Teori Permainan (Game Theory) - Sigit Nugroho
Transcript of Teori Permainan (Game Theory) - Sigit Nugroho
Teori Permainan (Game Theory)
Disusun oleh :
Prof. Ir.Sigit Nugroho, M.Sc. Ph.D. Universitas Bengkulu
smr
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 72
Pay-off Matrix Two person zero sum game
mnmm
n
n
ppa
ppa
bb
...
............
...
...
1
1111
1
ai = tindakan yang diambil pemain pertama; bj =
tindakan yang diambil pemain kedua. pij merupakan
payoff akibat interaksi kedua pemain
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 73
Strategi Permainan
Keputusan bermain baris (kolom) tertentu dengan
peluang 1 dan semua baris (kolom) yang lain dengan
peluang 0 disebut dengan strategi murni (pure
strategy) dari pemain pertama (kedua).
Setiap pemain tahu bahwa lawan main rasional dan
memiliki tujuan yang sama, yaitu memaksimumkan
payoff dari lawan, sehingga masing-masing memilih
keputusan dengan menggunakan kriteria minimax
konservatif.
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 74
Maximin dan Minimax serta nilai permainan
)(minmax ij
jirs ppv
)(maxmin ijij
tu ppv
Strategi murni maximin
Strategi murni minimax
Jika nilai minimax sama dengan nilai maximin, maka
nilai ini disebut dengan titik pelana (saddle point),
dan strategi murni minimax dan maximinnya disebut
dengan strategi optimal.
vv
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 75
Maximin dan Minimax Teladan
Min Baris
2 4 1 1
3 5 4 3 Maximin
Baris
Max
Kolom 3 5 4
Minimax
Kolom
Pemain 1
Pemain 2
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 76
Strategi Campuran dan Harapan Payoffnya
m
i
x
x
x
X
...
...
1
Pemain pertama memutuskan untuk bermain dengan
strategi baris ke i dengan peluang xi (i = 1, 2, …, m)
dimana lebih dari satu xi lebih besar dari nol.
X adalah strategi campuran
pemain pertama
m
i
ix1
1
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 77
Strategi Campuran dan Harapan Payoffnya
nj yyyY ......1
Pemain kedua memutuskan bermain dengan
menggunakan strategi kolom j dengan peluang yj
(dimana j = 1, 2, …, n) dimana lebih dari satu yj lebih
besar dari nol.
n
j
jy1
1
Y adalah strategi campuran pemain kedua
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 78
Strategi Campuran dan Harapan Payoffnya
m
i
n
j
ijji pyxPayoffE1 1
)(
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 79
Strategi Maximin Optimal Pemain pertama
*
*
*
1
*
...
...
m
i
x
x
x
X
m
i
n
j
ijji pyx1 1
*
Sebesar mungkin
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 80
Strategi Minimax Optimal Pemain kedua
***
1
* ...... nj yyyY
m
i
n
j
ijji pyx1 1
*
Sekecil mungkin
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 81
Akibatnya …
m
i
n
j
ijji Yvpyx1 1
*
m
i
n
j
ijji Xvpyx1 1
*
m
i
n
j
ijji vpyxPayoffE1 1
**)(
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho
82
Permainan 2 x 2
*
1
*
2
21122211
1222*
1
*
1
*
2
21122211
2122*
1
1
1
yypppp
ppy
xxpppp
ppx
Langkah 1 : Periksa adanya titik pelana dalam matriks
payoff. Jika sedikitnya ada satu titik pelana, maka
strategi minimax optimalnya adalah strategi murni. Jika
tak ada titik pelana lakukan langkah 2.
Langkah 2 : Strategi minimax optimal untuk pemain
pertama dan kedua adalah sebagai berikut
Langkah 3 : Menghitung nilai permainan
2
1
2
1
**
i j
ijji pyxv
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 83
Teladan Permainan 2 x 2
23
41Pemain 1
Pemain 2
Tentukan strategi campuran dan nilai nya !
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 84
Dominansi suatu usaha untuk mengurangi ukuran matriks payoff
Baris ke-i mendominasi baris ke-k dala
matriks payoff jika pij ≥ pkj untuk j = 1,2, …,
n.
Bila ini terjadi, baris ke-k dapat
dieliminasi dari proses perhitungan
Kolom ke-j mendominasi kolom ke-k dalam
matriks payoff pij ≥ pik untuk i = 1,2, …, m.
Bila ini terjadi, kolom ke-j dapat
dieliminasi dari proses perhitungan
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit
Nugroho
85
Dominansi
2533
0412
4265
2453
2533
4265
2453
253
425
243
25
42
24
25
42
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 86
Perluasan Dominansi
1;1
m
kii
i
mippn
kjj
ijjik ,...,2,1;1
njpp kj
m
kii
iji ,...,2,1;1
Perihal dominansi dapat diperluas pada kasus dimana
suatu baris dapat didominasi oleh kombinasi konvex
(convex combination) baris-baris yang lain.
Suatu kolom dapat didominasi oleh kombinasi konvex
(convex combination) kolom-kolom yang lain.
n
kjj
j
;1
1
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 87
Solusi Permainan 2 x n
Pe
main 1
Pemain 2
y1 y2 … yn
x1 p11 p12 … p1n
1-x1 p21 p22 … p2n
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 88
Solusi Permainan 2 x n
1. Periksa adanya titik pelana. Jika ada, maka
strategi minimax optimal adalah strategi murni.
Mainkan baris dan kolom titik pelana dengan
peluang 1. Titik pelana merupakan nilai
permainan. Jika tak ada titik pelana pergi ke
langkah 2.
2. Periksa dominansi kolom. Hilangkan kolom yang
mendominasi kolom2 lain termasuk dengan
menggunakan konsep kombinasi konvex. Hal ini
digunakan untuk mengurangi ukuran permainan
dan tak diperlukan dengan menggunakan metode
grafik
Program Doktor Ilmu Manajemen - Sigit Nugroho 89
Solusi Permainan 2 x n
3. Tuliskan kendala
x1p1j + (1-x1)p2j ≥ v untuk sejumlah j kolom yang
tidak tereliminasi pada langkah 2 atau
v – (p1j-p2j)x1 ≤ p2j
4. Tuliskan kendala pada langkah 3 dalam bentuk
v – (p1j-p2j)x1 = p2j
5. Plot persamaan-persamaan dalam langkah 4.
Persamaan2 ini akan membentuk batas atas
wilayah layak yang didiskripsikan oleh kendala
dalam langkah 3 untuk 0 ≤ x1 ≤ 1, jika v diplotkan
sebagai fungsi dari x1.