Fungsi kuadrat

Aljabar Elementer © 2014

Swaditya Rizki, M.Sc.

f (x)

-3 .

-2 .

-1 .

0 .

.-1

. 0

. 3

. 8

FUNGSI KUADRAT

1. Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat adalah pemetaan dari daerah asal (domain) ∈ 𝑅 ke tepat

satu daerah hasil (range) yang dinyatakan dengan rumus

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

dimana a, b, dan c adalah konstanta bilangan riil, 𝑎 ≠ 0. Dengan 𝑓(𝑥) atau 𝑦

disebut dengan fungsi. Bila 𝑥1dan 𝑥2 adalah absis titik potong pada sumbu x

maka fungsi kuadrat dapat ditulis sbb:

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

Contoh 1:

Akan ditunjukkan fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3 bahwa untuk

setiap nilai 𝑥 memetakan ke satu nilai 𝑦.

Penyelesaian:

untuk 𝑥 = −3 → 𝑓 𝑥 = (−3)2 + 4 −3 + 3 = 0

untuk 𝑥 = −2 → 𝑓 𝑥 = −2 2 + 4 −2 + 3 = −1

untuk 𝑥 = −1 → 𝑓 𝑥 = (−1)2 + 4 −1 + 3 = 0

untuk 𝑥 = 0 → 𝑓 𝑥 = (0)2 + 4 0 + 3 = 3

untuk 𝑥 = 1 → 𝑓 𝑥 = (1)2 + 4 1 + 3 = 8

untuk 𝑥 = 2 → 𝑓 𝑥 = (2)2 + 4 2 + 3 = 15

x



Pada fungsi kuadrat ini akan diselidiki mengenai:

a. Pembuat nol 𝑓(𝑥) atau harga nol 𝑓(𝑥).

b. Nilai-nilai ekstrim dari 𝑓(𝑥).

a. Pembuat nol dari 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Maksud pembuat nol disini adalah nilai 𝑥 yang menyebabkan 𝑓 𝑥 = 0.

Untuk mencari nilai 𝑥 dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat

sebagai berikut:

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Jika 𝐷 > 0, maka akan didapat dua nilai pembuat nol yaitu 𝑥1dan 𝑥2,

𝑥1 ≠ 𝑥2.

Jika 𝐷 = 0, maka akan didapat sebuah nilai pembuat nol yaitu 𝑥1 = 𝑥2 =

−𝑏

2𝑎.

x2 x1 x2 x1

x1=x2



Jika 𝐷 < 0, maka tidak ada nilai pembuat nol.

Fungsi seperti ini (D < 0) mempunyai 2 harga definit yaitu :

1. Definit Positif

Fungsi akan selalu berharga positif untuk setiap harga x atau grafik

fungsi seluruhnya berada diatas sumbu x. Syaratnya a > 0, D < 0

2. Definit Negatif

Fungsi akan selalu berharga negatif untuk setiap harga x atau grafik

fungsi seluruhnya berada dibawah sumbu x. Syaratnya a < 0, D < 0

b. Nilai Ekstrim

Nilai Ekstrim ada dua kategori yaitu ekstrim maksimum (𝑦𝑚𝑎𝑥 ) dan ekstrim

minimum (𝑦𝑚𝑖𝑛 ).

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Dapat diubah menjadi:

x1=x2



a

D

a

bxa

a

acb

a

bxa

a

bac

a

bxa

a

bc

a

bxa

a

b

a

ca

a

bx

a

bxa

a

b

a

c

a

bx

a

bxa

a

cx

a

bxa

cbxaxxf

42

4

4

2

4

4

2

42

42

22

)(

2

22

22

22

2

22

2

22

2

2

2

Karena 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

selalu positif atau nol, maka tanda 𝑎 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

selalu

tergantung pada tanda a , sedangkan 𝐷

−4𝑎 merupakan konstanta.

Jika a > 0, maka 2

2

a

bxa selalu positif atau nol sehingga

f(x) mencapai minimum = a

D

4apabila

a

bx

2

Jika a < 0, maka 2

2

a

bxa selalu negatif atau nol sehingga f(x)

mencapai maksimum = a

D

4 apabila

a

bx

2

Dari turunan fungsi di atas, jika titik puncaknya (𝑝, 𝑞) maka persamaan

fungsi kuadrat di atas dapat ditulis sbb:

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑞



8

1.8

8

42

b

b

ab

a

bx

9

74.84

78)(

2

2

xxxfy

Ciri-ciri fungsi kuadrat dan grafiknya:

1. Memiliki sumbu simetri 𝑥 =−𝑏

2𝑎 .

2. Koordinat titik puncak (−𝑏

2𝑎,

𝐷

−4𝑎)

3. 𝑎 > 0 grafik terbuka ke atas.

𝑎 < 0 grafik terbuka ke bawah.

4. Jika tanda b sama dengan tanda a, puncak berada disebelah kiri

sumbu y.

Jika tanda b berbeda dengan tanda a, puncak berada disebelah kanan

sumbu y.

5. 𝑐 > 0 grafik memotong sumbu y positif.

𝑐 < 0 grafik memotong sumbu y negatif.

𝑐 = 0 grafik melalui titik (0,0).

6. 𝐷 > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

𝐷 = 0 grafik menyinggung sumbu x.

𝐷 < 0 grafik tidak memotong sumbu x.

Contoh 2:

Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑏𝑥 + 7 puncaknya berabsis 4, maka ordinatnya adalah…

Penyelesaian:

Ordinatnya =

Contoh 3:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik potong pada sumbu x yaitu -2

dan 5, serta memotong sumbu y pada (0,10).

Penyelesaian:

Titik potong pada sumbu x: (-2,0) dan (5,0) dan titik potong pada sumbu y:

(0,10)

Fungsi kuadratnya yaitu:



14

0)1)(4(

043

016124

41612

.4

..443

4

4

2

2

2

2

2

max

aataua

aa

aa

aa

aa

a

aa

a

acby

13

2

0)1)(23(

0223

016824

24168

)2(4

)3)(2(4)4(1

4

4

2

2

2

2

2

max

aataua

aa

aa

aa

aa

a

aa

a

acby

103

)103(1

)5)(2(1

2

2

xx

xx

xxy

adalahtersebutkuadratfungsijadi

1

)50)(20(10

)10,0(

)5)(2(

))(( 21

a

a

melalui

xxay

xxxxay

Contoh 4:

Nilai tertinggi fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 𝑎 ialah 3, sumbu simetrinya adalah…

Penyelesaian:

Karena titik puncaknya adalah maksimum, maka pilih 𝑎 < 0, yaitu a = -1.

Sehingga sumbu simetrinya adalah

2)1(2

4

2

a

bx

∴ Sumbu simetrinya adalah 2.

Contoh 5:

Jika fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑥2 − 4𝑥 + 3𝑎 mempunya nilai maksimum 1,

maka 27𝑎2 − 9𝑎 = ⋯

Penyelesaian:

Jadi, 27𝑎2 − 9𝑎 =

27(−2

3)2 − 9 −

2

3 = 18.



15164)(

15164

1)2(4

)(

,

4

)1())2(1(3

)(

2

2

2

2

2

2

xxxfyadalahtersebutkuadratfungsi

xxy

xy

qpxay

maka

a

a

qpxay

yaitu1)2,(baliktitikkoordinatmempunyai

dan1,3)(titikmelaluiyangkuadratfungsi

)1,2(,

11.4

3.1.44

4

2)1(2

4

2

2

yaitubaliknyatitikkoordinatjadi

a

Dy

a

bx

Contoh 6:

Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama

dengan puncak grafik 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3 adalah…

Penyelesaian:

Contoh 7:

Tentukan a agar fungsi f(x) = x2 +4x + (a – 3) harganya selalu positif untuk setiap harga x ? Penyelesaian :

Definit positif syaratnya 𝑎 > 0 sudah dipenuhi

D < 0 16 – 4 (1) (a – 3) < 0

16 – 4a + 12 < 0

-4a < 0

a > 7



2. Grafik Fungsi Kuadrat

Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, a 0

adalah parabola. Sedangkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 disebut persamaan

parabola.

Untuk melukis grafik fungsi :

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Diperlukan syarat-syarat sebagai berikut :

1. Titik potong dengan sumbu x

Syarat f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0

(x – x1) (x – x2) (x1, 0) dan (x2, 0)

2. Titik potong dengan sumbu y

Syarat x = 0 f(0) = a(0)2 + b (0) + c

f(x) = c (0,c)

3. Sumbu Simetri

Sumbu simetrinya adalah : a

bx

2

4. Titik balik / Titik puncak

Titik balik atau titik puncak adalah:

a

Dy

4

Sehingga koordinat titik puncak adalah

P(x,y)

P(a

b

2 ,

a

D

4)

Parabola mencapai titik balik minimum jika a >0 dan parabola mencapai

titik balik maksimum jika a <0.



Contoh 8:

Gambarlah grafik fungsi 86)( 2 xxxf

Penyelesaian:

Titik potong dengan sumbu x, syarat f(x) = 0

x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0

(2,0) dan (4,0)

Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0

f(0) = 02 + 6 ( 0) + 8

= 8

f(x) = 8 (0,8)

Koordinat titik puncak adalah (x,y)

x = -b/2a = 6/2 =3

y = D/-4a = b2 – 4ac / -4a = 36 – 4 (1) (8)/-4

= 36 – 32 / -4

= 4/-4

= -1

Jadi puncaknya adalah p (x,y) p (3,-1). Untuk mendapatkan gambar

grafik yang baik kita menggunakan tabel fungsi sebagai berikut:

x 0 1 2 3 4 5 6

y 8 3 0 -1 0 3 8

Gambar grafik:

(3,-1)

y

x

-1

4 2

8



Latihan:

1. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 8𝑥 + 𝑝

adalah 20. Nilai 𝑓 2 = ⋯

Penyelesaian:

2. Jika fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥2 − 𝑝 − 1 𝑥 − 6 mencapai nilai tertinggi untuk

𝑥 = −1, maka nilai 𝑝 = …

Penyelesaian:

3. Jika fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑎 mempunyai nilai minimum -11,

maka 𝑎2 − 𝑎 = ⋯

Penyelesaian:



4. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk 𝑥 = 1 dan

mempunyai nilai 3 untuk 𝑥 = 2 adalah…

Penyelesaian:

5. Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta

mempunyai sumbu simetri 𝑥 = 1, mempunyai nilai ekstrim… (minimum atau

maksimum?)

Penyelesaian:



6. Gambarlah grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya

a. 23)( 2 xxxf

b. 82)( 2 xxxf



c. 34)( 2 xxxf

d. 43)( 2 xxxf



e. 2)( 2 xxxf

f. 23)( 2 xxxf



7. Gambarlah grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya:

a. 32)( 2 xxxf

b. 12)( 2 xxxf



c. 42)( 2 xxxf



Catatan:

Fungsi kuadrat

Education

Transcript of Fungsi kuadrat