Fungsi Komposisi

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan:fungsi komposisisalah satu fungsijika fungsi komposisidan fungsi yang laindiketahui

FungsiSuatu relasi dari A ke Byang memasangkan setiap anggota A ke tepat satu anggota Bdisebut fungsi atau pemetaandari A ke B

Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A BA disebut domainB disebut kodomain

Range atau Daerah HasilJika f memetakanx A ke y Bdikatakan y adalah peta dari xditulis f: x y atau y = f(x).Himpunan y B yang merupakan peta dari x Adisebut range atau daerah hasil

contoh 1Perhatikan gambar pemetaan f : A B abcd12345fABdomain adalahA = {a, b, c, d}kodomain adalahB = {1, 2, 3, 4, 5}

Perhatikan gambar pemetaan f : A B abcd12345fABf(a) = 1, f(b) = 2f(c) = 3, f(d) = 4range adalahR = {1, 2, 3, 4}

contoh 2

Misal f: R R dengan f(x) = 1 - x2Tentukan domain dari fungsi f.

JawabSupaya f: RR dengan f(x)=1-x2maka haruslah 1 x2 0.1 x2 0 x2 1 0 atau(x - 1)(x + 1) 0 atau -1 x 1.Jadi, domain fungsi tersebutadalah -1 x 1.

contoh 3

Misal f: R R dengan f(x 1) = x2 + 5x Tentukan : a. f(x) b. f(-3)

Jawab

Misal y = x 1 maka x = y + 1 karena f(x 1) = x2 + 5x maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 f(y) = y2 + 7y + 6

f(y) = y2 + 7y + 6 a. f(x) = x2 + 7x + 6 b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6 = 9 21 + 6 = -6

Komposisi FungsiPenggabungan operasi dua fungsisecara berurutan akanmenghasilkan sebuah fungsi baru.Penggabungan tersebut disebutkomposisi fungsi dan hasilnyadisebut fungsi komposisi.

x A dipetakan oleh f ke y Bditulis f : x y atau y = f(x)y B dipetakan oleh g ke z Cditulis g : y z atau z = g(y)atau z = g(f(x))

fg

maka fungsi yang memetakanx A ke z Cadalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))

g o f

contoh 1

f : A B dan g: B Cdidefinisikan seperti pada gambar

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)

Jawab:f(a) = 1 dan g(1) = qJadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q(g o f)(a) = ?

f(b) = 3 dan g(3) = pJadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p(g o f)(b) = ?

contoh 2

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).Jika f(x) = 2x + p dang(x) = 3x + 120maka nilai p = .

Jawab:f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120g(f(x)) = f(g(x))g(2x+ p) = f(3x + 120)3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p3p p = 360 1202p = 240 p = 120

Sifat Komposisi FungsiTidak komutatif: f o g g o f2. Bersifat assosiatif:f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = xf o I = I o f = f

contoh 1f : R R dan g : R Rf(x) = 3x 1 dan g(x) = 2x2 + 5Tentukan: a. (g o f)(x) b. (f o g)(x)

Jawab:f(x) = 3x 1 dan g(x) = 2x2 + 5 (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x 1) = 2(3x 1)2 + 5 = 2(9x2 6x + 1) + 5 = 18x2 12x + 2 + 5 = 18x2 12x + 7

f(x) = 3x 1 dan g(x) = 2x2 + 5b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5) = 3(2x2 + 5) 1 = 6x2 + 15 1 (f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 12x + 7 (g o f)(x) (f o g )(x) tidak bersifat komutatif

contoh 2f(x) = x 1, g(x) = x2 1 dan h(x) = 1/xTentukan: a. (f o g) o h b. f o (g o h)

Jawab:f(x) = x 1, g(x) = x2 1dan h(x) = 1/x((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))(f o g)(x) = (x2 1) 1 = x2 2(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x) = (1/x)2 2

f(x) = x 1, g(x) = x2 1dan h(x) = 1/x(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))(g o h)(x)= g(1/x) = (1/x)2 1 = 1/x2 - 1f(g o h)(x)= f(1/x2 1) = (1/x2 1) 1 =(1/x)2 2

contoh 3I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1Tentukan:(f o I)(x) dan (g o I)(I o f) dan (I o g)

Jawab:I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1

(f o I)(x) = x2(g o I)(x) = x + 1(I o f)(x) = x2(I o g)(x) = x + 1(I o f)(x) = (f o I) = f

MenentukanSuatu FungsiJika Fungsi KomposisidanFungsi Yang Lain Diketahui

Contoh 1

Diketahui f(x) = 3x 1dan (f o g)(x) = x2 + 5Tentukan g(x).

Jawabf(x) = 3x 1dan (f o g)(x) = x2 + 5 fg(x)] = x2 + 53.g(x) 1 = x2 + 5 3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6 Jadi g(x) = (x2 + 6)

contoh 2

Diketahui g(x) = x + 9 dan(f o g)(x) = x2 6maka f(x) = .

Jawab:g(x) = x + 9 (f o g)(x) = f(g(x)) = x2 6 f(x + 9) = x2 6 Misal: x + 9 = y x = y 9 f(y) = (y 9)2 6

f(y) = (y 9)2 6 = (y2 18y + 81) 6 = y2 6y + 27 6 Jadi f(x) = x2 6x + 21

contoh 3

Diketahui f(x) = x 3 dan(g of)(x) = x2 + 6x + 9maka g(x 1) = .

Jawab:f(x) = x 3; (g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9g(x 3) = x2 + 6x + 9Misal: x 3 = y x = y + 3g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9 = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9

g(y) = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9 = y2 + 12y + 36g(x 1) = (x 1)2 + 12(x 1) + 36 = x2 2x + 1 + 12x 12 + 36 = x2 + 10x + 25Jadi g(x 1) = x2 + 10x + 25

Contoh 4

Diketahui f(x) = 2x + 1dan (f o g)(x + 1)= -2x2 4x + 1Nilai g(-2) =.

Jawaban:f(g(x + 1))= -2x2 4x + 1f(x) = 2x + 1 f(g(x))= 2g(x) + 1f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 12g(x + 1) + 1 = -2x2 4x 12g(x + 1) = -2x2 4x 2g(x + 1) = -x2 2x 1

g(x + 1) = -x2 2x 1 g(x) = -(x 1)2 2(x 1) 1 g(2) = -(2 1)2 2(2 1) 1 = -1 2 1 = -4Jadi g(2) = - 4