ir..

GRUP DAN SEMIGRUP

Pada Bab 2 ini kita akan menambahkan beberapa aksiorpa untuk mendapatkan

Sistem Aljabar yang lebih khusus, yakni Sistem Aljabar Grup.

DERNISI GRUP

Definisi2,1 (Grup)

Misalkan G adalah suatu himpunantidak hampa dengan sebuah operasi binar.Maka G disebut suatu Grup jika tiga aksioma berikut terpenuhi:

[GI] Hukum Asosjatif, yakni, untuk sembarang a, b, c pada G, berlaku

(ab)c =a(bc)

[G2] Elemen Identitas, yakni, terdapat suatu elemen e pada G sedemikian sehingga

ae=ea=a

untuk sembarang elemen a pada G

[G3] Invers, yakni, untuk masing-masing a pada G, terdapat suatu elemen a-I(invers dari a) pada G, sedemikian sehingga

Penambahan aksioma ([G2] dan [G3] mengubah Semigrup menjadi suatu Grup.

Definisi 2.2 (Grup Abel)

Suatu Gmp G dikatakan Grup Abel atau Grup Abelian, atau Grup Komutatif,jika hukum komutatif berlaku: yakni, jika

ab=ba

untuk setiap a, beG.

22

Bila operasi binar dinyatakan hanya dengan blank seperti diatas, maka GropG dikatakan Grup aditif.

Pada Gmp aditif ini, elemen identitasdinyatakandengan 0 dan disebut elemennol atau elemen zero.

lovers dari elemen a dinyatakan dengan -a dan disebut negatif dari a.

Dalam hal A dan B adaJah subset dari G, kita dapat mendefmisikan 2 operasiAB, dan A+B yang kita tulis

AB = {ab: ae A, be B} atau

A+B = {a+b: a e A, b e B}

Sekarang kita definisikan order dari suatu Grop, dan Grop hingga.

Definisi 2.3 Order)

Order dari Gmp G adalah banyaknya elemen Grop G, dinyatakan dengan 101.

Definisi 2.4 (Grup Hingga)

G adalah suatu Grup Hingga, jika order dari 0 hingga.

CONTOH GRUP

Contoh 2.1

Himpunan integer Z, himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan realR, dan himpunan bilangan kompleks C masing-masingMaIah Grop Abel di bawahoperasi penjumlahan.

Contoh 2.2

Himpunan integer positif N tidak membentuk suatu Grup di bawah penjumlahan,karena, sebagai contoh 01eN.

23

Contoh 2.3

Himpunan bilangan rasional tidak nol Q\{O}membentuk Grup Abel di bawahperkalian. Oi sini bilangan rasional I adalah elemen identitasdan q/p adalah inversmultiplikatif dari bilangan rasional p/q.

Contoh 2.4

Pal)dang S adalah himpunan matriks n x n dengan elemen rasional, di bawahoperasi perkalian matriks.

Meskipun perkalianmatriks adalah asosiatifdan perkalian matriks mempunyaielemen identitas I (d~nganelemen rasional), S bukanlah suatu Grup, karena inverstidak selalu ada.

Contoh 2.5

Sementara itu himpunan G dari matriks nonsingular n x n membentuk Grupdi bawah perkalian matriks.

Elemen identitasnyaadalahmatriks identitasI, dan inversdari A adalah matriksinvers A-I. Ini adalah suatu eontoh dari Grup yang tidak Abel, karena perkalianmatriks tidak komutatif.

Khususnya,bila n = 2 makaI = 1 0o 1

eb adalahAI =d -e/IAI

d/IAI

allAI

-b/IAIdan invers dari A = a

di sini IAI=ad - be adalah determinan dari A.

24

PERMUTASI DAN GRUP SIMETRIS BERDERAJAT N

Sekarang akan kuta detfnisikan Grup simetris berderajat n, yang dinyatakandengan sn'

Definisi 2.5

Suatupemetaansatu-satu(one-to-one)0 dari himpunan{1,2,...,n}ke dalamdirinyasendiri,disebutpermutasi.

Permutasi seperti itu kerap kali dinyatakan dengan

dengan jj =O(i).

Himpunan dari permutasi seperti ini, dinyatakan dengan Sn' dan terdapat n! =1 ·2. ... ·n permutasi.

Komposisi dari permutasi pada Sn termasuk juga pada Sn' pemetaan identitastermasuk Sn' dan i~Yers dari permutasi pada Sn termasuk Sn pula. Karenanya Snmembentuk suatu Grup di bawah komposisi pemetaan.

Definisi 2.6 (Grup Simetris)

Grup Sn dari Koleksi semua permutasidalam S disebut Grup Simmetrisberderajat n.

Sekarang kita menentukan elemen dan tabel perkalian dari Grup Simetris S3'

S3 mempunyai 3! =6 elemen,sebagaiberikut:

123 123 123E = 123 O2= 321 01k = 2 3 1

123 123 123

01 = 132 03 = 213 O2 = 312

25

Untuk menentukankomposisisi dua Pennutasi, misalnya

123

3 2 1

1 2 3

2 3 1

dapat kita lakukan sebagai berikut

3 ~ 1 diperoleh

2--;-731~2

1~1

2~3

3~2

Secara lengkap, tabel perkalian dari S3 terlihat pada Gambar 2-1.

Gombar 2-1

26

atau diperoleh 1 2 3

1 3 2

BerartiO201k = 01

E al a2 a3 f/J1 f/J2

E I E al a2 a3 01 O2

al al E 01 O2 a2 a3

a2 a2 O2 E 01 a3 al

a3 a3 01 O2 E al a2

01 01 a3 al a2 O2 E

O2 O2 a2 a3 al E 01

SIFAT GRUP

Sitat 2.1

Elemen identitas pada suatu Grup G adalah tunggal atau unik.

BuktiPandang e dan e' adalah elemen identitas pada G. Maka ee' = e karena e'

adalah elemen identitas, dan ee' =e' karena e adalah elemen identitas . Karenanyae=e'._

Sitat 2.2Invers a-I dari a, sembarang elemen G, adalah unik.

Bukti

Misalkaninversdari a adalahb dan b'. Diperoleh

b*(a*b') = b*e =b dan (b*a)*b' =e*b' = b'

Karena G asosiatif, (b*a)*b' =b*(a*b'); karenanya b =b'._

Sitat 2.3Hokum penghapusan kiri dan kanan terpenuhi pada G.

Bukti

Jika ab = ac, makab = eb

= (a-Ia)b= a-I(ab)= a-I(ac)= (a-1a)c=ec= c

Secara yang sarna, jika ba = ca,makab = c. ..

27

Sitat 2.4

Pada Grup G berlaku bahwa (a-It' =a, untuk sernbarang elernen a pada G.

Buldi

Karena a-I adalah invers dari a, kita dapatkan

Karenanya a adalah invers dari a-I; yakni a =(a-Itl, ..Sitat 2.5

Berlaku bahwa (abtl = b-Ia-I

Buldi

Di sini

(b-Ia-I)(ab)= b-I(a-Ia)b

= b-Ieb

= b-Ib

= e

Secara yang sarna,

Karenanya, b-Ia-I adalah invers dari ab, yakni bahwa b-Ia-I =(abt',..

CONTOH

Contoh 2.6

Dibicarakan Gmp G ={1,2,3,4,5,6} di bawah perkalian modulo 7, Kita akanrnenentukan tabel perkalian dari G,

28

Untuk mendapatkan a*b pada G, kita tentukan sisa pdari hasil kali ab dibagidengan 7. Sebagai contoh, 5 ·6 =30 yang menghasilkansisa 2 bila dibagi dengan7; karenanya 5*6 =2 pada G, Tabel perkalian dari G terlihat pada Gambar 3-2.

Dapat dicatat bahwa 1 adalah elemen identitas dari G. Kemudian ingat bahwaa-I adalah elemen dari G sedemikian sehingga aa-1 =1. Karenanyasebagai contoh

2-1 =4, 3-1 =5, dan 6-1 =6.

SUBGRUP .--

Sekarang kita defmisikan suatu Subgrup dari sebuah Grup.

Definisi 2.7 (Subgrup)

Suatu subset H dari suatu Grup G disebut sebuah Subgrup dari G, jika Hsendiri membentuk sebuah Grup di bawah operasi dari G.

Teorema 2.1

Pandang H adalah sebuah subset dari sebuah Grup G. Maka H adalah sebuahSubgrup dari G jika H mempunyai tiga sifat berikut:

29

* I I 2 3 4 5 6

I 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

Gambar 3-2

(i) Elemen identitas e tennasuk H

(ii) H tertutup di bawah operasi dari G, yakni jika a, b e H maka ab e H

(Hi) H tertutup di bawah invers, yakni, jika a e H, maka a-I e H.

Bukti

H tidak hampa dan mempunyai sebuah elem~n identitas berdasarkan (i).Operasi adalah terdifinisi rapi pada H berdasarkan (ii). lovers terdapat pada Hberdasarkan (Hi).Terakhir, hokum asosiatifberlaku pada H karena ia berlaku padaG. Karenanya H adalah sebuah SubgriJp dari G.

CONTOH SUBGRUP

Contoh. 2.7

Kita bicarakan Grup Z dari integer,di bawah penjumlahan.Misalkan H adalahsubset dari Z berisi semua kelipatan dari integer positif m; yakni H = {...,-3m,-2m. -m, 0, m, 2m, 3m, ... }. Kita tunjukkan bahwa H adaJahsebuah Subgrup dariZ.

(i)

(ii)H mengandung elemen identitas 0 dari Z.

Jika rIDdan sm adalah sembarang elemen dari H, maka jumlah rID+ sm =(r+s) m adalah juga sebuah elemen dari H.

(iii) Jika rm adalah sembarang elemen dari H, maka negatifnya -rID jugatennasuk H. .

GRUP SIKLIK

Misalkan G adalah sembarang Grup dan misalkan a adal3h sembarang elemendari G. Sekarang kita defmisikan Grup Siklik yang dibangun oleha, yang dinyatakandengan gp(a).

Sebagaimana biasa, kita mendefmisikan 30 =e dan an+I =an ·a.Jelas,am. an= am+ndan (am)R= amn,untuk sembaranginteger m dan n. Misalkangp(A)menyatakanhimpunandari semuapangkatdaria:

30

gp(a) = {..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}

Karenanya gp(a) mengandung e, tertutup di bawah .operasi Grup, danmengandung invers. !(arena itu, gp(a) adalah sebuah Subgrup dari G.

Definisi 2.8 (Subgrup Siklik)

Subgrup dari G,

gp(a) ={..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}

disebut Grup Siklik yang dibangun oleh a.

Misalkan a adalah sembarang elemen pada sebuah Grup G. Sekarang kitaakan menyatakan Grup Siklik gp(a), bila gp(a) hingga, dan akan mendefinisikanorder dari a.

Jika gp(a) hingga, maka beberapa pangkat dari a adaIah sarna, katakanlah ar= as, dengan r > s. Berarti ar-s = e dengan r-s > O.

Definisi 2.9 (Order Grup Siklik)

Integer positif terkecil IIi, sedemikian sehingga

disebut order dari a, dan dinyatakan dengan Ia!.

Jika Ia!=m, maka Subgrup Sikliknya gp(a) mempunyai m elemen, yakni:

gp(a) = fe, a, a2. a3, ..., am-I}

Jika gp(a) tak hingga, maka kita definisikan bahwa Ia!= O.

31

CONTOH GRUP SIKLIK

Contoh 2.8

Kita bicarakan Grup Abel G modulo 7 dari Contoh yang lalu. Akan kitatentukan order dan Subgrup yang dibangun oleh 2 dan 3.

Kita peroleh 21 = 2

22 =4

tetapi 23=1

Karenanya 121=3, dan gp(2) = {l,2,4}.

Kita peroleh 31 =332 =2

33 =6

34 =4

3s =5

36 =1

Karenanya 131=6 dan gp(3) =G.

Jelas bahwa G ada1ah Siklik 1carena G =gp(3).

KOSET

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kitadefinisikan Koset kanan (kiri) dari H.

Deflnlsl 2.10 (Koset)

Misalkan a ada1ah sembarang elemen dari G. Himpunan

32

Ha ={ha: h e H}

disebut Koset Kanan dari H. Analog dengan itu,

aH ={ah: h e H}

disebut Koset Kiri dari H. .

Teorema 2.29.2

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Koleksi Koset kananHa membentuk sebuah partisi dari G.

Bulct/

. Karena e e H, rnaka a =ea e Ha; karenanya setiap e1ementennasuk suatuKoset, yakni, a e Ha.

Sekarang pandang Ha dan Hb adalah tidak saling lepas. Katakanlah c e Hae Hb. Bukti kita adalah lengkap dengan menunjukkan bahwa Ha =Hb.

Karena c tennasuk kedua Ha dan Hb, kita peroleh

dengan hI' ~ e H

Karenanya

dan karenanya

Misalkanx e Ha. Karenanya

33

x =h3a

=h3h1-1~b

dengan h3 e H

Karena H adalah sebuah Subgrup, maka

karena itu x e Hb.

Karena x adalah sembarang elemen dari Ha, maka kita peroleh Ha adalahsubset Hb. Seciu'ayang sarna, kita peroleh Hb subset Ha.Hal ini berakibat Ha =Hb, dan teorematerbukti..

Sebelum membuktikan teorema Lagrange berikut, kita perhatikan teorema bantuberikut ini:

Teorema Bantu 2.1

Misal H adalah sebuah Subgrup hingga dari G. Akan temyata bahwa H dansembarang Koset Ha mempunyai jum1ahelemen berbeda yang sarna. Perhatikan,misalkan

dengan H mempunyai k elemen. Karenanya

Karena di sini ~a = ~a berakibat~ = ~;maka pada Ha juga terdapat k elemen yang berbeda.

Teorema 2.39.3. (Lagrange)

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup hingga_G. Order dariH membagi order dari G.

34

Buldi

Pandang H mempunyai r elemen dan terdapat s Koset 1cananyang beIbeda.Dari teorema 9.2, Koset mempartisi G, dan dari teoremabantn di atas, masing-masing Koset mempunyai r elemen. Karenanya G mempunyai rs elemen, dankarenan itu order dari H membagi order dari G'"

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Kita akanmendefinisikanindeksdariH padaG, dinyatakandengan[G:8].

Definisi 2.11 (Indeks)

Indeks dari H pada G adalah sarna dengan banyaknya Koset 1canan(atau kiri)dari H pada G. Jika G dan H adalah hingga, maka [G:8] =101/181.

Misalkan H adalah a Subgrop dari suatu Grop G. Kita akan mendefinisikansuatu 5istem penyaji-Koset untuk a padaG.

Definisi 2.12 (Penysj/-Koset)

Suatu subset C dari G adalah suatu sistem penyaji-Koset dari H, jib Cmengandung tepat satu elemen dari masing-masing Koset Masing-masing e1emenserupa itu disebut penyaji-Koset.

Banyaknya elemen pada C atau, dengan kata lain, banyaknya penyaji-Koset,adalah sarna dengan [G:8], indeks dari H pada G.

MisalkanH adalahSubgropdari suatuGmp hinggaG. Tedapat181cara memilihsuatu elemendari sembarangKoset,dan terdapat [G:8] Koset yang berbeda.Karenaitu terdapat IHI[G:H]sistem penyaji-Koset untuIc:Koset dari H.

CONTOH KOSET

Contoh 2.9

Dibicarakan Grop Z dari integer, di bawah penjumlahan dan Subgrop H ={...,

-10, -5, 0, 5, 10, ...}, yang adalah berisi semua kelipatan 5. Kita akan menentukanKoset dari H pada Z. dan indeks dari H pada Z.

35

Terdapat lima Koset (kiri) yang berbeda dari H pada Z, sebagai berikut

O+H=H ={..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}

l+H ={..., -9, -4, 1,6, 11, ...}

2+H = {..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}

l+-H={..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}

4+H = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

Koset yang lain n+H akan sarna dengan salah satu Koset dia atas

Meskipun Z dan H keduanya adalah tak hingga, indeks dari H pada Z adalahhingga. Di sini [Z:H] =5, yang merupakanjuga banyaknya Koset.

Sekarang kita akan menentukan Suatu sistem penyaji-Koset untuk Subgrup Hdari Z di atas. Sistem penyaji- Koset tersebut di antaranya adalah

{0,1,2,3,4}atau {-1,0,1,2,3}.

Sebagai catatan, kita biasanyamemilih integer nonnegatifterkecil, atau integerterkecil sebagai penyaji-Kosetuntuk suatu Subgrup H dari Z. Secara umum, kitamemilih elemen identitas untuk penyaji dari H.

Contoh 2.10

Pandang Grup Simetrik S3 yang lalu. Kita akan menentukan order dari 3tersebut, dan Subgrup yang dibangun oleh masing-masing elemen S3'

e 1 =e, karenanya IeI = I dangp(e) = {e} ·

~ll = e 1~ 2 - e .ul - ,

36

5ecara yang sarna

1021= 2, gP(02) = {02' e }; dan

1031=2, gp(e 3) = {0:3,e }. Kib peroleh

Karenanya 1011 =3 dan gp(01) = {e, 01, O2}.

Juga, 012 = O20l = 01023 = 01802 = e

Di sini 53 adalah tidak 5iklik, karena 53 tidak dibangun oleh sembarangelemennya.

Kita akan menentukan suatu 5ubgrup H herorder empat untuk Grup 5imetrik

Order dari 53 adalah 6. Dari teorema Lagrange, order dari H haruslah membagiorder dari 53. Karenanya tidak terdapat suatu 5ubgrup herorder 4.

Contoh 2.11

DibicarakanGmp 5imetrik 53padaGarnbar2.1.MisalkanA ={OI'~}danB = {01'02}. Tentukan

(a) AB

(b) 03A dan

(c) A03

37

(a) Kalikan masing-masing elemen dari A dengan masing-masing elemendari B:

=~= ~ =020. = 3,

=0.

(b) Kalikan 03 dengan masing-masing elemen dari A~

030.=0.0302;: O2

(c) Kalikan masing-masin~ elemen dari A dengan 03:

0.03 =O2

~03 =.0.

Contoh 2.12

DibicarakanSubgmpH =gp(o.)danK =gp(02)dari S3pada Gambar 2.1. Disini HK bukan suatu Subgrup dari S3'

yang bukan merupakan suatu Subgrup dari S3' karena HI( mempunyai 4 elemen.

38

Contoh 2.13

Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa HH =H.Karena H adalah Tertutup di bawah o~rasi dari-a, kita mempunyai HH C H.

Pada lain pihak, pandang h E H..Karena H adalah suatu Subgrup, elemen identitase termasukH. Karenanyaeh =h E HH, dan karenanyaH C HH. Keduahal inimengakibatkan HH =H.

Contoh 2.14

Satu-satunya Subgrup dari Grup Siklik berorder p, dengan p prima adalah{E }, berdasarkan teorema Lagrange.

Contoh 2.15

Kita akan menentukan suatu subset S dari Grup Z dari integer di bawahpenjumlahan, sedemikiansehinggaS + S "*S, dan a ~ a + S untuk beberapa elemena E Z.

Misalkan S ={1,2,3,...}.Maka S + S ={2,3,4,...}"*S, dan 2 + S ={3,4,S,u.}tidak mengandung 2.

Contoh 2.16

Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa Ha =Hb jikadan hanya jika ab-l E H.

Jika Ha = Hb, maka a E Ha =Hb. Karenanya terdapat h E H sedemikiansehingga a =hb, dan ab-l =h termasuk H. Ada lain pihak, pandang h =ab-l E H.Maka a =hb E Hb. Tetapi a E Ha. Karena itu Ha =Hb, sebab Koset membentuksuatu partisi dari G.

39

Contoh 2.17

Misalkan G ad~ah suatu Grup Hingga berorder n. Tunjukkan bah~a ~ =euntuk sembarang a e G.

Jika 19p(a)1=In, maka am =e. Dari teorema Lagrange, m membagi n; katakanlah,

n =me. ~nanya

40