Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

24
Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar Menentukan koordinat titik berat suatu benda. 1. 1. Gerak Translasi dan Rotasi Indikator : Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda tersebut Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu. Gambar: Katrol A. Momen Gaya Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat- jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.

Transcript of Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Page 1: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

Menentukan koordinat titik berat suatu benda.

1.

1. Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif

Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya

dengan gerak rotasi benda tersebut

Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi

Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan

berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang

dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen

gaya yang bekerja pada benda itu.Gambar:Katrol

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan.

Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-

jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan

dihubungkan dengan beban.

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu.

Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang (baca: tau).Gambar:Menarik beban menggunakan katrol

= F . dSatuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen

gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum

jam disebut momen gaya negatif.Gambar:Skema permainan jungkat jungkit

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F1 adalah 1 = + F1 . d1

Momen gaya oleh F2 adalah 2 = – F2 . d2

Page 2: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol,

sehingga dirumuskan:

∑ = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

∑ = 0

- F2 . d2 + F1 . d1 = 0

F1 . d1 = F2 . d2

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga

dirumuskan:

∑ F = 0

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang

dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi Rotasi

Momentum linier p = mv Momentum sudut* L = I

Gaya F = dp/dt Torsi = dL/dt

Benda massa Konstan

F = m(dv/dt)Benda momeninersia konstan* = I (d/dt)

Gaya tegak lurusterhadap momentum

F = x pTorsi tegak lurusmomentum sudut = L

Energi kinetik Ek = ½ mv2 Energi kinetik Ek = ½ I2

Daya P = F . v Daya P = .

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep Translasi Rotasi Catatan

Perubahan sudut s s = r.

Kecepatan v = ds/dt = d/dt v = r.

Percepatan a = dv/dt = d/dt a = r.

Gaya resultan, momen F = F.r

Keseimbangan F = 0 = 0

Percepatan konstan v = v0 + at = 0 + t

s = v0t = ½ at2 = 0t + ½t2

Page 3: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

v2 = + 2as 2 = + 2

Massa, momen kelembaman m I I = miri2

Hukum kedua Newton F = ma = I

Usaha W = F ds W = d

Daya P = F.v P = I

Energi potensial Ep = mgy

Energi kinetik Ek = ½ mv2 Ek = ½ I2

Impuls F dt dt

Momentum P = mv L = I

Contoh

F2

30o

O A

B 37o

F1

Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak

OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.

Jawab

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,

Untuk gaya F1

r1 = OB = 8 mBesar momen gaya 1 = F

1 sin 1. r1

= 10 . sin 37. 8

= 10 . 0,6 . 8

= 48 N.m

Arah momen gaya 1 searah perputaran jarum jam

Untuk gaya F2

r2 = OA = 4 mBesar momen gaya 2 = F

2 sin 2. r2

= 6 . sin 30. 4

= 6 . 0,5 . 4

= 12 N.m

Arah momen gaya 2 berlawanan arah perputaran jarum jam

Momen gaya total adalah = 2 + 2

Page 4: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

= 48 + 12

= 60 Nm

Momen Kopel

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel

yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan

benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M

F F F -

+

M F dd d dF F F(a) (b) (c)

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk

gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah

dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah

perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).

Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut

adalah

M = M1 + M2 + M3 + … + Mn

Contoh

F4F1

P 1m 2m 1m

QF3

F2

Jawab:

Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F1 = F3 = 5 N, dan

F2 = F4 = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel

pada batang PQ tersebut.

Gaya F1 dan F3 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:M

1 = F x d = 5 x 3 = 15 N m

Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarnya:M

2 = F x d = 8 x 3 = 24 N m

Resultan momen kopel adalah:

M = M1 + M2

= 15 + ( 24)

= 9 N m

Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan

arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Page 5: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut

dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan,

komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah F1x

, F2x

, F3x

,…,Fnx

, yang jaraknya masing-masing terhadap

sumbu-X adalah y1, y

2, y

3,…,y

n .

Sedangkan komponen-komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y

, F 2y

, F 3y

, …,Fny

, yang jaraknya

masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya pada

sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X,

demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya

resultan F y yang jaraknya xo dari sumbu-Y.Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.

xo = =

yo = =

Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)

Contoh

YF2=5NF3=7N

X

Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.-3 -1 0 2 3

F1=-3NF4=-2N

Jawab

Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:Fy = F1 + F2 + F3 + F4

= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)

Letak titik tangkap gaya resultan adalah:

xo =

xo =

xo =

1. Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar.

Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar

tersebut memiliki percepatan sudut yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi

didefinisikan sebagai berikut.

Page 6: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya

putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia

benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

= Fi Ri Sin i atau = ( mi R2 i ) .

mi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu

penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya

dari sumbu.

Dirumuskan:

I = mi . Ri2

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen)

terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan:

I =

maka = I .

= I

Karena = F . R dan = I .

maka F . R = I .

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi

roda.

a = . R

=

persamaan menjadi :

F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak.

Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenalI = ½ M (R1

2 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2

Contoh:

1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah

batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem

partikel terhadap proses:

Page 7: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

1.

1. sumbu AA1,

2. s

A B

1 kg 2 kg 1 kg 3 kg

2 m 2 m 2 m

A1 B1

umbu BB1!

Penyelesaian:

1. I = Σ mi . Ri2

= m1 R12 + m2 . R2

2 + m3 R32 + m4 R4

2

= 1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62

= 0 + 8 + 16 + 108

I = 132 kg m2

1. I = Σ mi Ri2

= m1 R12 + m2 R2

2 + m3 R32 + m4 R4

2

= 1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22

= 16 + 8 + 0 + 12

I = 36 kg m2

1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar,

dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat

diabaikan.

1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak

lurus pada bidang kertas!

A

A’

1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu

percepatan terhadap poros ini ( = 4 )?

Page 8: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA1!

Penyelesaian:

1. I = Σ mi Ri2 = m1 R1

2 + m2 R22 + m3 R3

2 + m4 R42

= 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 22

= 12 + 8 + 4 + 8

= 32 kg m2

1. τ = I . = 32 . 4 = 128 N.m

2. I = m2 R12 + m2 R2

2 + m2 R22 + m3 R3

2 + m4R42

1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg

dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan

sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap

sumbu yang tegak lurus batang dan melalui

1.

1. pusat 0, O

2. salah satu bola!

L = 1 m

Penyelesaian:

1. I = Σ mi Ri2

I = mA . RA2 + mB . RB

2 + 1/12 m . L2

I = 5 . (0,5)2 + 5 . (0,5)2 + 1/12 . 2 . 12

I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6

I = 2,5 + 1/6

I = 5/2 + 1/6 = = 16/6

I = 8/3 kg m2

b. I = Σ mi Ri2

I = mA.RA2 + Mb.RB

2 + 1/3 .m.l2

I = 0 + 5 . 12 + 1/3 . 2.12

I = 5 + 2/3

I = 5 kg m2

Page 9: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Uji Kompetensi I

1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya

60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m,

AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan

ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia

dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?

A B C D

1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N,

2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5

buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya

seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.

1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik

0

O

-1/4 l +3/4 l

1. Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak

pada gambar di bawah ini. M1=M3 =1kg, M 2 =3 kg, dan M 4 = 2 kg. Tentukan momen

inersia sistem jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus

bidang XY melalui titik O.

YM1

2 m

M3

O 3 m M2

3 m

Page 10: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

M4

1. Tentukan momen inersia bola pejal !

massa bola m

volume bola V = 4/3 R3

massa keping = dm

volume keping = dV = r2 dx

Page 11: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya

F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4.

D

CB F

2

A 30o F1

1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N,

2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5

buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1.1. Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi

Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis

C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka

momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi.

Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut .

Sehingga dapat dirumuskan :

L = I .

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut

terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V

(memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,

L = R P

atau L = R mV

L = mR V

Page 12: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V = RSehingga L = m R vL = m R RL = m R2 Arah L dam adalah sama, maka:L = m R2 atau L = I karena =maka : L = m R2

L = IMomentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:L = R P = m (R v)Bila diturunkan, menjadi:karena = F Rmaka =Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

momentum sudut total awal = momentul sudut total akhirL = L’L1 + L2 = L1’ + L2’Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m1 dan m2 dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m1v1

2. Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah ½ m2v2

2 ) :EK = ½ m1 v1

2 + ½ m2v22

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:EK = ½ mi vi

2

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap partikel adalah vi = . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.jadi EK = ½ mivi

2

= ½ mi Ri2 2

= ½ ( mi Ri2) 2

EK = ½ I . 2

karena L = I . maka EK = ½ L . atau EK = ½

Page 13: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.EK = ½ mv2 + ½ I . 2

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:E = EK + EP = konstan

½ mv2 + ½ I 2 + mgh = konstan

Contoh Soal

Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang

miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah

kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V =

1. dengan menggunakan hukum kekekalan energi,

2. dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!

PenyelesaianJawab:v1 = 0, 1 = 0sha. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

(½ m v12 + ½ I 1

2) + mgh1 = ( ½ mv22 + ½ I 2

2) + mgh2

0 + 0 + mgh = ½ mv2 + ½ . ½ mR2 ( )2 + 0gh = ½ v2 + ¼. R2 . v/rgh = ¾ v2

v2 = ghv = (terbukti)

1. Hukum II dinamika rotasi

Σ F = m . am g . – ½ m . a = m . a= a a = . v2 = vo

2 + 2 a sv2 = 02 + 2. . sv2 = ghv = (terbukti)E. MenggelindingMenggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).FFf fPenyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.

1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:

Page 14: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

- gerak translasi berlaku : F – f = m . a

- gerak rotasi berlaku : f . R = I .

di mana ( = )

1. Bila gaya F berada di titik singgung :

- gerak translasi berlaku : F + f = m . a

- gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I . ( = )

Katrol 1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa = mJari-jari = RMomen kelembaman = IGerak translasi beban :F = m . a+ T1 – m1g = m1a ………………….(i)+ m2g – T2 = m2a ………………….(ii)Gerak rotasi katrol : = I .

(T2 – T1) R = I ……………….(iii)1. Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban :F = m . a+ T1 – m1g sin – f = m1a …….(i)+ m2g – T2 = m2a …………………..(ii)Gerak rotasi katrol : = I . (T2 – T1) R = I ……………………(iii)

1. S

atu ujung talinya terikat pada sumbu katrol

Gerak translasi beban :F = m . amg – T = m . a ……………..(i)Gerak rotasi katrol : = I . T . R = I . ……………..(ii)Contoh Soal

1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg

(dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari

katrol = 50 cm. Tentukan:

a. percepatan beban,

Page 15: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

b. tegangan tali!Penyelesaian:a. Tinjau benda m1

Σ F = m1 . aw1 – T1 = m1 . a5 . 10 – T1 =5 . aT1 = 50 – 5aTinjau benda m2:Σ F = m2 . aT2 – W2 = m2 . aT2 – 3.10 = 3 . aT2 = 30 + 3aTinjau katrolΣ τ = I . T1 . R – T2 . R = ½ m . R2 a/RT1 – T2 = ½ . 4 . 250 – 5a – 30 – 3a = 2a20 = 10 . aa = 2 m/s2

1. T1 = 50 – 5 . 2 = 40 N

T2 = 30 + 3 . 2 = 36 N2.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m1 = 50 kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2

Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan μ = 0,1. massa katrol 10 kg. hitunglah:

1. percepatan sistem,

2. gaya tegang tali!

Penyelesaian:a.Tinjau m1:Σ F = m . aT1 – f1 = m . aTi – k . N = m1 . aTi – 0,1 . m1 . g = m1 . aT1 – 0,1 50 . 10 = 50 . aT1 = 50 + 50aTinjau m2:Σ F = m . aw2 – T2 = m2 . am2 . g – T2 = m2 . a200 . 10 – T2 =200 . aT2 = 2000 – 200 . aTinjau katrol:Σ τ = I . T2 . R – T1 . R = ½ m . r2 . a/R

Page 16: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

T2 – T1 = ½ m . a2000 – 200a – 50 – 50 a = ½ . 10 . a1950 = 255 aa = = 7,65 m/s2

b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 NT2 = 2000 – 200 . 7,65 = 470 N

1. Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui

sebuah katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar.

Permukaan meja licin. Tentukan percepatan masing- masing benda bila:

1. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol

2. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali

3. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali!

Penyelesaian:1. katrol licin (k = 0), T1 = T2 = T

Tinjau m1 : Σ F = m . aT = m1 . a

T = 3 . aTinjau m2 : Σ F = m . aw2 – T = m2 . am2 . g – T = m2 . a5 . 10 – T = 5 . aT = 50 – 5a

1.o T = T

3a = 50 – 5a3a + 5a = 508a = 50a = = 6,25 2

1. katrol kasar

Katrol :Σ τ = I . T2 . R – T1 . R = ½ mk . R2 . a/r50 – 5a – 3a = ½ . 1 . a50 = ½ a + 8a = 8,5 aa = 50/8,5 = 5,88 2

1.1. Bidang miring dengan sudut kemiringan = 30º. Koefisien gesek 0,2. Ujung

bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm

Page 17: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

(dianggal silinder pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg.

Ujung tali yang tergantung vertikal diberi beban dengan massa 10 kg.

Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut!

Penyelesaian:Tinjau m1 Σ F1 = m1 . aT1 – fk – w1 sin 30 = m1 . aT1 – k . N – m1 g sin 30 = m1 . aT1 – k . m1 . g . cos 30 – m1 . g sin 30 = m1 . aT1 – 0,2 . 4 . 10 . ½ – 4 . 10 . ½ = 4 . aT1 – 4 – 20 = 4aT1 = 26,928 + 4aTinjau m2 Σ F = m . a

w2 – T2 = m2 . aw2 . g – T2 = m2 . a10 .10 – T2 = 10 .aT2 = 100 – 10a

Tinjau katrol Σ τ = I . T2 . R – T1 . R = ½ m . R2 . a/R100 – 10a – 26,928 – 4a = ½ . 0,6 . a100 – 26,928 = 0,3a + 10a + 4a73,072 = 14,3 aa = 5,1 m/s2

1.1.

T1 = 26,928 + 4 . 5,1

T1 = 47,328 NT2 = 100 – 10 . 5,1= 49 N

1.1. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien

gesekan antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m.

Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.

Tentukan:1. gaya tarik oleh tali

2. percepatan B

Penyelesaian:Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berartisA = 2 sB atau aA = 2 aB

Tinjau benda AwB – 2T = mB . aB

3mg – 2T = 3m aB

Page 18: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar

aB =Tinjau benda BT – f = mA aA

T – 0,5 NB = m . aA

T – 0,5 m g = m aA

aA =1. gaya tarik oleh tali

SubstitusiaA = 2 aB

= 2 ()3 T m – 1,5 m2 g = 6 m2 g – 4 T m: mT =

1. percepatan B

aB === =aB = g

1.1. Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen

gaya sama dengan nol.

Kesetimbangan biasa terjadi pada :

1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan,

dan lain-lain.

2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang

hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.

Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.

Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:

1. Kesetimbangan partikel

2. Kesetimbangan benda

1. Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak

translasi (tidak mengalami gerak rotasi).

Syarat kesetimbangan partikel F = 0 Fx = 0 (sumbu X)

Page 19: Dinamika Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar