Modul 3 Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinu

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di kehidupan sehari-hari kerap kali ditemui berbagai macam model

peluang. Faktor ketidakpastian banyak memiliki model peluang yang

menggambarkan suatu akibat yang mungkin terjadi seandainya kondisi – kondisi

tertentu terjadi. Distribusi peluang atau peluang teoritis merupakan suatu model

peluang yang memungkinkan untuk mempelajari hasil eksperimen random yang

riil dan menduga hasil – hasil yang akan terjadi. Distribusi peluang yang demikian

merupakan distribusi populasi karena berhubungan dengan semua nilai – nilai

yang mungkin terjadi dan populasinya merupakan variabel random.

Berdasarkan jenis variabelnya tergolong atas distribusi peluang diskrit dan

distribusi peluang kontinu. Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang contoh

yang mengandung jumlah titik contoh yang terhingga sedangkan distribusi

peluang kontinu adalah suatu ruang contoh mengandung tidak terhingga

banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis.

Distribusi peluang diskrit dibagi atas berbagai macam diantaranya adalah

distribusi peluang binomial, distribusi peluang hipergeometrik, distribusi peluang

poisson, distribusi peluang geometrik, dan distribusi peluang binomial negatif.

Sedangkan, distribusi peluang kontinu dibagi atas distribusi peluang normal,

distribusi peluang gamma, distribusi peluang eksponensial, distribusi peluang chi-

square.

Metode yang digunakan dalam praktikum ini adalah untuk mengetahui

variabel acak masing – masing distribusi dengan menggunakan software Minitab

dengan membangkitkan 500 data dan melakukan survei terhadap sepeda motor

yang masuk dalam tempat parkir dalam kurun waktu 2 hari selama 1 jam setiap 2

menit pada pagi, siang, malam. Dalam penyajian data, menggunakan diagram

histogram untuk memudahkan penyajian.

1

1.2 Rumusan Masalah

Dalam praktikum ini, permasalahan yang muncul sebagai acuan untuk

analisis adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana distribusi binomial dengan parameter berbeda-beda yang

digambarkan dengan histogram?

2. Bagaimana distribusi hipergeometri dengan parameter berbeda-beda yang


3. Bagaimana penerapan distribusi poisson terhadap survei tempat parkir

sepeda motor setiap dua menit selama satu jam dalam waktu 2 hari pada

pagi, siang, dan malam?

4. Bagaimana distribusi poisson dengan parameter berbeda-beda yang


5. Bagaimana distribusi geometrik dengan parameter berbeda-beda yang


6. Bagaimana distribusi binomial negatif dengan parameter berbeda-beda

yang digambarkan dengan histogram?

7. Bagaimana distribusi normal dan distribusi normal baku yang


8. Bagaimana distribusi gamma dengan parameter berbeda-beda yang


9. Bagaimana distribusi eksponensial yang digambarkan dengan histogram?

10. Bagaimana distribusi chi-square yang digambarkan dengan histogram?

1.3 Tujuan Penelitian

Rumusan masalah diatas menghasilkan tujuan yang akan dicapai dalam

kegiatan praktikum ini, yaitu sebagai berikut:

1. Mengetahui nilai variabel acak distribusi binomial dengan parameter yang

berbeda-beda yang digambarkan dengan histogram.

2. Mengetahui nilai variabel acak distribusi hipergeometri dengan parameter

yang berbeda-beda yang digambarkan dengan histogram.

2

3. Mengetahui hasil survei banyaknya sepeda motor yang parkir di tempat

parkir setiap dua menit selama satu jam dalam waktu 2 hari pada pagi,

siang, dan malam.

4. Mengetahui nilai variabel acak distribusi poisson dengan parameter


5. Mengetahui nilai variabel acak distribusi geometri dengan parameter


6. Mengetahui nilai variabel acak distribusi binomial negatif dengan

parameter berbeda-beda yang digambarkan dengan histogram.

7. Mengetahui nilai variabel acak distribusi normal dan distribusi normal

baku yang digambarkan dengan histogram.

8. Mengetahui nilai variabel acak distribusi gamma dengan parameter


9. Mengetahui nilai variabel acak distribusi eksponensial yang digambarkan

dengan histogram.

10. Mengetahui nilai variabel acak distribusi chi-square yang digambarkan

dengan histogram.

1.4 Manfat Penelitian

Dari kegiatan praktikum ini, manfaat yang dapat diambil adalah mampu

memahami dan menerapkan teori probabilitas melalui distribusi probabilitas yaitu

distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.

1.5 Batasan Masalah

Dalam praktikum ini membangkitkan 500 data terhadap distribusi peluang

diskrit yaitu distribusi binomial, distribusi hipergeometric, distribusi poisson,

distribusi geometrik, dan distribusi binomial negatif dengan bantuan software

Minitab serta melakukan survei dengan mengamati banyaknya sepeda motor yang

parkir di tempat parkir dalam kurun waktu 2 hari selama 1 jam setiap 2 menit

pada pagi, siang, dan malam dan membangkitkan 500 data terhadap distribusi

peluang kontinu yaitu distribusi normal, distribusi gamma, distribusi

eksponensial, dan distribusi chi-square dengan bantuan software Minitab.

3

BAB II

LANDASAN TEORI

1.1 Variabel Acak

Variabel acak atau peubah acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa

bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Peubah

acak dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan

dengan huruf kecil padanannya misalnya x (Walpole,1993).

2.2 Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang contoh yang mengandung

jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah

berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah (Walpole,1993).

Syarat dari distribusi diskrit adalah apabila himpunan pasangan terurut

(x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak

diskrit x bila, untuk setiap kemungkinan hasil x

1. f(x) > 0

2. f ( x) 1

3. P (X=x) = f(x)

Macam – macam distribusi peluang diskrit antara lain :

2.2.1 Distribusi Peluang Binomial

Suatu percobaan dimana pada setiap perlakuan hasilnya hanya ada dua

kemungkinan yaitu proses dan gagal dalam n ulangan yang bebas (Walpole,1993).

Ciri – ciri distribusi peluang binomial adalah sebgai berikut :

1. Percobaan terdiri dari atas n ulangan

2. Dalam setiap ulangan, hasilnya digolongkan dalam sukses dan gagal

3. Peluang sukses dilambangkan dengan p, sedangkan gagal 1-p atau q

4. Ulangan – ulangan tersebut bersifat saling bebas satu sama lain.

Distribusi peluang binomial dilambangkan dengan :

b ( x ;n ; p )=(nx) px qn− x

untuk x = 0,1,2,3 . . . ,n (2.1)

Keterangan :

4

n = banyaknya data

x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X

p = peluang berhasil pada setiap data

q = peluang gagal (1 – p) pada setiap data

Rata-rata dan ragam distribusi peluang binomial

μ=n . p (2.2)

σ 2=n . p . q (2.3)

Keterangan:

μ = rata-rata

σ 2 = ragam

n = banyak data

p = peluang keberhasilan pada setiap data

q = peluang gagal = 1 – p pada setiap data

2.2.2 Distribusi Peluang Hipergeometrik

Bila dalam N populasi benda, k benda diberi label berhasil dan N-k benda

lainnya diberi label gagal, maka distribusi peluang bagi peubah acak

hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak

berukuran n (Walpole,1993).

h ( x ; N , n , k )=(kx)(N−k

n− x )(N

n ) untuk x = 0,1,2, . . .,k

(2.4)

Keterangan :

N = ukuran populasi

n = ukuran contoh acak

k = banyaknya penyekatan / kelas

x = banyaknya keberhasilan

Rata – rata dan ragam distribusi peluang hipergeometrik

μ=nkN

(2.5)

5

σ2=N−n

N−1n

kN (1− k

N ) (2.6)

Keterangan :

μ = rata-rata

σ 2 = ragam

N = ukuran populasi

n = ukuran contoh acak

k = banyaknya penyekatan/kelas

2.2.3 Distribusi Peluang Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau

distribusi daerah tertentu (Walpole,1993). Distribusi peluang poisson memiliki

ciri – ciri sebagai berikut :

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak langsung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

2. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang

singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang

selang waktu tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan

yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut.

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang

waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat

diabaikan. Bilangan X yang menyatakan banyaknya daerah hasil percobaan

dalam suatu distribusi poisson disebut peubah acak poisson.

Karena nilai – nilai peluangnya hanya bergantung pada µ maka

dirumuskan :

p ( x ; μ )=e−μ μx

x ! untuk x =1,2, . . . (2.7)

Keterangan :

x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X6

µ = rata-rata banyak sukses yang terjadi per satuan waktu

e = 2,71828...

Rata – rata dan ragam distribusi poisson p(x;m) keduanya sama dengan m

2.2.4 Distribusi Peluang Geometrik

Percobaan yang mengandung tindakan yang bebas dan berulang – ulang

dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi

peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai munculnya

keberhasilan yang pertama (Walpole,1993).

g ( x ; p )=p .qx−1 untuk x = 1,2,3, . . . (2.8)

Keterangan

p = peluang sukses

q = peluang gagal

Rata – rata dan ragam distribusi peluang geometrik

μ= 1p

(2.9)

σ 2=1−p

p2 (2.10)

2.2.5 Distribusi Peluang Binomial Negatif

Percobaan yang mengandung ulangan yang bebas dan berulang –ulang

dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan

peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya

ulangan sampai terjadinya k keberhsilan (Walpole,1993).

b∗( x ; k ; p )=( x−1k−1) pk qx−k

untuk x = k, k+1, k+2, . .. (2.11)

Rata – rata dan ragam distribusi peluang binomial negatif

μ=kqp

(2.12)

σ 2= k .q

p2=μ+ 1

kμ2

(2.13)

7

2.3 Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu adalah suatu ruang contoh mengandung tak

terhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah

garis (Walpole,1993).

Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah

fungsi padat peluang peubah acak kontinu Xt yang didefinisikan diatas

himpunan semua bilangan real Rt bila:

1. F(x) > 0 untuk semua x R

2. f ( x)dx 1

3. P(a<X<b) = f ( x)dx

Macam – macam distribusi peluang kontinu antara lain :

2.3.1 Distribusi Peluang Normal

Percobaan yang peubah acak X nya ditentukan oleh parameter µ dan σ2.

Jika X merupakan peubah acak normal dengan rataan µ dan σ2 ragam

(Walpole,1993).

n ( x ; μ , σ )= 1√2 πσ

e−12 ( x−μ

σ )2

untuk−∞<x<∞ (2.14)

Keterangan:

x = peubah acak kontinu normal

μ = mean,

σ = standar deviasi

π = 3,14159…

e = 2,71828…

2.3.2 Distribusi Peluang Gamma

Percobaan yang seubah acaknya adalah lamanya waktu seseorang

menunggu sampai sejumlah n kejadian dengan parameter (α,β) (Walpole,1993).

F(X) =

8

1βα Г (α )

xα−1e− x/β , x>0 Г (α )=∫0

∞

xα−1 e−x dx

Mean dan varians ditentukan oleh :

µ = αβ dan σ2 = αβ2

2.3.3 Distribusi Peluang Eksponensial

Distribusi eksponensial merupakan bentuk khusus dari distribusi gamma

dengan α=1. Peubah acak kontinu yang fungsi kepekatan peluangnya diberikan

oleh:

F(X) =

Rataan dan variasi eksponensial adalah :

µ = β dan σ2 = β2

Sebaran eksponensial di dalam praktek sering muncul sebagai sebaran

lamanya waktu suatu kejadian tertentu terjadi. Misalnya, lamanya waktu (mulai

sekarang) sampai terjadi gempa bumi.

2.3.4 Distribusi Peluang Chi-Square

Distribusi peluang chi-square merupakan distribusi khusus gamma dengan

α = v2

, β = 2. Distribusi ini banyak dipakai untuk pengujian hipotesis (teori)

sebagai rumus dari statistik uji dengan hipotesis tertentu. Dimana fungsi

peluangnya dipengaruhi oleh parameter v atau disebut juga db ( derajat bebas).

Distribusi chi-square dapat didefinisikan melalui rumus seperti berikut :

F(X) =

Mean dan varians distribusi ini oleh :

µ = v dan σ2 = 2v

9

0, x ≤ 0 (2.15)

1β

exβ , x > 0

0, x ≤ 0 (2.16)

0, x ≤ 0 (2.17)

1

2v2

Г ( v2 )

xv2−1

ev2 , x>0

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Sumber Data yang digunakan dalam praktikum ini adalah sumber data

primer dan sumber data sekunder. Sumber data sekunder dengan membangkitkan

500 data pada software minitab. Sumber data primer diperoleh dengan langsung

melakukan survey. Survey ini dilakukan pada :

Hari/Tanggal : 31 Oktober – 01 November 2013

Tempat : Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS)

Pukul : 07.00 – 08.00 , 11.00 – 12.00 , 18.30 – 19.30 WIB

3.2 Variabel penelitian

Variabel yang digunakan dalam praktikum ini adalah.

1. Distribusi peluang binomial dengan n sama dan p berbeda

2. Distribusi peluang hipergeometrik dengan N sama, D berbeda dan n sama

3. Distribusi peluang poisson dengan µ berbeda

4. Banyaknya sepeda motor yang masuk tempat parkir dalam kurun waktu 2

hari selama 1 jam setiap 2 menit pada pagi, siang, dan malam

5. Distribusi peluang geometrik dengan p berbeda

6. Distribusi peluang binomial negatif dengan n berbeda p berbeda

7. Distribusi peluang normal dan distribusi peluang normal baku dengan µ

berbeda dan σ berbeda

8. Distribusi peluang gamma dengan σ = 1, 2 dan β = 4

9. Distribusi peluang eksponensial dengan µ = 4

10. Distribusi peluang chi-square dengan db (derajat bebas) = 8

3.3 Langkah Analisis

10

1. Melakukan survey

2. Menghitung banyaknya sepeda motor yang masuk tempat parkir dalam

kurun waktu 2 hari selama 1 jam setiap 2 menit pada pagi, siang, malam

3. Menganalisis hasil survey

4. Menyiapkan Software Minitab

5. Membangkitkan data

6. Melakukan langkah berikut:

- Membuka Minitab

- Pilih Calc Random Data

- Pilih distribusi yang dikehendaki

- Pada number of rows data to generate, isi = 500

- Pada kolom store in colum(s), isi judul dengan nama yang dikehendaki:

pada kolom mean dan standar deviasi isi sesuai perintah

- Pilih OK

7. Membuat Grafik

Graps histogram pilih histogram OK

8. Menganalisis hasil data yang telah dibangkitkan melalui software minitab

9. Menginterpretasi hasil

10. Membuat Laporan

11

3.4 Diagram Alir

Diagram Alir menggambarkan alur perjalanan dari pembuatan laporan ini,

mulai dari proses melakukan percobaan hingga pemberian kesimpulan dan saran.

Diagram alir yang dipakai dalam laporan ini adalah :

BAB IV

12

Membuat Histogram

Mulai

Melakukan Survey

Menganalisis Hasil Survey

Membangkitkan Data melalui Minitab

Kesimpulan

Selesai

Menganalisis Hasil Data

Menginterpretasi Data

Gambar 3.1 Diagram Alir Pelaksanaan Praktikum

Statistika Deskriptif

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

4.1 Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi dimana peubahnya secara teoritis tidak dapat menerima

sembarang nilai diantara dua nilai yang diberikan.

4.1.1 Distribusi Peluang Binomial

Pada percobaan distribusi binomial dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan n = 25, n = 50 dengan p = 0,2; p = 0,3;

p = 0,5 ;p = 0,7; p=0,9 dan n = 25, n= 50, dan n=100 dengan p = 0,4. Selanjutnya

akan dianalisis perbandingan kurva distribusi peluang dan hubungannya dengan

peluang dan nilai mean.

A. Perbandingan Distribusi Peluang Binomial untuk n = 25 dengan

Peluang Berbeda

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika n = 25 dengan masing-

masing peluang yang berbeda yaitu 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; dan 0,9. Data yang telah

ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di bentuk dalam suatu kurva.

Gambar 4.1 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Binomial n = 25

13

Dari Gambar 4.1 dapat diketahui tentang hasil perhitungan distribusi

binomial dengan bantuan program minitab. Pada n = 25 dengan nilai peluang

yang berbeda yaitu 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; dan 0,9 dapat ditunjukkan dengan kurva di

atas. Berdasarkan kurva di atas, puncak tertinggi terdapat pada kurva distribusi

binomial saat p =0,9 dengan mean 22,35 dan standart deviasi 1,577, dapat

disimpulkan bahwa semakin besar nilai peluang maka dapat berpengaruh pada

semakin besarnya nilai mean sehingga menyebabkan kurva akan semakin

bergeser ke kanan.

Tabel 4.1 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Untuk n=25

Peluang Output Minitab Hasil Teoritis

µ σ2 µ = n.p σ2 = n.p.q

0,2 5,04 3,892 5 4

0,3 7,732 5,798 7,5 5,25

0,5 12,44 7,022 12,5 6,25

0,7 17,65 4,765 17,5 5,25

0,9 22,35 2,486 22,5 2,25

Dari Tabel 4.1 merupakan hasil dari percobaan distribusi binomial dengan

nilai n = 25 dan p = 0,2 ; 0,3 ; 0,5 ; 0,7 ; 0,9 nilai mean dan varians dari output

minitab dengan teoritisnya memiliki hasil yang mendekati sama.

B. Perbandingan Distribusi Peluang Binomial untuk n = 50 dengan

Peluang Berbeda

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika n = 50 dengan masing-

masing peluang yang berbeda yaitu 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; dan 0,9. Data yang telah

ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di bentuk dalam suatu kurva.

14

Gambar 4.2 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Binomial n=50


binomial dengan bantuan program minitab. Pada n = 50 dengan nilai peluang

yang berbeda yaitu 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; dan 0,9 dapat ditunjukkan dengan kurva di

atas. Berdasarkan kurva di atas, puncak tertinggi terdapat pada kurva distribusi

binomial saat p =0,9 dengan mean 44,91 dan standart deviasi 2,143, dapat

disimpulkan bahwa semakin besar nilai peluang maka dapat berpengaruh pada

semakin besarnya nilai mean sehingga menyebabkan kurva akan semakin

bergeser ke kanan.

Tabel 4.2 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Untuk n=50


µ σ2 µ = n.p σ2 = n.p.q

0,2 10,03 7,376 10 8

0,3 14,86 10,75 15 10,5

0,5 24,68 10,73 25 12,5

0,7 35,35 10,20 35 10,5

0,9 44,91 4,592 45 4,5


nilai n = 50 dan p = 0,2 ; 0,3 ; 0,5 ; 0,7 ; 0,9 nilai mean dan varians dari output


C. Perbandingan Distribusi Peluang Binomial untuk n = 25, n = 50 dan

n = 100 dengan Peluang Sama.

15

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika n = 25, n=50, dan n = 100

dengan peluang 0,4. Data yang telah ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di

bentuk dalam suatu kurva.

Gambar 4.3 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Binomial n berbeda p

sama


binomial dengan bantuan program minitab. Pada masing-masing n = 25, n = 50,

dan n = 100 dengan nilai peluang sama yaitu 0,4 menunjukkan bahwa semakin

besar n nya maka semakin besar pula nilai mean nya sehingga menyebabkan

kurva akan semakin bergeser ke kanan, terbukti bahwa pada n = 100 nilai mean

nya adalah 40,08 dan standart deviasinya 4,955. Sehingga dapat dikatakan bahwa

besarnya nilai n berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran kurva.

Tabel 4.3 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Untuk n Bedadan p Sama

16


n = 25 n = 50 n = 100 n = 25 n = 50 n =100

µ σ2 µ σ2 µ σ2 µ σ2 µ σ2 µ σ2

0,

4

10,12 6,73

9

20,03 13,104 40,0

8

24,55 10 6 20 12 40 24


nilai n = 25, n = 50 dan n = 100 dengan p = 0,4 nilai mean dan varians dari output


4.1.2 Distribusi Peluang Hipergeometrik

Pada percobaan distribusi hipergeometrik dilakukan perhitungan dari

probabilitas yang mungkin dengan membangkitkan 500 data dengan N = 10, D =

3 dengan n = 3 dan n = 5 dan N = 10, D = 4 dengan n = 3 dan n = 5. Selanjutnya

akan dianalisis perbandingan kurva distribusi peluang dan hubungannya dengan


A. Perbandingan Distribusi Peluang Hipergeometrik untuk D = 3

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika N = 10, D = 3, n = 3 dan n

= 5. Data yang telah ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di bentuk dalam

suatu kurva.

Gambar 4.4 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Hipergeometrik untuk D =3

17


hipergeometrik dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva

dengan N = 10, D = 3 untuk masing-masing n = 3 dan n = 5 menunjukkan bahwa

semakin besar n nya maka semakin besar pula nilai mean nya sehingga

menyebabkan kurva akan semakin bergeser ke kanan, terbukti bahwa pada n = 5

nilai mean nya adalah 1,476 dan standart deviasinya 0,7992. Sehingga dapat

dikatakan bahwa besarnya nilai n berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran

kurva.

Tabel 4.4 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Hipergeometrik

D N n

Output Minitab Hasil Teoritis

µ σ2

μ=nkN

σ 2=N−nN−1

.n .kN

(1− kN

)

3 10 3 0,876 0,4975 0,9 0,49

3 10 5 1,476 0,6387 1,5 0,583

Dari Tabel 4.4 merupakan hasil dari percobaan distribusi hipergeometrik

dengan N = 10, D = 3 dengan n = 3 dann = 5, nilai mean dan varians dari output


B. Perbandingan Distribusi Peluang Hipergeometrik untuk D = 4

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika N = 10, D = 4, n = 3 dan n

= 5. Data yang telah ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di bentuk dalam

suatu kurva.

Gambar 4.5 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Hipergeometrik untuk D =4


hipergeometrik dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva 18

dengan N = 10, D = 4 untuk masing-masing n = 3 dan n = 5 menunjukkan bahwa

semakin besar n nya maka semakin besar pula nilai mean nya sehingga

menyebabkan kurva akan semakin bergeser ke kanan, terbukti bahwa pada n = 5

nilai mean nya adalah 2,066 dan standart deviasinya adalah 0,8456. Sehingga

dapat dikatakan bahwa besarnya nilai n berpengaruh pada nilai mean dan

pergeseran kurva.

. Tabel 4.5 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Hipergeometrik

D N n


µ σ2

μ=nkN

σ 2=N−nN−1

.n .kN

(1− kN

)

4 10 3 1,202 0,5703 1,2 0,56

4 10 5 2,066 0,7150 2 0,666

Dari Tabel 4.5 merupakan hasil dari percobaan distribusi hipergeometrik

dengan N = 10, D = 3 dengan n = 3 dann = 5, nilai mean dan varians dari output


4.1.3 Distribusi Peluang Poisson

Pada percobaan distribusi poisson dilakukan perhitungan dari probabilitas

yang mungkin dengan membangkitkan 500 data dengan µ = 1; µ = 2; µ = 3; µ = 4

dan melakukan survey terhadap banyaknya sepeda motor yang masuk ke tempat

parkir dalam kurun waktu 1 jam selama 2 menit pada pagi, siang, dan malam.

Selanjutnya akan dianalisis perbandingan kurva distribusi peluang dan

hubungannya dengan peluang dan nilai mean.

A. Perbandingan Distribusi Peluang Poisson untuk µ = 1 ; µ = 2; µ= 3; µ

= 4

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika µ = 1 ; µ = 2; µ= 3; µ = 4.

Data yang telah ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di bentuk dalam suatu

kurva

19

.

Gambar 4.6 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Poisson untuk µ berbeda


poisson dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva untuk µ =

1 ; µ = 2; µ= 3; µ = 4 menunjukkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva

ditribusi saat µ = 1 dengan mean dan standart deviasi paling kecil. Sedangkan

saat µ = 4 maka nilai mean dan standart deviasinya paling besar sehingga kurva

yang terbentuk semakin landai. Sehingga dapat dikatakan bahwa besarnya nilai µ

berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran kurva.

. Tabel 4.6 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Poisson

µ


µ σ2 µ = µ σ2 = µ

1 1,022 1,002 1 1

2 2,032 2,119 2 2

3 2,92 3,031 3 3

4 3,942 3,968 4 4

Dari Tabel 4.6 merupakan hasil dari percobaan distribusi poisson dengan

µ = 1 ; µ = 2; µ= 3; µ = 4 nilai mean dan varians dari output minitab dengan

teoritisnya memiliki hasil yang mendekati sama. Semakin besar nilai µ semakin

tinggi nilai mean dan varians nya.

B. Perbandingan Distribusi Peluang Poisson pada Survey Sepeda Motor

yang Masuk ke Tempat Parkir

Dalam percobaan kali ini, membandingkan hasil survey banyaknya sepeda

motor yang masuk ke tempat parkir dalam kurun waktu 2 hari selama satu jam

20

setiap 2 menit pada pagi, siang, dan malam. Dari hasil survey dapat diketahui µ

pada hari pertama adalah 284,5 sedangkan µ pada hari kedua adalah 132,0. Data

yang telah ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di bentuk dalam suatu kurva.

Gambar 4.7 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Poisson


poisson dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva untuk µ =

284,5 ; µ = 132,0 menunjukkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva

ditribusi saat µ = 132,0 dengan mean dan standart deviasi paling kecil. Sedangkan

saat µ = 284,5 maka nilai mean dan standart deviasinya paling besar sehingga

kurva yang terbentuk semakin landai. Sehingga dapat dikatakan bahwa besarnya

nilai µ berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran kurva

Tabel 4.7 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Poisson

µ


µ σ2 µ = µ σ2 = µ

284,5 284,9 311,5 284,5 284,5

132,0 132,1 120,12 132,0 132,0

Dari Tabel 4.7 merupakan hasil dari percobaan distribusi poisson dengan

µ = 284,5 dan µ = 132,0 nilai mean dan varians dari output minitab dengan

21

teoritisnya memiliki hasil yang mendekati sama. Semakin besar nilai µ semakin

tinggi nilai mean dan varians nya.

4.1.4 Distribusi Peluang Geometrik

Pada percobaan distribusi geometrik dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan n = 10 dan p = 0.2; p = 0.5; p = 0.7.


hubungannya dengan peluang dan nilai mean.

Gambar 4.8 Perbandingan Kurva Peluang Distribusi Geometrik untuk p berbeda


geometrik dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva n = 10

dengan p = 0,2 ; 0,5 ; 0,7 menunjukkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada

kurva ditribusi saat p = 0,7 dengan mean dan standart deviasi paling kecil.

Sedangkan saat p = 0,2 maka nilai mean dan standart deviasinya paling besar

sehingga kurva yang terbentuk semakin landai. Sehingga dapat dikatakan bahwa

besarnya nilai p berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran kurva.

Tabel 4.8 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Geometrik n =10


µ σ2

μ= 1p

σ 2=1−p

p2

0.2 4,888 17,81 5 20

0.5 1,884 1,498 2 2

0.7 1,43 0,638 1,428 0,612

Dari Tabel 4.8 merupakan hasil dari percobaan distribusi geometrik

22

dengan n = 10 dan p = 0,2 ; 0,5 ; 0,7 , nilai mean dan varians dari output minitab

dengan teoritisnya memiliki hasil yang mendekati sama.

4.1.5 Distribusi Peluang Binomial Negatif

Pada percobaan distribusi binomial negatif dilakukan perhitungan

probabilitas dengan membangkitkan 500 data dengan n=15; p=0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4

; 0,5; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 dan n = 10 dan n = 15 dengan p = 0,5. Selanjutnya akan

dianalisis perbandingan kurva distribusi peluang dan hubungannya dengan


A. Perbandingan Distribusi Binomial Negatif n = 15 untuk p = 0,1 ; 0,2 ;

0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika n = 15 dengan p = 0,1 ; 0,2

; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9. Data yang telah ditentukan dimasukkan ke

dalam minitab di bentuk dalam suatu kurva.

Gambar 4.9 Perbandingan Kurva Distribusi Binomial Negatif dengan n = 15 untuk p Berbeda


binomial negatif dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva n =

15 dengan p = 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 menunjukkan bahwa

daerah yang memiliki titik puncak tertinggi peluangnya sebesar 0,9 dengan nilai

mean dan standart deviasi paling kecil, sedangkan puncak terendah terdapat pada

peluang sebesar 0,1 dengan nilai mean dan standart deviasi paling besar.

Sehingga dapat dikatakan bahwa besarnya nilai p berpengaruh pada nilai mean

dan pergeseran kurva.

23

Tabel 4.9 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Binomial Negatif


µ σ2

μ=kqp

σ 2= k .q

p2=μ+ 1

kμ2

0,1 147,7 1465,3 135 1350

0,2 74,4 301,71 60 300

0,3 49,3 129,96 35 116,6

0,4 37,17 55,965 22,5 56,25

0,5 30,38 29,495 15 30

0,6 25,04 16,900 10 16,66

0,7 21,40 9,388 6,4 9,183

0,8 18,69 4,575 3,75 6,687

0,9 16,65 1,5625 1,66 1,851

Dari Tabel 4.9 merupakan hasil dari percobaan distribusi binomial negatif

dengan n = 15 untuk p = 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 , nilai mean

dan varians dari output minitab dengan teoritisnya memiliki hasil yang mendekati

sama.

B. Perbandingan Distribusi Peluang Binomial Negatif dengan n = 10 dan

n = 15 untuk p = 0,5

Dalam percobaan kali ini, membandingkan jika n = 10 dan n = 15 dengan

p = 0,5. Data yang telah ditentukan dimasukkan ke dalam minitab di bentuk dalam

suatu kurva.

Gambar 4.10 Perbandingan Kurva Distribusi Binomial Negatif dengan n beda p sama

24


binomial negatif dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva n =

10 dan n = 15 dengan p = 0,5 menunjukkan bahwa semakin besar nilai n nya

maka nilai meannya juga semakin besar sehingga mempengaruhi pergeseran

kurva yang semakin ke kanan.

Tabel 4.10 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Binomial Negatif

n p


µ σ2

μ=kqp

σ 2= k .q

p2=μ+ 1

kμ2

10 0,5 20,03 20,286 10 20

15 0,5 29,78 29,888 15 30

Dari Tabel 4.10 merupakan hasil dari percobaan distribusi binomial

negatif dengan n = 10 dan n = 15 untuk p = 0,5 , nilai mean dan varians dari

output minitab dengan teoritisnya memiliki hasil yang mendekati sama.

4.2 Distribusi Peluang Kontinu

Model matematik yang menghubungkan nilai variabel dengan probabilitas

terjadinya nilai tersebut. Dengan perkataan lain, kita dapat membayangkan

diameter cincin piston sebagai variabel random, karena diameter itu menjalani

nilai-nilai yang berbeda dalam populasi tersebut menurut mekanisme random.

4.2.1 Distribusi Normal dan Distribusi Normal Baku

Pada percobaan distribusi normal dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan µ = 10 dan σ = 2,1. Sedangkan pada

percobaan distribusi normal baku dibangkitkan 500 data dengan µ = 0 dan σ = 1.


hubungannya dengan peluang dan nilai mean

25

Gambar 4.11 Perbandingan Kurva Distribusi Normal dan Normal Baku


normal dan distribusi normal baku dengan bantuan program minitab.

Perbandingan antara kurva untuk nomal dengan µ = 10 dan σ = 2,1 sedangkan

normal baku dengan µ = 0 dan σ = 1 menunjukkan bahwa kurva distribusi normal

lebih landai dari pada kurva distribusi normal baku. Hal ini disebabkan karena

kurva distribusi normal memiliki mean dan standar deviasi yang lebih tinggi dari

pada distribusi normal baku.

Tabel 4.11 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Normal

µ σ


µ σ2 µ = µ σ2 = σ2

0 1 -0,03800 1,092 0 1

10 2,1 9,971 4,309 10 2,1

Dari Tabel 4.11 merupakan hasil dari percobaan distribusi normal dengan

µ = 10 dan σ = 2,1 sedangkan normal baku dengan µ = 0 dan σ = 1, nilai mean

dan varians dari output minitab dengan teoritisnya memiliki hasil yang mendekati

sama.

4.2.2 Distribusi Peluang Gamma

Pada percobaan distribusi gamma dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan σ = 1, σ = 2;β = 4. Selanjutnya akan

26



Gambar 4.12 Perbandingan Kurva Distribusi Gamma untuk σ = 1 dan σ = 2 dan β = 4.


gamma dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva σ = 1 dan σ

= 2 dan β = 4 menunjukkan bahwa semakin besar nilai σ maka semakin besar pula

nilai mean dan standart deviasi nya, terbukti bahwa pada σ = 2 nilai mean sebesar

8,076 dan standart deviasi sebesar 5,434. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

semakin besar nilai σ nya maka kurva semakin bergeser ke kanan.

Tabel 4.12 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Gamma

σ β


µ σ2 µ = αβ σ2 = αβ2

1 4 3,880 17,040 4 16

2 4 8,076 29,528 8 32

Dari Tabel 4.12 merupakan hasil dari percobaan distribusi gamma dengan

σ = 1 dan σ = 2 dan β = 4, nilai mean dan varians dari output minitab dengan

teoritisnya memiliki hasil yang mendekati sama.

4.2.3 Distribusi Peluang Eksponensial

Pada percobaan distribusi eksponensial dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan µ = 4. Selanjutnya akan dianalisis

27

perbandingan kurva distribusi peluang dan hubungannya dengan peluang dan nilai

mean.

Gambar 4.13 Perbandingan Kurva Distribusi Eksponensial µ = 4


eksponensial dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva µ = 4

menunjukkan bahwa nilai frekuensi paling tinggi terdapat pada x = 1, semakin x

mendekati 1 maka semakin tinggi frekuensinya.

Tabel 4.13 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Eksponensial

µ


µ σ2 µ = β σ2 = β2

4 3,950 15,241 4 16

Dari Tabel 4.13 merupakan hasil dari percobaan distribusi eksponensial

dengan µ = 4, nilai mean dan varians dari output minitab dengan teoritisnya

memiliki hasil yang mendekati sama.

4.2.4 Distribusi Peluang Chi-square

Pada percobaan distribusi chi-square dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan db (derajat bebas) = 8. Selanjutnya akan



28

Gambar 4.14 Perbandingan Kurva Distribusi Chi-square dengan Db (derajat bebas) = 8

Dari Gambar 4.14 dapat diketahui tentang hasil perhitungan distribusi chi-

square dengan bantuan program minitab. Perbandingan antara kurva db = 8

menunjukkan bahwa nilai frekuensi paling tinggi terdapat pada x = 7, semakin x

mendekati 7 maka semakin tinggi frekuensinya.

Tabel 4.14 Output Minitab Perbandingan Nilai Rata-Rata dan Varians Distribusi Chi-square

db (v)


µ σ2 µ = v σ2 = 2v

8 8,119 17,305 4 16

Dari Tabel 4.14 merupakan hasil dari percobaan distribusi chi-square

dengan db = 8, nilai mean dan varians dari output minitab dengan teoritisnya

memiliki hasil yang mendekati sama.

29

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pengolahan data sekunder dari percobaan, maka dapat

disimpulkan sebagai berikut:

1. Pada percobaan distribusi binomial dimana dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan n = 25, n = 50 dan n = 100 untuk p

= 0,2 ; 0,3 ; 0,5 ; 0,7 ; 0,9 dapat disimpulkan bahwa puncak tertinggi terdapat

pada kurva ditribusi binomial saat p = 0.9 dengan nilai mean tertinggi

sedangkan nilai standar deviasi paling rendah. Jadi, semakin besar nilai

peluang maka dapat berpengaruh pada semakin besarnya nilai mean sehingga

menyebabkan kurva akan semakin bergeser ke kanan

2. Pada percobaan distribusi hipergeometrik dimana dilakukan perhitungan

probabilitas dengan membangkitkan 500 data dengan N = 10, D = 3, D = 4

untuk n=3 dan n = 5 dapat disimpulkan bahwa semakin besar nilai n nya maka

semakin besar pula nilai mean dan standart deviasi nya sehingga

menyebabkan kurva akan semakin bergeser ke kanan. Jadi, dapat dikatakan

bahwa besarnya nilai n berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran kurva

3. Pada percobaan distribusi poisson dimana dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan µ = 1 ;µ = 2 ;µ = 3 ;µ = 4 dapat

disimpulkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva ditribusi saat µ = 1

dengan mean dan standart deviasi paling kecil. Sedangkan saat µ = 4 maka

nilai mean dan standart deviasinya paling besar sehingga kurva yang

terbentuk semakin landai. Jadi, dapat dikatakan bahwa besarnya nilai µ


4. Pada percobaan distribusi poisson dimana dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan µ = 284,5 dan µ = 132,0 dapat

disimpulkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva ditribusi saat µ =

132,0 dengan mean dan standart deviasi paling kecil. Sedangkan saat µ =

284,5 maka nilai mean dan standart deviasinya paling besar sehingga kurva

yang terbentuk semakin landai. Jadi, dapat dikatakan bahwa besarnya nilai µ

berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran kurva

30

5. Pada percobaan distribusi geometrik dimana dilakukan perhitungan

probabilitas dengan membangkitkan 500 data dengan n = 10 untuk p = 0,2 ;

0,5 ; 0,7 dapat disimpulkan bahwa puncak tertinggi terdapat pada kurva

ditribusi saat p = 0,7 dengan mean dan standart deviasi paling kecil.

Sedangkan saat p = 0,2 maka nilai mean dan standart deviasinya paling besar

sehingga kurva yang terbentuk semakin landai. Jadi, dapat dikatakan bahwa

besarnya nilai p berpengaruh pada nilai mean dan pergeseran kurva.

6. Pada percobaan distribusi binomial negatif dimana dilakukan perhitungan

probabilitas dengan membangkitkan 500 data dengan n = 15 untuk p = 0,1 ;

0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 dapat disimpulkan bahwa puncak

tertinggi terdapat pada kurva distribusi saat p = 0,9 dengan nilai mean dan

standart deviasi paling kecil sedangkan pada n = 10 dan n = 15 untuk p = 0,5

menunjukkan bahwa semakin besar nilai n nya maka nilai meannya juga

semakin besar.Jadi, dapat dikatakan bahwa besarnya nilai p dan nilai n


7. Pada percobaan distribusi normal dilakukan perhitungan probabilitas dengan

membangkitkan 500 data dengan µ = 10 dan σ = 2.1. Sedangkan pada

percobaan distribusi normal baku membangkitkan 500 data dengan µ = 0 dan

σ = 1 dapat disimpulkan bahwa kurva distribusi normal lebih landai dari pada

kurva distribusi normal baku. Hal ini disebabkan karena kurva distribusi

normal memiliki mean dan standar deviasi yang lebih tinggi dari pada

distribusi normal baku.

8. Pada percobaan distribusi gamma dilakukan perhitungan probabilitas dengan

membangkitkan 500 data dengan σ = 1 dan σ = 2 dan β = 4 dapat disimpulkan

bahwa semakin besar nilai σ maka semakin besar pula nilai mean dan standart

deviasi nya. Jadi, dapat disimpulkan bahwa semakin besar nilai σ nya maka

kurva semakin bergeser ke kanan.

9. Pada percobaan distribusi eksponensial dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan µ = 4 dapat disimpulkan bahwa nilai

frekuensi paling tinggi terdapat pada x = 1, semakin x mendekati 1 maka

semakin tinggi frekuensinya.

31

10. Pada percobaan distribusi chi-square dilakukan perhitungan probabilitas

dengan membangkitkan 500 data dengan db (derajat bebas) = 8 dapat

disimpulkan bahwa nilai frekuensi paling tinggi terdapat pada x = 7, semakin

x mendekati 7 maka semakin tinggi frekuensinya.

5.2 Saran

Kegiatan praktikum tentang distribusi peluang hendaknya dapat dilakukan

dengan lebih cermat. Menginputkan data yang benar dan tepat sehingga

diharapkan dapat menunjukkan hasil percobaan yang lebih akurat dan sesuai

berdasarkan masing-masing percobaan distribusi peluang yang ada.

32

Modul 3 Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinu

Data & Analytics

Transcript of Modul 3 Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinu