Pokok Bahasan Distribusi Normal Luas di Bawah Kurva Normal Hampiran Normal terhadap Binomial Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Khi-Kuadrat Distribusi Weibull Distribusi Normal Distribusi suatu data dari sebuah sample yang memiliki kurva normal (normal curve) yang berbentuk lonceng. Ditemukan oleh Abraham DeMoivere (1733). Sering disebut distribussi Gauss (Gaussian distribution) Distribusi Normal Fungsi Fungsi Penuh peubah acak normal X, dengan rataan (mean) dan variansi 2 adalah Dengan t : 3,14159 dan e=2,71828 < < = x e x n x,21) ; ; ( ) 2 ( ) (22ot oo Distribusi Normal Kurva Normal Distribusi Normal Karakteristik kurva normal 1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) 2. Kurva berbentuk simetris 3. Kurva mencapai puncak pada saat X= 4. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; di sisi kanan nilai tengah dan di sisi kiri Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal Distribusi kurva normal dengan sama dan o berbeda 012345678910mMesokurtic PlatykurticDistribusi Normal Jenis jenis distribusi normal Distribusi kurva normal dengan berbeda dan o sama 150 300 450Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal Distribusi dengan dan o yang berbeda 85 850Luas Di Bawah Kurva Normal Luas dibawah kurva normal dengan batas x1=a dan x2 = b a b x Luas Di Bawah Kurva Normal P(x1 < X < x2) = = Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku dx x nxx ) , ; (21} o | |dx exxx221/ ) ( ) 2 / 1 (21 o o t }o = xZStandardize the Normal Distribution Xo One table! Normal Distribution = 0o = 1ZZX= o Standardized Normal Distribution Z = 0o = 1.12Z .00 .010.0 .0000 .0040 .0080.0398 .04380.2 .0793 .0832 .08710.3 .1179 .1217 .1255Obtaining the Probability .0478 .02 0.1 .0478 Standardized Normal Probability Table (Portion) Probabilities Shaded area exaggerated Example P(X > 8) X = 5o = 108Normal Distribution Standardized Normal Distribution ZX= = =o8 51030 .Z = 0o = 1.30.1179 .5000 .3821 Shaded area exaggerated Q-function: Tail of Normal Distribution Q(z) = P(Z > z) = 1 P[Z < z] Contoh 1 Diketahui nilai mata kuliah Probabilitas dan Statistika kelas C, berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15. Tentukan nilai peluang a) 55 X 75 b) 60 X 80 c) X 40 Answer a) Atau ( )4082 , 0 ) 0 ( ) 33 , 1 ( 33 , 1 0 152001555 750 ) 75 55 (= s s = s s =|.|

\| s s =|.|

\| s s = s sZ P Z P Z PZ PZ P X P4082 , 033 , 11555 7511====o xZb) atau : 3232 , 04525 , 0 ; 67 , 11555 801293 , 0 ; 33 , 01555 602211= == ==== ===B A CAxZBxZo o 3232 , 0 1293 , 0 4525 , 0 ) 33 , 0 0 ( ) 67 , 1 0 ( ) 67 , 1 33 , 0 ( 1555 801555 60) 80 60 (= = s s s s = s s =|.|

\| s s= s sZ P Z P Z PZ P x Pc) ( )1587 , 0 115151555 40) 40 (= s =|.|

\| s =|.|

\| s = sZ PZ PZ P X PContoh 2 Tinggi badan mahasiswa UGM berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan deviasi standar 10 cm. Tentukan berapa problabilitas mahasiswa UGM dengan tinggi lebih dari 180 cm? Answer: P(X>180) Z=X-/o 180-165/102,5 Dengan tabel didapat bahwa peluangnya adalah : 0,9938 Maka besarnya peluangnya adalah 1 - 0,9938 = 0,0062 Contoh 3 Diketahui rata-rata hasil adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ? answer 175 , 1 .. 38 , 0 ) ( 12 , 0 5 , 0 ) (== s s = = s s =Z table see x X P x X P AAA 225 , 82 74 7 ) 175 , 1 (= + = + == oo A AAAZ XxZHampiran Normal Terhadap Binomial Persamaan distribusi binomial b(x;n,p) Review : o = simpangan = rataan Distribusi Normal : = np dan dengan q= (1-p) o = xZnpq =2o Hampiran normal paling berguna dalam perhitungan dengan nilai n yang besar Ex: peluang yang tepat diberikan oleh 3564 , 0 ) ( 60989 , 0 9662 , 0) 4 , 0 ; 15 ; ( ) 4 , 0 ; 15 ; () 4 , 0 ; 15 ; ( ) 9 7 (609097= = == s s = ==table seex b x bx b X Px xx Untuk hampiran normal : x1= 6,5 dan x2 = 9,5 Selanjutnya =P(ZI= oo odte tx X P x F x tG } I= s = 01) () ( ) ; (oo oDistribusi Gamma Distribusi Gamma Standar Untuk sebuah sebuah variabel acak kontinu X yang memiliki distribusi gamma dengan parameter dan berlaku hubungan : ) ; ( ) , ; ( ) ( o|| o xF x F x X P G G = = sDistribusi Gamma Contoh Soal Misal variabel acak kontinu X menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan = 8 dan = 15. Berapakah probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut? Sebutkan juga statistik deskriptif distribusi gamma-nya. Distribusi Gamma Jawaban Mean : Varians : Kemencengan : Keruncingan : 4959 , 0 0511 , 0 5470 , 0 ) 8 ; 4 ( ) 8 ; 8 ( ) 8 ; 15 / 60 ( ) 8 ; 15 / 120 ( ) 15 , 8 ; 60 ( ) 15 , 8 ; 120 ( ) 60 ( ) 120 ( ) 120 60 (= = = = = s s = s sG GG GG GF F F F F F X P X P X P120 15 . 8 ) ( = = = = o| X Ex43 , 42 1800 ) 15 )( 8 ( 2 2 2= = = =xxo o| o5 , 0 8 / 4423 1 = = = =oo |75 , 3 364 2 = + = =oo |Distribusi Eksponensial Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk : Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi Eksponensial Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial : |1000xe ; xf(x); x yanglaindengan||| >= >2 2dan | o | = =1 o =Khi kuadrat Distribusi ini adalah kasus spesial dari distribusi gamma : Lalu disubstitusi dengan : Menjadi : 1100xx e ; xf(x)( ); x yanglaino |o| o >= I2 2vdan ;v bilangan bulat positif o | = = =12 22 102 20v xv /x e ; xf(x)(v / ); x yanglaindengan vbilangan bulat positif >= IKhi kuadrat Parameter V merupakan derajat kebebasan Rataan distribusi chi kuadrat : Variansi distribusi chi kuadrat : v = v 22= oDistribusi Weibull Perubah acak kontinu X terdistribusi Weibull dengan parameter , jika fungsi padatnya berbentuk: Fungsi distribusi kumulatif Weibull : dan o |lain yangxe xx f xW 00) ; ( ) / ( 1 >= o| oo|ooo| | oo o|o| o ) / (0) / ( 11 ) ( ) , ; ( xxtW e dt e t x X P x F = = s = }Distribusi Weibull Contoh gambar 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.00.51.01.52.0xf(x)Distribusi WeibullDistribusi Weibull Mean dan Varians Rata-rata : Variansi : Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak. )`((

|.|

\| + I |.|

\| + I = =|.|

\| + I = =22 2 112111 ) (o o| oo| xx X EDistribusi Weibull Contoh Soal Waktu sampai gagal bekerjanya sebuah pelat gesek (dalam jam) pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik sebagai sebuah variabel acak Weibull dengan = 0,5 dan = 5000. Hitunglah waktu sampai-gagal rata-rata dari pelat gesek tersebut dan hitunglah probabilitas pelat gesek tersebut akan mampu bekerja sekurang-kurangnya 6000 jam. Distribusi Weibull Jawaban Rata-rata waktu sampai-gagal jamX Ex10000 ) ! 2 )( 5000 ( ) 3 ( 5000 5 , 011 500011 ) (= = I =|.|

\| + I =|.|

\| + I = =o| ( ) % 4 , 33 334 , 0 1 1) 5000 , 0 ; 6000 ( 1 ) 6000 (095 , 15 , 0) 5000 / 6000 (= = = = = > e eF X P W