1

BESARAN VEKTOR

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.1. Memahami pengertian besaran vektor.2. Menguasai konsep penjumlahan vektor dengan berbagai metode.3. Menguasai konsep selisih dua vektor.

FISIKA

Ke

la

s

X

K-13

A. VEKTOR

Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Beberapa contoh besaran vektor adalah kecepatan, perpindahan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik, torsi, dan sebagainya. Suatu vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah menggambarkan besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah menyatakan arah vektor. Perhatikan gambar vektor berikut ini.

A

B

AB

Pada gambar di samping, A adalah titik tangkap vektor dan B adalah ujung vektor. Adapun |AB| merupakan panjang vektor yang menyatakan nilai vektor dan AB

adalah arah anak panah yang menyatakan arah vektor.

Berdasarkan gambar di samping, nampak bahwa panjang

vektor AB

adalah 2 26 5 61AB += =

satuan dan arah

vektornya adalah tan α = o5,n 9 8

6ta 3 ,αα = =, α = 39,8o.

α

2

B. PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan dua vektor atau lebih adalah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya merupakan hasil jumlah dari komponen-komponen vektor pembentuknya. Hasil dari penjumlahan vektor disebut resultan vektor. Resultan merupakan sebuah vektor baru. Resultan dapat diperoleh dengan beberapa metode, yaitu metode poligon (segi banyak), metode jajaran genjang, dan metode analitis.

a. Metode Poligon

Penjumlahan vektor menggunakan metode poligon dilakukan dengan memindahkan titik tangkap suatu vektor ke ujung vektor berikutnya secara berurutan (diteruskan). Adapun resultan vektornya digambarkan dengan cara menarik garis dari titik awal (titik tangkap vektor pertama) menuju titik akhir (ujung vektor terakhir). Perhatikan gambar berikut.

A

A

B

B

C

C

R

R

= A

+ B

+ C

Contoh Soal 1

Seseorang berlari dengan pergerakan seperti pada gambar berikut.

Jika satu kotak berukuran 4 m × 4 m, maka besar perpindahan yang dilakukan orang tersebut adalah ....

3

Super (Solusi Quipper)

Pembahasan:

Besar perpindahan orang tersebut dapat ditentukan dengan mencari besarnya resultan vektor.

= + =2 2R 3 4 5

satuan kotak. Hal ini berarti, orang tersebut telah berpindah sejauh 5 × 4 m = 20 meter.

3

4

Jadi, orang tersebut telah berpindah sejauh 20 meter.

b. Metode Jajaran Genjang

Perhatikan gambar berikut.

R

α bγ

F1

F2

Misalkan vektor F1

dan F2

satu sama lain membentuk sudut α, maka resultan kedua vektor

tersebut adalah R F F= +1 2

dengan besar 2 2

1 2 1 22 cosR F F F F α= + +

.

Untuk menentukan arah resultan terhadap salah satu vektor, dapat digunakan persamaan berikut.

Catatan:1. Jika F1

dan F2

searah (α = 0o), maka besar resultannya adalah 1 2= +

R F F .

2. Jika F1

dan F2

saling tegak lurus (α = 90o), maka besar resultannya adalah 2 2

1 2= +

R F F .

3. Jika F1

dan F2

berlawanan arah (α = 180o), maka besar resultannya adalah 1 2R F F−=

.

4. Besarnya resultan yang mungkin dari duah buah vektor F1

dan F2

dapat ditentukan dengan cara SUPER berikut.

1 2 1 2F F R F F− ≤ ≤ +

1 2

sin sin sinF FR

α β γ= =

α

α b γ

4

5. Selisih dua vektor Selisih dua vektor F1

dan F2

yang membentuk sudut α adalah 1 2R F F−=

dengan besar

R F F F F2 2

1 2 1 22 cosα= + −

.

Contoh Soal 2

Dua buah vektor gaya F1

dan F2

masing-masing mempunyai nilai 3 N dan 4 N. Jika kedua vektor bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60°, maka nilai dan arah resultan dari kedua vektor tersebut adalah ….

Pembahasan:

Diketahui:

F1

= 3 N

F2

= 4 N

α = 60°

Ditanya:

R dan arahnya = ... ?

Dijawab:

Permasalahan pada soal dapat digambarkan sebagai berikut.

R

α b

F1

= 3 N

F2

= 4 N

Besar resultan kedua vektor tersebut dapat ditentukan dengan metode jajaran genjang berikut.

F F F F2 2

1 2 1 2

2 2

R 2 cos

3 4 2.3.4cos60

9 16 12

37 N6,08 6,1N

= + + α

= + +

= + +

== ≈

Jadi, besarnya resultan kedua vektor tersebut adalah 6,1 N.

Untuk menentukan arah vektor, dapat digunakan persamaan berikut.

α

α

5

1

sin sin6,1 3

sin60 sin6,1 3

0,87 sinsin 0,428

arc sin 0,428 25,3 25

FR

°

α β

β

βββ

=

=

=

== = ≈

Jadi, arah resultan vektor tersebut adalah α = 25˚ terhadap vektor F2

.

Contoh Soal 3

Dua buah vektor masing-masing besarnya 4 N dan 9 N. Besar resultan kedua vektor yang tidak mungkin adalah ....A. 4 N B. 5 N C. 10 N D. 13 N E. 36 N

Pembahasan:

Diketahui:

F1

= 4 N

F2

= 9 N

Ditanya: besarnya resultan kedua vektor yang tidak mungkin = ... ?

Dijawab:

F F R F FRR

1 2 1 2

4 9 4 95 13

− ≤ ≤ +− ≤ ≤ +

≤ ≤

Dari pilihan jawaban tersebut, nilai resultan yang tidak mungkin adalah 36 N.

bα

b

bbb

6

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar berikut.

F1

F3

F2

Jika diketahui F1

= 4 N ke kiri, F2

= 3 N ke kanan, dan F3

= 6 N ke kanan, maka besar dan arah resultan gaya-gaya tersebut adalah ....

Pembahasan:

Diketahui:

F1

= 4 N ke kiriF2

= 3 N ke kanan

F3

= 6 N ke kanan

Ditanya: 1 2 3

4 3 65 N ke kanan

R F F F= + += − + +=

dan arahnya = . . .?

Dijawab:

Dengan memerhatikan arah ketiga gaya tersebut, maka diperoleh:

1 2 3

4 3 65 N ke kanan

R F F F= + += − + +=

Jadi, resultan ketiga gaya tersebut adalah 5 N ke arah kanan.

Contoh Soal 5

Dua buah vektor gaya P

dan Q

memiliki nilai masing-masing 20 N dan 40 N. Jika sudut antara kedua vektor adalah 60˚, maka besar selisih kedua vektor tersebut adalah ....

Pembahasan:

Diketahui:

P

= 20 N

Q

= 40 N

α = 60˚

7

Ditanya: | P

− Q

| = ...?

Dijawab:

Besar selisih dua vektor tersebut dapat ditentukan dengan rumus berikut.

P Q P Q P Q2 2

2 2

2 . cos

20 40 2.20.40cos60

1200

20 3 N

θ− = + −

= + −

=

=

Jadi, besar selisih kedua vektor tersebut adalah 20 3 N.

Contoh Soal 6

Dua buah vektor besarnya sama. Jika nilai hasil bagi selisih dan resultan kedua vektor

tersebut adalah 13

2, maka nilai kosinus sudut apitnya adalah ....

Pembahasan:

Diketahui:

misalkan sudut apit = αF F F1 2= =

F F

F F1 2

1 2

13

2−

=+

Ditanya: cos α = …?

Dijawab:

Oleh karena nilai hasil bagi selisih dan resultan kedua vektor tersebut adalah 1

32

, maka:

( )( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2 cos 13

22 cos

2 cos 342 cos

2 1 cos 342 1 cos

4 4cos 3 3cos7cos1

cos7

F F F.F

F F F.F

F F F

F F F

F

F

= +1=

α

αααα

αα α

α

α

+ −=

+ +

+ −=

+ +−

=+

−

=

Jadi, nilai kosinus sudut apitnya adalah 17

.

α

α

α

ααα

αα α

α

α

8

Contoh Soal 7

Dua buah vektor gaya mempunyai besar yang sama, yaitu F N. Jika besar resultan kedua vektor tersebut juga F N, maka besar sudut apitnya adalah ....

Pembahasan:

Diketahui:

misalkan sudut apit = αF F F1 2 N= =

|R| = F N

Ditanya: α = ...?

Dijawab:

Berdasarkan rumus besar resultan dua vektor, diperoleh:

R F F F .F

F F F F.F F F F FF F FF F

2 21 2 1 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

o

2 cos

2 cos2 cos

2 cos1

cos2

1arc cos 120

2

2 2 cos

αα

α

α

α

α

α

= + +

= + += + +

− =

= −

= − =

= +

Jadi, besarnya sudut apit kedua vektor tersebut adalah 120°.

c. Metode Analitis

Metode analitis dilakukan dengan menguraikan terlebih dahulu sebuah vektor menjadi komponen-komponen vektor tegak lurus sumbu koordinat, yaitu komponen-komponen pada sumbu X dan sumbu Y. Perhatikan gambar berikut.

P

x = P

cos α

P

y = P

sin α

X

YP

α

P

P

y

P

x

α

α

αα

αα

α

α

9

Besar vektor P

dan arahnya dapat ditentukan dengan persamaan berikut.

| P

| = P P2 2

x y+

dan tan α = PP

y

x

Contoh Soal 8

Vektor P

sebesar 20 satuan membentuk sudut 60˚ terhadap sumbu X positif. Tentukan komponen-komponen vektor tersebut pada sumbu X dan sumbu Y.

Pembahasan:

Diketahui:

P

= 20 satuan

θ = 60˚

Ditanya: P x

= …?

P y

=…?

Dijawab:

Komponen terhadap sumbu X:

P Px cos 601

20.2

10 satuan

= °

=

=

Komponen terhadap sumbu Y:yP P sin 60

120. 3

210 3 satuan

= °

=

=

Jadi, komponen vektor tersebut pada sumbu X dan sumbu Y adalah P x

= 10 satuan dan P y 10 3=

satuan.

Contoh Soal 9

Sebuah meriam ditembakkan dengan kecepatan awal 100 m/s membentuk sudut 53˚ dari permukaan bumi. Tentukan komponen-komponen kecepatan vektor tersebut. (sin 53°=0,8)

Pembahasan:

Diketahui:

ov

= 100 m/s

10

θ = 53˚

Ditanya: xv

=…?

yv

=...?

Dijawab:

Komponen kecepatan meriam terhadap sumbu X:v vx o

ocos53100.0,660 m/s

===

Komponen kecepatan meriam terhadap sumbu Y:

v vy oosin53

100(0,8)80 m/s

===

Jadi, komponen-komponen kecepatan vektor tersebut adalah v x

= 60 m/s dan v y

= 80 m/s.

Contoh Soal 10

Perhatikan gambar berikut.

2 N

4 N

10 N

30o

X

Y

4 3 N

Tentukan resultan vektor-vektor tersebut.

Pembahasan:

Mula-mula, uraikan komponen vektor yang tidak searah dengan sumbu X dan sumbu Y.

11

Perhatikan gambar berikut.

Y

X

2 N

10 cos 30o N

10 sin 30o N

4 3

Pada sumbu X:F x

o10cos30 4 3

10(0,5 3) 4 3

5 3 4 3

3 N

= −

= −= −=

∑

Pada sumbu Y:

F yo10 sin 30 2

10(0,5) 25 23 N

= −= −= −=

∑

Besar resultan vektor:

( )R F Fx y

2 2

2 33 3

3 912

2 3 N

= +

= +

= +==

∑ ∑

Jadi, besar resultan vektor-vektor tersebut adalah 2 3 N.