MAKALAH MATEMATIKA SEKOLAH“Fungsi Kuadrat”

Dosen Pengampu : Eka Nurmala Sari Agustin, S.Pd.M.Pd.

Nama Kelompok : 1. Aprilia Nur Ulfa2. Lailatus Sa’adah3. Lianatus Sholichah4. M. Samsul Huda5. Tia Ismaroh

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKASEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PENDIDIKAN GURU REPUBLIK INDONESIATAHUN 2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah

serta inayahnya kepada kita semua, sehingga berkat kami dapat menyelesaikan makalah yang

berjudul “Fungsi Kuadrat”.

Dalam penyusunan makalah ini, kami tidak lupa mengucapkan banyak terimakasih pada

semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan tugas makalah ini sehinggga kami

dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini. Penulisan makalah ini bertujuan untuk memenuhi

salah satu tugas mata kuliah Matematika Sekolah I di Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Sidoarjo.

Dalam penyusunan makalah ini kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat

bagi penyusun sendiri maupun kepada pembaca umumnya. Kami mohon maaf apabila ada

kekurangan maupun kesalahan pada penulisan makalah ini untuk itu kami berterimakasih apabila

pembaca memberi saran atau kritikan kepada kami.

Sidoarjo, Mei 2015

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pemahaman akan konsep fungsi kuadrat sangat penting dalam mempelajari

disiplin ilmu matematika. Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom dengan pangkat

peubah tertingginya adalah 2. Secara umum fungsi kuadrat berbentuk:

f(x) = ax2 + by + c atau y = ax2 + by + c

dengan a.b.c suatu bilangan real dan a ≠ 0

Persamaan diatas memiliki akar sebagai berikut:

x1,2 = (-b/2a) ± (b2-4ac)1/2/2a

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2 dan

dikatakan mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Menjelaskan pengertian fungsi kuadrat

1.2.2 Menjelaskan elemen grafik fungsi kuadrat

1.2.3 Menjelaskan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat

1.2.4 Menjelaskan langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat

1.2.5 Menjelaskan persamaan fungsi kuadrat/parabola

1.3 Maksud dan tujuan

1.3.1 Agar mahasiswa memahami pengertian fungsi kuadrat

1.3.2 Agar mahasiswa memahami elemen grafik fungsi kuadrat

1.3.3 Agar mahasiswa sifat-sifat grafik fungsi kuadrat

1.3.4 Agar mahasiswa memahami langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi

kuadrat

1.3.5 Agar mahasiswa mampu memahami persamaan fungsi kuadrat/parabola dan

mengimplementasikannya kepada siswa

1.4 Sistematika

Bab I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

1.2. Rumusan Masalah

1.3. Maksud dan Tujuan

1.4. Sistematika

Bab II PEMBAHASAN

2.1. Pengertian

2.2. Elemen Dalam Menentukan Grafik Fungsi Kuadrat

2.3. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

2.4. Langkah-Langkah Dalam Membuat Sketsa Grafik Fungsi

Kuadrat/Parabola 

2.5. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

2.6. Latihan Soal

Bab III PENUTUP

3.1. Kesimpulan

DAFTAR PUSTAKA

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian

Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠ 0

disebut fungsi derajat dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat

f:= ax2 + bx + c mempunyai persamaan y= ax2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola.

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2.

Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat mempunyai

bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c, dengan a.b.c suatu bilangan real dan a ≠ 0.

Sebuah fungsi selalu berhubungan dengan grafik, begitu pula dengan fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Untuk menggambar sebuah grafik fungsi kuadrat

harus ditentukan titik potong dengan sumbu kordinat dan titik ekstrimnya. Sebutan lain untuk

titik ekstrim adalah titik puncak atau titik maksimum/minimum.

2.2 Elemen dalam menentukan grafik fungsi kuadrat

Untuk menentukan grafik fungsinya pada koordinat Cartesius, tentukan titik potong

terhadap sumbu terlebih dahulu, dengan membuat f(x) = 0, kemudian cari akar-akarnya seperti

pada persamaan kuadrat. Setelah itu, tentukan sumbu simetri grafiknya, yaitu garis yang

membagi dua kurva fungsi tersebut pada sumbu x. Sumbu simetri dapat dihitung dengan

menggunakan rumus: x = - ba

Terakhir, tentukan titik puncak grafiknya, yaitu titik di mana

kurvanya berbalik arah, atau berada pada titik maksimum.

Misalkan titik puncaknya adalah P, maka koordinat titik puncak dapat dihitung dengan

menggunakan rumus: P (−b2 a ,

−D4 a

) dengan D merupakan nilai diskriminan fungsi tersebut.

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat

dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Titik potong dengan sumbu koordinat

Titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan cara mencari nilai peubah x pada fungsi

kuadrat jika nilai peubah y sama dengan nol, sehingga akan diperoleh titik potong (x1,0) dan

(x2,0), dimana x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Tapi perlu diingat bahwa akar-

akar persamaan kuadrat tergantung dari diskriminan. Jika diskriminannya sama dengan nol maka

akan diperoleh hanya satu akar dan ini berarti hanya ada satu titik potong dengan sumbu X.

Kalau diskriminannya kurang dari nol persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real yang

berarti tidak memiliki titik potong dengan sumbu X.

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dengan cara mencari nilai y pada fungsi kuadrat

jika nilai peubah x sama dengan nol, sehingga diperoleh titik (0,y1).

Titik Ekstrim

Titik ekstrim pada fungsi kuadrat merupakan koordinat dengan absisnya merupakan nilai

sumbu simetri dan ordinatnya merupakan nilai ekstrim. Pasangan koordinat titik ekstrim pada

fungsi kuadrat y = ax2+bx+c adalah sebagai berikut: (−b2 a ,

−D4 a

)

Keterangan :

D adalah diskriminan

D = b² - 4ac

Seperti yang sudah disebutkan di atas, x = - b

2 a , adalah sumbu simetri dan -

D4 a

merupakan

nilai ekstrim fungsi kuadrat.

Pembuktian Rumus Titik Ekstrim Fungsi Kuadrat

Titik ekstrim bisa diperoleh dari konsep turunan pertama.

Titik ekstrim fungsi kuadrat y=ax² + bx + c diperoleh dengan cara menurunkannya terlebih

dahulu, kemudian hasil turunannya sama dengan nol, y' = 0, sehingga diperoleh bentuk sebagai

berikut:

y’ = 0

2ax + b = 0

2ax = -b

x = −b2 a

= - b

2 a (Absis titik ekstrim)

Subtitusi x-ekstrim ini fungsi kuadrat awal

y = ax² + bx + c

y = a (- b

2 a)² + b(-

b2 a

) + c

y = a ( b ²

4 a ²) -

b ²2 a

+ c

y = b ²4 a

- b ²2 a

+ c

y = b ²−2b ²+4 ac

4 a

y = −b ²+4ac

4 a

y = −(b2−4 ac)

4 a

y = −D4 a

= - D

4 a (Ordinat titik ekstrim)

Sumbu Simetri

Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan sumbu y

yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.

Persamaan untuk sumbu simetris adalah x = -b/2a

2.3 Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Jika a > 0, maka grafiknya terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum (titik

puncaknya mempunyai nilai terkecil)

Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum (titik

puncaknya mempunyai nilai terbesar)

Jika D merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, maka:

Jika D < 0, maka grafik y= f(x) memotong sumbu pada dua titik yang berbeda

Jika D = 0, maka grafik y= f(x) menyinggung sumbu x pada satu titik.

Jika D > 0, maka grafik y= f(x) tidak memotong sumbu x

2.4 Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola 

( y  = ax2 + bx + c )

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika

kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya.

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan

fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat

namun kita kesulitan dalam menentukannya. bisa jadi karena angkanya yang susah

difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari

dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik potong grafik fungsi kuadrat

dengan sumbu x : ( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )  

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0

karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan harga ekstrim atau titik puncak

rumus menentukan harga ekstrem (xp,yp) = (-b/2a, D/4a)

untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a.

Jika a>0 maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum.

Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah titik yang diperoleh dengan

mengambil koordinat dari pasangan nilai ekstrem dengan absisnya. Koordinat puncak dari fungsi

kuadrat adalah titik P (-b/2a, D/4a). Titik P dinamakan maksimum jika a > 0 dan dinamakan titik

minimum jika a < 0.

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm   ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi

kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x:

mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

a) Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

b) Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan

parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)

c) Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah

sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai

selalu positif (melayang di atas sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai

selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :

2.5 Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

a) Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y =  ax2 + bx + c 

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

b) Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x1 , 0 )dan ( x2 , 0 ) dan melalui satu titik

sembarang.

Rumus : y = a ( x - x1 ).( x - x2 )

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

c) Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x1 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x1 )2 

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

d) Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - xp )2 + yp

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y

2.6 Latihan Soal

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 - 4x - 5

   Penyelesaian:  

    a. Titik potong sumbu x, y = 0.

         y = x2 - 4x - 5       =>      

         0 = x2 - 4x – 5

0 = (x - 5) (x + 1) , x1 = -1 atau x2 = 5

        Titik potong sumbu x (-1,0) atau (5,0)

    b. Titik potong sumbu y, x = 0.

         y = x2 - 4x - 5                                                                                         

         y = (0)2 - 4(0) - 5

         y = -5

        maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)

    c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

        = -(-4)/2.1

        = 2

    d. Nilai maks/min b2- 4ac /-4a

        = {(-4)2 - 4.1.(-5)} / -4(1)

        = 36/-4

        = -9

    e. Titik puncak {(-b/2a),(b2- 4ac/-4a)} 

        = (2,-9)

f. Gambar Grafik

2. Temukan titik puncak dari grafik f(x) = 3x2 + 5x + 4.

Penyelesaian:

Titik puncak dari grafik dapat diketahui sesuai dengan penjelasan diatas yaitu (-b/2a, -(b2 –

4ac)/4a). Dengan begitu, maka titik puncak dari fungsi diatas menjadi:

x = -(5) / (2.3) = -5/6

y = – (52 - 4.3.4) / 4(3) = 23/12

Titik maksimum dari fungsi diatas adalah (-5/6 , 23/12). Fungsi ini tergambar pada grafik seperti

berikut:

3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.

Menggunakan  y = ax2 + bx +c

    Contoh Soal:     

    * Tentukan fungsi kuadrat grafiknya melalui 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)

       Penyelesaian:

      

melalui (-1,0) => y = a(-1)2 + b(-1) + c

                                      0 = a - b + c              ... (1)

       melalui (2,-9) => y = a(2)2 + b(2) + c

                                     -9 = 4a + 2b + c        ... (2)

       melalui (4,-5) => y = a(4)2 + b(4) + c

                                     -5 = 16a + 4b + c     ... (3)

       Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9               ... (4)

       Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4           ... (5)

       Dari (4) x 4   => -12a - 12b = 36        ... (4)'

       Dari (5) - (4)' => 10b = -40

                                          b = -4

       Substitusikan b = -4 ke (4)

                    maka => -3a + 12 = 9

                                              -3a = -3

                                                  a = 1

      Substitusikan a = 1 dan b = -4

                    maka => 1 - (-4) + c = 0

                                               5 + c = 0

                                                      c = -5

      Sehingga fungsi kuadratnya => y = x2 - 4x – 5

4. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak diketahui.

Menggunakan y = a(x - p)2 + q titik puncak (p,q)

    Contoh Soal:

    * Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)

        serta melalui titik (-1,0)

    Penyelesaian: 

    y = a(x - p)2 + q

       = a(x - 2)2 - 9

  

melalui (-1,0) => y = a(x - 2)2 - 9

                                 0 = a(-1 - 2)2 - 9

                                 9 = 9a

                                 a = 1

   Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)2 - 9

                                                       = (x2 - 4x + 4) - 9

                                                       = x2 - 4x – 5

5. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (p,0) dan

(q,0)

Menggunakan y = a(x - p) (x - q)

    Contoh Soal:

    * Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).

        serta melalui (4,-5)

    Penyelesaian:

    y = a(x - p) (x - q)

       = a{x -(-1)}(x - 5)

       = a(x + 1) (x - 5) 

   karena melalui (4,-5) maka

   -5 = a(4 + 1) (4 - 5)

   -5 = -5a

    a = 1

   Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)

                                                   = x2 - 4x – 5

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2.

Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat

mempunyai bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c, dengan a.b.c suatu bilangan real dan a

≠ 0. Langkah – langkah dalam menyelesaikan soal fungsi kuadrat dengan grafiknya

adalah sebagai berikut:

- Menentukan titik potong dengan sumbu x (y = 0)

- Menentukan titik potong dengan sumbu y (x = 0)

- Menentukan persamaan sumbu simetri

- Menentukan nilai ekstrim

- Menentukan titik ekstrim/titik puncak

- Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat

DAFTAR PUSTAKA

http://soulmath4u.blogspot.com/2013/11/fungsi-kuadrat-dan-grafiknya.html

http://lucudankyut.blogspot.c om/2011/12/fungsi-kuadrat-dan-grafiknya.html

http://mediabelajaronline.blogspot.com/2011/10/grafik-persamaan-fungsi-kuadrat.html

Setiawan, Agus.2006.Matematika Persamaan Dan Fungsi Kuadrat Jilid 10a.Ganeca

Exact:Bekasi