Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting -...
Transcript of Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting -...
Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting
Oleh Azimmatul Ihwah
Distribusi Diskrit
โข Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi distribusi diskrit.
โข Distribusi diskrit yang akan dijelaskan disini antara lain distribusi uniform diskrit, distribusi binomial, distribusi geometrik dan distribusi Poisson
Distribusi Uniform Diskrit
โข Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi variabel random diskrit yang mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul.
โข Definisi : jika variabel random diskrit X dengan nilai-nilai ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ mempunyai probabilitas yang sama, maka variabel random X disebut mempunyai distribusi uniform diskrit, dinotasikan dengan ๐~๐๐๐๐ ๐ , jika fungsi probabilitasnya berbentuk :
๐ ๐; ๐ =๐
๐
Distribusi Uniform
โข Contoh: pada pelambungan sebuah dadu, semua titik sampel dalam S = {1,2,3,4,5,6} mempunyai probabilitas yang sama untuk
muncul, yaitu sebesar 1
6. Jadi ๐ ๐ฅ; 6 =
1
6
untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
โข Untuk variabel random X yang mempunyai distribusi uniform diskrit, maka
๐ =๐
๐๐ + ๐ ๐๐ =
๐
๐๐๐ + ๐
Distribusi Binomial โข Bila dalam satu eksperimen dengan n percobaan,
kejadian dalam tiap percobaan diklasifikasikan menjadi โsuksesโ atau โgagalโ, dengan probabilitas sukses dalam tiap percobaan adalah p, maka distribusi probabilitasnya dinamakan distribusi binomial.
โข Suatu variabel random diskrit X dikatakan berdistribusi binomial dengan parameter n dan p, dinotasikan dengan ๐~๐ต๐๐๐๐ ๐, ๐ , maka fungsi probabilitasnya berbentuk :
๐ ๐; ๐, ๐ =๐๐
๐๐ ๐ โ ๐ ๐;๐, untuk x = 0,1,2,โฆ,n
x = banyaknya sukses, n = banyak percobaan, p = probabilitas sukses
Distribusi Binomial โข Contoh : sebuah dadu dilemparkan 5 kali. Berapa
probabilitas bahwa dalam 5 kali pelambungan muncul mata dadu 2 sebanyak 3? Jawab : x = 3, n
= 5 , p = 1
6, maka b(3;5,
1
6) =
53
1
6
3 5
6
2= 0.032
โข Jika variabel random diskrit X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p maka
๐ = ๐๐ ๐๐ = ๐๐ ๐ โ ๐
Distribusi Geometrik Contoh kasus : dalam transmisi gelombang, probabilitas gelombang yang ditransmisikan diterima bersifat eror adalah 0,1. Asumsikan bahwa setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen (saling bebas), dan misalkan X menotasikan jumlah gelombang yang ditransmisikan sampai terjadinya gelombang eror yang pertama. Jadi P(X=5) merupakan probabilitas bahwa 4 gelombang pertama yang ditransmisikan tidak mengalami eror dan gelombang ke-5 baru mengalami eror. Kejadian ini dapat dinotasikan {OOOOE}, dengan O = okay bit (gelombang yang diterima tidak mengalami eror).
Distribusi Geometrik
โข Karena setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen, maka
P(X=5) = P{OOOOE} = 0,940,11 = 0,066
โข Variabel random X yang menyatakan banyaknya percobaan sampai terjadinya sukses yang pertama kali dikatakan berdistribusi geometrik dengan parameter p, dinotasikan dengan ๐~๐บ๐๐ ๐ , fungsi probabilitas berbentuk
๐ ๐ = ๐ โ ๐ ๐;๐๐ untuk x = 1,2,3,โฆ
Distribusi Geometrik
โข Jika X berdistribusi Geometrik dengan parameter p, maka
๐ =๐
๐ ๐๐ =
๐ โ ๐
๐๐
Distribusi Poisson โข Jika pada distribusi binomial parameter n
cukup besar (secara teoritis nโ โ ), maka diperoleh distribusi Poisson dengan parameter ฮป = ๐๐.
โข Jadi suatu variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter ฮป, dinotasikan ๐~๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ฮป , jika fungsi probabilitasnya sbb:
๐ ๐ฅ; ฮป =ฮป๐ฅ๐โฮป
๐ฅ! ; untuk x = 0, 1, 2, 3, โฆ
Distribusi Poisson โข Contoh : jika probabilitas seseorang terkena
penyakit demam adalah 0.005, berapa probabilitas bahwa terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang?
Jawab : diperoleh ฮป = 3000๐ฅ0,005 = 15, sehingga
p(18;15) =1518๐โ15
18!= 0.0706
โข Jika variabel random X mempunyai distribusi Poisson, dengan parameter ฮป, maka
๐ = ๐ ๐๐ = ๐
Distribusi Kontinu
โข Fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu dapat dinyatakan pula dalam formula matematik tertentu yaitu fungsi distribusi kontinu.
โข Distribusi kontinu yang akan dipelajari disini adalah distribusi uniform kontinu, distribusi normal, distribusi Chi-Square, distribusi Studentโs t dan distribusi F.
Distribusi Uniform Kontinu
โข Definisi : suatu variabel random kontinu X mempunyai distribusi uniform kontinu pada selang ๐, ๐ , dinotasikan dengan ๐~๐๐๐๐ ๐, ๐ , jika fungsi densitasnya berbentuk:
โข ๐ ๐ฅ = 1
๐;๐
0, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ < ๐ฅ < ๐
,untuk x yang lain
Distribusi Uniform Kontinu
โข Jika variabel random kontinu X berdistribusi uniform kontinu pada interval ๐, ๐ , maka :
๐ =๐
๐๐ + ๐ ๐๐ =
๐
๐๐๐ โ ๐ ๐
Distribusi Normal โข Fungsi distribusi dari variabel random kontinu
yang paling luas penggunaannya adalah fungsi distribusi normal.
โข Kurva normal berbentuk seperti lonceng (bell), sehingga kurvanya disebut bell curve.
โข Kurva normal adalah simetris, dengan mean dan median berada di tengah-tengah.
Distribusi Normal โข Kurva normal sangat baik untuk dipakai dalam
menggambarkan data yang muncul dalam kehidupan sehari-hari.
โข Misal diketahui data nilai akhir mahasiswa Pendidikan Kimia yang mengambil mata kuliah Statistika Dasar berdistribusi Normal, maka dikatakan bahwa sebagian besar nilai mahasiswa berada di sekitar rataan dan sangat sedikit sekali mahasiswa yang nilainya sangat bagus dan sangat sedikit pula yang nilainya sangat jelek.
Distribusi Normal
โข Definisi : variabel random kontinu dikatakan berdistribusi normal dengan parameter ๐ dan ๐2 , dinotasikan dengan ๐~๐ ๐, ๐2 , jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk :
๐ ๐ =๐
๐ ๐๐ ๐;๐
๐
๐โ๐
๐
๐
untuk โโ < ๐ < โ
Apabila ๐ = 0 dan ๐2 = 1, maka diperoleh distribusi normal standar, dinotasikan dengan ๐ 0,1 , sering disebut dengan distribusi Z,
fungsi densitasnya sbb :๐ ๐ง =1
2๐๐;
1
2๐ง2
Distribusi Normal Teorema : Luas daerah di bawah kurva normal (normal biasa maupun normal standar) dan di atas sumbu X adalah 1 satuan. Yaitu
๐ ๐ฅ;โ
โ๐๐ฅ = 1 ๐๐๐ ๐ ๐ง
;โ
โ๐๐ง = 1
Sifat kurva normal ๐ ๐, ๐2 :
โข Asimtotik terhadap sumbu X.
โข Simetris terhadap garis ๐ฅ = ๐.
โข Mempunyai titik koordinat maksimum ๐,1
๐ 2๐
โข Mempunyai dua titik belok yg berjarak ๐ dr sb simetri
Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar
โข Jika variabel random X berdistribusi normal biasa dengan fungsi densitas probabilitas ๐ ๐ฅ , maka ๐ ๐ < ๐ < ๐ = ๐ ๐ฅ
๐
๐๐๐ฅ
โข Atau dengan kata lain kita mencari luas di bawah kurva normal dan dibatasi x = a dan x = b
Namun bukan pekerjaan yang mudah mengingat bentuk fungsi densitas probabilitas dari variabel random X yg cukup rumit. Sehingga para ahli statistik menyediakan tabel yang menyatakan luas di bawah kurva normal standar, di atas sumbu Z dan dibatasi oleh Z = 0 dan Z = z
Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar
โข Dengan cara
mentransformasikan
nilai variabel X ke
variabel Z dengan
๐ =๐;๐
๐.
โข Tabel kurva normal
standar
Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar
Dari tabel tersebut carilah luas di bawah kurva normal baku:
a. Yang dibatasi oleh Z = 0 dan Z = 1.34
b. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 0
c. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 1.34
d. Yang dibatasi oleh Z = 1.34 dan Z = 2.56
e. Di sebelah kanan Z = -0.57
f. Di sebelah kanan Z = 1.87
Contoh Kasus
1. Rataan nilai UAN mata pelajaran Kimia dari 2500 siswa di Kota Solo adalah 85 dan mempunyai standar deviasi 20. Dengan menganggap bahwa data tersebut adalah data yang berasal dari populasi berdistribusi normal, cari berapa banyak siswa:
โข Yang nilainya lebih dari 90?
โข Yang nilainya antara 75 dan 90?
Contoh Kasus
2. Rataan skor masuk suatu perguruan tinggi negeri adalah 120.5 dengan standar deviasi 20. Sesuai dengan formasi yang ada, dari keseluruhan peserta tes hanya akan diambil 30% saja. Berapa skor terendah yang diterima di perguruan tinggi negeri tersebut jika distribusi skor dianggap normal?
Titik ๐ง๐ผ Dalam aplikasi statistika inferensial menyangkut uji hipotesis, sering diperlukan nilai ๐ง0 tertentu sehingga luas di sebelah kanan ๐ = ๐ง0 dan di bawah kurva normal standar sama dengan ๐ผ. Titik ๐ง0 yang seperti ini dinamakan ๐ง๐ผ. Jadi diperoleh,
โข ๐ ๐ > ๐ง๐ผ = ๐ ๐งโ
๐ง๐ผ๐๐ง = ๐ผ
โข ๐ ๐ > ๐ง1;๐ผ = ๐ ๐งโ
๐ง1โ๐ผ๐๐ง = 1 โ ๐ผ
dimana ๐ง1;๐ผ = โ๐ง๐ผ
โข ๐ โ๐ง๐ผ< ๐ < ๐ง๐ผ = ๐ ๐ง๐ง๐ผ;๐ง๐ผ
๐๐ง = 1 โ 2๐ผ
Titik ๐ง๐ผ
Jika digambarkan:
Dengan melihat tabel distribusi normal standar, akan diperoleh nilai-nilai:
โข ๐ง0.01 = 2.33 ๐ง0.005 = 2.58
โข ๐ง0.025 = 1.96 ๐ง0.05 = 1.96
Distribusi Chi-Square
โข Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi Chi-square dengan derajat kebebasan ๐ฃ jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:
๐ ๐ฅ =
1
๐12๐ฃ 2
12๐ฃ๐ฅ12๐ฃ;1๐;
๐ฅ2
0, ๐ข๐๐ก๐ ๐ฅ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐
, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฅ > 0
dengan ๐ฃ bilangan asli dan ๐ ๐ =
๐ฅ๐;1โ
0๐;๐๐๐ฅ . Fungsi ๐ ๐ disebut fungsi
gamma
Distribusi Chi-Square โข Distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan ๐ฃ
disajikan dengan ๐2 ๐ฃ , dan jika ๐ berditribusi Chi-square dengan derajat kebebasan ๐ฃ disajikan dengan ๐~๐2 ๐ฃ .
โข Grafik distribusi Chi-square
โข Jika var. random X berdistribusi ๐2 ๐ฃ , maka
๐ = ๐ฃ ๐2 = 2๐ฃ
Distribusi Chi-Square โข Untuk nilai ๐ผ dan ๐ฃ tertentu, harga ๐๐ผ;๐ฃ
2 dapat dicari melalui tabel.
โข Contoh ๐0.025;62 = 14.449
Distribusi Studentโs ๐ก โข Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi
studentโs ๐ก dengan derajat kebebasan ๐ฃ jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:
โข ๐ ๐ฅ =1
๐๐ฃ
๐๐ฃ+1
2
๐๐ฃ
2
1 +๐ฅ2
๐ฃ
;๐ฃ+1
2, ๐ข๐๐ก๐ข๐ โ โ < ๐ฅ < โ
dengan ๐ฃ = 1,2,3, โฆ
Distribusi tersebut disajikan dengan ๐ก ๐ฃ atau X~๐ก ๐ฃ .
โข Grafik distribusi studentโs ๐ก
Distribusi Studentโs ๐ก โข Nilai-nilai ๐ก yang bersesuaian dengan derajat
kebebasan ๐ฃ dan ๐ผ dapat dilihat pada tabel berikut:
โข Misal ๐ก0.10;15 = 1.341, ๐ก0.05;25 = 1.708
Distribusi Studentโs ๐ก
โข Jika variabel random kontinu X berdistribusi studentโs ๐ก dengan derajat kebebasan ๐ฃ maka:
๐ = 0 ๐2 =๐ฃ
๐ฃ;2
Distribusi F Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi F dengan derajat kebebasan ๐ฃ1 dan ๐ฃ2 jika fungsi densitasnya berbentuk:
๐ ๐ฅ =
๐๐ฃ1 + ๐ฃ2
2
๐๐ฃ12
๐๐ฃ22
๐ฃ1๐ฃ12 ๐ฃ2
๐ฃ22 ๐ฅ
๐ฃ12 ;1 ๐ฃ2 + ๐ฃ2๐ฅ
;๐ฃ1:๐ฃ2
2 , ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฅ > 0
0, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ฅ ๐ฆ๐๐๐ ๐๐๐๐
Distribusi tersebut disajikan dengan ๐น ๐ฃ1, ๐ฃ2 atau X~๐น ๐ฃ1, ๐ฃ2 .
Grafik distribusi F:
Distribusi F
Tabel distribusi F yang tersedia hanya terdapat nilai ๐ผ = 0.01 dan ๐ผ = 0.05 dan nilai-nilai ๐ฃ1 dan ๐ฃ2 tertentu. Contoh: ๐น0.05;4;9 = 3.63
Jika variabel random kontinu X berdistribusi F dengan derajat kebebasan ๐ฃ1 dan ๐ฃ2 maka:
โข ๐ =๐ฃ2
๐ฃ2;2 , untuk ๐ฃ2 > 2
โข ๐2 =2๐ฃ2
2 ๐ฃ1:๐ฃ2;2
๐ฃ1 ๐ฃ2;4 ๐ฃ2;22 , untuk ๐ฃ2 > 4
Tabel F untuk ๐ผ = 0.01
Tabel F untuk ๐ผ = 0.05