GAME TEORI

(TEORI PERMAINAN)

Pendahuluan

Permainan adalah suatu bentuk persaingan antara dua pihak atau dua kelompok

yang saling berhadapan dan menggunakan aturn yang diketahui oleh kedua belah pihak

yang saling berhadapan. Suatu keputusan harus diambil untuk memperoleh hasil yang

optimum. Suatu keputusan diambil untuk memaksimumkan kemenangan atau

keuntungannya yang minimum atau meminimumkan kekalahan atau kerugian yang

maksimum. Pengambilan keputusan tersebut merupakan hal yang terpenting dalam teori

permainan yang merupakan metode analisis kuantitatif riset operasi ( Operation

Research ).

Teori permainan merupakan strategi yang diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh

seorang ahli matematika bangsa Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921.

Namun baru pada tahun 1928 John Van Neumann berhasil untuk pertama kalinya

menganalisis dan menyatakan pembuktiannya, yang sekarang dikenal sebagai

pembuktian dari teorema minimax, yang mencakup prinsip dasar tentang minimasi dari

kerugian(kekalahan) maximum, yang menjadi teorema dasar dalam teori permainan.

Walaupun demikian baru pada tahun 1944 kerja nyata bidang teori permainan ini

ditampilkan dalam buku berjudul The Theory of Games and Economics Behavior. Buku

ini ditulisnya bersama dengan Oscar Morganstern, seorang ahli ekonomi. Pada tahun

yang hamper bersamaan, yaitu pada tahun 1947, disaat Jon Van Neumann sedang

mempublikasikan karyanya tersebut, tampil juga pengembangan dan penggunaan

program linier oleh Dantzig. Dari sini kemudian diketemukan bahwa permasalahan

dalam teori permainan dapat dirumuskan sebagai kasus khusus dari program linier

dimana bagian-bagian dari metode simpleks dalam program linier yang diperkenlkan

oleh George Dantzig tersebut akhirnya digunakan untuk membuktikan teori minimax

dalam teori permainan dan digunakan untuk menentukan solusi dari permainan yang

berukuran besar. Sejak saat itu teori permaian mendapatkan perhatian yang begitu besar

dan digunakan pada bidang ekonomi, politik, olah raga, militer, dan bidang-bidang

lainnya.

Kriteria Permainan

Tidak setiap keadaan persaingan atau konflik disebut permaianan(game). Hanya

pada persaingan yang memenuhi kriteria atau cirri-ciri tertentu saja yang dapat disebut

sebagai permanian(game).

Kriteria tersebut antara lain adalah sebagai berikut:

1. Terdapat persaingan kepentingan diantara pihak yang terlibat (pemain).

2. Setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan, terbatas atau tidak terbatas yang

disebut strategi.

3. Aturan permainan untuk mengatur pilihan-pilihan itu disebutkan satu-satu dan

diketahui oleh semua pemain.

4. Hasil dari permainan dipengaruhi oleh pilihan-pilihan yang disebut oleh semua

pemain dan hasil untuk seluruh kombinasi pilihan oleh semua pemain diketahui dan

didefinisikan secara numerik.

Salah satu permainan yang bukan permaian adalah perdebatan di antara dua orang. Hal

tersebut disebabkan motivasi yang mendasarinya adalah permusuhan dan bukan suatu

logika.

7

Klasifikasi Permainan.

Permainan dapat dibagi dalam berbagai macam jenis permaian antara lain:

Yang pertama berdasarkan jumlah langkah dan pilihan, permainan diklasifikasikan

menjadi dua, yaitu :

1. Permainan berhingga (finite game), yaitu suatu permainan yang mempunyai

sejumlah langkah yang berhingga dengan sejumlah pilihan yang berhingga pula.

2. Permainan tak berhingga (infinite game), untuk setiap permainan selain permainan

berhingga.

Yang kedua, berdasarkan jumlah pemain(orang). Suatu permainan dikatakan permainan

n orang jika jumlah orang yang bermain adalah n. Di sini orang dapat berperan sebagai

individu ataupun kelompok.

Dan yang ketiga, berdasarkan jumlah pembayaran. Jenis ini terdiri atas:

1. Permainan berjumlah nol (Zero Sum Game) adalah suatu permainan dengan jumlah

kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol. Hal ini berarti jumlah pembayaran

yang diterima bagi salah satu pemain yang menang sama dengan jumlah yang

dibayarkan oleh pihak yang kalah. Dalam hal ini kemenangan dari pihak yang satu

merupakan kekalahan pihak yang lainnya. Bila dua orang bermain dalam suatu

permainan maka dinamakan permainan berjumlah nol dari dua orang (Two Person

Sum Zero Game). Misalnya Andri menang Rp.1,00,- atau +1,00,- dan Anna kalah

Rp.1,00,- atau -1,00,-. Jumlah kemenangan kedua pemain ini adalah +1-1 yang

nilainya sama dengan 0(nol). Karena jumlah kemenangan dari jumlah dari kedua

belah pihak sama dengan nol dan jumlah pemainnya dua maka disebut dengan

permainan berjumlah nol dari dua orang. Dengan demikian apabila dalam

permainan tersebut ada n orang(pemain) dan jumlah kemanangan mereka sama

dengan nol maka dinamakan permainan berjumlah nol dari n orang(n person zero

8

sum game). Apabila pi adalah pembayaran bagi pemain Pi; i = 1,2,3,…,n dalam

permainan n orang maka jika = 0 maka permainan tersebut disebut permainan

berjumlah nol.

2. Permainan berjumlah tidak nol (non Zero Sum Game), yaitu permainan dengan total

pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir dari suatu permainan tidak sama

dengan nol. Permainan ini dapat dimainkan oleh 2 orang ataupun n orang. Hanya

saja sampai saat ini hanya dikembangkan permasalahan dengan jumlah 2 orang

pemain.

Matriks Pembayaran

Pengertian dari matriks pembayaran(payoff matriks) adalah suatu tabel berbentuk

segi empat dengan elemen-elemennya yang merupakan besarnya nilai pembayaran yang

bersesuaian dengan strategi yang digunakan oleh kedua belah pihak. Matriks

pembayaran untuk permainan berjumlah nol dari dua orang (two person zero sum

game). Bentuk umum dari matriks pembayaran ini adalah :

Tabel 2.1. Matriks Payoff two person sum zero game

9

PemainPertama (P1)

Pemain ke dua (P2)

1 2 n3 ...j

a21

.

.

a11

am1

.

a22

.

.

a12

am2

.

a23

.

.

a13

am3

.

...

...

...

...

...

...

n1n

.

.

n1n

amn

.

1

2

.

i

m

.

.

Keterangan :

m adalah banyaknya strategi yang dipunyai pemain P1.

n adalah banyaknya strategi yang dipunyai pemain P2.

aij ; i = 1,2,3,…,m dan j = 1,2,3,…,n adalah nilai pembayaran (yang

didefinisikan secara numerik: bilangan positif, bilangan negatif atau nol)

yang bersesuaian dengan strategi ke i bagi pemain P1 dan strategi ke j bagi

pemain P2.

Dengan demikian berarti bahwa baris-baris dari matriks pembayaran tersebut

menunjukkan strategi bagi pemain P1 dan kolo-kolom dari matriks pembayaran itu

menunjukkan strategi bagi pemain P2.

Karena bentuk matriks pembayaran A = (a ij) dengan i = 1,2,3,…,m dan j = 1,2,3,

…,n menunjukkan pembayaran pada pemain pertama P1 maka pembayaran untuk

pemain ke dua P2 merupakan negatif dari pembayaran pemain pertama (P1). Yang

artinya bila pemain pertama P1 menerima pembayaran sebasar aij, pemain ke dua P2

harus membayar sebesar aij atau pemain ke dua P2 menerima pembayaran –aij.

Dengan ini pula maka pemain pertama P1 yang disebut sebagai pemain baris

merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan perolehan (pembayaran atau

keuntungan), sedangkan pemain ke dua P2 yang disebut juga pemain kolom merupakan

pemain yang berusaha meminimumkan pembayaran (kerugian).

Nilai Permainan

Dari matriks pembayaran yang tersedia terlihat bahwa kedua belah pihak (pemain)

yang saling bersaing tersebut dapat menentukan strategi optimum dan nilai

permainannya.

10

Strategi Optimum adalah strategi yang menjadikan seorang pemain (pihak) berada

dalam posisi pilihan terbaik, tanpa memperhatikan langkah-langkah pemain pesaingnya.

Pengertian posisi pilihan terbaik ini bahwa setiap penyimpangan dari strategi ini akan

mengakibatkan turunnya pembayaran(payoff).

Dalam kaitan ini yang dimaksud dengan nilai permainan (value off game) adalah

rata-rata pembayaran (ekspektasi perolehan) per permainan jika kedua pihak (pemain)

yang saling bersaing tersebut melakukan strategi optimum (strategi yang terbaik) yang

dilakukan oleh kedua pemain tersebut. Yang dimaksud dengan nilai di sini adalah nilai

yang diperoleh pihak(pemain) pertama pada akhir suatu permainan.

Berdasarkan nilai permainan ini, pemain dapat dibedakan dua jenis yaitu :

Suatu permainan dikatakan adil (fair) jika nilai permainannya sama dengan nol.

Suatu permainan dikatakan tidak adil (unfair) jika nilai permainannya tidak sama

dengan nol.

Permainan Berjumlah Nol Dua Orang

Konsep dasar yang termuat dalam teori permainan dapat dijelaskan oleh permainan

yang sederhana yang dimainkan oleh dua orang atau dua pemain. Hal pokok yang

sebenarnya menjadi inti dari permainan adalah menentukan solusi optimum bagi kedua

pihakpihak yang saling bersaing tersebut yang bersesuaian dengan strategi

optimumnya.

Ada dua macam strategi optimum, yaitu:

1. Strategi Murni (Pure Strategy),

2. Strategi Campuran(Mixed Strategy).

11

Permainan Dengan Strategi Murni

Permainan dengan strategi murni adalah suatu permainan dengan posisi pilihan

terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal. Jadi strategi

murni adalah strategi dimana setiap pemain hanya mempunyai tepat satu langkah

terbaik.

Dalam permainan dengan strategi murni, pemain pertama(pemain baris) yaitu

pemain yang berusaha memaksimumkan kemenangan (keuntungan) yang minimum

sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria maksimin. Sedangkan pemain ke

dua (pemain kolom) yaitu pemain yang berusaha meminimumkan kekalahan (kerugian)

yang maksimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria minimaks.

Apabila maksimin sama dengan nilai minimaks, maka permainan ini dapat

diselesaikan dengan strategi murni dimana titik keseimbangan (equilibrium point) telah

tercapai. Titik keseimbangan ini dikenala sebagai titik pelana (saddle pint). Seperti

yang terlihat pada matriks pembayaran pada tabel 2.1 dimana pemain pertama (P1)

mempunyai langkah strategi i;i = 1,2,3,…,m dan pemain ke dua (P2) mempunyai

langkah strategi j;j= 1,2,3,…,n. telah diketahui bahwa pemain pertama (P1) merupakan

pemain baris yang menerapkan kriteria maksimin, yaitu berusaha memaksimumkan

keuntungan(kemenangan) yang minimum sementara pemain ke dua (P2) merupakan

pemain kolom yang menerapkan kriteria minimaks, yaitu berusaha meminimumkan

kerugian(kekalahan) yang maksimum. Bertitik tolak pada kriteria masing-masing

pemain tersebut maka menentukan titik pelana dapat dijelaskan sebagai berikut :

Untuk pemain pertama (P1).

Apabila pemain pertama P1 memilih strategi i maka dia yakin akan memenangkan

(aij) apapun strategi yang dipilih atau digunakan oleh

pemain kedua (P2). Karena pemain pertama (P1) merupakan pemain yang berusaha

12

memaksimumkan kemenangan atau keuntungan yang minimum, maka dia akan

memilih strategi yang akan memberikan nilai maksimum dari nilai yang minimum

itu, yaitu maks min (aij).

Untuk pemain ke dua (P2).

Pemain ke dua (P2) akan berusaha memperkecil kemenangan bagi pemain pertama

(P1) sampai sekecil mungkin sehingga jika pemain kedua (P2) memilih strategi j

maka dia yakin bahwa kemenangan yang diperoleh pemain pertama (P1) tidak lebih

dari (aij) apapun strategi pemain pertama (P1). Karena pemain ke dua (P2)

merupakan pemain yang berusaha meminimumkan kekalahan(kerugian) yang

maksimum maka dia akan memilih strategi yang akan memberikan nilai minimum

dari nilai yang maksimum itu, yaitu (aij).

Jika dalam suatu matriks pembayaran (aij) sedemikian rupa sehingga berlaku :

(aij) = (aij)

= ars

maka matriks pembayaran tersebut disebut mempunyai titik pelana pada (r,s) dan

elemen ars merupakan nilai permainan yang bersesuaian dengan strategi optimum

bagi pemain pertama (P1), yaitu i = r dan strategi optimum bagi pemain ke dua (P2),

yaitu j = s.

Untuk memudahkan penentuan apakah suatu permainan dangan matriks pembayaran

tertentu mempunyai titik pelana atau tidak maka diberikan prosedur di bawah ini.

1. Perhatikan baik-baik matriks pembayaran yang ada.

2. Pada setiap barisnya, tentukan nilai yang terkecil.

3. Dari nilai-nilai yang terkecil dari setiap barisnya tersebut (yang dipilih sesuai

dengan langkah ke dua) pilihlah nilai terbesar.

13

4. Pada setiap kolomnya, tentukan nilai yang terbesar.

5. Dari nilai-nilai terbesar dari kolomnya tersebut (yang dipilih sesuai dengan langkah

ke empat), pilihlah nilai yang terkecil.

6. Periksalah apakah nilai terbesar yang terpilih (dari langkah ke tiga) sama dengan

nilai terkecil yang dipilih (dari langkah ke lima).

Apabila sama maka permainan dengan matriks pembayaran tersebut mempunyai

titik pelana dan nilai yang merupakan titik pelana tersebut merupakan nilai

permainannya. Dari sini strategi dari masing-masing pemain dapat dilihat

dimana letak nilai permainannya itu. Dengan demikian permainan ini dapat

diselesaikan dengan strategi murni.

Apabila tidak sama maka permainan dengan matriks pembayaran tersebut tidak

mempunyai titik pelana dan harus diselesaikan dengan strategi campuran (mixed

strategy).

Permainan Dengan Strategi Campuran

Di dalam permainan dimana permainan tersebut tidak mempunyai titik pelana maka

para pemain akan bersandar kepada apa yang disebut sebagai strategi campuran. Hal ini

berarti bahwa pemain pertama akan memainkan setiap strategi baris dengan proporsi

waktu (probababilitas) tertentu. Demikian juga untuk pemain ke dua , ia akan

memainkan setiap strategi kolom dengan proporsi waktu (probabilitas) tertentu. Oleh

karena itu dalam suatu permainan yang diselesaikan dengan strategi campuran, strategi

setiap pemain akan mempunyai probabilitas yang menunjukkan proporsi waktu

(probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strateginya.

Untuk lebih jelasnya dapat diperhatikan ilustrasi permainan matriks pembayaran 2 x

2 di bawah ini :

14

Tabel 2.2. Matriks Payoff permainan 2x2

Matriks pembayaran berjumlah nol dari dua orang di atas (tabel 2.2) tidak mempunyai

titik pelana sehingga strategi murni tidak dapat digunakan. Dengan demikian tugas para

pemain adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas)

yang diperlukan untuk memainkan strategi pada baris bagi pemain P1 dan strategi kolom

bagi pemain P2.

Bagi pemain P1

Misalnya x, dengan 0 ≤ y ≤ 1 adalah proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan

untuk memainkan strategi pada baris pertama maka proporsi waktu yang diperlukan

untuk memainkan strategi pada baris kedua adalah 1 - x sehingga jumlah semua

proporsi waktu yang diperlukan untuk memainkan strateginya adalah x + 1 – x = 1.

Bagi pemain P2

Misalnya y dengan 0 ≤ y ≤ 1 adalah proporsi waktu yang diperlukan untuk

memainkan strategi pada kolom pertama, maka proporsi waktu (probabilitas) yang

diperlukan untuk memainkan strategi ke dua adalah 1 – y sehingga jumlah proporsi

waktu yang diperlukan untuk memainkan strateginya adalah y + 1 – y = 1.

Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel 2.3. Matriks Payoff dengan proporsi waktu

j 1 2

i

1

2

1

6

5

3

P1

P2

15

Dengan demikian tugas dari masing-masing pemain adalah menentukan besarnya

pecahan yang tidak diketahui x dan y dimana pemain pertama P1 menginginkan untuk

mencari strategi yang akan memaksimumkan kemenangannya (atau meminimumkan

kekalahannya) tanpa memperhatikan langkah yang dilakukan pihak lawan (pesaing)

yaitu pemain P2. Secara logika, pemain P1 ingin membagi permainannya di antara baris-

barisnya sedemikian rupa sehingga kemenangan atau kekalahan harapannya (expected)

disaat pemain kedua P2 memainkan kolom ke dua. Sudah barang tentu pemain ke dua P2

(yang diasumsikan mempunyai kecerdasan yang sama dengan pemain pertama P1) akan

mengikuti logika yang serupa dalam perhitungan proporsi waktu yang diperlukan untuk

setiap kolomnya seperti yang dilakukan oleh pemain pertama P1, yaitu pemain ke dua P2

akan membagi waktu bermainnya di antara kolom-kolomnya sedemikian rupa sehingga

kemenangan atau kekalahan harapannya (expected) disaat pemain P1 memainkan baris

ke dua. Jadi strategi campuran adalah strategi dengan setiap pemain menggunakan

distribusi probabilitas dalam memilih strateginya.

Untuk memainkan strategi permainan yang berjumlah nol dari dua orang (two

person zero sum game) dengan strategi campuran ini ada beberapa metoda yang dapat

1-yy

P2

j 1 2

i

x

1-x

1 1

2 6 3

5P1

16

digunakan. Berikut ini akan dijelaskan beberapa definisi yang berkaitan dengan strategi

campuran tersebut.

Diberikan suatu matriks pembayaran yang berukuran m x n dimana pemain P1

mempunyai m strategi i;i = 1,2,3,…,m dan pemain P2 mempunyai n strategi j;j = 1,2,3,

…,n.

Misalnya :

xi = probabilitas pemain P1 memilih strategi ke i .

yj = probabilitas pemain P2 memilih strategi ke j.

aij = nilai pembayaran dalam matriks pembayaran (a ij) yang bersesuaian

dengan strategi ke i untuk pemain P1 dan strategi ke j untuk pemain P2.

Perhatikan matriks pembayaran di bawah ini :

Tabel 2.4. Matriks Payoff Permainan strategi campuran

Definisi 1

y1 y2 y3 ... yn

...2 31 nj

i

1 a11 a12 a13 ... a1n

2 a21 a22 a23 ... a2n

3 a31 a32 a33 ... a3n

. . . . . .

x am1 am2 am3 ... amn

x1

x1

x1

.

xm

Pemain P2

17

Pemain P1

Vektor X = [xi];i = 1,2,3,…,m dari bilangan tak negatif xi sedemikian sehingga

xi = 1 didefinisikan sebagai strategi campuran bagi pemain P1.

Vektor Y = [yj];j = 1,2,3,…,n dari bilangan tak negatif yj sedemikian sehingga yj

=1 didefinisikan sebagai strategi campuran bagi pemain P2.

Berdasarkan definisi 2 di atas maka probabilitas xi;i = 1,2,3,…,m menyusun strategi

optimum bagi pemain P1 dan probabilitas yj;j = 1,2,3,…,n menyusun strategi optimum

bagi pemain P2.

Kejadian khusus

Bila (m-1) komponen dari X = [x1,x2,…,xm] berharga nol yang berarti bahwa hanya ada

satu komponen yang berharga satu maka dinamakan strategi murni bagi pemain P1.

Misalnya strategi bagi pemain P1, yaitu X = [0.0,1.0,0.0] begitu juga bila (n-1)

komponen dari Y = [y1,y2,…,yn] berharga nol yang berarti hanya satu komponen yang

berharga satu. Oleh sebab itu dinamakan strategi murni bagi pemain P2. Misalnya Y =

[0.1,0.0,0.0].

Definisi 2

Nilai harapan matematis atau fungsi pembayaran E(X,Y) bagi pemain pertama P1

dengan matriks pembayaran A = (ajr) didefinisikan sebagai :

E(X,Y) = aij yj

= XAY

Dimana X = [x1,x2,…,xm] = vektor baris yang merupakan strategi campuran bagi pemain

P1dan Y = [y1,y2,…,yn] = vektor kolom yang merupakan strategi campuran bagi pemain

P2.

18

Menurut definisi 2 ini pemain P1 seharusnya memilih X sehingga dapat

memaksimumkan nilai harapannya yang terkecil dan pemain P2 seharusnya memilih Y

sehingga dapat meminimumkan nilai harapannya yang terbesar. Dengan demikian

pemain P1 dan Y0 sebagai strategi optimum bagi pemain P2 dan E(X0,Y0) merupakan

nilai permainan.

Aturan Dominasi

Sebelum menyelesaikan suatu permainan, perlu pertimbangkan apakah ada baris

atau kolom dalam matriks pembayaran yang tidak efektif pengaruhnya didalam

penentuan strategi optimum bagi pemain P1 dan Y0 sebagi strategi optimum bagi pemain

P2 dan E(X0,Y0) merupakan nilai permainan. Bila ada maka baris atau kolom yang

seperti itu bisa dihapus atau tidak dipakai. Hal itu bahwa probabilitas untuk memilih

strategi sesuai baris atau kolom tersebut sama dengan nol.

Dengan demikian ukuran matriks pembayaran yang tersisa akan lebih kecil. Hal ini

akan mempermudah untuk menyelesaikannya, aturan yang demikian yang dinamakan

aturan dominasi.

a. Aturan dominasi bagi pemain pertama P1(pemain baris). Karena pemain P1(pemain

baris) merupakan pemain yang berusaha untuk memaksimumkan kemenangan /

perolehannya maka aturan dominasinya adalah sebagai berikut : “Bila terdapat suatu

baris dengan semua elemen dari baris tersebut adalah sama atau sekolom dari baris

yang lain maka baris tersebut dikatakan didominasi dan baris tersebut telah

dihapus”.

b. Aturan dominasi bagi pemain ke dua P2 (pemain kolom). Karena pemain P2(pemain

kolom) merupakan pemain yang berusaha untuk meminimumkan kekalahan

/kerugiannya maka aturan dominasinya adalah sebagai berikut: Bila terdapat suatu

19

kolom dengan semua elemen dari kolom tersebut adalah sama atau lebih besar dari

elemen dalam posisi yang sama (sebaris) dari kolom yang lain maka kolom tersebut

dikatakan didominasi dan kolom tersebut dapat dihapus. Aturan dominasi ini dapat

diulang lagi jika masih ada baris atau kolomnya yang didominasi oleh baris atau

kolom yang lain. Dan ini memungkinkan matriks pembayaran semula yang akan

tersisa menjadi matriks pembayaran dengan satu elemen saja. Bila hal ini dapat

terjadi maka permainannya dapat diselesaikan dengan strategi murni dengan nilai

permainan sesuai dengan elemen yang tersisa tersebut. Tetapi tidak semua

permainan yang mempunyai pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominasi

yang berulang-ulang tersebut.

2.5. Metode Penyelesaian

Yang dimaksud dengan metode penyelesaian permainan adalah usaha mencari

strategi optimum dan nilai permainan yang secara umum dapat dirumuskan sebagai

berikut:

X = [x1,x2,…,xm] dan Y = [y1,y2,…,yn] yang mengoptimumkan nilai harapan

matematis E(X,Y) = aij yj , dengan syarat = = 1, x1 ≥ 0 , yj≥ 0

untuk semua i dan j. Dimana X dan Y adalah strategi-strategi untuk masing-masing

pemain, P1 dan P2. Metode-metode tersebut antara lain :

2.5.1. Metode Aljabar

Suatu permainan berjumlah nol dari dua orang dengan masing-masing pemain

mempunyai dua pilihan strategi (langkah) dapat diselesaikan dengan metode aljabar.

20

Perhatikan pembayaran dari permainan berjumlah nol dari dua orang yang berukuran

2x2 berikut ini.

Tabel 2.5. Matriks Payoff permainan berjumlah nol dua orang

Prinsip untuk menggunakan metode aljabar untuk menyelesaikan permainan ini adalah

kedua pemain P1 dan P2 membagi waktu (sesuai dengan proporsinya) yang diperlukan

untuk memilih satu strategi .

Misalkan x = proporsi waktuyang digunakan oleh pemain P1 untuk memainkan strategi

pertama.

Yang berarti bahwa :

1-x = proporsi waktu yang digunakan untuk pemain P2 untuk memainkan strategi ke

dua.

Misalkan y = proporsi waktu yang digunakan untuk pemain P2 untuk memainkan

strategi pertama. Hal ini berarti bahwa:

1-y = proporsi waktu yang digunakan oleh pemain P2 untuk memainkan strategi ke dua.

Matriks pembayaran dapat disajikan seperti di bawah ini.

Tabel 2.6.Matriks Pembayaran permainan 2x2 dengan proporsi waktu

j 1 2

i

1

2

Pemain P2

Pemain P1 a11

a21

a12

a22

21

Bagi pemain P1

Karena dasar pemikiran pemain P1 adalah berusaha memaksimumkan

kemenangannya maka ia merancang suatu strategi yang dapat memaksimumkan

kemenangan tanpa memperhatikan langkah balasan yang akan dilakukan oleh pihak

lawannya(P2). Dengan demikan secara logika, pemain P1 ingin membagi

permainannya di antara baris-barisnya sedemikian rupa sehingga kemenangan

harapan (excpected winning) dari memainkan strategi pertama akan sama dengan

kemenangan harapan dari memainkan strategi kedua tanpa memperhatikan strategi

yang dimainkan pihak lawan (P2).

Kemenangan harapan bagi pemain P1 dapat dilihat pada tabel 2.7 di bawah ini.

1-yy

j 1 2

i

x

1-x

1

2

a11

a21

a12

a22

Pemain P2

Pemain P1

22

Tabel 2.7. Tabel kemenangan harapan bagi pemain P1.

Besarnya nilai x tersebut ditentukan dengan menggunakan prinsip pemikiran pemain

P1, yaitu bahwa total kemenangan harapan P1 ketika pemain P2 memainkan strategi

ke 1 sama dengan total kemenangan harapan P1 ketika pemain P2 memainkan

strategi ke 2.

Dari tabel 2.7 diperoleh bahwa :

x a11 + (1 - x)a21 = x12 + (1 - x)a22

x (a11 + a22 - a12 – a21) = a22 – a21

x = x1*

dan berarti

1 – x = 1 - =

= x2*

Jadi strategi optimum pemain P1 adalah X* = [x1*,x2

*]

Bagi pemain P2

Sudah barang tentu, pemain P2 (yang diasumsikan secerdas pemain P1) akan

mengikuti logika yang serupa didalam perhitungan pembagian proporsi waktu yang

Ketika P2 memainkan strategi ke 1

Ketika P2 memainkan strategi ke 2

P1 memenangkan a11unit, x kali

+

P1 memenangkan a12unit, x kali

+

P11 memenangkan a21unit, (1-x)kali

P11 memenangkan a22unit, (1-x)kali

P1 memainkan strategi ke 1, x kali

P1 memainkan strategi ke 2, (1-x) kali

Total kemenangan harapan bagiP1

x a11 + (1-x)a21 x a21 + (1-x)a22

23

diperlukan untuk setiap kolomnya. Pemain P2 bermaksud untuk membagi waktunya

antara kolom-kolomnya sedemikian rupa sehingga kemenangan harapan atau

kekalahannya ketika pemain P1 memainkan baris ke dua.

Dalam tujuan ini pemain P2 bermaksud memaksimumkan kemenangan atau

meminimumkan kekalahannya tanpa memperhatikan strategi yang dimainkan oleh

pemain P1. Dalam Tabel 2.8 di bawah ditunjukkan pembayaran harapan bagi pemain

P2 ketika ia memainkan kolom ke satu y kali dan kolom ke dua , (1-y) kali tanpa

memperhatikan reaksi dari pihak lawan.

Tabel 2.8. Tabel kekalahan harapan pemain P2 (rata-rata kekalahan P2).

Untuk mencari harga y, penalaran yang sama dengan pemain P1 tadi, yaitu dengan

menyamakan kekalahan harapan (rata-rata kekalahan) pemain P2 ketika pemain P1

memainkan strategi ke satu dengan kekalahan harapan (rata-rata kekalahan) pemain

P2 ketika pemain P1 memainkan strategi ke dua.

Dari tabel 2.8 diperoleh bahwa:

ya11 + (1 - y)a12 = ya21 + (1 - y)a22

y(a11 + a22 – a12 – a21) = a22 – a12

Ketika P2 memainkan strategi ke 1,

y kali

Ketika P2 memainkan strategi ke 2,

1-y kali

Total kekalahan harapan

(rata-rata).

Ketika P1 memainkan strategi ke 1

Ketika P1 memainkan strategi ke 2

P2 kalah a11unit, y kali

P2 kalah a12

unit, (1-y) kali

ya11 + (1-y)a12

P2 kalah a21unit, y kali

P2 kalah a22

unit, (1-y) kali

Ya21 + (1-y)a22

24

y = = y1*.

Dan berarti

1 – y = 1 - = = y2*.

Jadi strategi optimum pemain P2 adalah Y* = [y1*,y2

*].

Dengan demikian strategi optimum bagi masing-masing pemain telah diperoleh

yaitu X*= [ x1*,x2

*] dan Y*= [ y1*,y2

*]. Sekarang akan dihitung nilai permainannya

yang bersesuaian dengan strategi optimum tersebut.

Perhitungan nilai permainan dipandang dari permainan P1 maupun P2.

a. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P1 maka perlu

diperhatikan hal-hal di bawah ini (perhatikan tabel 2.7).

i. Selama pemain P2 menggunakan y1* waktunya untuk memainkan (strategi) ke

satu, pemain P1 menang a11 unit sebanyak x1* kali (ketika pemain P1 memainkan

strategi ke satu) dan pemain P1 menang a21 unit sebanyak x2* kali (ketika pemain

P1 memainkan strategi ke dua).

ii. Selama pemain P2 menggunakan y2* waktunya untuk memainkan kolom

(strategi) ke dua, pemain P1 menang a12 unit sebanyak x1* kali (ketika pemain P1

memainkan strategi ke satu) dan pemain P1 menang a22 unit sebanyak x2* kali

(ketika pemain P1 memainkan strategi ke dua).

Nilai permainannya sama dengan total kemenangan harapan (rata-rata

kemenangan) bagi pemain P1 yang secara aljabar merupakan jumlah dari kedua

pernyataan di atas (a.i dan a.ii),yaitu:

v* = y1* [ x1

* a11 + x2* a21] + y2

*[x1* a12 + x2

* a22]

25

Ini berarti bahwa jika pemain P1 memainkan strategi itu, ia dapat mengharapkan

rata-rata kemenangan (kemenangan harapan) sebesar V* unit per permainan. Jika

nilai permainan ini bertanda positif maka pemain P1 sebagai pemenangnya dan

sebaliknya jika permainan itu bernilai negatif maka pemain P2 sebagai

pemenangnya.

b. Jika nilai permainan dihitung menurut pandangan pemain P2 maka perlu

memperhatikan hal-hal di bawah ini (perhatikan tabel 2.7):

i. Selama pemain P1 menggunakan xi* waktunya untuk memainkan stregi ke satu,

pemain P2 akan kalah a11 unit y1* kali (ketika pemain P2 memainkan strategi ke

satu) dan pemain P2 kalah a12 unit y2* kali (ketika pemain P2 memainkan strategi

ke dua).

ii. Selama pemain P1 menggunakan x2* waktunya untuk memainkan strategi ke dua,

pemain P2 akan kalah a21 unit y1* kali (ketika pemain P2 mamainkan strategi ke

satu) dan pemain P2 kalah a22 unit y2* kali (ketika pemain P2 memainkan strategi

ke dua).

Nilai permainannya sama dengan total kekalahan harapan (rata-rata kekalahan)

bagi pemain P2 yang secara aljabar merupakan jumlah dari kedua pernyataan di

atas(b.i dan b.ii), yaitu:

v* = x1* [ y1

* a11 + y2* a12] + x2

*[y1* a21 + y2

* a22]

Metode Grafik

Metode grafik hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu permainan bila

dalam permainan itu terdapat paling sedikit seorang pemain yang hanya mempunyai dua

pilihan strategi sehingga permainan yang dapat diselesaikan dengan metoda grafik ini

berukuran 2 x 2, 2 x n atau m x 2. Di dalam menyelesaikan permainan dengan metode

26

grafik ini pemain yang hanya mempunyai dua strategi, harus mencari strategi yang

optimum terlebih dahulu. Setelah strategi optimum pemain yang hanya mempunyai dua

strategi tersebut didapatkan, barulah kemudian menghitung strategi optimum pemain

yang mempuyai lebih dari dua strategi. Hal tesebut dapat dilakukan dengan

menghitungnya dengan aturan dualitas program linier.

a. Permainan berukuran 2 x n

Matriks pembayaran dari permainan berukuran 2 x n adalah:

Tabel 2.9. Matriks pembayaran permainan 2 x n

Dengan = 1 dan = 1, xi ≥ 0 , y1 ≥ 0 untuk setiap i dan j. Di sini

diasumsikan bahwa permainan ini tidak mempunyai titik pelana. Karena pemain P1

mempunyai dua strategi yang berarti bahwa x2 = 1 – x1, dengan x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0.

Pembayaran harapan(expected payoff )-nya yang berkaitan dengan strategi murni

pemain P2 adalah:

Tabel 2.10. Pembayaran harapan strategi murni

Strategi murni pemain P2

Pembayaran harapan bagi pemain P1

1

2

a11xi + a21(1 - x1) = (a11 – a22)x1 + a21

a12xi + a22(1 - x1) = (a12 – a22)x1 + a22

27

Pemain P2

x1

x2 = 1-x1

y2y1

j 1 2

i

1 a11

2

yn...

...

...

...

n

a21

a12

a22

a1n

a2n

Pemain P1

3

n

a13xi + a23(1 - x1) = (a13 – a23)x1 + a23

a1nxi + a2n(1 - x1) = (a1n – a2n)x1 + a2n

Tabel 2.10 tersebut menunjukkan bahwa pembayaran harapan (rata-rata

pembayaran) bagi pemain P1 bervariasi secara linier dengan x1. Berdasarkan kriteria

minimaks untuk permainan dengan strategi campuran, pemain P1 harus memilih

nilai x1 yang akan memaksimalkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran)

meminimumnya (prinsip maksimin). Hal ini dapat dilakukan dengan cara

menggambarkan garis-garis lurus di atas sebagai fungsi dari x1. Sumbu vertikal

menunjukkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) dan sumbu horizontal

menunjukkan variasi dari x1 (0 ≤ x1 ≤ 1). Dalam grafik dicari titik maksiminnya

(sesuai dengan prinsip maksimin bagi pemain P1).

Metode Program Linier

Teori permainan dan program linier mempunyai hubungan yang sangat erat karena

setiap bentuk permainan yang berjumlah nol dari dua orang (yang berhingga) dapat

dinyatakan sebagai suatu bentuk program linier dan sebaliknya, setiap permasalahan

program linier dapat disajikan sebagai suatu permainan.

Dalam penyelesaian suatu permainan dengan metode program linier ini, kita sering

dihadapkan kepada masalah metode simplek dualitas. Untuk suatu permainan suatu

matriks pembayaran yang berukuran besar(m x n) dan tidak mempunyai titik pelana

serta metode dominasi tidak dapat digunakan untuk mereduksi ukuran matriks

pembayarn menjadi lebih kecil, maka program linier menawarkan suatu metode

penyelesaian yang efisien.

Perhatikan matriks pembayaran di bawah ini.

28

.

.

.

.

.

.

Tabel 2.11. Matriks Payoff Permainan m x n

Dengan :

xi = probabilitas pemain P1 memilih strategi ke i

yj = probabilitas pemain P2 memilih strategi ke j

aij = nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi ke i pemain P1, dan ke j

pemain P2 i = 1,2,3,…,m dan j = 1,2,3,…,n.

Untuk pemain P1 (pemain baris).

Pemain P1 memilih xi, yang akan menghasilkan

x1

x2

x3

y1 y2 y3 ... yn

...

...

...

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n

a31 a32 a33 a3n

.

.

.

.

.

.

...xm am1 am2 am3 amn

Pemain P2

Pemain P1

29

Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum bagi pemain P1 memenuhi

berdasarkan pembatas :

= 1 dan xi ≥ 0, i = 1,2,3,…,m.

Persoalan ini dapat disajikan ke bentuk program linier sebagai berikut bila:

V = min

Maka persoalan ini menjadi :

Maksimum Z = v.

Berdasarkan pembatas :

aij xi ≥ v, j = 1,2,3,…,n.

xi = 1, xi ≥ 0 untuk semua i

v = nilai permainan.

Perumusan program linier tersebut di atas dapat disederhanakan dengan membagi (n+1)

pembatas dengan v. Pembagian ini berlaku untuk v > 0. Jika v = 0 maka pembagian

tidak berlaku. Jika tidak demikian, jika v < 0, arah batas pertidaksamaan harus dibalik.

Hal ini tidak menyajikan masalah khusus apapun, karena konstanta positif K dapat

ditambahkan ke semua entri dari matriks hasil, sehingga menjamin nilai permainan

untuk matriks yang dimodifikasi ini adalah lebih besar dari nol. Sebagai pedoman,

diambil dari k ≥ harga mutlak dari elemen yang terkecil sehingga sebelum merumuskan

ke dalam bentuk program linier perlu diperiksa nilai maksimin barisnya karena bila nilai

maksimin tersebut negatif maka ada kemungkinan nilai permainannya negatif atau nol.

30

Dengan demikian matriks pembayaran yang perlu dimodifikasi dahulu dan sebagai

konsekuensinya adalah bila solusi optimum telah diperoleh maka nilai permainan yang

sebenarnya ditentukan dengan mengurangi sebesar k tadi dari nilai permainan yang

dimodifikasi itu.

Pada umumnya jika nilai maksiminnya positif maka nilai permainannya lebih besar

daripada nol (terutama permainan yang mempunyai titik pelana). Oleh karena itu di

dalam pembentukan rumusan program linier diasumsikan bahwa v>0. Pembatas-

pembatas (constrains) dalam rumusan program linier di atas menjadi:

aij ≥ 1, i = 1,2,3,…,n.

= , xi ≥ 0 untuk semua i.

Bila dinotasikan Xi = ; i = 1,2,3,…,m maka X1 + X2 + X3 + … + Xm =

Karena max V = min = min [ X1 + X2 + X3 + … + Xm ] maka persoalan di atas

menjadi :

Meminimumkan z = X1 + X2 + X3 + … + Xm =

Berdasarkan pembatas:

11X1 + a21X2 + a31X3 + …+ am1Xm ≥ 1

a12X1 + a22X2 + a32X3 + …+ am2Xm ≥ 1

a1nX1 + a2nX2 + a3nX3 + …+ amnXm ≥ 1

X1, X2, X3, …,Xm ≥ 0

31

.

.

.

Dari sini kemudian dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian bagi

pemain P2 merupakan dual dari penyelesaian P1. Jadi penyelesaian optimum bagi salah

satu pemain dapat dapat memberikan penyelesaian optimum bagi pemain yang lainnya

walaupun penyelesaian bagi pemain P2 merupakan dual dari penyelesaian pemain P1.

Perhitungan penyelesaian optimum bagi pemain P2 dapat dilakukan dengan

menggunakan metode simpleks dan penyelesaian pemain P1 merupakan dualnya. Dan

pada kenyataannya bahwa lebih mudah untuk menghitung penyelesaian pemain P2

dengan metode simpleks dahulu.

Untuk pemain P2 (pemain kolom).

Pemain P2 memilih yj, yang akan menghasilkan:

Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum pemain P2 memenuhi

berdasarkan pembatas:

dan yj ≥ 0, j = 1,2,3,…,n.

Persoalan ini dapat juga dirumuskan ke dalam bentuk program linier sebagai berikut:

Bila V =

Maka persoalan di atas menjadi, meminimumkan W = v berdasarkan pembatas :

aij yj ≤ v, i = 1,2,3,…,m.

32

, yj ≥ 0, untuk semua j

v = nilai permainan

Asumsikan bahwa v > 0 maka pembatas-pembatas dalam rumusan program linier di

atas menjadi :

aij ≤ 1, i = 1,2,3,…,m

dan

= , yj ≥ 0 untuk semua j.

Bila dinotasikan yj = ; j = 1,2,3,…,n maka

Memaksimumkan w =Y1 + Y2 + Y3 + … + Yn =

Berdasarkan pembatas-pembatas:

a11Y1 + a21Y2 + a31Y3 + …+ am1Ym ≥ 1

a12Y1 + a22Y2 + a32Y3 + …+ am2Ym ≥ 1

a1nY1 + a2nY2 + a3nY3 + …+ amnYm ≥ 1

Y1, Y2, Y3, …,Ym ≥ 0

Kemudian diselesaikan dengan metode simpleks dan penyelesaian pemain P1

merupakan dual dari penyelesaian pemain P2 dan simpleksnya lebih sederhana.

33

.

.

.

Permainan Berjumlah Nol dari n Pemain

Sesuai dengan pengertian dalam teori permainan, maka untuk jumlah pemain n > 2

dibentuk menjadi 2 kelompok yang juga saling berhadapan (bersaing).

Ada dua asumsi di dalam pembahasan permainan berjumlah nol dari n orang ini yaitu :

(kartono,1994)

1. Setiap pemain dalam permainan ini dapat berkomunikasi dan berunding dengan

pemain yang lain untuk membuat suatu perjanjian yang mengikat. Hal ini berarti ada

kerja sama di antara pemain. Barangkali perjanjian ini meliputi dua jenis, yaitu

koordinasi strategis dan pembagian pembayaran. Jika suatu kelompok pemain

menyatakan untuk bekerja sama maka mereka membentuk koalisi. Suatu koalisi

adalah persetujuan di antara beberapa pemain untuk mengkoordinasikan strategi

mereka yang ada dalm suatu cara (jalan) sedemikian sehingga seluruh anggota itu

akan beruntung. Analisis mengenai bentuk koalisi ini merupakan bagian yang

terpenting di dalam mempelajari permainan berjumlah nol dari n orang (n person

zero sum game) ini.

2. Para pemain dapat membuat pembayaran sampingan (side payment), yaitu suatu

transfer (pemindahan) pembayaran di antara pemain. Oleh karena itu mereka akan

membentuk suatu koalisi jika pembayaran-pembayaran itu sedemikian rupa

sehingga anggota-anggota koalisi (melalui kerja sama) dapat mencapai total

pembayaran untuk koalisi itu lebih besar daripada mereka bermain secara individu.

Setelah koalisi memaksimumkan total pembayarannya, pembayaran untuk para

anggota koalisi itu diatur dengan pembuatan pembayaran sampingan (side payment)

itu.

Sesuai dengan definisi permainan di sini maka diasumsikan bahwa pemain-pemain

dalam permainan n orang ini dapat dibagi menjadi dua kelompok (koalisi) yang saling

34

berhadapan (bersaing). Setelah terbentuk dua koalisi (kelompok), permainan n orang ini

dapat diperlakukan sebagai permainan dua orang, yaitu koalisi I melawan koalisi II.

Penerapan Khusus Teori Permainan Dalam Penelitian Ini

Teori permainan dalam penelitian ini difokuskan pada persaingan strategi yang

dilakukan oleh beberapa pasar swalayan yang ada di kawasan surabaya timur.

Persaingan strategi yang dimaksud adalah persaingan strategi pemasaran untuk meraih

konsumen sebanyak mungkin, dengan jalan mempertahankan konsumen lama dan

berusaha untuk merebut konsumen baru pada para pesaing.

Pada penyelesaian masalah ini digunakan metode pengembangan program linier

untuk menyelesaikan masalah permainan jumlah nol dari dua orang. Setelah dilakukan

perhitungan dengan persamaan linier diselesaikan dengan menggunakan metoda

simpleks dan metode dualitas.

35