BAB IV VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS

Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas


Tujuan Pembelajaran• Mengidentifikasi dan membedakan variabel acak diskrit

dan kontinu.• Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi

probabilitas diskrit, fungsi probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif variabel acak diskrit

• Memahami dan menggunakan konsep distribusi probabilitas kontinu, fungsi kepadatan probabilitas, dan fungsi distribusi kumulatif variabel acak kontinu

• Memahami dan menggunakan distribusi probabilitas dengan parameter

• Memahami dan menggunakan konsep nilai harapan (harapan matematik)

• Memahami dan menggunakan konsep momen


Agenda

• Konsep Variabel Acak• Distribusi Probabilitas• Distribusi Gabungan• Harapan Matematis• Pembangkitan Momen


• Variabel acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap unsur dalam ruang sampel.

• Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak jumlah bilangan bulat, ruang sampel model ini disebut sebagai ruang sampel diskrit

• Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik dalam sebuah segmen garis, ruang sampel model ini disebut sebagai ruang sampel kontinyu.

• Variabel acak diskrit bila himpunan keluarannya dapat dihitung.

• Variabel acak dapat mengambil nilai-nilai pada skala kontinyu disebut sebagai variabel acak kontinyu.


ContohSeorang petugas ruang simpan mengembalikan tiga helm keselamatan secara acak kepada tiga pegawai pabrik baja yang sudah memeriksa helm tersebut. Bila Smith, John, dan Brown di dalam urutan itu, menerima salah satu dari 3 helm itu, tulislah titik-titik contoh bagi urutan yang mungkin dari pengembalian helm tersebut, dan carilah nilai m dari peubah acak M yang mewakili jumlah kecocokan yang tepat.

Penyelesaian:Bila S, J dan B masing-masing menunjukkan helm milik Smith, Jones dan Brown maka susunan yang mungkin dimana helm akan dikembalikan dan jumlah kecocokan yang benar adalah


2. Distribusi Probabilitas

Himpunan pasangan nilai-nilai variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai

variabel acak X, P(X = x) disebut probabilitas X atau disingkat distribusi X. Himpunan

pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas atau fungsi kerapatan

probabilitas dari variabel acak X untuk setiap keluaran x yang mungkin. Sifat-sifat fungsi

f(x) adalah

a. Variabel acak diskrit

1. xXPxf fungsi probabilitas

2. 0xf

3. x

xf 1

b. Variabel acak kontinyu

1. b

a

dxxfbXaP )( fungsi kepadatan probabilitas/probability

density function (pdf)

2. 0xf

3.

1dxxf


2. Distribusi ProbabilitasJika variabel acak X memiliki fungsi probabilitas f(x), maka fungsi distribusi kumulatif

dari X, yaitu F(x) dinyatakan sebagai

kontinyuXdtxf

diskritXxf

xXPxFX

xX

Fungsi distribusi kumulatif F(x) dapat dinyatakan pada interval bXa yaitu

sebagai:

aFbFbXaP .

Fungsi kerapatan probabilitas f(x) dapat dinyatakan sebagai hubungan dengan distribusi

kumulatif sebagai:

dx

xdFxf



Contoh: 1

Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang

cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari komputer ini, carilah

sebaran probabilitas untuk jumlah cacat.

Penyelesaian :

Ambil X sebagai peubah acak yang nilai x-nya adalah jumlah komputer cacat yang

mungkin dibeli oleh sekolah tersebut. Maka x dapat menjadi salah satu dari bilangan

0,1,2. Sekarang

3 5

0 2 100 0

8 18

2

f P X

,

3 5

1 1 151 1

8 18

2

f P X

,



3 5

2 0 32 0

8 18

2

f P X

sehingga sebaran probabilitas dari X adalah

X 0 1 2

f(x) 1028 15

28 328



Contoh 2Pada sebuah eksperimen probabilitas satu kali melempar dua buah dadu secara bersamaan, distribusi probabilitas dari jumlah mata dadu yang muncul ditentukan sebagai berikut:Ruang sampell eksperimen adalah pasangan mata dadu yang mungkin: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)Jika X adalah varibel acak diskrit yang menyatakan jumlah mata dadu yang mungkin mucul, maka X = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}



• Distribusi probabilitas untuk masing-masing nilai variabel X membentuk fungsi probabilitas sebagai berikut:

• P(X=2) = p(2) = 1/36 P(X=8) = p(8) = 5/36• P(X=3) = p(3) = 2/36 P(X=9) = p(9) = 4/36• P(X=4) = p(4) = 3/36 P(X=10) = p(10) = 3/36• P(X=5) = p(5) = 4/36 P(X=11) = p(11) = 2/36• P(X=6) = p(6) = 5/36 P(X=12) = p(12) = 1/36• P(X=7) = p(7) = 6/36• Fungsi probabilitas untuk variable diskrit seperti di

atas dapat ditampilkan dalam bentuk grafik batang



p(x)

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

x2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



• Dari fungsi probabilitas jumlah mata dadu yang muncul pada eksperimen melempar dua mata dadu dalam Contoh 2 dapat dibentuk fungsi distribusi kumulatif (cdf) sebagai berikut:

2

3

4

5

6

(2) ( ) (2) 1/ 36

(3) ( ) (2) (3) 1/ 36 2 / 36 3 / 36

(4) ( ) (2) (3) (4) 1/ 36 2 / 36 3 / 36 6 / 36

(5) ( ) (2) (3) ... (5) 1/ 36 2 / 36 ... 4 / 36 10 / 36

(6) ( ) (2) (3) ... (6) 1

x

x

x

x

x

F p x p

F p x p p

F p x p p p

F p x p p p

F p x p p p

7

8

9

/ 36 2 / 36 ... 5 / 36 15 / 36

(7) ( ) (2) (3) ... (7) 1/ 36 2 / 36 ... 6 / 36 21/ 36

(8) ( ) (2) (3) ... (8) 1/ 36 2 / 36 ... 5 / 36 26 / 36

(9) ( ) (2) (3) ... (9) 1/ 36 2 / 36 ... 4 / 36 30 / 36

(10)

x

x

x

F p x p p p

F p x p p p

F p x p p p

F

10

11

12

( ) (2) (3) ... (10) 1/ 36 2 / 36 ... 3 / 36 33 / 36

(11) ( ) (2) (3) ... (11) 1/ 36 2 / 36 ... 2 / 36 35 / 36

(12) ( ) (2) (3) ... (12) 1/ 36 2 / 36 ... 1/ 36 36 / 36

x

x

x

p x p p p

F p x p p p

F p x p p p



F(x)

36/36

30/36

24/36

18/36

12/36

6/36

x2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1210


2. Distribusi ProbabilitasContoh 3.

Carilah sebaran kumulatif peubah acak X dalam contoh 3.4. Dengan menggunakan F(x),

buktikanlah bahwa f(2) = 3/8.

Penyelesaian:

Penghitungan langsung sebaran probabilitas dari contoh 3.4 memberikan f(0) = 1/16,

f(1) = ¼, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Sehingga

10 0

16F f ,

51 0 1

16F f f ,

112 0 1 2

16F f f f ,

153 0 1 2 3

16F f f f f ’

4 0 1 2 3 4 1F f f f f f .



Sehingga

116

516

1116

1516

0 0

0 1

1 2

2 3

3 4

1 4

untuk x

untuk x

untuk xF x

untuk x

untuk x

untuk x

Sekarang,

11 5 32 2 1

16 16 8f F F



Contoh 4Andaikan bahwa kesalahan dalam temperatur reaksi, dalam oC, untuk sebuah percobaan laboratorium yang diatur merupakan suatu peubah acak kontinu X yang mempunyai fungsi kepekatan probabilitas

a. Tunjukkan bahwa

b. Carilah c. Carilah F(x)

2

3 , 1 2

0

x xf x

di tempat lain

1dxxf

0 1P X



• Penyelesaiana.

b. c. Untuk -1 < x < 2

2 22 2

11

8 11

3 3 9 9

x xf x dx dx

1 12 3

00

10 1

3 9 9

x xP x dx

2 3 3

11 1

1

3 9 9

x x xt t xF x f t dt dt

3

0, 1

1, 1 2

91, 2

x

xF x x

x


3. Distribusi GabunganFungsi f(x,y) merupakan distribusi probabilitas gabungan atau fungsi kerapatan

distribusi dari variabel acak diskrit X dan Y, bila

1. 0, yxf , untuk semua (x,y)

2. x y

yxf 1,

3. yxfyYxXP ,,

Untuk setiap daerah A pada bidang datar xy, maka

A

yxfAYXP ,,


3. Distribusi Gabungan

Fungsi f(x,y) merupakan distribusi probabilitas gabungan atau fungsi kerapatan

distribusi dari variabel acak kontinyu X dan Y, bila

1. 0, yxf , untuk semua (x,y)

2. 1, dxdyyxf

3. A

dxdyyxfAYXP ,,

Untuk semua daerah A pada bidang datar xy


3. Distribusi GabunganDistribusi marginal dari variabel acak X atau Y saja diberikan oleh

y

yxfxg , dan x

yxfyh , , untuk distribusi diskrit dan

dyyxfxg , dan dxyxfyh , untuk distribusi kontinyu.

Untuk dua variabel acak X dan Y, diskrit atau kontinyu, maka distribusi bersyarat untuk

variabel acak Y , karena X = x, diberikan oleh

xg

yxfxyf

,

Untuk distribusi bersyarat dari variabel acak X untuk Y = y, diberikan oleh:

yh

yxfyxf

,



Untuk dua variabel acak X dan Y, diskrit atau kontinyu, dengan distribusi probabilitas

gabungan diberikan oleh f(x,y) dan distribusi marginal diberikan oleh g(x) dan h(y),

maka variabel acak X dan Y dikatakan tidak saling ketergantungan jika dan hanya jika

yhxgyxf , untuk semua (x,y).

Untuk n variabel acak X1, X2, ..., Xn, diskrit atau kontinyu dengan masing masing

distribusi probabilitas gabungan f(x1, x2, …, xn) dan distribusi marginal f1(x1), f2(x2), …,

fn(xn), variabel acak X1, X2, ..., Xn dikatakan saling tak tergantung secara statistik jika

dan hanya jika

nnn xfxfxfxfxxxf ...,...,, 33221121


3. Distribusi GabunganContoh 5

Sebuah perusahaan kembang gula mendistribusikan kotak cokelat dengan campuran krim,

toffees, dan kacang yang dibalut dengan cokelat warna muda dan gelap. Untuk kotak yang

dipilih secara acak, diambil X dan Y masing-masing sebagai perbandingan cokelat warna

muda dan gelap yang dicampur dengan krim dan andaikan bahwa fungsi kepekatan

gabungan adalah

2(2 3 ), 0 1, 0 1

( , ) 50,

x y x yf x y

di tempat lain

(a) Uraikan kondisi 2 dari Definisi 3.9

(b) Carilah P [ ( X, Y ) Є A ], dimana A merupakan wilayah 1 1 1, | 0 , .

2 4 2x y x y



Penyelesaian

(a) 1 1

0 0

2( , ) (2 3 )

5f x y dx dy x y dx dy

1 12

20

2 6

5 5

x

x

x xydy

1 12

00

2 6 2 3

5 5 5 5

y y ydy

2 3

1.3 5



(b) 1 1 1

P [(X,Y) A]= P(0 < X < , )2 4 2

Y

1 12 2

1 04

2(2 3 )

5x y dx dy

1 122 2

1 04

2 6

5 5

x

x

x xydy

1 122 2

1144

1 3 3

10 5 10 10

y y ydy

1 1 3 1 3 13

.10 2 4 4 16 160



Contoh 6

Kepekatan gabungan untuk peubah acak (X, Y), dengan X adalah perubahan suhu

satuan dan Y adalah perbandingan pergeseran spektrum yang dihasilkan oleh partikel atom

tertentu, adalah

210 , 0 1

,0,

xy x yf x y

di tempat lain

(a) Carilah kepeakatan marginal g(x), h(y) dan kepekatan kondisional f(y|x)!

(b) Carilah probailitas dimana pergeseran spektrum lebih dari pada setengah pengamatan

total, karena suhu ditingkatkan sampai 0,25 satuan.


3. Distribusi GabunganPenyelesaian:

(a) Sesuai definisi,

11

2 3 310 10, 10 1 , 0 1

3 3

y

y xx

g x f x y dy xy dy xy x x x

2 2 2 4

00

, 10 5 5 , 0 1y x y

x

g x f x y dy xy dy x y y y

Sekarang,

2 2

3 3103

, 10 3, 0 1

1 1

f x y xy yf y x x y

g x x x x

Sehingga,

1 1 2

12 3

1/ 2 1/ 2

3 80,25 0,25

91 0,25

yP Y X fy x dy dy


4. Harapan Matematis

Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = P(X=x), maka nilai

harapan matematis X, E(X), dinyatakan oleh:

kontinyuXdxxxf

diskritXxxf

XExX


4. Harapan MatematisHarapan matematis berguna untuk menentukan mean , variansi 2 , atau standar

deviasi dari populasi yang dirumuskan sebagai:

1. Mean populasi, XE

2. Variansi populasi

kontinyuXdxxfx

diskritXxfx

XExX

2

2

22

3. Standar deviasi 2 X

Besarnya variansi dapat disederhanakan menjadi 2222 XEXE



Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x), mean dari

variabel acak g(X) diberikan oleh

)()()()( xfxgXgEXg

Untuk X diskrit, dan

dxxfxgXgEXg )()()()(

jika X kontinyu.


4. Harapan Matematis 2 Distribusi

Bila X dan Y adalah dua variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan

f(x,y), mean dari variabel acak g(X,Y) diberikan oleh

x y

YXg yxfyxgYXgE ),(),(),(),(

untuk X dan Y diskrit, dan

dxdyyxfyxgYXgEYXg ),(),(),(),(

untuk X dan Y kontinyu.


4. Varians Variabel Acak

Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x) dan mean, ,

variansi X diberikan oleh

)(222 xfXXE

untuk X diskrit, dan

dxxfXXE )(222

jika X kontinyu.



Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x) dan mean, ,

variansi g(X) diberikan oleh

)()()( 2)(

2)(

2)( xfXgXgE XgXgXg

untuk X diskrit, dan

dxxfXgXgE XgXgXg )()()( 2)(

2)(

2)(

jika X kontinyu.



Bila X dan Y adalah dua variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y),

standar deviasi dari variabel X dan Y diberikan oleh:

x y

YXYXXY yxfyxYXE ),(

bila X dan Y adalah diskrit, dan

dxdyyxfyxYXE YXYXXY ),(

untuk X dan Y adalah kontinyu.



Standard deviasi dua variabel acak X dan Y dengan masing-masing mean

X dan Y diberikan oleh

YXXY XYE

Bila X dan Y merupakan dua variabel acak dengan standar deviasi gabungan

XY dan standar deviasi masing-masing X dan Y , koefisien korelasi X dan Y diberikan

oleh

YX

XYXY

dimana nilai koefisien korelasi memenuhi persyaratan 11 XY .



Sifat-sifat dari harapan matematis adalah:

a. E(c) = c

b. E(bX) = bE(X)

c. E(a + bX) = a + bE(X)

d. Nilai harapan matematis dari penjumlahan atau perbedaan dua atau lebih fungsi

suatu variabel acak X adalah penjumlahan atau perbedaan dari masing-masing nilai

harapan matematis tersebut, yang diberikan oleh

)()()()( XhEXgEXhXgE

e. Nilai harapan matematis dari penjumlahan atau perbedaan dua atau lebih fungsi

suatu variabel acak X dan Y merupakan penjumlahan atau perbedaan dari masing-

masing nilai harapan matematis tersebut, yang diberikan oleh

),(),(),(),( YXhEYXgEYXhYXgE


4. Harapan Matematisf. Bila X dan Y adalah dua variabel acak bebas, maka

YEXEXYE

g. Jika a dan b adalah konstanta

22222 aa XbaX , bila a = 1 maka

222 XbX , bila b = 0, maka

22222 aa XaX

h. Jika X dan Y adalah dua variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan

f(x,y), maka

XYYXbYaX abba 222222



i. Bila X dan Y adalah variabel acak bebas maka

22222YXbYaX ba

j. Bila X dan Y adalah variabel acak bebas, maka

22222YXbYaX ba

k. Jika X1, X2, …, Xn adalah variabel acak bebas, maka

2222

22

21

21

2... ...

21211 XnnXXXaXaXa aaann


4. Harapan MatematisContoh 7. Misalkan variabel acak X mempunyai distribusi probabilitas:

X -3 6 9 P(X) 1

6 1 2

1 3

Tentukanlah: a. E(X) dan E(X2); b. E{(2X + 1)2}; c. E[{X – E(X)}2 ]! Penyelesaian : a. E(X) = x P( X = x ) = ( -3 ) 1/6 + ( 6 ) 1/2 + ( 9 ) 1/3 = 11 / 2 = 5,5



E(X2) = x2 P( X = x ) = ( -3 )2 1/6 + ( 6 )2 1/2 + ( 9 )2 1/3 = 93 / 2 = 46,5 b. E{(2X + 1)2} = E(4X2 + 4X + 1) = 4 E(X2) + 4 E(X) + E(1) = 4 . 46,5 + 4 . 5,5 + 1 = 209 c. E[{X – E(X)}2 ] = E[X2 – 2XE(X) + E(X)2] = E(X2) – 11 E(X) + 30,25 = 46,5 – 11 . 5,5 + 30,25 = 16,25


4. Harapan MatematisContoh 8 Kebutuhan mingguan untuk minuman tertentu, dalam ribuan liter, dari toko lokal,

adalah variabel acak kontinyu g(X) = X2 + X – 2, di mana X mempunyai fungsi kerapatan sebagai berikut:

lainnya yang,0

21,)1(2)(

xxxf

Tentukan nilai yang diharapkan dari kebutuhan mingguan minuman tersebut. Penyelesaian:

E(X2 + X – 2) = E(X2) + E(X) – E(2). E(2) = 2, sehingga

2

1

2

1

2 3/5)(2)1(2)( dxxxdxxxXE

dan

2

1

2

1

2322 6/17)(2)1(2)( dxxxdxxxXE

Jadi E(X2 + X – 2) = (17/6) + (5/3) – 2 = 5/2

Ini berarti bahwa kebutuhan mingguan rata-rata untuk minuman adalah 2500 liter


4. Harapan MatematisContoh 4.14

Fraksi X dari para pelari pria dan fraksi Y dari pelari wanita yang bertanding dalam

lari maraton digambarkan oleh fungsi kepekatan gabungan

34 , 0 1,0

,0,

x x y xf x y

di tempat lain

Carilah standar deviasi X dan Y!

Penyelesaian:

Pertama kali kita harus menghitung fungsi kepekatan marginal. Keduanya adalah

34 , 0 1

0,

x xg x

di tempat lain

dan

24 1 , 0 1

0,

y y yh y

di tempat lain



Dari fungsi kepekatan marginal yang diberikan di atas, kita hitung

1 1

4 2 2

0 0

4 84 , 4 1

5 15X YE X x dx E Y y y dy

Dari fungsi kepekatan gabungan yang diberikan, kita dapatkan

1 1

2 2

0

48

9y

E XY x y dxdy

Maka

4 4 8 4

9 5 15 225XY X YE XY



Contoh 8 Dalam pembuatan mikrocip galium-arsenida, telah diketahui bahwa perbandingan

antara galium dan arsenida tidak tergantung pada tingginya prosentasi pembuatan wafer yang baik. X menyatakan perbandingan galium terhadap arsenida dan Y menyatakan prosentasi wafer yang baik yang dihasilkan selama 1 jam. X dan Y adalah variabel acak independen yang mempunyai kerapatan gabungan sebagai berikut:

lainnya yang,0

10,20,4

)31(),(

2

yxyx

yxf

Buktikan bahwa E(XY) = E(X)E(Y)


Contoh 4.11

Hitunglah variansi g(X) = 2X + 3, dimana X adalah peubah acak dengan sebaran

probabilitas

x 0 1 2 3

f(x) 14 1

8 12 1

8

Penyelesaian:

Pertama kita cari nilai tengah peubah acak 2X + 3.

3

2 30

2 3 2 3 6Xx

E X x f x

Sekarang dengan menggunakan teorema 4.3, kita dapatkan:

2 222 32 3 2 3 2 3 6XX E X E X

3

2 2

0

4 12 9 4 12 9 4x

E X X x x f x


4. Harapan MatematisPenyelesaian:

6/53

)31(2

12

)31(

4

)31(),()(

1

0

21

0

2

0

23

1

0

2

0

221

0

2

0

dyyy

dyyyx

dxdyyyx

dxdyyxxyfXYE

x

x

3/43

)31(2

12

)31(

4

)31(),()(

1

0

21

0

2

0

23

1

0

2

0

221

0

2

0

dyy

dyyx

dxdyyx

dxdyyxxfXE

x

x

8/52

)31(

8

)31(

4

)31(),()(

1

0

21

0

2

0

22

1

0

2

0

21

0

2

0

dyyy

dyyyx

dxdyyxy

dxdyyxyfYE

x

x

Sehingga E(X)(Y) = (4/3)(5/8) = 5/6 = E(XY).



Contoh 9

Kepekatan gabungan untuk peubah acak (X, Y), dengan X adalah perubahan suhu

satuan dan Y adalah perbandingan pergeseran spektrum yang dihasilkan oleh partikel atom

tertentu, adalah

210 , 0 1

,0,

xy x yf x y

di tempat lain

(a) Carilah kepeakatan marginal g(x), h(y) dan kepekatan kondisional f(y|x)!

(b) Carilah probailitas dimana pergeseran spektrum lebih dari pada setengah pengamatan

total, karena suhu ditingkatkan sampai 0,25 satuan.


4. Harapan MatematisPenyelesaian:

(a) Sesuai definisi,

11

2 3 310 10, 10 1 , 0 1

3 3

y

y xx

g x f x y dy xy dy xy x x x

2 2 2 4

00

, 10 5 5 , 0 1y x y

x

g x f x y dy xy dy x y y y

Sekarang,

2 2

3 3103

, 10 3, 0 1

1 1

f x y xy yf y x x y

g x x x x

(b). Sehingga,

1 1 2

12 3

1/ 2 1/ 2

3 80,25 0,25

91 0,25

yP Y X fy x dy dy

BAB IV VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS

Documents

Transcript of BAB IV VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS