Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
f (x)
-3 .
-2 .
-1 .
0 .
.-1
. 0
. 3
. 8
FUNGSI KUADRAT
1. Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat adalah pemetaan dari daerah asal (domain) β π ke tepat
satu daerah hasil (range) yang dinyatakan dengan rumus
π¦ = π π₯ = ππ₯2 + ππ₯ + π
dimana a, b, dan c adalah konstanta bilangan riil, π β 0. Dengan π(π₯) atau π¦
disebut dengan fungsi. Bila π₯1dan π₯2 adalah absis titik potong pada sumbu x
maka fungsi kuadrat dapat ditulis sbb:
π¦ = π π₯ = π(π₯ β π₯1)(π₯ β π₯2)
Contoh 1:
Akan ditunjukkan fungsi kuadrat π π₯ = π¦ = π₯2 + 4π₯ + 3 bahwa untuk
setiap nilai π₯ memetakan ke satu nilai π¦.
Penyelesaian:
untuk π₯ = β3 β π π₯ = (β3)2 + 4 β3 + 3 = 0
untuk π₯ = β2 β π π₯ = β2 2 + 4 β2 + 3 = β1
untuk π₯ = β1 β π π₯ = (β1)2 + 4 β1 + 3 = 0
untuk π₯ = 0 β π π₯ = (0)2 + 4 0 + 3 = 3
untuk π₯ = 1 β π π₯ = (1)2 + 4 1 + 3 = 8
untuk π₯ = 2 β π π₯ = (2)2 + 4 2 + 3 = 15
x
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
Pada fungsi kuadrat ini akan diselidiki mengenai:
a. Pembuat nol π(π₯) atau harga nol π(π₯).
b. Nilai-nilai ekstrim dari π(π₯).
a. Pembuat nol dari π π₯ = ππ₯2 + ππ₯ + π
Maksud pembuat nol disini adalah nilai π₯ yang menyebabkan π π₯ = 0.
Untuk mencari nilai π₯ dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat
sebagai berikut:
π₯1,2 =βπ Β± π2 β 4ππ
2π
Jika π· > 0, maka akan didapat dua nilai pembuat nol yaitu π₯1dan π₯2,
π₯1 β π₯2.
Jika π· = 0, maka akan didapat sebuah nilai pembuat nol yaitu π₯1 = π₯2 =
βπ
2π.
x2 x1 x2 x1
x1=x2
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
Jika π· < 0, maka tidak ada nilai pembuat nol.
Fungsi seperti ini (D < 0) mempunyai 2 harga definit yaitu :
1. Definit Positif
Fungsi akan selalu berharga positif untuk setiap harga x atau grafik
fungsi seluruhnya berada diatas sumbu x. Syaratnya a > 0, D < 0
2. Definit Negatif
Fungsi akan selalu berharga negatif untuk setiap harga x atau grafik
fungsi seluruhnya berada dibawah sumbu x. Syaratnya a < 0, D < 0
b. Nilai Ekstrim
Nilai Ekstrim ada dua kategori yaitu ekstrim maksimum (π¦πππ₯ ) dan ekstrim
minimum (π¦πππ ).
π¦ = π π₯ = ππ₯2 + ππ₯ + π
Dapat diubah menjadi:
x1=x2
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
a
D
a
bxa
a
acb
a
bxa
a
bac
a
bxa
a
bc
a
bxa
a
b
a
ca
a
bx
a
bxa
a
b
a
c
a
bx
a
bxa
a
cx
a
bxa
cbxaxxf
42
4
4
2
4
4
2
42
42
22
)(
2
22
22
22
2
22
2
22
2
2
2
Karena π₯ +π
2π
2
selalu positif atau nol, maka tanda π π₯ +π
2π
2
selalu
tergantung pada tanda a , sedangkan π·
β4π merupakan konstanta.
Jika a > 0, maka 2
2
a
bxa selalu positif atau nol sehingga
f(x) mencapai minimum = a
D
4apabila
a
bx
2
Jika a < 0, maka 2
2
a
bxa selalu negatif atau nol sehingga f(x)
mencapai maksimum = a
D
4 apabila
a
bx
2
Dari turunan fungsi di atas, jika titik puncaknya (π, π) maka persamaan
fungsi kuadrat di atas dapat ditulis sbb:
π¦ = π π₯ = π π₯ β π 2 + π
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
8
1.8
8
42
b
b
ab
a
bx
9
74.84
78)(
2
2
xxxfy
Ciri-ciri fungsi kuadrat dan grafiknya:
1. Memiliki sumbu simetri π₯ =βπ
2π .
2. Koordinat titik puncak (βπ
2π,
π·
β4π)
3. π > 0 grafik terbuka ke atas.
π < 0 grafik terbuka ke bawah.
4. Jika tanda b sama dengan tanda a, puncak berada disebelah kiri
sumbu y.
Jika tanda b berbeda dengan tanda a, puncak berada disebelah kanan
sumbu y.
5. π > 0 grafik memotong sumbu y positif.
π < 0 grafik memotong sumbu y negatif.
π = 0 grafik melalui titik (0,0).
6. π· > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
π· = 0 grafik menyinggung sumbu x.
π· < 0 grafik tidak memotong sumbu x.
Contoh 2:
Jika π π₯ = π₯2 β ππ₯ + 7 puncaknya berabsis 4, maka ordinatnya adalahβ¦
Penyelesaian:
Ordinatnya =
Contoh 3:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik potong pada sumbu x yaitu -2
dan 5, serta memotong sumbu y pada (0,10).
Penyelesaian:
Titik potong pada sumbu x: (-2,0) dan (5,0) dan titik potong pada sumbu y:
(0,10)
Fungsi kuadratnya yaitu:
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
14
0)1)(4(
043
016124
41612
.4
..443
4
4
2
2
2
2
2
max
aataua
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
acby
13
2
0)1)(23(
0223
016824
24168
)2(4
)3)(2(4)4(1
4
4
2
2
2
2
2
max
aataua
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
acby
103
)103(1
)5)(2(1
2
2
xx
xx
xxy
adalahtersebutkuadratfungsijadi
1
)50)(20(10
)10,0(
)5)(2(
))(( 21
a
a
melalui
xxay
xxxxay
Contoh 4:
Nilai tertinggi fungsi π π₯ = ππ₯2 + 4π₯ + π ialah 3, sumbu simetrinya adalahβ¦
Penyelesaian:
Karena titik puncaknya adalah maksimum, maka pilih π < 0, yaitu a = -1.
Sehingga sumbu simetrinya adalah
2)1(2
4
2
a
bx
β΄ Sumbu simetrinya adalah 2.
Contoh 5:
Jika fungsi kuadrat π π₯ = 2ππ₯2 β 4π₯ + 3π mempunya nilai maksimum 1,
maka 27π2 β 9π = β―
Penyelesaian:
Jadi, 27π2 β 9π =
27(β2
3)2 β 9 β
2
3 = 18.
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
15164)(
15164
1)2(4
)(
,
4
)1())2(1(3
)(
2
2
2
2
2
2
xxxfyadalahtersebutkuadratfungsi
xxy
xy
qpxay
maka
a
a
qpxay
yaitu1)2,(baliktitikkoordinatmempunyai
dan1,3)(titikmelaluiyangkuadratfungsi
)1,2(,
11.4
3.1.44
4
2)1(2
4
2
2
yaitubaliknyatitikkoordinatjadi
a
Dy
a
bx
Contoh 6:
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama
dengan puncak grafik π π₯ = π₯2 + 4π₯ + 3 adalahβ¦
Penyelesaian:
Contoh 7:
Tentukan a agar fungsi f(x) = x2 +4x + (a β 3) harganya selalu positif untuk setiap harga x ? Penyelesaian :
Definit positif syaratnya π > 0 sudah dipenuhi
D < 0 16 β 4 (1) (a β 3) < 0
16 β 4a + 12 < 0
-4a < 0
a > 7
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
2. Grafik Fungsi Kuadrat
Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi π¦ = π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π, a 0
adalah parabola. Sedangkan π¦ = π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π disebut persamaan
parabola.
Untuk melukis grafik fungsi :
π¦ = π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π
Diperlukan syarat-syarat sebagai berikut :
1. Titik potong dengan sumbu x
Syarat f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0
(x β x1) (x β x2) (x1, 0) dan (x2, 0)
2. Titik potong dengan sumbu y
Syarat x = 0 f(0) = a(0)2 + b (0) + c
f(x) = c (0,c)
3. Sumbu Simetri
Sumbu simetrinya adalah : a
bx
2
4. Titik balik / Titik puncak
Titik balik atau titik puncak adalah:
a
Dy
4
Sehingga koordinat titik puncak adalah
P(x,y)
P(a
b
2 ,
a
D
4)
Parabola mencapai titik balik minimum jika a >0 dan parabola mencapai
titik balik maksimum jika a <0.
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
Contoh 8:
Gambarlah grafik fungsi 86)( 2 xxxf
Penyelesaian:
Titik potong dengan sumbu x, syarat f(x) = 0
x2 β 6x + 8 = 0 (x β 2)(x β 4) = 0
(2,0) dan (4,0)
Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0
f(0) = 02 + 6 ( 0) + 8
= 8
f(x) = 8 (0,8)
Koordinat titik puncak adalah (x,y)
x = -b/2a = 6/2 =3
y = D/-4a = b2 β 4ac / -4a = 36 β 4 (1) (8)/-4
= 36 β 32 / -4
= 4/-4
= -1
Jadi puncaknya adalah p (x,y) p (3,-1). Untuk mendapatkan gambar
grafik yang baik kita menggunakan tabel fungsi sebagai berikut:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 8 3 0 -1 0 3 8
Gambar grafik:
(3,-1)
y
x
-1
4 2
8
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
Latihan:
1. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus π π₯ = 2π₯2 β 8π₯ + π
adalah 20. Nilai π 2 = β―
Penyelesaian:
2. Jika fungsi π π₯ = ππ₯2 β π β 1 π₯ β 6 mencapai nilai tertinggi untuk
π₯ = β1, maka nilai π = β¦
Penyelesaian:
3. Jika fungsi kuadrat π π₯ = ππ₯2 + 4π₯ + 3π mempunyai nilai minimum -11,
maka π2 β π = β―
Penyelesaian:
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
4. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk π₯ = 1 dan
mempunyai nilai 3 untuk π₯ = 2 adalahβ¦
Penyelesaian:
5. Fungsi π¦ = π(π₯) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta
mempunyai sumbu simetri π₯ = 1, mempunyai nilai ekstrimβ¦ (minimum atau
maksimum?)
Penyelesaian:
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
6. Gambarlah grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya
a. 23)( 2 xxxf
b. 82)( 2 xxxf
Aljabar Elementer Β© 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
7. Gambarlah grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya:
a. 32)( 2 xxxf
b. 12)( 2 xxxf