RISET OPERASIONAL

Adalah suatu teknik pemecahan masalah (pengambilan keputusan) berdasarkan tujuan yang sudah ditentukan dan variabel yang ada (besaran parameter yang berpengaruh). Jadi komponen Pengambilan Keputusan :

Tujuan Variabel

Langkah-langkah penerapan Penelitian Operasional

Langkah 1: Memformulasikan Persoalan Mendefinisikan tujuan dan variabel berpengaruh secara spesifik dan lengkap

Langkah 2: Mengobservasi SistemMengumpulkan data untuk mengestimasi besaran parameter berpengaruh

Langkah 3: Merumuskan Persoalan dalam Model MatematisMenjabarkan tujuan dan variabel dalam model matematis atau model simulasi

Langkah 4: Mengevaluasi ModelMenguji akurasi model matematis dalam menggambarkan keadaan nyata

Langkah 5: Mengimplementasikan HasilMenerjemahkan hasil perhitungan dalam bahasa yang mudah dimengerti

Beberapa Model Penelitian Operasional yang sudah Ada Programa Linier Programa Bilangan Bulat Transportasi dan Transhipment Assignment dan traveling salesman problem Model Jaringan (CPM/PERT) Programa Dinamis Inventory Teori Antrian Teori keputusan dan probabilitas Time series forcasting

1

PROGRAMA LINIER (LINEAR PROGRAMMING)

Adalah suatu metode untuk meyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktifitas yang bersaing secara optimal (terbaik); menggunakan model matematis linier.

Model Programa LinierBentuk standar formulasi persoalan Programa Linier adalah

sebagai berikut:

Sumber Aktifitas penggunaan sumber /unit Banyaknya sumber yang

digunakan1 2 … n

1 a11 a12 a1n b12 a21 a22 a2n b23 a31 a32 a3n b3.. .. .. .. .. .... .. .. .. .. ..m am1 am2 amn bm

Z / Unit c1 c2 … cnTingkat x1 x2 … xn

Formulasi matematis umum model programa linier seperti tersebut adalah:

Maksimum z = c1 x1 + c2 x2 + ……. + cn xn

Pembatas :a11 x 1+ a12 x2 + …….. + a1n xn b1a21 x 1+ a22 x2 + …….. + a2n xn b2

..

..am1 x 1+ am2 x2 + …….. + amn xn bm

danx1 0, x2 0, …….. , xn 0

2

Istilah umum model programa linier tsb adalah sebagai berikut:a. Fungsi yang dimaksimumkan, yaitu c1 x1 + c2 x2 + . + cn xn,

disebut sebagai fungsi tujuan (objective function) b. Fungsi-fungsi pembatas disebut juga konstrain (constraint)

Sebanyak m buah konstrain pertama sering disebut sebagai konstrain fungsional atau pembatas teknologis

Konstrain xj 0 disebut sebagai konstrain nonnegatifc. Variabel xj adalah variabel keputusan d. Konstanta aij, bi, dan cj adalah parameter-parameter model

Variasi (bentuk lain) dari model programa linier : Fungsi tujuan bukan memaksimumkan, tetapi meminimumkan Beberapa konstrain fungsionalnya berupa ketidaksamaan lebih

besar ( ) atau persamaan ( = ) Konstrain nonnegatif tidak ada untuk bbrp variabel keputusan

Asumsi yang harus dipenuhi dlm menggunakan program linier:

1. Asumsi kesebandingan (proportionality) Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan

adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari

setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

2. Asumsi penambahan (additionality) Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan

bersifat tidak tergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain

Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak tergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

3. Asumsi pembagian (divisibility) Variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan

pecahan

4. Asumsi kepastian (certainty) Setiap parameter; yaitu koefisien fungsi tujuan, koefisien

teknologis dan ruas kanan diasumsikan dapat diketahui secara pasti

3

Contoh masalah Programa Linier:

PT. Sayang Anak memproduksi dua jenis mainan terbuat dari kayu, yang berupa boneka dan kereta api. Boneka dijual dengan harga Rp 27.000/lusin yang setiap lusinnya memerluakan biaya material Rp 10.000 serta biaya tenaga kerja Rp 14.000. Kereta api dijual dengan harga Rp 21.000/lusin memerlukan biaya material Rp 9.000 dan biaya tenaga kerja Rp 10.000. Untuk membuat boneka dan kereta api ini diperlukan dua kelompok tenaga kerja, yaitu tukang kayu dan tukang poles. Setiap boneka memerlukan 2 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan tukang kayu; sedangkan kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu. Meskipun setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, namun jam kerja yang tersedia hanya 100 jam pemolesan dan 80 jam pekerjaan kayu. Dari pengamatan pasar selama ini dapat dikatakan bahwa kebutuhan akan kereta api tidak terbatas; tetapi boneka yang terjual tidak lebih dari 40 lusin setiap minggunya. Bagaimanakah formulasi dari persoalan diatas untuk mengetahui berapa lusin masing-masing mainan harus dibuat setiap minggunya agar diperoleh keuntungan maksimum.

Analisis pemecahan:a. Variabel keputusan: dalam persoalan ini keputusan yang akan dibuat adalah

menentukan banyaknya boneka dan kereta api masing-masing harus dibuat setiap minggunya. Untuk itu dimisalkan x1= banyaknya boneka yang harus dibuat setiap minggu dan x2 = banyaknya kereta api yang akan dibuat setiap minggunya.

b. Fungsi tujuan: dalam persoalan ini fungsi tujuan adalah fungsi dari variabel keputusan yang memaksimumkan keuntungan (bisa juga memaksimumkan pendapatan atau meminimkan ongkos). Pendapatan/minggu: 27 x1 + 21 x2 Ongkos material/minggu: 10 x1 + 9 x2 Ongkos tenaga kerja/minggu: 14 x1 + 10 x2Sehingga keuntungan = (27x1 + 21x2) – (10x1 + 9x2) – (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2

c. Fungsi Pembatas: pada persoalan diatas pembatas yang kita hadapi adalah sbb: Pemolesan: 2x1 + x2 100 Pekerjaan kayu: x1 + x1 80 Permintaan pasar: x1 40

d. Pembatas tanda: pada persoalan diatas kebetulan kedua variabel keputusan harus nonnegatif, sehingga x10 dan x20

Formulasi masalah dalam model programa linierBerdasarkan analisis pemecahan masalah seperti tersebut diatas, maka formulasi

lengkap persoalan perusahaan tersebut diatas adalah sbb:Maksimum z = 3 x1 + 2 x2Berdasarkan pembatas:

2 x1 + x2 100 x1 + x2 80 x1 40 x1 0 x2 0

4

TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAMA LINIER

Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan program linier; yaitu Metode Grafis dan Metode Simplek.

A. Metode GrafisMetode grafis dapat digunakan apabila persoalan programa

linier yang akan diselesaikan hanya mempunyai dua buah variabel. Cara penyelesaiannya adalah dengan memplotkan formulasii matematis (fungsi) pembatas pada sumbu absis-ordinat untuk menemukan daerah feasible; kemudian menemukan titik pada daerah feasible tersebut yang menghasilkan nilai fungsi tujuan maksimum. Contoh penyelesaian dengan metode grafis adalah sebagai berikut:

a. Persoalan Maksimasi b. Persoalan Minimasi (memaksimumkan fungsi tujuan) (Meminimumkan fng tujuan)

Maksimum z = 3 x1 + 5 x2 Minimum z = 5 x1 + 10 x2Pembatas Pembatas

x1 4 7 x1 + 2 x2 28 2 x2 12 2 x1 + 12 x2 243 x1 + 2 x2 18 x1 0; x2 0 x1 0; x2 0

b. Persoalan (kasus) khusus Solusi optimal banyak Persoalan tanpa solusi fisibel

Maksimum z = 3 x1 + 2 x2 Maksimum z = 3 x1 + 2 x2Pembatas Pembatas (1/40) x1 + (1/60) x2 1 (1/40) x1 + (1/60)

x2 1 (1/50) x1 + (1/50) x2 1 (1/50) x1 + (1/50) x2 1

x1 0; x2 0 x1 30

x2 20 x1 0; x2 0

Persoalan dengan ruang solusi tidak terbatasMaksimum z = 2 x1 - x2Pembatas

x1 - x2 12 x1 + x2 6 x1 0; x2 0

5

B. Metode Simplek

Didalam menyelesaikan persoalan program linier dengan menggunakan metode simplek, bentuk dasar yang digunakan harus dalam bentuk stantar; yaitu bentuk formulasi yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif

2. Seluruh variabel harus merupakan variabel nonnegatif3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi

Untuk mengubah bentuk formasi yang belum standar kedalam bentuk standar dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:

1. Pembatas (konstrain) Pembatas yang bertanda atau dapat dijadikan suatu

persamaan dengan menambahkan atau mengurangkan variabel slack pada ruas kiri pembatas itu X1 + 2 x2 26 X1 + 2 x2 + S1 = 26; S1 0 X1 + 2 x2 26 X1 + 2 x2 - S1 = 26; S1 0

Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan –1 X1 + 2 x2 = - 26 - X1 - 2 x2 = 26

Arah ketidaksamaan dapat dirubah dengan mengalikan kedua ruas dengan –1 X1 + 2 x2 - 26 - X1 - 2 x2 26

Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi ketidaksamaan X1 + 2 x2 26 X1 + 2 x2 26 dan

X1 + 2 x2 - 262. Variabel

Suatu variabel yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi

Yi = yi’ – yi” dimana yi’ dan yi” 0 Substitusi tersebut harus dilakukan pada seluruh pembatas dan fungsi tujuan

3. Fungsi Tujuan Fungsi tujuan dapat diubah dari maksimasi menjadi minimasi,

atau sebaliknya. Dalam hal ini, maksimasi suatu fungsi tujuan sama dengan minimasi dari negatif fungsi tersebut.

6

Beberapa definisi dalam metode simplek

Pembatas dari model programa linier dapat dituliskan kedalam bentuk sistem persamaan AX = b; apabila didefinisikan bahwa:

a11 a12 … a1n x1 b1 a21 a22 … a1n x2 b2

A = ... … … … X = … b = … ... … … … … … am1 am2 … amn xn bm

Solusi Basis Solusi basis untuk AX = b adalah solusi dimana ada sebanyak-

banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis tersebut maka sebanyak (n-m) variabel harus dinolkan (disebut variabel nonbasis; NBV). Selanjutnya dapatkan harga variabel lainnya (variabel basis, BV) yang memenuhi AX = b.

Solusi Basis Fisibel

Jika seluruh variabel pada solusi basis berharga nonnegatif, maka solusi tersebut disebut solusi basis fisibel (BFS).

Solusi Fisibel Titik Ekstrem (Titik Sudut)Adalah solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen

garis yang menghubungkan dua solusi fisibel. Apabila hanya ada n (n< 3) variabel keputusan maka definisi tersebut tidak cocok lagi untuk mengidentifikasi solusi fisibel titik ekstrem; sehingga harus dilakukan secara aljabar.

Sifat Pokok Titik EkstremSifat 1 : Jika hanya ada satu solusi optimum, maka pasti ada satu titik

ekstrem. Jika solusi optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem yang berdekatan.

Sifat 2 : Jumlah titik ekstrem pada setiap persoalan terbatas. Sifat 3 : Jika suatu titik ekstrem memberikan harga z yang lebih baik

dari yang lainnya, maka itu pasti merupakan solusi optimum.

Prosedur (Langkah) Metode Simplek1. Langkah inisialisasi : mulai dari suatu titik ekstrem (0,0).2. Langkah iteratif: bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang

lebih baik. Lakukan langkah sesuai keperluan 3. Langkah penghentian: menghentikan langkah 2 apabila telah

sampai pada titik ekstrem terbaik (optimum)

7

Algorithma Simplek untuk Persoalan Maksimasi

Langkah 1: Konversi formulasi persoalan ke bentuk standarLangkah 2: Cari solusi basis fisibel (BFS)Langkah 3: Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonnegatif

(berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan (baris persamaan z), maka BFS sudah optimal. Jika pada baris persamaan z masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel pada persamaan z tersebut yang mempunyai koefisien paling negatif. Variabel ini disebut yang memasuki basis (entering variabel, EV)

Langkah 4: Hitung rasio dari (ruas kanan) / (koefisien EV) pada setiap baris pembatas dimana EV-nya mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini disebut dengan variabel yang meninggalkan basis (leaving basis, LV).

Langkah 5: lakukan operasi baris elementer (ERO) untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil menjadi berharga 1 dan baris-baris lainnya berharga 0.

Contoh:Maksimumkan z = 60 x1 + 30 x2 + 20 x3Berdasarkan

8 x1 + 6 x2 + x3 484 x1 + 2 x2 + 1,5 x3 202 x1 + 1,5 x2 + 0,5 x3 8

x2 5x1, x2, x3 0

Formulasi dalam bentuk standar persoalan tersebut adalah:Baris 0 z – 60 X1 – 30 X2 – 20 X3 = 0Baris 1 8 X1 + 6 X2 + X3 + S1 = 48 Baris 2 4 X1 + 2 X2 + 1,5 X3 + S2 = 20Baris 3 2 X1 + 1,5 X2 + 0,5 X3 + S3 = 8Baris 4 X2 + S4 = 5

Bentuk tabel simplek formulasi tersebut adalah: BV z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 SolusiZ 1 - 60 - 30 - 20 0 0 0 0 0

S1 0 8 6 1 1 0 0 0 48S2 0 4 2 1,5 0 1 0 0 20S3 0 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

8

BV z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 SolusiZ

S1S2X1S4

BV z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 SolusiZ

S1X3X1S4

Bentuk tabel simplek formulasi contoh 1 (Untung = Z*1000)BV z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

Z 1 -3 -2 0 0 0 0S1 0 2 1 1 0 0 100S2 0 1 1 0 1 0 80S3 0 1 0 0 0 1 40

9

Algorithma Simplek untuk Persoalan Minimisasi

Ada dua cara yang dapat dilakukan1. Mengubah fungsi tujuan menjadi maksimasi, kemudian

menyelesaikannya sebagai persoalan makksimasi. 2. Memodifikasi langkah 3 sehingga menjadi

Langkah 3: Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonpositif (berharga negatif atau nol) pada baris fungsi tujuan (baris persamaan z), maka BFS sudah optimal. Jika pada baris persamaan z masih ada variabel dengan koefisien positif, pilih salah satu variabel pada persamaan z tersebut yang mempunyai koefisien paling positif. Variabel ini disebut yang memasuki basis (entering variabel, EV)

Contoh: Minimumkan Z = 2 X1 -3 X2Berdasarkan :

X1 + X2 < 4X1 – X2 < 6X1, X2 > 0

Cara 1:

BV Z X1 X2 S1 S2 Solusi

Z -1 2 -3 0 0 0

S1 0 1 1 1 0 4

S2 0 1 -1 0 1 6

Cara 2:

BV Z X1 X2 S1 S2 Solusi

Z 1 -2 3 0 0 0

S1 0 1 1 1 0 4

S2 0 1 -1 0 1 6

10

PENYELESAIAN LP DENGAN PEMBATAS = ATAU ≥

A. TEKNIK M (METODE PENALTY)Seperti dijelaskan minggu lalu

B. TEKNIK DUA FASE

Fase 1. Meminimumkan jumlah variable artificial Jika nilai minimum fungsi tujuan berharga nol; yang

berarti seluruh variable artificial berharga nol, berarti persoalan memiliki solusi fisibel; lanjutkan ke fase 2.

Jika nilai minimum fungsi tujuan berharga positif, berarti persoalan tidak memiliki solusi fisibel; sehingga stop.

Fase 2. Gunakan solusi basis optimum dari fase 1 sebagai solusi awal bagi persoalan semula; dan R tidak diikutsertakan lagi dalam pengolahan.

Contoh: Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 Berdasarkan:

X1 ≤ 42X2 ≤ 12

3X1 + 2X2 = 18 X1, X2 ≥ 0

Pemecahan: Bentuk standar: Z = 3X1 + 5X2 + 0S1 + 0S2 –MR3Berdasarkan

X1 + S1 ≤ 42X2 + S2 ≤ 12

3X1 + 2X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 ≥ 0

Dari persoalan diatas didapat R3 = 18-3X1-2X2

Z= 3X1+5X2+0S1+0S2-M(18-3X1-2X2)11

= 3X1+5X2-18M+3MX1+2MX2Z = (3M+3)X1 + (2M+5)X2-18MZ – (3M+3)X1 – (2M+5)X2 = 18M

Basis X1 X2 S1 S2 R3 SolusiZ - 3M -3 - 2M -5 0 0 0 18MS1 1 0 1 0 0 4S2 0 2 0 1 0 12R3 3 2 0 0 1 18

Basis X1 X2 S1 S2 R3 SolusiZX1 1 0 1 0 0 4S2R3

Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi

Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi

Fase 1. Minimumkan R = R3 atau R = 18-3X1-2X2 Berdasarkan

X1 + S1 ≤ 4

Basis X1 X2 S1 S2 R3 SolusiZX1S2R3

12

2X2 + S2 ≤ 123X1 + 2X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 ≥ 0

Basis X1 X2 S1 S2 R3 SolusiZ 3 2 0 0 0 18S1 1 0 1 0 0 4S2 0 2 0 1 0 12R3 3 2 0 0 3 18

Fase 2. Maksimumkan Z = 3(4-S1) + 5(3-3/2 S1)

Z = 9/2 S1 + 27

Berdasarkan: X1 + S1 = 4 3S1 + S2 = 6

X2 – 3/2 S1 = 3

Basis X1 X2 S1 S2 SolusiZ 0 0 -9/2 0 27X1 1 0 1 0 4S2 0 0 3 1 6X2 0 1 -3/2 0 3

13

PT Beko bermaksud membuat 2 jenis kopi mix, yakni kopi mix sacet dan kopi mix botol. Untuk itu dibutuhkan kopi, gula dan cream. Jumlah kopi yang tersedia adalah 400 kg, gula 600 kg dan cream 500 kg. Untuk membuat 5 kg kopi mix sacet diperlukan 1 kg kopi, 2 kg gula dan 2 kg cream; sedangkan untuk membuat 5 kg kopi mix botol diperlukan 2 kg kopi, 1 kg gula dan 2 kg cream. Bila setiap kg kopi sacet menghasilkan 50 bungkus dan kopi mix botol menghasilkan 4 botol dan keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1 bungkus kopi sacet adalah Rp 300, sedangkan setiap 1 botol kopi mix botol adalah Rp 2000, berapa sacet dan botol jumlah kopi mix yang sebaiknya dibuat?

MASALAH TRANSPORTASI

14

Ciri-ciri Masalah Transportasi Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan

tertentu Kuantitas barang yang didistribusikan dari setiap

sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan besarnya tertentu

Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber

Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu

Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut:

Dengan demikian, formulasi program liniernya adalah sebagai berikut

Minimumkan: Z = C11X11 + C12X12 + …….+ CnmXnm

15

a1b1

b2a2

b3

an bm

C11; X11

Cnm; Xnm

Berdasarkan: X11 + X12 + X13 + ….. + X1m = a1X21 + X22 + X23 + ….. + X2m = a2….Xn1 + Xn2 + Xn3 + ….. + Xnm = anX11 + X21 + X31 + ….. + Xn1 = b1X12 + X22 + X32 + ….. + Xn2 = b2…..X1m + X2m + X3m + … + Xnm = bm

Z X11 X12 ….. X21 X22 …. …. Xn1 Xn2 ….. Xnm Solusi1 -C11 -C12 -C21 -C22 …. …. -Cn1 -Cn2 …. -Cnm 00 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a10 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 a20 …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 an0 1 1 1 b10 1 1 1 b20 …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….0 1 bm Semua koefisien, selain koefisien fungsi tujuan, akan berharga 1 (satu) atau 0 (nol); dan ini merupakan karakteristik model transportasi.

Tabel yang biasa digunakan dalam model transportasi adalah sebagai berikut:

1 2 n  c11   c12   …   c1n a1

1 X11   X12   ……   X1n  

16

  c21   c22   …   c2n a2

2 X21   X22   ……   X2n  

  …   …   …   …

…   …   ……   …  

  cm1   cm2   …   cnm an

m Xm1   Xm2   ……   Xnm  

b1 b2 bm

Langkah-langkah Pemecahan Masalah Transportasi1. Tentukan solusi fisibel basis awal2. Tentukan entering variable dari variable-variabel

nonbasis; bila semua variable telah memenuhi kondisi optimum, Stop. Bila belum lanjutkan ke langkah 3.

3. Tentukan leaving variable diantara variable-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi yang baru. Kembali ke langkah 2.

Menentukan solusi fisibel basis awal (langkah 1):Ada tiga metode yang dapat digunakan:

1. Metode pojok kiri atas – pojok kanan bawah (northwest corner)

2. Metode Ongkos terkecil (least cost)3. Metode pendekatan Vogel (Vogel’s Approximation

Method; VAM)

17

Contoh metode

Menentukan entering variable dan leaving variable ( Langkah 2 dan 3):Ada dua cara yang dapat digunakan:

1. Metode Stepping Stone2. Metode Multiplier

18