A. Distribusi BinomialDistribusi binomial adalah distribusi nilai peluang untuk percobaan berulang yang saling bebas, terdiri dari 2

kategori : sukses atau gagal, merah atau bukan merah, putih atau bukan putih, dan sejenisnya. Namun agar kita lebih mudah dalam memahaminya, sebelum dibicarakan bentuk umumnya, secara khusus dapat diberikan contoh sebagai berikut.

Misalkan sebuah dadu diundi 4(empat) kali maka peristiwa munculnya salah satu muka dadu misal muka 2 pada undian pertama dan peristiwa munculnya muka 2 pada undian kedua, ketiga, hingga keempat adalah saling bebas, sebab peluang munculnya muka 2 pada undian I,II,III, dan IV masing-masing adalah

sama dengan , yaitu P({2 pada undian I}) = P({2 pada undian II}) = P({2 pada undian III}) = P({2 pada undian IV}) =

Selanjutnya misalkan kita mengincar muka dadu 2, maka dikatakan sukses jika muka 2 yang kita incar itu muncul. Peluang sukses dalam satu kali pengundian adalah peluang sukses munculnya muka 2 dalam setiap kali pengundian.

Sehingga P(sukses) = P({2}) = Peluang gagal adalah peluang munculnya muka dadu selain 2, yaitu P(gagal) =

P({1,3,4,5,6}) = P({1}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6}) = + + + + = (mengingat prinsip penjumlahan

bahwa peluang munculnya suatu perist iwa dalam ruang sampel berhingga sama dengan jumlah peluang munculnya masing-masing titik sampel dalam peristiwa itu).

Cara lain yang lebih cepat adalah P(gagal) = 1 - P(sukses) sebab sukses dan gagal adalah dua peristiwa lepas.

Sehingga jika P(sukses) = , maka P(gagal) = 1- = .

Karena dadu tersebut di atas diundi 4(empat) kali, maka hasil-hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu adalah muka 2 tidak pernah muncul dalam 4 kali pengundian, atau muka 2 muncul 1 kali dalam keempat pengundian itu, atau muka 2 muncul 2 kali,atau muka 2 muncul 3 kali, atau muka 2 muncul 4 kali. Masalah pertama yang harus kita ketahui adalah berapakah banyaknya anggota ruang sampel jika sebuah dadu diundi 4(empat) kali ?. Jawabannya tentu 64 = 1296, yakni mulai dari e1= 1111, e2= 1112, …. E6= 1116, e7=1121, e8 = 1122, … e12 =1126, dan seterusnya hingga yang terakhir adalah e1296 = 6666.

Jadi ruang sampel dari eksperimen itu adalah S = {e1, e2, e3, ..., e1296} sehingga n(S) = 1296. Nilai peluang dari

masing masing titik sampel tersebut, adalah sama yaitu P({e1}) = P({e2}) = P({e3})= … = P({e1296}) = . Nah dari titik

sampel yang berjumlah 1296 itu sebaran (distribusi) peristiwa-peristiwa yang mungkin berdasarkan kategori sukses dan gagalnya munculnya muka 2 adalah sebagai berikut..

X = 0 sukses → gggg = 1 macam = → n(g) = n ({1.3.4.5.6}) = 5, sehingga

N(gggg) = n(g).n(g).n(g).n(g) = 5.5.5.5 = 54 = 625Dengan demikian n(x=0 sukses ) = 1 x 54 = 625

Sejalan dengan itu maka

n(x=3 sukses )= 4x51=20

X = 4 sukses → ssss = 1 pola n (x=4 sukses) = 1x50 = 1

Total = 1296 = n(S)

Perhatikan lagi banyaknya pola mulai dari 0 sukses,1 sukses, hingga 4 sukses. Pola yang dibentuk adalah 1, 4, 6, 4, dan 1. Pola itu tidak lain adalah pola bilangan pada segitiga pascal yang merupakan pola koefisien suku dua (binom) berpangkat empat, yaitu :(a + b)4 = 1 a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1 b4. Pola dari masing-masing koefisien yang ditandai dengan bulatan di atas adalah

dan

Karena masing-masing titik sampel dalam ruang sampel S berpeluang sama untuk muncul, maka berdasarkan data di atas, peluang sukses munculnya muka dadu 2 sebanyak 0 kali (0 sukses), 1 kali, 2kali, hingga 4 kali berturut-turut adalah

P(x = 0 sukses) =

P(x=1 sukses) =

P(x=2sukses) =

P(x=3 sukses) =

P(x=4 sukses) =

Total =

Model distribusi (penyebaran) peluang mulai dari 0 sukses, 1 sukses, dan sete rusnya hingga 4 sukses dalam empat kali percobaan berulang yang saling bebas dengan jumlah seluruhnya sama dengan 1 seperti contoh di atas disebut distribusi binomial. Selanjutnya tentu kita akan menjadi lebih mudah dalam memahami pembahasan bentuk umum dari distribusi binomial seperti yang akan disampaikan berikut ini. Misalkan x adalah banyaknya sukses dalam n

percobaan yang saling bebas (antara percobaan yang satu dengan percobaan berikutnya). Misalkan p adalah peluang sukses munculnya peristiwa yang diinginkan dalam setiap percobaan dan. Q = 1 – p adalah nilai peluang peristiwa yang diinginkan tidak akan muncul (gagal) dalam setiap kali percobaan. Maka peluang x sukses dalam n percobaan adalah :

P(x sukses dalam n percobaan) =

Bukti :Missal s = sukses dan g = gagal, maka peluang sukses dan gagal dalam setipa kali percobaan berturut-turut adalah P(s)= p dan P(g)= q.Untuk memudahkan dalam memberikan gambaran pembuktian rumus ini secara umum, diberikan contoh misalnua untuk n = 4 sehingga x = 0,1,2,3,4.Jika dalam empat kali percobaan itu misal muka 2 tidak pernah muncul, maka urutan hasil percobaannya adalah gggg. Karena masing-masing percobaan dari pertama, kedua, ketiga hingga keempat saling bebas maka. P(gggg) = P(g).P(g).P(g).P(g) = q.q.q.q = q4. Penalaran yang sama berlaku untuk hasil-hasil lain yang mungkin terjadi. Hasil-hasil yang mungkin selengkapnya adalah

X= 0 sukses → gggg = 1 pola = → P(0 sukses) =

X= 1 sukses → = 4 pola = → P(1 Sukses) =

X= 2 sukses → = 6 pola = → P(2

Sukses) =

X= 3 sukses → = 4 pola = → P(3 Sukses) =

X= 4 sukses → ssss = 1 pola = → P(4 sukses) =

+Menurut pola seblumnya maka P(0sukses )+ P(1 sukses) + … + (4 sukses) = 1

Dari contoh itu dengan mudah dapat dibayangkan bahwa banyaknya macam rangkaian untuk pola x sukses dalam n

percobaan adalah sama dengan . Karena setiap macam rangkaian dari x sukses dalam n percobaan itu factor

suksesnya sebanyak x dan factor gagalnya sebanyak n-x, sedangkan percobaan pertama, kedua, hingga ke-n saling bebas maka nilai peluang untuk masing-masing rangkaian sukses-gagal dalam hal ini adalah :

x Faktor (n-X) Faktor

=

x factor (n-x) factor = px . q n-x.

Dengan demikiann maka nilai peluang dariP(x sukses dalam n percobaan) = banyaknya macam rangkaian dikalikan dengan nilai peluang masing masing rangkaian

=

Contoh 1Jika sebuah dadu diundi empat kali, berapakah peluang munculnya muka dadu 2 sebanyaka. 1 kali b. 3 kali c. minimal 3 kali d. maksimal 2 kaliJawab

Karena munculnya muka dadu 2 dalam percobaan adalah , maka relasi antara percobaan pertama, kedua, ketiga dan

ke empat adalah saling bebas, sehingga peluang munculnya peristiwa x sukses dalam n percobaan pada eksperimen di atas mengikuti distribusi binomial, yaitu

P(x sukses dalam n percobaan) =

Dengan demikian maka peluang munculnya muka 2 banyaka. 1 kali, adalah sama dengan

P(x=1 kali sukses dalam n=4 percobaan) =

=

=

b. 3 kali, adalah sama dengan

P(x=3 kali sukses dalam n=4 percobaan) =

=

=

c. Mnimal 3 kali, adalahP(x ≥ 3 dalam n=4 percobaan) = P (x=3 atau x=4)

= P(x=3 dalam n=4) + P (x=4 dalam n=4)

=

=

d. Maksimal 2 kali, adalahP(x ≤ 2 dalam n=4 percobaan) = P (x=0, atau x=1, atau x=2)

= P(x=0 dalam n=4) + P (x=1 dalam n=4) + P (x=2 dalam n=4)

=

=

Contoh 2Sebuah kotak berisi 10 bola, satu diantaranya berwarna putih. Dari dalam kotak diambil 4 bola satu demi satu dengan pengembalian. Tentukan peluang terambilnya bola putih sebanyak 2 kali.

JawabKarena percobaan dilakukan dengan pengambilan maka peluang terambilnya bola putih pada percobaan pertama, kedua,

ketiga dan seterusnya tetap . Dengan demikian antara percobaan yang satu dengan yang lain bersifat independent

(bebas), sehingga peluangnya merupakan distribusi binomial. Untuk itu maka peluang terambilnya 2 bola putih sama artinya dengan peluang munculnya 2 kali sukses dalam 4 percobaan. Sehingga.

P(2 sukses, 4 percobaan) = , dengan p = =0,1 dan q = 1 - 0,1 . Maka

P(2 sukses, 4 percobaan) =

= 6(0,01)(0,9)2

= 6(0,01) (0.81) = 0,0486

B. Distribusi Hipergeometri (Harnett, 1982, 194)Untuk memudahkan pemahaman tentang distribusi hipergeeometri yang lebih umu, secara khusus dapat diberikan gambaran sebagai berikut.Contoh :Misalkan di dalam suatu kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola putih, dan 5 bola kuning. Dari dalam kotak diambil secara acak 3(tiga) bola sekaligus. Tentukan hasil-hasil pengambilan yang mungkin dan tentukan nilai peluangnya.

Jawab ambil acak dari dalam kotak

3m12 bola 4p 3 bola sekligus, hasil-hasil yang mungkin ?

5k

Hasil-hasil yang mungkin dari pengambilan 3 bola sekaligus adalah

1m,2p,0k 1p, 2k,0m2m,1p,0k 2p, 1k,0m

3 bola skaligus hasil hasil yang mungkin 1m, 2k,0p 3m, 0p,0k2m,1k,0p 3p,0m,0k

3p,0k,0m 3k=0m,0p,3k

Misal dalam suatu kotak terdapat n bola yang terdiri dari k warna : warna pertama, kedua, ketiga, …. Hingga warna ke k masing-masing sebanyak n1, n2, n3, …, nk.Sekarang jika dari dalam kotak diambil secara acak x bola sekaligus, maka peluang terambilnya x1 bola dari n1 bola yang ada, dan x2 bola dari n2 bola yang ada, dan seterusnya hingga xk bola dari nk bola yang ada adalah :

P(x1 dari n1, x2 dari n2, … ,xk dari nk )

Dengan n = n1 + n2 + …+ nk

BuktiMisalkan :n(S) = banyaknya cara mengambil secara acak x bola sekaligus dari n bola

= atau dengan notasi lainnya ditulis n(S) =

N(A) = banyaknya cara untuk dapat terambil x1 bol dari n1 bola x2 bola dari n2 bola, dan seterusnya hingga xk bola dari nk bola.

= dalam bentuk lain n(A) =

Maka

P(x1 dari n1,x2 dari n2, …, xk dari nk) =

Untuk memberikan gambaran sekilas tentang distribusi hipergeometri tersebut diberikan contoh sebagai berikut.Contoh 1Misalkan dalam sebuah kotak terdapat 9 bola, terdiri atas bola merah sebanyak 4, putih sebanyak 3, dan kuning sebanyak 2. Dari dalam kotak diambil 3 sekaligus. Tentukan sebaran nilai peluang yang dihasilkan.Jawab

4m9 bola 3p ambil acak 3 bola sekligus, Sebaran peluangnya ?

2k

Perhatikan bahwa kalau kita mengambil 3 bola sekaligus, hasil-hasil yang mungkin adalah (1m,1p,1k), (1m,2p),(2m,1p),(1m,2k),(2m,1k), (2p,1k), (3m),(3p), atau (3k). jadi ada 9 macam hasil yang mungkin. Gambaran peluang dari masing-masing peristiwa tersebut adalah sebagai berikut.

(1m,1p,1k) P(1m,1p,1k)=

(1m,2p)=(1m,2p,0k) P(1m,2p,0k)=

(2m,1p)=(2m,1p,0k) P(2m,1p,0k)=

(1m,2k)=(1m,0p,2k) P(2m,0p,2k)=

(2m,1k)=(2m,0p,1k) P(2m,0p,1k)=

(1p,2k)=(0m,1p,2k) P(0m,1p,2k)=

(2p,1k)=(0m,2p,1k) P(0m,2p,1k)=

(3m)=(3m,0p,0k) P(3m,0p,0k)=

(3p)=(0m,3p,0k) P(0m,3p,0k)=

(3k) adalah peristiwa yang tak mungkin terjadi, sebab banyak bola k hanya 2. +

Total = = 1

Perhitungan-perhitungan di atas disebut sebaran (distribusi) peluang munculnya peristiwa-peristiwa yang mungkin bila kita secara acak mengambil 3 bola sekaligus dari dalam kotak yag berisi 9 bola dengan komposisi 4 merah, 3 putih, dan 2 kuning. Distribusi peluang seperti yang dicontohkan itu disebut distribusi hipergeometri.

Contoh 2Misalkan dalam suatu kotak terdapat 12 bola terdiri dari 3 bola berwarna merah, 4 bola berwrna putih, dan 2 bola berwarna kuning. Dari dalam kotak diambil 4 bola sekaligus. Tentukan peluang jika dari 4 bola yang terambil itu terdiri dari 1 merah, 1 putih, dan 2 kuning.

Jawab ambil acak dari dalam kotak

3m(a) 12 bola 4p 4 bola sekligus, P(1m,1P,2k) = …?

5k

Terambil 4 bola dengan komposisi 1m, 1p, dan 2k artinya sama dengan terambil 1m dari 3m, dan 1p dari 4p, serta 2k dari 5k, yaitu: 1m dari 3m, dan1m,1p dan 2k artinya adalah 1p dari 4p, dan

2k dari 5kMaka

P(1m,1p,2k) =

Dengan demikian maka peluang termabilnya 1 bola merah, 1 bola putih, dan 2 bola kuning pada pengambilan 4 bola

sekaligus adalah .

(b). Jika dari dalam kotak diambil 4 bola satu demi satu tanpa pengambilan, maka perhitungan nilai penluang diperoleh dari diagram pohon. Selidiki bahwa1. Banyaknya cabang pada diagram pohon yang diperhitungkan nilai peluangnya (diagram pohon tak

lengkapnya) adalah sama dengan banyanya permutasi dengan beberapa unsur sama dari terambilnya

1m,1p dan 2k yaitu sama dengan .

Gambaran tentang kedua belas cabang yang dimaksud adalah1. mpkk 7. pmkk

2. mkpk 8. pkmk3. kmpk 9. kpmk4. kmpk 10. kpkm5. kkmp 11. kkpm6. mkkp 12. kpkm

Diagram pohon yang bersesuaian dengan 12 urutan di atas adalahUrutan terambil : I II III IV

3m

4p

5k

2. Untuk memahami nilai peluang dari masing-masing cabang, perhatikan salah satu contoh, misal untuk cabang yang pertama. Urutan bola yang terambil adalah mpkk, artinya adalah terambil pertama bola merah, terambil kedua adalah bola putih, ketiga kuning, dan keempat kuning. Karena bola yang terambil pada pengambilan I, II, III, dan IV masing-masing tidak dikembalikan, maka banyaknya bola yang semula 12 buah, pada saat akan dilakukan pengambilan II bolanya tinggal 11, pada saat akan dilakukan pengambilan III bolanya tinggal 10, dan pada saat akan dilakukan pengambilan IV bolanya tinggal 9. Akibatnya:

P( I terambil merah) = , sebab bola merah ada 3 dari seluruh bola sebanyak 12 bola,

P( II terambil putih) = , sebab bola putih belum pernah terambil sehingga tetap 4 dari bola yang tersisa

sebanyak 11,

P(III terambil kuning) = , sebab bola kuning belum pernah terambil sehinga tetap 5 dari bola yang

tersisa sebanyak 10, dan

P (IV terambil kuning) = sebab bola kuning yang sebelumnya ada 5 di pengambilan III, di pengambilan

IV berkurang 1, sehingga tinggal 4 dari seluruh bola yang tersisa sebanyak 9.

Karena urutan terambilnya bola pada pengambilan I adalah mpkk, makaP(mpkk) = P(I m, II p, III k, dan IV k)

= P(I m, II p dengan syarat I m, III k dengan syarat II p dan Im, dan IV k dengan syarat III k, II p, dan I m)

= P(I m) . P(Il p/I m) . P(Ill k/II p dan I m). P(IV k/III k, II p, dan I m) ……………. berdasar definisi peluang bersyarat.

= perhatikan nilai P(mpkk) pada cabang paling atas

3. Perhatikan bahwa nilai peluang masing-masing dari kedua belas cabang di atas sebenarnya sama, hanya faktornya saja yang dibolak-balik disesuaikan dengan urutan munculnya m, p, k, dan k pada masing-masing cabang. Karena masing-masing cabang nilai peluangnya sama, maka kits dapat memandang bahwa nilai peluangnya diwakili oleh salah satu cabang missal cabang yang pertama, yaitu =

. =

Maka nilai peluang yang ditanyakan adalah banyaknya cabang dikalikan dengan nilai peluang masing-masing cabang, yaitu

P(1m,1p,2k) =

Dalam bentuk yang lebih umum,P(1m,1p,2k) = banyaknya cabang x nilai peluang masing-masing cabang.

=

=

= .

4. Penalaran yangh sama berlaku untuk masing-masing cabang.

Teorema Pengambilan SampelPengambilan sample secara acak x bola sekaligus dari dalam kotak yang berisi n bola (x ≤ n), nili peluangnya sama dengan pengambilan secara acak x bola satu demi satu tanpa pengembalian.

BuktiUntuk lebih memudahkan pemahaman, misalnya kotak itu berisi 3 kategori warna saja yaitu merah, putih, dan kuninh. Dengan demikian gambaran dari isi kotak itu adalah sebagai berikut.

N1 merah x1 merah dari n1 merahN bola n2 putih diambil x bola sekaligus, terkena x2 putih dari n2 putih N3 Kuning x3 kuning dari n3 Kuning

X=x1+x2+x3

(1) Jika x bola diambil sekaligus maka

P(X1 dari n1,x2 dari n2, dan x3 dari n3) = = (1)

(2) Jika x bola itu diambil satu demi satu tanpa pengembalian, maka pada gambar diagram pohon tak lengkap, banyaknya cabang yang diperhitungkan nilai peluangnya = nilai permutasi beberapa unsure sama dari

Perhatikan lebih lanjut bahwa nilai peluang dari masing-masing cabang adalah sama yaitu sama dengan

atau

Dengan demikian maka nilai peluang untuk terambilnya x1 dari n1,x2 dari n2, x3 dari n3 adalah banyaknya cabang dikalikan nilai peluang dari masing-masing cabang yakni :

P(X1 dari n1,x2 dari n2, dan x3 dari n3)= .

=

Ternyata terbukti sama dengan persamaan (1).

Secara umum untuk k kategori warna, pengambilan x bola satu demi satu tanpa pengembalian sebanyak x bola dari seluruhnya sebanyak n bola, maka nilai peluang terambilnya x1 dari n1,x2 dari n2, …., xk dari nk

dengan x1+x2+x3+…+xk = x dan n1+n2+n3+…+nk = n adalah :P(x1 dari n1,x2 dari n2,…,xk dari nk)= banyaknya cabang dikalikan nilai peluang masing-masing cabang= banyaknya cabang dikal ikan ni la i peluang cabang yang pertama (mengingat nilai peluang

masing-masing cabang adalah sama)

= .

= . , atau

= .

=

Terbukti hasil akhir = peluang terambilnya x, dari n1, x2 dari n2,…, xk darink, pada pengambilan x bola sekaligus tanpa pengembalian dari kotak yang berisi n1 + n2 + + nk = n bola.

Distribusi Multinomial (Pitman, 1993: 155)(Rumusan peluang percobaan berulang yang saling bebas untuk 3 kategori atau lebih)

Misal dalam suatu kotak terdapat n bola yang terdiri dari k warna : warna pertama, warna kedua, warna ketiga, ..., hingga warna ke k masing-masing sebanyak n 1, n2, n3,...nk. Jika dari dalam kotak diambil secara acak sebanyak x bola satu demi satu dengan pengembalian, maka peluang terambilnya x1 bola dari n1 bola yang ada, x2 bola dari n2 bola yang ada, ... dan seterusnya hingga xk bola dari nk bola yang ada ialah :

P(x1 dari n1,x2 dari n2, … ,xk dari nk) =

Keterangan

P1= = =

N = n1+n2+n3+…+nk X = x1+x2+x3+…+xk

BuktiKarena pengambilan bola di lakukan satu demi satu dengan pengembalian, akibatnya peluang terambilnya masing-masing warna pada setiap kali percobaan (percobaan pertama, kedua, dan seterusnya hingga ke-n) adalah tetap yaitu p1, untuk peluang munculnya warna pertama, p 2 untuk peluang munculnya warna kedua, . . . dan seterusnya hingga p k untuk peluang munculnya warna ke-k. Selanjutnya kita bayangkan diagram pohonnya. Banyaknya cabang pada diagram pohon yang dihitung nilai peluangnya ialah sebanyak

Bayangkan lagi bahwa tiap-tiap cabang mempunyai nilai peluang yang sama, yaitu

P1,P1,…P1. P2,P2,…P2… Pk,Pk,…Pk.=

X1 faktor x2 faktor xk faktorNilai peluang yang ditanyakan adalah jumlah nilai peluang dari masing-masing cabang yaituP(x1 dari n1,x2 dari n2,…,xk dari nk) = banyaknya cabang dikalikan nilai peluang masing-masing cabang =

.

Untuk memberikan gambaran tentang distr ibusi mult inomial yang dimaksud, diberikan contoh seperti berikut.Contoh 1Misalkan dalam sebuah kotak terdapat 9 bola terdiri atas 4 bola berwarna merah, 3 berwarna putih, dan 2 bola berwarna kuning.

Dari dalam kotak diambil secara acak 3 bola satu demi satu dengan pengembalian. Tentukan distribusi peluang dari peristiwa-peristiwa yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu.Jawab

4m 3p

2k

9 bola ambil acak 3 bola satu demi satu dengan pengembalian. Sebaran peluangnya ?

Karena pengambilannya satu demi satu itu dengan pengembalian, maka sebelum melakukan pengambi lan ber ikutnya bola yang terambi l sebelumnya harus dikembalikan terlebih dahulu. Dengan demikian maka dalam setiap pengambilan peluang terambilnya sebuah bola merah, atau putih, atau kuning tetap.

Masing-masing adalah P(m) = , P(p) = , P(k) = . Karena peluang terambilnya sebuah obyek pada

pengambilan berikutnya tidak dipengaruhi oleh peluang terambilnya obyek sebelumnya, maka pengambilan berikutnya dengan pengambilan sebelumnya merupakan peristiwa yang saling bebas sehingga distribusi peluangnya merupakan distribusi multinomial.

Pe rha t i kan bahwa ka lau k i t a mengamb i l 3 bo la sa tu dem i sa tu dengan pengembalian, maka hasil-hasil yang mungkin adalah terambil (1m, 1p, 1k), (1m, 2p,0k), (2m, 1p,0k), (1m,0p,2k), (2m,1k,0p), (0m,1p, 2k), (0m,2p, 1k) , (3m,0p,0k) , (0m,3p,0k) , atau (3k).

Jadi ada 9 macam hasil yang mungkin sebab hasil terakhir yaitu (3k) tak mungkin terjadi karena banyaknya bola kuning hanya ada 2 buah. Selanjutnya gambaran nilai peluang dari masing-masing peristiwa tersebut adalah sebagai berikut.

P(1m,1p,1k)= =

P(1m,2p,0k)=P(1m,2p,0k)= =

P(2m,1p,0k)=P(2m,1p,0k)= =

P(1m,0p,2k)=P(1m,0p,2k)= =

P(2m,0p,1k)=P(2m,0p,1k)= =

P(0m,1p,2k)=P(0m,1p,2k)= =

P(0m,2p,1k)=P(0m,2p,1k)= =

P(3m,0p,0k)=P(3m,0p,0k)= =

P(0m,3p,0k)=P(0m,3p,0k)= =

P(0m,0p,3k)=P(0m,0p,3k)= =

+

Jumah = = 1

Contoh 2Suatu kotak berisi 20 bola terdiri dari 5 bola merah, 7 bola putih, dan 8 bola kuning. Dari dalam kotak diambil secara acak sebanyak 6 bola satu demi satu dengan pengembalian. Tentukan peluang terambilnya 3 bola merah, 1 bola putih, dan 2 bola kuning.JawabKarena pengambilan sampelnya dengan pengembalian maka pengambilan I, II, III, hingga IV merupakan peristiwa-peristiwa yang sating bebas. Sehingga kita dapat menerapkan rumus distribusi multinomial.Jawab

5m P1=

9 bola 7p P1=

8k P1=

Diambil 6 bola satu demi satu dengan pengembalian. P(3m,1p,2k) = ….?Maka

P(3m,1p,2k)= = 0,0525

Dengan diketahuinya rumus distribusi binomial, hipergeometri, dan multinomial tersebut untuk selanjutnya kita tidak perlu lagi menggambarkan diagram pohon dalam menghitung nilai peluang pada setiap eksperimen (percobaan) berulang.