NAMA: NITA WINANDANIM: F1051131048

PERSAMAAN LAGRANGEApa itu persamaan lagrange ? kenapa muncul persamaan lagrange? Digunakan untuk apa persamaan lagrange? Dan pertanyaan yang lain akan coba kita bahas disini.Untuk pembuka, ada yang sudah tahu tentang hukum newton? hukum newton sudah sering kita dengar, nah yang amu kita bahas disini perkembangan lebih efektif dari hukum newton, perkembangan lebih disini maksudnya Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui.Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda yang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui. Disini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme Lagrange.Berikut salah satu contoh yang menggunakan persamaan lagrange,Sebuah benda yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan. vx'Mxm

Gambar 1.1 Gerak pada bidang miring dan penggambaran vektornya1. Dipilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.

Kita memilih koordinat x dan x' Dimana, x = pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan x' = pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar.Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus :

.....................................................................(1)

2. Dicari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.T adalah energi kinetik

...................................(2)

3. Jika sistem tersebut konservatif (tidak bergantung lintasan), dicari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif ( bergantung pada lintasan), dicari koordinat umum Qk.Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan :

V=mgx'sin + tetapan ............................................................................(3)

4. Persamaan deferensial geraknya

.................................... (4)

Dimana, M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan m adalah massa partikel.

Persamaan geraknya

...........................................................(5)

sehingga

; ..................................(6)

Percepatan dan adalah :

; ..................................... (7) Notasi Leibniz

Pengantar. Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama kalkulus (yang lainnya adalah Isaac Newton). Cara penulisannya(notasinya) untuk turunan masih dipakai secara luas , khususnaya dalam bidang terapan seperti halnya fisika, kimia dan ekonomi. Daya tariknya dalam bentuknya, sebuah bentuk yang sering mengemukakan hasil-hasil yang benar dan kadang-kadang menunjukkan bagaimana membuktikannya. Setelah kita menguasai notasi Leibniz , kita akan menggunakannya untuk menyatakan kembali Aturan Rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan tersebut.Lambang dy/dx untuk TurunanLeibniz menyebut dy/dx suatu hasil bagi dari dua bilangan yang sangat kecil. Arti perkataan sangat kecil tidak jelas, dan kita tidak akan memakainya. Tetapi lambang dy/dx merupakan lambang baku untuk turunan; kita akan sering memakainya sejak saat ini. Untuk sekarang, pikirkan dy/dx sebagai lambang operator dengan pengertian yang sama seperti Dx , dan membacanya turunan terhadap x.Contoh 1:Cari dy/dx jika y = x3 3x2 + 7xPenyelesaian : == - 3 + 7 = 3x2 3(2x) + 7(1)= 3x2 6x + 7

Aturan Rantai lagiAndaikan bahwa y = f(u) dan u = g(x). Dalam notasi Leibniz, aturan rantai mengambil bentuk yang sangat anggun : = Bentuk ini dikatakan anggun karena mudah untuk diingat. Cukup mencoret du di ruas kanan dan anda mempunyai ruas kiri. Jangan mencoba untuk memahami alasan matematis dari pencoretan ini, tetapi gunakan sebagai bantuan ingatan jika memang menolong.Contoh 2Cari dy/dx jika y = (x3 2x)12 Penyelesaian :Pikirkan : u = (x3 2x) dan y = u12. = = (12u11).(3x2 2)= 12(x3 2x)11(3x2 2)= 12(3x2 2)(x3 2x)11

Jika y = f(u) , u = g(v), dan v = h(x), maka =

Contoh 3:Cari dy/dx jika y = cos3(x2 + 1)Penyelesaian : kita dapat memikirkan ini sebagai: y = u3 , u = cos v , dan v = x2 + 1 = = (3u2)(-sin v)(2x)= (3cos2v)[-sin(x2 + 1)](2x)= -6x cos2(x2+1) sin(x2+1)

LatihanDalam soal 1-6, gunakan aturan rantai untuk mencari dy/dx1. Y = u3 dan u = x3 + 3x2. Y = = u-2 dan u = sin x3. Y = sin(x2)4. Y = sin2x5. Y = sin4(x2 + 3)6. Y = sin[(x2 + 3)4]Dalam soal 7 8 hitunglah7. Andaikan bahwa f(3) = 2 , f(3) = -1 , g(3) = 3, dan g (3) = -4. Hitung masing-masing nilai :a. (f + g)(3)c. (f/g)(3)b. (f.g)(3)d. (fog)(x)8. Jika f(2) = 4, f(4) = 6 dan f(2) = -2, hitung masing-masing nilaia. di x = 2c (fof)(2)b. di x = 2

Turunan Tingkat TinggiOperasi pendiferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f. Jika f sekarang kita diferensialkan, kita masih menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f (dibaca : f dua aksen) dan disebut turunan kedua dari f. Pada gilirannya ia boleh diturunkan lagi, dengan demikian menghasilkan f, yang disebut turunan ketiga, dan seterusnya. Sebagai contoh, andaikan F(x) = 2x3 4x2 + 7x 8 MakaF(x) = 6x2 8x + 7F(x) = 12x 8 F(x) = 12F(x) = 0Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi akan nol.Kita telah memperkenalkan tiga notasi untuk turunan (sekarang disebut juga turunan pertama) dari y = f(x). Mereka adalahF(x)Dxy Masing-masing disebut notasi aksen, notasi d, dan notai leibniz. Terdapat sebuah variasi dari cara notasi aksen -- yakni, y -- yang kadangkala akan kita pakai juga. Semua notasi ini mempunyai perluasan untuk turunan tingkat tinggi, seperti diperlihatkan dalam bagan di bawah ini, Khusunya perhatikan notasi Leibniz, yang walaupun ruwet kelihatannya paling cocok untuk Leibniz. Yang, menurutnya lebih wajar dari pada menuliskan = Cara penulisan (notasi) untuk turunan dari y = f(x)TurunanNotasifNotasiyNotasiDNotasiLeibniz

PertamaF(x)YDxy

KeduaF(x)Y

KetigaF(x)Y

KeempatF(x)Y

KelimaF(5)(x)Y(5)

KeenamF(6)(x)Y(6)

:::::

Ke-nF(n)(x)Y(n)

Contoh 4:Jika y = sin 2x carilah : , dan Penyelesaian : = 2 cos 2x = -22 sin 2x = -23 cos 2x = 24 sin 2x = 25 cos 2x: = 212 sin 2x

http://www.slideshare.net/7779/persamaan-lagrange-dan-hamiltonhttp://ach-jubaidi.blogspot.com/2011/12/persamaan-hamilton.html