koordinat a dan b, maka jarak koordinat a dan b, maka jarak dd antara A dan B antara A dan B adalah ;adalah ;

d = d = | b - a|| b - a| Rumus diatas memberikan interpretasi Rumus diatas memberikan interpretasi

geometrik yang berguna untuk beberapa geometrik yang berguna untuk beberapa ekspresi matematika yang umum dan dapat ekspresi matematika yang umum dan dapat dituliskan sbb ;dituliskan sbb ;

TABEL RUMUS JARAKEKSPRESI INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS KOORDINAT |x - a| Jarak antara x dan a |x + a| Jarak antara x dan –a (krn |x+a|=|x-(-a)|) |x| Jarak antara x dan titik asal (karena |x|=|x-0|)

Ketidaksamaan dalam bentuk |x-a| < k dan |x-a| > k, sering digunakan, sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ;

Ketidak Interpretasi Gambar Bentuk Alternatif HimpunanSamaan geometrik ketidaksamaan penyelesain (k>0) |x-a|<k x didlm k k k -k<x-a<k (a-k, a+k) satuan dr a a-k a x a+k

|x-a|>k x lebih dr k k x-a<-k atau (-∞,a-k) U

k stn dr a a-k a a+k x x-a>k (a+k, +∞)

Dlm tabel diatas, < dapat diganti dgn ≤ dan > dgn ≥, yaitu titik2 terbuka diganti dgn titik2 tertutup dlm ilustrasi diatas

Contoh ; Selesaikan ; |x - 3| <4 Penyelesaian : ketidaksamaan tsb ditulis kembali sebagai

-4 < x – 3 < 4 (+3) -1 < x< 7 dlm notasi selang ;(-1,7) -1 3 7 Selesaikan : |x + 4| ≥ 2 Penyelesaian : ketidaksamaan dpt ditulis kembali x + 4 ≤ -2 x ≤ -6 atau atau lebih sederhana atau x + 4 ≥ 2 x ≥ -2 -6 - 4 -2

BIDANG KOORDINAT DAN GRAFIK• SISTEM KOORDINAT SIKU-SIKU• Suatu sistem koordinat siku-siku (juga disebut

sistem koordinat Cartesian) merupakan pasangan garis koordinat yang tegak lurus, yang disebut sumbu-sumbu koordinat sedemikian sehingga keduanya berpotongan di titik asal. Biasanya, salah satu garis tersebut horizontal dengan arah positif ke kanan, dan yang lain vertical dengan arah positif ke atas.

sumbu-y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

0

sumbu-x

titik asal

*KOORDINAT• GRAFIK

Kuadran Kuadran II I Kuadran Kuadran III IV

( - , + ) ( + , + ) ( - , - ) ( + , - )

Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x2Himpunan penyelesaian dari y = x2 mempunyai tak hingga banyak anggota, sehingga tak mungkin digambarkan semuanya

Sebaiknya diingat bahwa kurva dalam gambar di atas hanyalah hampiran grafik y = x2. Pada umumnya, hanya dengan cara kalkulus bentuk grafik yang benar dapat diketahui dengan pasti.

-3 -2 -1 1 2 3

9

8

7

6

5

4

3

2

1

x y = x2 (x, y) 0 1 2 3 -1 -2 -3

0 1 4 9 1 4 9

(0, 0) (1, 1) (2, 4) (3, 9) (-1, 1) (-2, 4) (-3, 9)

Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x3

-2 2

y 8

-8

x

x y = x3 (x, y) 0 1 2 -1 -2

0 1 8 -1 -8

(0, 0) (1, 1) (2, 8)

(-1, -1) (-1, 1)

PERPOTONGANPERPOTONGAN• Perpotongan grafik dengan sumbu-Perpotongan grafik dengan sumbu-xx berbentuk ( berbentuk (aa, ,

0) dan perpotongan dengan sumbu-0) dan perpotongan dengan sumbu-yy berbentuk (0, berbentuk (0, bb). Bilangan ). Bilangan aa tersebut dinamakan tersebut dinamakan perpotongan-xperpotongan-x dari grafik dan bilangan dari grafik dan bilangan bb dinamakan dinamakan perpotongan-yperpotongan-y..

• Contoh : Dapatkan semua perpotongan-Contoh : Dapatkan semua perpotongan- x x dan dan perpotongan- perpotongan- yy dari dari

• (a) 3(a) 3xx + 2 + 2yy = 6, = 6, (b) (b) xx = = yy2 – 22 – 2yy,, (c) (c) yy = 1/ = 1/xx• Penyelesaian (a) : Untuk mendapatkan perpotongan-Penyelesaian (a) : Untuk mendapatkan perpotongan-

xx, berikan , berikan yy = 0 dan diselesaikan untuk = 0 dan diselesaikan untuk xx : :• 33xx = 6 = 6 atau atau xx = 2 = 2• Untuk mendapatkan perpotongan-Untuk mendapatkan perpotongan-yy diberikan diberikan xx = 0 = 0

dan diselesaikan untuk dan diselesaikan untuk yy : :• 22yy = 6 = 6 atauatau yy = 3 = 3

Grafik dari 3x + 2y = 6 merupakan garis seperti ditunjukkan dalam gambar.

(0, b)

(a, 0)

x

perpotongan-x

perpotongan-y

3x + 2y = 6

3

2

GRAFIK DENGAN SKALA TIDAK SAMA• Sebagai contoh, y = x3 untuk nilai antara –10 dan 10, akan mempunyai mempunyai

nilai y antara (-10)3 = • -1000, yang sulit digambarkan pada lembar kertas standar atau halaman cetak; satu-

satunya cara mengatasinya menggunakan skala yang tidak sama

-2 2

y 8

-8

x

-2 2

y 140

-140

x

KATALOG GRAFIK-GRAFIK DASAR

y = x2

y

x

y = -x2

y

x

x = y2

y

x

x = -y2

y

x

y

x

y

x

y = √x y = -√x

y = x3

y

x

y = 3√x

y

x

y = 1/x

y

x

y = -1/x

y

x

GARIS *Kemiringan

Dalam pengamatan,”tanjakan” atau “kemiringan” suatu bukit didefinisikan sebagai perbandingan jarak horisontal (run) dengan ketinggian (rise).

y

x x2 – x1

(run)

y2 – y1 (rise) P1 (x1, y1)

P2 (x2, y2)

Definisi ; Jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) adalah titik-titik pada bidang koordinat maka kemiringan m dari garis tersebut didefinisikan dengan m= rise = y2-y1 run x2-x1

Definisi diatas; tidak diterapkan untuk garis vertikal. Untuk garis vertikal akan diperoleh x2=x1, sehingga memuat perbandingan dengan nol. Kemiringan garis vertikal tidak didefinisikan. Garis vertikal mempunyai kemiringan tak hingga

Contoh ; Pada tiap bagian tentukan kemiringan dan garis yang melalui(a) titik (6,2) dan titik (9,8)(b) titik (2,9) dan titik (4,3)(c) titik (-2,7) dan titik (5,7) Penyelesaian (a) m = 8-2/9-6 = 6/3 = 2 (c) m = 7-7/5-(-2) = 0/7 = 0 (b) m = 3-9/4-2 = -6/2 = -3

y

x

P1 (x1, y1)

P1’ (x1’, y1’)

P2’ (x2’, y2’)

P2 (x2, y2)

y2’ – y1’

y2 – y1

x2’ – x1’

x2 – x1 Q

Q’

PERSAMAAN UMUM GARIS Suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk Ax + By + C = 0 disebut persamaan derajat-pertama dalam x dan y.

Sebagai contoh, 4x + 6y – 5 = 0 adalah persamaan derajat-pertama dalam x dan y karena

memiliki bentuk sesuai di atas dengan A = 4, B = 6, C = -5 Teorema : Setiap persamaan derajat-pertama dalam x

dan y mempunyai grafik berupa garis lurus, sebaliknya, setiap garis lurus dapat disajikan oleh suatu persamaan derajat-pertama dalam x dan y.

Bentuk persamaan Ax + By + C = 0 kadang disebut persamaan umum dari suatu garis atau persamaan linear dalam x dan y.

Contoh : Gambarkan grafik

persamaan 3x – 4y + 12 = 0

y

x

(0, 3)

(-4, 0)

3x – 4y + 12 = 0

FUNGSIFUNGSI**KONSEP FUNGSIKONSEP FUNGSI

Luas lingkaran bergantung pada jari-jari Luas lingkaran bergantung pada jari-jari rr dengan dengan persamaan persamaan AA = = πrπr2, sehingga dikatakan “2, sehingga dikatakan “AA fungsi fungsi dari dari rr”.”.Sebagai contoh,Sebagai contoh,yy = 4 = 4xx + 1 + 1 mendefinisikan mendefinisikan yy sebagai fungsi dari sebagai fungsi dari xx sebab setiap sebab setiap nilai yang diberikan pada nilai yang diberikan pada xx menentukan tepat satu menentukan tepat satu nilai nilai yy..yy = = ff ( (xx) ) (dibaca “(dibaca “yy sama dengan sama dengan ff dari dari xx”) menyatakan ”) menyatakan bahwa bahwa yy adalah fungsi dari adalah fungsi dari xx. Besaran . Besaran xx pada pada persamaan di atas disebut persamaan di atas disebut peubah bebas peubah bebas dari dari ff dan dan yy peubah tak bebaspeubah tak bebas dari dari ff..

Contoh 1 : Jika f (x) = 3x – 4 makaf (0) = 3.0 – 4 = - 4f (1) = (3.1) – 4 = -1f (2) = (3.2) – 4 = 2f (-3) = (3.-3) – 4 = -13f (√5) = (3.√5) – 4 = 3√5 – 4Contoh 2 : Jika Φ(x) = 1 maka x3 – 1Φ(3√7) = 1 = 1 = 1/6 (3√7)3 – 1 7 – 1Φ(51/6) = 1 = 1 (5 1/6 )3 – 1 √5 – 1

PEMBALIKAN PERAN PEMBALIKAN PERAN xx DAN DAN yySebagai contoh,Sebagai contoh,

xx = 4 = 4yy55 – 2 – 2yy33 + 7 + 7yy – 5 – 5merupakan bentuk merupakan bentuk xx = = gg((yy) ; yaitu ) ; yaitu xx sebagai sebagai fungsi dari fungsi dari yy. . yy dipandang sebagai peubah dipandang sebagai peubah bebas dan bebas dan xx sebagai peubah tak bebas. sebagai peubah tak bebas.. . Sebagai contoh, persamaanSebagai contoh, persamaan

33xx + 2 + 2yy = 6 = 6dapat ditulisdapat ditulis

yy = - = - 3 3 xx + 3 atau + 3 atau xx = - = - 2 2 yy + 2 + 2 2 32 3

Pemilihan bentuk tergantung pada bagaimana Pemilihan bentuk tergantung pada bagaimana persamaan tersebut digunakan.persamaan tersebut digunakan.

OPERASI-OPERASI PADA OPERASI-OPERASI PADA FUNGSIFUNGSI

• OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI

• Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika

• f(x) = x dan g(x) = x2, maka• f(x) + g(x) = x + x2

• Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan

• f + g. Jadi• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2

Definisi : Diketahui fungsi f dan g, maka rumus-rumus untuk jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali

f . g dan hasil bagi f /g

• didefinisikan dengan;• (f + g)(x) = f(x) + g(x)• (f – g)(x) = f(x) – g(x)• (f . g)(x) = f(x) . g(x)• (f /g)(x) = f(x) /g(x)

• Contoh : Dimisalkan• f(x) = 1 + √x – 2 dan g(x) = x – 1 • Dapatkan (f + g)(x), (f – g)(x), (f . g)(x), (f /g)(x)

KOMPOSISI FUNGSIKOMPOSISI FUNGSI Secara informal dinyatakan bahwa Secara informal dinyatakan bahwa

operasi komposisi dibentuk dengan operasi komposisi dibentuk dengan mensubstitusikan beberapa fungsi pada mensubstitusikan beberapa fungsi pada peubah bebas dari fungsi lainnya. peubah bebas dari fungsi lainnya. Sebagai contoh, misalkanSebagai contoh, misalkan

ff((xx) = ) = xx22 dan dan gg((xx) = ) = xx + 1 + 1 Jika Jika gg((xx) disubstitusikan pada ) disubstitusikan pada xx dalam dalam

rumus rumus ff, diperoleh fungsi baru, diperoleh fungsi baruff((gg((xx)) = ()) = (gg((xx))))22 = ( = (xx + 1) + 1)22

yang dituliskan dengan yang dituliskan dengan ff o o gg. Jadi. Jadiff o o gg = = ff((gg((xx)) = ()) = (gg((xx))))22 = ( = (xx + 1) + 1)22

Contoh :f(x) = x2 +3 dan g(x) = √x.

Dapatkan; a). (f o g)(x) b).(gof)(x)Penyelesaian (a) : f(g(x)) = (x)2 + 3 = (√x)2 + 3 =x+3

(b);g(f(x))=√(x)=√x2+3

SATU CONTOH DALAM KALKULUSContoh : Misalkan f(x) = x2 dan h adalah sebarang

bilangan riil tak nol. Dapatkan ; f(x + h) – f(x)

• h dan sederhanakan

• Penyelesaian :• f(x + h) – f(x) = (x + h)2 – x2 = x2 + 2xh + h2 – x2

• h h h• = 2xh + h2 = h(2x + h)• h h• Dengan mencoret h dan dengan memperhatikan

pembatasan pada h, diperoleh• f(x + h) – f(x) = 2x + h, h ≠ 0

KLASIFIKASI FUNGSI Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi

konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3

Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif, disebut monomial dalam x.

contoh 2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17 Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab

pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.

polinomial dalam x. • Contoh :•

Rumus untuk polinomial dalam x adalah f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+ an xn atau f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+a0

x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5 3

Polinomial-polinomial derajat pertama, ke-dua, ke-tiga

DESKRIPSI RUMUS UMUM

Polinomial linier Polinomial kuadratik Polinomial kubik

a0 + a1 x (a1 ≠ 0) a0 + a1 x + a2 x2 (a2 ≠ 0) a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 (a3 ≠ 0)

Fungsi rasionalFungsi rasional Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua polinomial. Contoh : X5 – 2x2 + 1 x X2 - 4 x + 1

A0 + a1x + ax2 + ……… + anxn F(x) = b0 + b1x +b2x2 + ……… + bnxn

Contoh : f(x) = x2/3 = (√ x)2 dan g(x) = 1

)3(25

xx

xx

fungsi-fungsi aljabar eksplisit

GRAFIK FUNGSI

• Definisi grafik fungsi• Grafik suatu fungsi f pada bidang xy didefinisikan

sebagai grafik dari persamaan y = f(x).• Contoh : Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 2

• 2 -2

Menggambar fungsi Menggambar fungsi dengan geseran dengan geseran

(translasi)(translasi)Contoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ; y = x2 + 2 y = x2 – 2 y = (x+2)2 y = ( x – 2)2

L I M I TKalkulus berpusat di sekitar dua permasalahan dasar ;Masalah garis singgung

y

x

P(x0, y0)

Garis singgung di P

y = f (x)

Masalah luas • Diberikan fungsi f, dapatkan luas antara grafik

f dan suatu selang [a, b] pada sumbu-x.• luas sebenarnya dibawah kurva tersebut

sebagai suatu nilai limit

y

x

a b

y = f (x)

Limit menggambarkan perilaku suatu fungsi jika peubah bebasnya

bergerak menuju suatu nilai tertentu. Contoh ; f(x) = sin x/x, dibuat tabel sbb ; x f(x) = sin x/x x f(x) = sinx/x 1,0 0,84147 -1,0 0,84147 0,9 0,87036 -0.9 0,87036 0,8 0,89670 -0,8 0,89670 0,7 0,92031 -0,7 0,92031 0,6 0,94107 -0,6 0,94107 0,5 0,95885 -0,5 0,95885 0,4 0,97355 -0,4 0,97355 0,3 0,98507 -0,3 0,98507 0,2 0,99335 -0,2 0,99335 0,1 0,99833 -0,1 0,99833 0 0,99998 0 0,99998

Beberapa limit dasar

Limit Contoh lim k = k

x a lim 3 = 3 lim 3 = 3

x 2 x -2

lim k = k x +∞

lim 3 = 3 lim 0 = 0 x +∞ x +∞

lim k = k x -∞

lim 3 = 3 lim 0 = 0 x -∞ x -∞

lim x = a x a

lim x = 5 lim x = 0 lim x = -2 x 5 x 0 x -2

lim x = +∞ x +∞

lim x = -∞ x -∞

Teorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu dari limit-limit lim , lim , lim , lim atau lim . Jika x a x a- x a+ x +∞ x -∞

L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x) keduanya ada, maka (a) lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2 (b) lim [ f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L1 – L2 (c) lim [ f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2 (d) lim f(x) = lim f(x) = L1 jika L2 ≠ 0 g(x) lim g(x) L2 (e) lim n√ f(x) = n√lim f(x) = n√L1 , untuk L1 ≥ 0

jika n genap.

Untuk sebarang fungsi yang banyaknya berhingga

lim [ f1(x) + f2(x) +…+ fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) + …+ lim fn(x) lim [f1(x) f2(x)… fn(x)] = lim f1(x) lim f2(x)… lim fn(x) lim [ f(x)]n = [lim f(x)]n lim xn = [ lim x]n = an x a x a Contoh : lim x4 = 34 = 81 x 3

LIMIT DARI POLINOMIAL UNTUK x a

Contoh : Dapatkan lim x2 – 4x + 3 dan jelaskan x 5 setiap langkahnya. Penyelesaian : lim (x2 – 4x + 3) = lim x2 – lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 x 5

= lim x2 – 4 lim x + lim 3 x 5 x 5 x 5

= 52 – 4(5) + 3 = 8

Limit dari fungsi rasional untuk x→ a

Contoh : dapatkan ; lim 5x3 + 4 x→ 2 x - 3 Penyelesaian ; lim 5x3 + 4 = lim 5x3 + 4 = 5.23 + 4 = - 44 x→ 2 x - 3 x→ 2 2 – 3 lim x - 3 x→ 2

Limit pembilang dan penyebut mendekati nol

Dapatkan ; lim x2 – 4 x→ 2 x – 2

Lim x2 – 4 = lim (x – 2)(x + 2) = lim (x + 2) = 4 x→ 2 x – 2 x→ 2 x - 2 x→ 2

Limit yang memuat 1/xLimit yang memuat 1/x

NILAI KESIMPULAN x

1/x

1 10 100 1000 10.000 …. 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ….

Untuk x→ ∞ nilai dari 1/x turun menuju nol

x 1/x

-1 -10 -100 -1000 -10.000 …. -1 -0,1 -,001 -,001 -0,0001 …..

Untuk x→ - ∞ nilai dari 1/x bertambah/naik menuju nol

x 1/x

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 …. 1 10 100 1000 10.000 ….

Untuk x→ o+ nilai dari 1/x naik menuju tanpa batas

x 1/x

-1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 … -1 -10 -100 -1000 -10.000 …

Untuk x→o- nilai dari 1/x turun menuju tanpa batas

y=1/x y=1/x

x x

Lim 1/x = +∞, lim 1/x =-∞ x→ o+

x→o-

lim 1/x =0, lim 1/x = 0 x→+ ∞ x→ - ∞

Lim 1/x = +∞, lim 1/x = -∞, lim 1/x =0, lim 1/x = 0 x→ o+

x→o- x→+ ∞ x→ - ∞

Limit dari Polinomial untuk x→ +∞ atau x → -∞

y y 8 8 y=x y=x2 x x -4 4 -4 +4 Lim x = + ∞, lim x2 = + ∞, x→ + ∞ x→ + ∞ Lim x = - ∞, lim x2 = + ∞, x→ - ∞ x→ - ∞ y y 8 8 y=x3 y=x4 x x -4 +4 -4 +4

Lim xn = +∞, untuk n = 1,2,3,4.......... x→ + ∞ lim xn = +∞, untuk n = 2,4,6........ x→ - ∞ = - ∞, untuk n = 1,3,5....... untuk perkalian xn bilangan real negatip menghasilkan tanda

berlawan. Tapi untuk perkalian xn bilangan real positip menghasilkan tanda sama.

Contoh ; lim 2x5 = +∞ lim 2x5 = -∞ x→ + ∞ x→ - ∞ lim -7x6 = -∞ lim -7x6 = -∞ x→ + ∞ x→ - ∞

lim nx1 = (lim

x1 )n = 0,

x→ + ∞ x→ +∞

Limit Fungsi Rasionaluntuk x→ +∞ atau x → -∞

• -pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut ;

• Contoh :• Dapatkan ; lim • x→ +∞ • Penyelesaian : bagi dengan x untuk pembilang dan

penyebut• Lim = lim 3 + lim 5/x = lim 3 + 5 lim 1/x • x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ = 1/2• lim 6 + lim 8/x lim 6 + 8 lim 1/x

8653

xx

8653

xx

Metode cepatLimit Fungsi Rasionaluntuk x→ +∞ atau x → -∞

• Limit fungsi rasional untuk x→ +∞ atau x → -∞ , tidak terpengaruh jika semua suku dlm pembilang dan penyebut dihilangkan kecuali suku pangkat tertinggi

• Lim = lim • x→ +∞ x→ +∞

m

m

nnx

xdxddxccc

...

...

10

10

mm

nn

xdxc

m

m

nn

xdxc

Untuk contoh berikut gunakan rumus tersebut ;

• Selesaikan limit berikut ini :

• 1. lim• x→ +∞

• 2. lim • x→ +∞

• 3. lim • x→ +∞

524

3

2

xxx

123 4

x

x

LIMIT YANG MEMUAT AKAR• CONTOH , DAPATKAN ;limit• x→ +∞

• Penyelesaian ;

• Limit = = • x→ +∞

8653lim3

xx

xit

86533

xx

86533

xx

213

Bentuk limit akar lainnya ;Bentuk limit akar lainnya ;

Selesaikan ;Selesaikan ;

A. A. limit B.limitlimit B.limit x→ +∞x→ +∞ x→ -∞x→ -∞

Penyelesain ;Penyelesain ; dengan cara manipuasi fungsi dengan membagi dengan cara manipuasi fungsi dengan membagi

pembilang dan penyebut dengan|x|pembilang dan penyebut dengan|x| Dimana |x| = Dimana |x| = √x√x22

6322

xx

6322

xx

Soal-soal 21. Diberikan f(x) = { ,1

x x>3

2x, x 3 dapatkan ; (a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)

2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;

a). f)(

11xfx

b.). f(x2) + f2(x)

3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ; a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x

b. f(x) = 21 xx

, g(x) =

x1

4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;

a). f(x) = 2 sin x b). g(x) = {x2, x ± 4 0 , x = 4

Soal-soal 5. a. lim 133 xx b. lim

122

xxx

x 5 x 3

6. a.lim 644

2

2

xxxx b. lim

4162

xx

x 2 x 4

7. a. lim 3

67 5

x

x b. lim xx

x

2

2

375

x ∞ x ∞

8. a. Lim 3

25 2

xx b. lim

267

2

y

y

x -∞ x +∞

9. lim 12

437

57

sss

b. lim 37

63

3

tt

s +∞ s +∞

Kontinuitas• Definisi ;• Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c,

jika syarat-syarat berikut dipenuhi ;• 1. f(c) terdefinisi• 2. lim f (x) ada• x c

• 3. lim f(x) = f(c)• x c

• Jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi disebut : diskontinu

Contoh diskontinuitas

y = f(x)

y = f(x)y = f(x)

c c

c

y = f(x)

c

Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c

Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb

(a)

Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada

x c

(b)

Sama seperti gambar (b) Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x) ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)

Contoh Kontinu dan diskontinuContoh Kontinu dan diskontinu

• 1. 1.

• 2. 2. gg((xx) = ) =

24)(

2

xxxf

242

xx

3

, x ≠ 2

, x = 2