1

BAB 1. PENDAHULUAN

Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan

himpunan dan fungsi.

1.1. Himpunan

Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis

Real.

(1). merupakan notasi untuk himpunan bilangan asli.

(2) merupakan notasi untuk himpunan

bilangan bulat.

(3)

merupakan notasi untuk himpunan bilangan

rasional.

(4) merupakan notasi untuk himpunan bilangan irasional, dan

(3) merupakan notasi untuk himpunan bilangan Real.

Sama seperti bilangan, ada beberapa operasi pada himpunan yaitu

gabungan , irisan ( , kurang dan kali .

Definisi 1.1.

Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan.

Selain itu, ada beberapa relasi pada himpunan yaitu subset dan sama dengan

.

Definisi 1.2.

Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan.

jika dan hanya jika .

jika dan hanya jika dan .

2

Berdasarkan Definisi 1.2, langkah untuk membuktikan suatu himpunan A subset

dari himpunan B adalah

(a) ambil sebarang anggota A tertentu, sebut saja ,

(b) kemudian tunjukkan bahwa .

Contoh

1. Misalkan dan adalah himpunan. Buktikan bahwa

jika dan hanya jika .

Jawab

Langka pertama adalah buktikan

.

Berdasarkan Definsi 1.2, pembuktikan dilakukan dua tahap.

(1) Pembuktian .

Ambil sembarang , maka .

Jadi, .

(2) Pembuktian .

Ambil sembarang .

Karena , maka .

Artinya dan .

Jadi, .

Kesimpulan, .

Langka pertama adalah buktikan

.

Ambil sembarang .

Karena , maka .

Artinya .

Jadi, .

Terbukti, jika dan hanya jika .

Berikut definisi dari hasil kali Cartesian antara himpunan A dan B.

Definisi 1.3

Jika A dan B adalah dua himpunan tidak kosong, maka hasil kali Cartesian

(Cartesian product) adalah himpunan semua pasangan terurut/ordered pairs b,a

dengan Aa dan Bb .

3

Atau,

Bb,Aa|baBAB

A

.

Contoh

2. Misal 321 ,,A dan 54,B , maka

.

Latihan Soal 1.1

1. Buktikan Hukum Distributif berikut.

(a)

(b)

2. Misalkan , dan

. Tentukan:

(a)

(b)

(c)

3. Gambarkan bidang dari hasil kali Cartesian dimana dan

.

4. Misalkan untuk setiap . Tentukan:

(a)

(b)

(c)

534352425141 ,,,,,,,,,,,BA

4

1.2. Fungsi

1.2.1. Definisi Fungsi

Salah satu konsep penting dalam Analisis Real adalah fungsi.

Definisi 1.4

Misal A dan B sembarang himpunan., f dikatakan fungsi dari A ke B, jika

dan untuk setiap , ada tepat satu elemen sehingga

(dengan kata lain, )

Jika fb,a , maka dapat ditulis

afb atau ba:f .

Sehingga pernyataan dapat ditulis:

.

Contoh

3. Misal 321 ,,A dan 54,B .

Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang merupakan fungsi dan bukan

fungsi.

a.

b.

c.

Jawab

(a) bukan fungsi karena ada , tetapi .

Dengan cara lain,

, tetapi .

Pembuktian tersebut mudah dipahami bila kita melihat gambar fungsi

berikut.

'bbf'b,a,b,a

1

2

3

4

5

A B f

5

(b) bukan fungsi karena ada yang tidak memiliki pasangan di .

(c) Hasil kali Cartesian himpunan A dan B,

.

Maka .

Karena tidak ada anggota dengan , maka pernyataan

selalu bernilai benar.

Terbukti, adalah fungsi.

1.2.2. Daerah Asal, Daerah Kawan dan Daerah Hasil Fungsi

Pada fungsi dikenal beberapa istilah yaitu daerah asal (domain), daerah

kawan (kodomain) dan daerah hasil (range).

Misalkan f adalah fungsi dari A ke B.

Daerah asal f adalah himpunan semua anggota A yang mempunyai

pasangan di B. Jadi,

.

Himpunan B disebut daerah kawan.

Daerah hasil f adalah himpunan semua anggota B yang mempunyai

pasangan di A.

Ini berarti daerah hasil fungsi ada di ( )

1

2

3

4

5

A B h

1

2

3

4

5

A B g

6

Contoh 3

Misal adalah fungsi dari ke dimana

dan , maka

1

2

3

4

4

5

6

7

Rf

C Dh

1.2.3. Komposisi Fungsi

Definisi dari komposisi fungsi adalah sebagai berikut.

Definisi 1.5

Misal f fungsi dengan AD f dan BR f , dan g fungsi dengan BDg dan

CRg , maka fg adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan

gc,bfb,aBb|CAc,afg dan sehingga

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut.

Rgof

fg

A B C

Perhatikan bahwa daerah hasil dari adalah

gofgof Dx|xfgR .

Catatan:

g o f terdefinsi jika .

7

Contoh 4

a. Tentukan g o f dengan

xxf 2 dan 2xxg .

b. Tentukan jh dengan

12 xxj dan xxh .

jawab

(a). Sebelum menentukan g o f perlu diperiksa apakah ?

Kalau f tidak dibatasi untuk nilai-nilai tertentu, maka Df adalah domain terbesar

(artinya himpunan terbesar yang membuat fungsi f terdefinisi).

Dengan demikian

Df = R dan Dg = R

Sehingga Rf = R.

Jadi, RDR gf .

Sehingga

22422 xxxgxfgxfg .

(b) Karena

1 x|xR j dan 0 x|xDh

maka hj DR .

Ini berarti jh tidak terdefinisi.

1.2.4. Fungsi Injektif

Fungsi injektif dikenal juga sebagai fungsi satu-satu (fungsi 1-1) atau

korespondensi satu-satu.

Definisi 1.5

Misal f fungsi dari A ke B.

f dikatakan injektif jika

'aafb,'a,b,a , atau babfaf .

Contoh 5

Manakah dari fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi 1-1.

(a) 1 xxf .

(b) 12 xxg .

8

Jawab

(a) Misal diberikan sembarang Rb,a dengan bfaf . Maka

ba

ba

11

Jadi, f fungsi 1-1.

(b) Karena ada 121 gg dengan 11 , maka g bukan fungsi 1-1.

Contoh 6

Misal f dan g fungsi dengan fDxxxfg , .

Tunjukkan bahwa f fungsi injektif dan dan .

Jawab

Akan ditunjukkan f fungsi 1-1.

Misal diberikan sembarang fDy,x dengan . Maka

xxfg dan yyfg .

Karena g fungsi dan yfxf , maka

yx .

Jadi, f fungsi 1-1.

Akan ditunjukkan .

Misal diberikan sembarang fRy .

Maka fDx sehingga xfy .

Akibatnya

.

Ini berarti gDy .

Jadi, gf DR .

Akan ditunjukkan

Misal diberikan sembarang fDx .

Maka fRy sehingga yxf .

Akibatnya

xygxfgxfg .

Ini berarti gRx .

Jadi, .

gf DR fg DR

yfxf

gf DR

xygxfgxfg

9

1.2.5. Fungsi Surjektif dan Bijektif

Fungsi surjektif dikenal juga sebagai fungsi pada/onto. Definisi fungsi

surjektif dan injektif adalah sebagai berikut.

Definisi 1.6

Misal f fungsi dari A ke B.

f dikatakan surjektif/onto/pada jika BR f . Dengan kata lain,

sehingga .

Berdasarkan definisi di atas, fungsi surjektif dapat dipahami sebagai suatu fungsi

dimana setiap anggota dari kodomain memilik pasangan di domain.

Definisi 1.7

Suatu fungsi f bijektif jika

(i) f injektif, dan

(ii) f surjektif.

Contoh 7

Misalkan dan adalah fungsi dari ke . Manakah dari kedua fungsi tersebut

yang surjektif.

(a)

(b)

Jawab

(a) Akan ditunjukkan bahwa surjektif.

Ambil sembarang .

Pilih .

Sehingga

.

Jadi, surjektif.

(b) Akan ditunjukkan bahwa bukan fungsi surjektif.

Pilih , maka tidak ada sedemikian sehingga .

Jadi, anggota dari kodomain tidak memiliki pasangan di domain.

Jadi, bukan fungsi surjektif.

10

1.2.6. Fungsi Invers

Definisi fungsi invers adalah sebagai berikut.

Definisi 1.8

Misal f fungsi bijektif dari ke .

Jika fb,a|ABa,bg , maka g fungsi bijektif dari ke .

Fungsi g yang demikian disebut fungsi invers dan dinotasikan 1f .

Bukti

Akan ditunjukkan g fungsi.

Misal ga,b , berdasarkan Definisi 1.6, ABa,b .

Jadi ABg .

Misal diberikan sembarang g'a,b,a,b , maka fb,'a,b,a .

Karena f injektif, maka

'aa .

Jadi, g fungsi.

Akan ditunjukkan g fungsi injektif.

Ambil sembarang , maka .

Karena fungsi, maka

Akan ditunjukkan fungsi surjektif.

Ambil sembarang .

Karena fungsi, maka memiliki pasangan di sebut saja .

Artinya .

Akibatnya .

Ini berarti setiap anggota dari kodomain fungsi ( ), memiliki pasangan di

daerah asal fungsi ( ).

Jadi, fungsi surjektif.

Contoh 8

Misal f, g fungsi dengan

g

f

Dy,yygf

Dx,xxfg

11

Tunjukkan 1 fg .

Jawab

g dikatakan fungsi invers dari f atau 1 fg , jika

(i) f, g injektif,

(ii) fg RD dan fg DR ,

(iii) ga,bfb,a .

Berdasarkan jawaban latihan soal 1.2 nomor 5.

Karena fDx,xxfg , maka f fungsi injektif dan dan

.

Karena gDy,yygf , maka g fungsi injektif dan fg DR dan

gf DR .

Jadi, f, g injektif, fg RD dan fg DR ,

Akan ditunjukkan ga,bfb,a .

()

Misal diberikan sembarang fb,a , maka afb , dengan fDa .

Sehingga

abgafgafg .

Jadi, ga,b

()

Misal diberikan sembarang ga,b , maka bga , dengan gDb .

Sehingga

bafbgfbgf .

Jadi, fb,a .

gf DR

fg DR

12

1.2.7. Peta dan Prapeta

Peta oleh suatu fungsi disebut juga dengan bayangan (image) dari .

Definisi kedua konsep tersebut adalah sebagai berikut.

Definisi 1.9

Misal BA:f dengan AD f dan BR f (tidak diasumsikan f injektif).

Jika AE , maka peta E oleh f, ditulis Ef , didefinisikan

Ex|xfEf .

Jika BH , maka prapeta H oleh f, ditulis Hf 1 , didefinisikan

Hxf|xHf 1 .

Catatan:

31f bermakna jika 1f ada atau f injektif.

31f ada karena merupakan prapeta dari {3}.

Contoh 9

Misal 32 xxf , 32 2 xxg , E = [1,2].

Tentukan Eg,Ef,Eg,Ef 11 .

Jawab

7575732532

4223221322132

,a|ax|x

x|xx|x,x|xEx|xfEf

115115

1132532822324132

21322132

222222

22

,b|b

x|xx|xx|x

x|x,x|xEx|xgEg

21

21

1

11

1222321

,x|x

x|xx|xExf|xEf

.x|x

x|xx|xExg|xEg

212

221

1

1222321

13

Karena Rx,x setiapuntuk 02 , maka tidak ada Rx sehingga 2121 x .

Jadi, Eg 1 .

Latihan Soal 1.2.

1. Misalkan himpunan dan himpunan

yang merupakan subset dari .

Apakah himpunan merupakan fungsi? Jelaskan!

2. Misal dengan . Tentukan

(a) apakah merupakan fungsi? Jika ya, buktikan. Jika tidak, buktikan.

(b) apakah merupakan fungsi injektif? Jika ya, buktikan. Jika tidak,

buktikan.

(c) apakah merupakan fungsi surjektif? Jika ya, buktikan. Jika tidak,

buktikan.

(d) apakah merupakan fungsi bijektif? Jika ya, buktikan. Jika tidak,

buktikan.

3. Misal dengan dan . Tentukan dan

.

4. Misal , apakah fungsi inversnya ada (atau

ada)? Jika ya, tuliskan fungsi inversnya. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.

5. Misalkan dan adalah fungsi-fungsi bijektif. Buktikan

bahwa komposisi fungsi juga fungsi bijektif.

14

1.3. Induksi Matematika

1.3.1. Sifat Terurut Baik Bilangan Asli

Setiap himpunan bagian tak kosong dari mempunyai unsur terkecil.

Atau,

mk,m,kSk,m,S,NS .

1.3.2. Prinsip Induksi Matematika

Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut.

Misal NS dengan sifat

(i) S1 ,

(ii) SkSk 1 .

Maka S = N.

Berdasarkan itu, maka tahap-tahap pembuktian menggunakan induksi matematika

adalah :

Misalkan S = {n | f(n) benar}

Tahap 1. Memeriksa apakah 1 S.

Tahap 2. Memisalkan k S.

Tahap 3. Menunjukkan k+1 S.

Kesimpulan, S = N

Contoh 10

Buktikan

1 + 2 + 3 + … + n = 2

1)n(n , n N

Jawab

Misal S = {n | f(n) benar}

(i) 1 S sebab 1 = 1(1+1)/2 benar.

(ii) Misalkan k S, maka

1 + 2 + 3 + … + k = 2

1)k(k

15

Akan ditunjukkan k+1 S.

1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = 2

1)k(k + (k+1) =

2

1)k(k +

2

12 )k(

= 2

21 )k)(k(

Jadi, k+1 S.

Terbukti S = N

Contoh 11

Buktikan

n < 2n, n N

Jawab

Misal S = {n | f(n) benar}.

(i) 1 S sebab 1 < 21 benar.

(ii) Misalkan k S, maka k < 2k.

Akan ditunjukkan k+1 S.

k+1 < 2k+1 < 2

k+2 < 2

k.2 = 2

k+1.

Jadi, k+1 S.

Terbukti S = N

Contoh 12

.n,nf

nf,f 14

32111

Buktikan

(a) Nn,nf 2 ,

(b) Nn,nfnf 1 .

Jawab

(a) Misal benar nf|NnS .

S1 , sebab 211 f benar.

Misalkan Sk , maka 2kf .

Akan ditunjukkan Sk 1 .

24

7

4

322

4

321

.kfkf .

Jadi, Sk 1 .

Terbukti S=N.

16

(b) Misal benar nf|NnS

S1 , sebab 4

5

4

321211

.ff benar.

Misalkan Sk , maka 1 kfkf .

Akan ditunjukkan Sk 1 .

24

312

4

321

kf

kfkfkf .

Jadi, Sk 1 .

Terbukti S=N.

1.3.3. Prinsip Induksi Kuat Matematika

Pada kasus-kasus tertentu pembuktian dengan induksi matematika belum

dapat membuktikan kebenaran pernyataan yang dimaksud. Kita membutuhkan

prinsip lainnya yang pada intinya sama dengan sebelumnya yaitu Prinsip Induksi

Kuat Matematika.

Misal NS dengan sifat

(i) S1 ,

(ii) SkSk,k,...,, 1121 .

Maka S = N.

Contoh 13

Misalkan suatu barisan (xn) didefinisikan sebagai berikut: x1 = 1, x2 = 2 dan xn+2 =

21 (xn+1+xn), n N. Tunjukkan bahwa 1 xn 2, n N.

Jawab

Misal S = {n | f(n) benar}.

(i) 1 S sebab 1 1 2 benar.

(ii) Misalkan {1,2, …, k-1, k} S, maka

1 xk-1 2

1 xk 2

2 xk-1+xk 4

1 21 (xk-1+xk) 2

1 xk+1 2

Jadi, k+1 S.

Terbukti S = N.

17

Latihan 1.3

1. Buktikan bahwa untuk semua .

2. Buktikan bahwa

untuk semua .

3. Buktikan bahwa untuk

semua .

4. Buktikan bahwa untuk .

(Petunjuk untuk membuktikannya gunakan tahap-tahap berikut.

(a) periksa apakah untuk pernyataan benar,

(b) asumsikan pernyataan benar untuk .

(c) tunjukkan pernyataan benar untuk )

5. Buktikan bahwa

untuk semua .

18

I.4. Himpunan Infnit

Himpunan infinit dikenal juga sebagai himpunan tak terhingga.

Sebelumnya kita pelajari dahulu apa yang dimaksud dengan fungsi finit

(terhingga).

Definisi 1.10

Suatu himpunan B adalah finite jika B = atau jika ada bijeksi dengan daerah

asal B dan daerah hasil dalam segmen awal {1, 2, 3, … , n} dari N.

Atau,

B finite jika

(i) B = , atau

(ii) ada n,,,,B:fpada

32111

.

Jika tidak ada fungsi yang demikian B dikatakan infinite.

Jika ada NB:fpada11

, maka B dikatakan denumerable.

Jika suatu himpunan finite atau denumerable, maka himpunan tersebut dikatakan

countable.

Suatu himpunan yang tidak countable (tidak finite dan tidak denumerable) disebut

uncountable.

Contoh 14

Tentukan manakah dari himpunan-himpunan berikut yang finite, infinite,

denumreable, countable dan uncountable.

A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}

B = {nN | n 10000}

C = {nN | n bilangan ganjil positif}

D = N

E = R

F = Q

I = {x | 0 x 1}= [0,1]

J = {x | x2 = -1}

K = {n1 | nN}

Jawab

19

A, B, J himpunan finite

C, D, F, K himpunan infinite, denumerable, countable

E, I himpunan uncountable

Teorema 1.1

B dikatakan countable ada f : B 11

N

Bukti

()

Misalkan ada f : B 11

N.

Ada dua kemungkinan.

(1) Jika Rf = N, maka B denumerable. Menurut definisi B countable.

(2) Jika Rf

N, maka B finite. Menurut definisi B countable.

Jadi, B countable.

()

Misalkan B countable.

Maka ada dua kemungkinan.

(1) B finite. Ini berarti ada f 1-1 dengan Df = B dan Rf

N.

(2) B denumerable. Ini berarti ada f 1-1 dengan Df = B dan Rf = N.

Jadi, ada f : B 11

N.

Teorema 1.2

(a) A B, B finite A finite.

(b) A B, B countable A countable.

Teorema 1.3

(a) A = {A1, A2, … , An}, Ai finite, i = 1, 2, … , n A finite. Atau,

Ai finite, i = 1, 2, … , n n

iiA

1

finite

Bukti

Dengan induksi kuat akan ditunjukkan n

iiA

1

finite.

Misalkan S = {nN | f(n) benar}

20

i) 1 S, karena 1

1iiA = A1 finite.

ii) Misalkan {1, 2, … , k-1, k} S, maka

2

1iiA = A1 A2 finite

k

iiA

1

= B finite.

Akan ditunjukkan k+1S.

1

1

k

iiA =

k

iiA

1

Ak = B Ak finite.

Jadi, k+1 S. Terbukti S = N.

Pertanyaan

Apakah berlaku kebalikannya yaitu

n

iiA

1

finite Ai finite, i = 1, 2, … , n

Jawab : Ya

Dari Teorema 1.2, kita tahu bahwa jika A finite maka sembarang subset dari A

adalah finite.

Tulis n

iiA

1

= A.

Karena A finite dan A1 A, A2 A, … , An A, maka A1, A2, … , An finite.

Jadi, Ai finite, i = 1, 2, … , n.

(b) C = {C1, C2, C3, … }, Ci countable, i = 1, 2, 3, … C countable. Atau,

Ci countable, i = 1, 2, 3, …

1iiC countable

Bukti

Tulis

1iiC = C.

C dikatakan countable jika setiap anggota di C dapat diberi nomor 1, 2, 3, …

tanpa ada yang ketinggalan/tercecer.

Jadi untuk membuktikan C countable, maka kita akan memberi nomor setiap

anggota C.

21

Misal

C1 = { ,c ,c ,c ,c 14

13

12

11 }

C2 = { ,c ,c ,c ,c 24

23

22

21 }

Cn = { ,c ,c ,c ,c n4

n3

n2

n1 }

dengan jic adalah anggota ke-i dari himpunan Cj.

Definisikan tinggi jic = i+j.

Karena untuk sembarang bilangan asli m 2 hanya ada m – 1 anggota yang

mempunyai tinggi m, maka kita dapat memberi nomor anggota-anggota C

berdasarkan tingginya sebagai berikut

c ,c ,c ,c ,c ,c ,c 41

31

22

13

12

21

11

Secara gambar kita dapat memberi nomor setiap anggota di C dengan mengikuti

arah tanda panah sebagai berikut

,c ,c ,c ,c 14

13

12

11

,c ,c ,c ,c 24

23

22

21

,c ,c ,c ,c 34

33

32

31

,c ,c ,c ,c 44

43

42

41

Karena kita dapat memberi nomor setiap anggota di C berdasarkan tingginya

seperti di atas, maka C countable.

Pertanyaan

Apakah berlaku kebalikannya yaitu

1iiC countable Ci countable, i = 1, 2, 3, …

Jawab : Ya

Dari Teorema 1.2, kita tahu bahwa jika C countable maka sembarang subset dari

C adalah countable.

Tulis

1iiC = C.

22

Karena C countable dan C1 C, C2 C, … , Cn C, maka C1, C2, … , Cn, …

countable.

Jadi, Ci countable, i = 1, 2, … , n.

Buktikan bahwa Q countable.

Bukti

Bilangan rasional Q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk nm ,

dengan m,n Z dan n 0.

Untuk membuktikkan Q countable perhatikan himpunan-himpunan berikut.

A0 = {0}

A1 = ,....,,,,,13

13

12

12

11

11

A2 = ,....,,,,,23

23

22

22

21

21

An = ,....,,,,,n3

n3

n2

n2

n1

n1

Perhatikan bahwa Ai, i = 1, 2, … , n, … adalah himpunan countable, dengan

n

iiA

1

Q.

Berdasarkan Teorema 1.3, maka Q countable.

Buktikan I = [0, 1] uncountable

Bukti

Andaikan I countable, maka I finite atau denumerable.

Karena I memuat {n1 | n N} maka I infinite.

Jadi, I denumerable.

Tulis I = {x1, x2, x3, … , xn, …} dengan 0 xi 1 iN.

Dengan demikian xi dapat ditulis.

x1 = 0,a1a2a3… , ai {0,1,2, … , 9}

x2 = 0,b1b2b3… , bi {0,1,2, … , 9}

x3 = 0,c1c2c3… , ci {0,1,2, … , 9}

xn = …

23

Definisikan y = 0,y1y2y3… dengan

y1 =

47

52

1

1

a,

a,

y2 =

47

52

2

2

b,

b,

y3 =

47

52

3

3

c,

c,

Sehingga y xi, xi padahal 0 y 1 (kontradiksi).

Jadi pengandaian salah.

Haruslah I uncountable.

Akan dibuktikan bahwa R uncountable.

Jawab

Andaikan R countable maka sembarang subset dari R juga countable.

I = [0,1] adalah subset dari R. Akibatnya I countable.

Hal ini bertentangan dengan I uncountable.

Jadi, pengadaian R countable salah.

Haruslah R uncountable.

Contoh 16

Buktikan bahwa himpunan-himpunan

C = {nN | n bilangan ganjil positif}

K = Z

denumerable.

Jawab

Untuk menunjukkan himpunan-himpunan tersebut denumerable berarti harus

menunjukkan ada f : B N yang 1-1 dan pada.

Akan ditunjukkan C denumerable.

Misalkan f : C N dengan

f(c) =2

1c., cC.

24

Akan ditunjukkan f fungsi.

Misalkan diberikan sembarang (a,b)f, maka aC dan b = f(a) =2

1a.

Karena a bilangan ganjil positif, maka a+1 bilangan genap positif.

Akibatnya 2

1a= b N.

Ini berarti (a, b) CxN.

Jadi, f CxN.

Misalkan a=b C, maka

f(a) = 2

1a =

2

1b = f(b).

Jadi, f fungsi.

Akan ditunjukkan f 1-1.

Misalkan f(a) = f(b) N, maka

2

1a =

2

1b

a+1 = b+1

a = b.

Jadi, f 1-1.

Akan ditunjukkan f fungsi pada.

Karena f fungsi dari C ke N, maka Rf N.

Misalkan y N, maka ada 2y-1 C sehingga

f(2y-1) = 2

112 )y( =

2

2y = y.

Ini berarti y Rf.

Jadi N Rf.

Karena Rf N dan N Rf, maka Rf = N.

Terbukti f fungsi onto.

Kesimpulan, C denumerable.

25

Akan ditunjukan denumerable.

Misalkan f : Z N dengan

f(z) =

112

012

z,)z(

z,)z(, zZ.

Misalkan (a,b)f, maka aZ dan b = f(a).

Jika a 0, maka

a+1 1

2(a+1) = f(a) = b 1.

Jika a -1, maka

2a -2

(2a + 1) 1

-(2a+1) = f(a) = b 1.

Ini berarti b 1 atau dengan kata lain b N.

Akibatnya (a,b) ZxN.

Jadi, f ZxN.

(i) Misalkan a=b 0, maka

f(a) = 2(a+1) = 2(b+1) = f(b).

(ii) Misalkan a=b -1, maka

f(a) = -(2a + 1) = -(2b + 1) = f(b).

Jadi f fungsi.

Akan ditunjukkan f 1-1.

(i) Misalkan f(a) = f(b) genap, maka

f(a) = 2(a+1)

f(b) = 2(b+1),

untuk suatu a, b 0.

Karena f(a) = f(b) maka

2(a+1) = 2(b+1)

a = b.

(ii) Misalkan f(a) = f(b) ganjil, maka

f(a) = -(2a+1)

f(b) = -(2b+1)

untuk suatu a,b -1.

26

Karena f(a) = f(b), maka

-(2a+1) = -(2b+1)

a = b.

Jadi, f 1-1.

Akan ditunjukkan f fungsi onto.

Artinya Rf = N.

Karena f fungsi dari Z ke N, maka Rf N.

Misalkan diberikan sembarang y N.

(i) Jika y genap, maka ada 2

y-1 0 sehingga

f(2

y-1) = 2(

2

y-1 +1) = 2 .

2

y = y

Jadi y Rf.

(ii) Jika y ganjil, maka ada 2

1 y -1 sehingga

f(2

1 y) = -(2.

2

1 y+1) = -(-y-1+1) = -(-y) = y.

Jadi y Rf.

Jadi N Rf.

Karena Rf N dan N Rf, maka Rf = N.

Terbukti f fungsi onto.

Kesimpulan, Z denumerable.