Distribusi Variabel Acak Diskrit

E-book Statistika Gratis... STATSDATA Statistical Data Analyst

www.statsdata.my.id

Distribusi Variabel Acak Diskrit

Pada penulisan Kelima tentang Statistika Elementer ini, penulis akan memberikan bahasan

mengenai Distribusi Variabel Acak Diskrit kepada para pembaca untuk pemahaman dan

contoh soal mengenai Variabel Acak Diskrit dan fungsi distribusinya. Pada penulisan ini,

Distribusi Variabel Acak Diskrit yang diberikan adalah Distribusi Binomial, Multinomial,

Hipergeometrik, dan Poisson.

Variabel Acak Diskrit.

Variabel Acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota Ruang Sampel S ke

bilangan Real[3]

. Dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf-huruf kapital

misalkan X, Y, Z, dll. Variabel acak yang mampu menjalani bilangan bulat adalah Variabel

Acak Diskrit, sedangkan variabel acak yang mampu menjalani bilangan real adalah Variabel

Acak Kontinu. Misalkan X adalah variabel acak diskrit maka fungsi kepadatan probabilitas

(probability density function, PDF) dapat didefinisikan sebagai

)X(P)(X xxp ==

Dengan kata lain, fungsi pX(x) adalah fungsi distribusi probabilitas dari X untuk variabel acak

diskrit. PDF dari variabel acak diskrit X harus memenuhi sifat-sifat berikut:

1. 1)(0 X ≤≤ xp , PDF bernilai nol sampai satu.

2. 1)(X =∑x

xp , jumlahan dari semua PDF dari variabel acak diskrit X pada ruang sampel

adalah satu.

Misalkan X merupakan variabel acak diskrit maka fungsi kepadatan kumulatif (cumulative

density function, CDF) dapat didefinisikan sebagai.

∑=

=≤=x

k

kpxxF0

XX )()X(P)(

Dengan kata lain, fungsi FX(x) adalah fungsi distribusi dari X untuk variabel acak diskrit. CDF

dari variabel acak diskrit X dapat diilustrasikan sebagai berikut.


www.statsdata.my.id

Jika pX(x) merupakan PDF dari variabel acak diskrit X, maka terdapat relasi antara PDF dan

CDF, yaitu

.)1X(P)X(P)X(P

)1()()( XXX

−≤−≤==−−=

xxx

xFxFxp

Sebagai tambahan, mean dan varian dari variabel acak diskrit masing-masing adalah[1]

∑=x

xpx )(. Xµ

dan

.)(.)( X22 ∑ −=

x

xpx µσ

Contohnya, dalam suatu keluarga yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari

banyaknya anak yang terlahir perempuan akan mengikuti ketentuan ini

Banyaknya Anak Perempuan X 0 1 2

Probabilitas pX(x) 1/4 1/2 1/4

Nilai mean dan varian dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan dihitung sebagai

berikut:

Misalkan X adalah banyaknya anak yang sukses terlahir perempuan, maka

1)4/1).(2()2/1).(1()4/1).(0(

)2().2()1().1()0().0()(. XXX

2

0X

=++=

++==∑=

µ

µ pppxpxx

dan

.5,0)4/1).(1()2/1).(0()4/1).(1(

)2(.)12()1(.)11()0(.)10()(.)(

2

X2

X2

X2

2

0X

22

=++=

−+−+−=−=∑=

σ

µσ pppxpxx

Jadi, diperoleh mean dan varian dari banyaknya anak yang terlahir perempuan pada suatu

keluarga yangmemiliki dua anak masing-masing adalah 1 dan 0,5 .


www.statsdata.my.id

Distribusi Variabel Acak Diskrit.

Pada penulisan ini, diberikan 4 macam distribusi variabel acak diskrit pilihan yang biasa

digunakan, yaitu:

1. Distribusi Binomial

2. Distribusi Multinomial

3. Distribusi Hipergeometrik

4. Distribusi Poisson

Distribusi Binomial.

Sebelum membahas tentang distribusi Binomial, penulis akan menjabarkan review

mengenai Distribusi Bernoulli. Distribusi Bernoulli adalah distribusi probabilitas yang

dihasilkan dari 2 outcome/kejadian dalam suatu percobaan, yaitu: sukses (x = 1) dan gagal

(x = 0) dengan probabilitas sukses p dan probabilitas gagal q = 1 – p. Fungsi kepadatan

probabilitas (PDF) dari variabel acak X Bernoulli adalah

.1dengan;1,0;)X(P)(

),1(B~X1

X pqxqpxxp

pxx −===== −

Pada percobaan Bernoulli, dilakukan perulangan percobaan acak E sebanyak r kali, yaitu E1,

E2, ..., Er yang mana merupakan suatu urutan dari percobaan Bernoulli jika[3]

:

1. perulangan bersifat independen.

2. probabilitas sukses bernilai sama untuk setiap perulangan.

Distribusi Binomial merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome/kejadian

sukses pada n percobaan Bernoulli[3]

. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak

X Binomial dirumuskan sebagai

.1;,...,2,1,0

!)!(

!)X(P)(

),(B~X

X

pqnx

qpxxn

nqpCxxp

pn

xnxxnxnx

−==−

==== −−

Sebagai contoh, PDF dari variabel acak binomial dengan n = 4 dan p = 0,5 dapat

diilustrasikan sebagai berikut.


www.statsdata.my.id

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak X Binomial adalah

pqqpkkn

nkpxxF

x

k

knkx

k

−=−

==≤= ∑∑=

−

=1;

!)!(

!)()X(P)(

00XX .

Sebagai Contoh, seorang peneliti ingin meneliti obat A untuk penyakit asma. Berdasarkan

survey ditemukan lima puluh dari seratus orang yang sembuh dari penyakit asma setelah

meminum obat ini. Jika 20 orang penderita asma diambil secara acak dan diberi minum obat

A, maka tentukan probabilitas bahwa:

a. tepat 10 orang yang sembuh.

b. maksimal 2 orang yang sembuh.

Misalkan X adalah banyak orang yang sembuh penyakit Asma setelah meminum obat A;

maka p = 50/100 = 0,50 , q = 1 – p = 1 – 0,50 = 0,50 dan n = 20 , sehingga:

a. probabilitas tepat 10 orang yang sembuh adalah

.1762,0)5,0()5,0(!10)!1020(

!20)10()10X(P

!)!(

!)()X(P

102010X

X

=−

===

−===

−

−

p

qpxxn

nxpx xnx

b. probabilitas maksimal 2 orang yang sembuh adalah

.0002,0)5,0()5,0)(190()5,0)(5,0)(20()5,0)(1)(1()2X(P

)5,0()5,0()5,0()5,0()5,0()5,0()2X(P

)5,0()5,0(C)()2()2X(P

C)()()X(P

1821920

2202202

1201201

0200200

2

0

20202

0XX

00XX

=++=≤

++=≤

===≤

===≤

−−−=

−

=

=

−

=

∑∑

∑∑

CCC

kpF

qpkpxFx

k

kkk

k

x

k

knknk

x

k


www.statsdata.my.id

Contoh soal ini juga dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Binomial, sehingga:

a. probabilitas tepat 10 orang yang sembuh diperoleh

?...)9X(P)10X(P)10X(P

5,0,20,10;)1()()(

)1X(P)X(P)X(P

XXX

=≤−≤=====−−=

−≤−≤==pnxxFxFxp

xxx

n x p

.. 0.50 .. 1.00

20 0 |

20 : ↓

20 9 → 0.4119

20 10 → 0.5881

20 :

20 20

.1762,04119,05881,0)9X(P)10X(P)10X(P =−=≤−≤==

b. probabilitas maksimal 2 orang yang sembuh diperoleh

?...)2X(P

5,0,20,2;)()X(P X

=≤====≤ pnxxFx

n x p

.. 0.50 .. 1.00

20 0 |

20 : ↓

20 2 → 0.0002

20 :

20 20

.0002,0)2X(P =≤

Sebagai tambahan, nilai mean dan varian dari variabel acak diskrit X berdistribusi Binomial

masing-masing adalah[2]

μ = np dan σ2 = npq.

Distribusi Multinomial.

Distribusi Multinomial merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome/kejadian

sukses pada variabel acak diskrit X = {X1, X2, …, Xk} yang berisi kejadian E1, E2, …, Ek dengan

probabilitas sukses p1, p2, …, pk. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X

Multinomial adalah


www.statsdata.my.id

1...;...

....!!...!.

!)X(P)(

},...,,{;),...,,,(Mult~X

2121

2121

X

2121

21

=+++=+++

===

=

kk

xk

xx

k

kk

pppnxxx

pppxxx

nxxp

xxxxpppn

k

Sebagai Contoh, seorang manager kedai kopi menemukan bahwa probabilitas pengujung

membeli 0, 1, 2, atau 3 cangkir kopi masing-masing adalah 0,3 , 0,5 , 0,15 , dan 0,05 . Jika

ada 8 pengujung yang masuk kedai, maka tentukan probabilitas bahwa 2 pengujung akan

memesan minuman lain, 4 pengujung akan memesan 1 cangkir kopi, 1 pengujung akan

memesan 2 cangkir, dan 1 pengujung akan memesan 3 cangkir kopi.

Misalkan X adalah banyaknya pengujung yang memesan cangkir kopi dengan x1 = 2, x2 = 4,

x3 = 1, dan x4 = 1; dengan p1 = 0,3 , p2 = 0,5 , p3 = 0,15 , p4 = 0,05 , dan n = 8 , maka

probabilitas bahwa 2 pengujung akan memesan minuman lain, 4 pengujung akan memesan

1 cangkir kopi, 1 pengujung akan memesan 2 cangkir, dan 1 pengujung akan memesan 3

cangkir kopi adalah

.0354,0)05,0.()15,0.()5,0.()3,0(!1!.1!.4!.2

!8)X(P)(

}1,1,4,2{},,,{

....!!...!.

!)X(P)(

1142X

4321

2121

X21

====

==

===

xxp

xxxxx

pppxxx

nxxp kx

kxx

k

Sebagai tambahan, distribusi Multinomial sama dengan distribusi Binomial, tetapi distribusi

Multinomial memiliki keuntungan lebih untuk menghitung probabilitas ketika ada lebih dari

dua outcome/kejadian untuk setiap percobaan didalam eksperimen. Distribusi Multinomial

merupakan suatu distribusi umum, sedangkan distribusi Binomial adalah suatu kasus khusus

dari distribusi Multinomial[1]

.

Distribusi Hipergeometrik.

Distribusi Hipergeometrik merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya

outcome/kejadian sukses pada populasi sebesar N yang memiliki m elemen dengan kejadian

sukses dan N – m elemen lainnya dengan kejadian gagal yang mana percobaan ini dilakukan

pada n sampel. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Hipergeometrik

dirumuskan


www.statsdata.my.id

.},min{,...,0;.

)X(P)(

),,(Hyp~X

X mnxC

CCxxp

mnN

Nn

mNxn

mx ====

−−

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) diskrit dari variabel acak X Hipergeometrik

adalah

∑∑=

−−

===≤=

x

kNn

mNkn

mk

x

k C

CCkpxxF

00XX

.)()X(P)( .

Sebagai contoh, suatu panitia pemilihan dibentuk berdasarkan 6 orang yang diambil secara

acak dari 15 orang yang mendaftar. Enam puluh persen diantaranya adalah wanita. Jika X

variabel acak yang menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka dihitung probabilitas

tepat 2 wanita dalam panitia tersebut.

Misalkan X adalah banyaknya wanita yang terpilih dalam kepanitiaan, maka x = 2, n = 6 ,

N = 15, dan m = 60% dari N = (0,60)(15) = 9 , sehingga probabilitas tepat 2 wanita dalam

panitia tersebut adalah

.1079,05005

)15).(36(..)2()2X(P

.)()X(P

156

64

92

156

91526

92

X

X

======

===

−−

−−

C

CC

C

CCp

C

CCxpx

Nn

mNxn

mx

Sebagai tambahan, nilai mean dan varian dari variabel acak diskrit X berdistribusi

Hipergeometrik masing-masing adalah[2]

N

mn=µ

dan

.11

2

−−−=

N

m

N

mn

N

nNσ

Ketika n/N ≤ 0,05 distribusi Hipergeometrik dapat didekati dengan distribusi Binomial

dengan parameter n dan p = m/N. Selanjutnya, nilai mean dan varian dari variabel acak

diskrit X berdistribusi Hipergeometrik masing-masing adalah μ = np dan σ2 = npq .


www.statsdata.my.id

Distribusi Poisson.

Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas dari banyaknya outcome/kejadian

sukses X yang terjadi selama interval waktu atau area tertentu[2]

. Interval pengamatan ini

dapat berupa waktu atau ruang 2D/3D, contohnya:

• waktu (berapa banyak pelanggan mengunjungi kantor pos dalam 1 hari),

• ruang 2D (menghitung banyaknya cacat pada cat mobil A),

• ruang 3D (menghitung banyaknya ikan di satu kilometer kubik laut), dll.

Karakteristik percobaan Poisson diberikan sebagai berikut[2]

:

1. Banyaknya outcome/kejadian terjadi dalam interval waktu atau area tertentu yang

independen.

2. Probabilitas bahwa suatu outcome/kejadian tunggal akan terjadi selama interval

waktu yang pendek atau area yang kecil secara proporsional dan tidak tergantung

pada banyaknya outcome/kejadian pada interval waktu atau area yang lain.

3. Probabilitas bahwa lebih dari satu outcome/kejadian akan terjadi pada interval waktu

yang pendek atau area yang kecil dapat diabaikan.

Nilai mean banyaknya outcome/kejadian dihitung dari μ = λ t dengan λ adalah derajat

terjadinya outcome/kejadian dan t adalah ketentuan waktu, jarak, area, atau volume yang

menjadi perhatian. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Poisson

dirumuskan

,...2,1,0;!

)X(P)(

;)(Poi~X

X ====

=−

xx

exxp

txµ

λµµµ

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak X Poisson adalah

∑

∑

=

−=

=

=≤=

x

k

k

x

k

k

exF

kpxxF

0X

0XX

!)(

)()X(P)(

µµ.

Sebagai contoh, mean banyaknya panggilan ke call center dalam dua hari adalah 6

panggilan. Dihitung probabilitas bahwa:

a. Minimal ada dua panggilan dalam dua hari.

b. Ada tujuh panggilan dalam empat hari.

c. Maksimum ada satu panggilan dalam satu hari.


www.statsdata.my.id

Misalkan X adalah banyaknya panggilan ke call center dan μ adalah mean banyaknya

panggilan ke call center dalam dua hari (t = 2), maka μ sama dengan 6, sehingga:

a. Jika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka

Probabilitas minimal ada dua panggilan dalam dua hari akan bernilai

.9826,00174,01!1

6

!0

61

!

61)2X(P

)1(1)2X(P

)1X(P1)2X(P1)2X(P

!1)1(1)X(P

)1X(P1)X(P1)X(P

sehingga , 6

hari dua dalamcenter call kepanggilan banyaknyamean Diketahui

16061

0

6

X

1

0X

=−=

+−=−=≥

−=≥≤−=<−=≥

−=−−=≥

−≤−=<−=≥==

−−

=

−

−

=

−

∑

∑

ee

k

e

F

k

exFx

xxx

t

k

k

x

k

kµ

λµ

µ

b. Jika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka

Probabilitas ada tujuh panggilan dalam empat hari akan bernilai

.0437,0!7

12)7X(P

!)()X(P

sehingga , 12)4)(3(

hariempat dalamcenter call kepanggilan banyaknyaMean

32/6/ maka ,


712

===

===

===

====

−

−

e

x

exfx

t

tt

xµλµ

µλλµ

µ

c. Jika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam dua hari, maka

Probilitas maksimum ada satu panggilan dalam satu hari akan bernilai


www.statsdata.my.id

.1991,0!1

3

!0

3)1X(P

!

3)1X(P

!)()X(P

sehingga , 3)1)(3(

harisatu dalamcenter call kepanggilan banyaknyaMean

32/6/ maka ,


1303

1

0

3

0

=+=≤

=≤

==≤

===

====

−−=−

−=−

−

∑

∑

ee

k

e

k

exfx

t

tt

k

k

x

k

kµλµ

µλλµ

µ

Contoh soal ini juga dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Poisson, sehingga:

a. Probabilitas minimal ada dua panggilan dalam dua hari.

?...)1X(P1)2X(P

)1X(P1)2X(P1)2X(P

)1X(P1)X(P1)X(P

sehingga , 6


=≤−=≥≤−=<−=≥

−≤−=<−=≥==

xxx

tλµ

μ

x … 6.00 …

0 ↓

1 → 0.0174

:

.9826,00174,01)1X(P1)2X(P =−=≤−=≥

b. Probabilitas ada tujuh panggilan dalam empat hari.

?...)6X(P)7X(P)7X(P

)1X(P)X(P)X(P

sehingga , 12)4)(3(

hariempat dalamcenter call kepanggilan banyaknyaMean

32/6/ maka ,


=≤−≤==−≤−≤==

===

====

xxx

t

tt

λµ

µλλµ

μ

x … 12.00 …

: ↓

6 → 0.0458

7 → 0.0895

:


www.statsdata.my.id

.0437,00458,00895,0)6X(P)7X(P)7X(P =−=≤−≤==

c. Probilitas maksimum ada satu panggilan dalam satu hari.

?...)1X(P

)()X(P

sehingga , 3)1)(3(

harisatu dalamcenter call kepanggilan banyaknyaMean

32/6/ maka ,


=≤=≤

===

====

xfx

t

tt

λµ

µλλµ

μ

x … 3.00 …

0 ↓

1 → 0.1991

:

.1991,0)1X(P =≤

Sebagai tambahan, distribusi Poisson dapat diterapkan pada distribusi Binomial ketika nilai

n sangat besar (n mendekati infinity) dan p sangat kecil (p mendekati 0)[2]

, dimana

parameter μ = np. Selanjutnya, nilai mean dan varian dari variabel acak diskrit X

berdistribusi Poisson adalah sama, yaitu μ = σ2 = λ t.

REFERENSI

[1] Bluman, A.G., (2012), Elementary Statistics: A Step By Step Approach, Eighth Edition,

New York: McGraw-Hill.

[2] Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye, K., (2012), Probability and Statistics for

Engineers and Scientists, Ninth Edition, Boston: Pearson Education.

[3] Lefebvre, M., (2006), Applied Probability and Statistics, New York: Springer.

Distribusi Variabel Acak Diskrit

Documents

Transcript of Distribusi Variabel Acak Diskrit