BAGIAN VIROTASI BENDA TEGAR

6.1. Kecepatan dan Percepatan Sudut

Dalam menganalisis gerak rotasi terhadap benda tegar (rigid

body) maka harus ditetapkan dahulu sebuah sumbu tetap yang

tidak bergerak dalam suatu kerangka acuan inersia dan tidak

berubah arah relatif terhadap kerangka tersebut. Gambar 6.1

akan memperjelas bagaimana gambaran bagi sebuah benda

tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu tetap.

Gambar 6.1. Rotasi sebuah benda tegar terhadap suatu sumbu

diam

Sudut θ adalah sudut rotasi dan umumnya diukur dalam satuan

radian. Secara umum berlaku bahwa

...6.1.

Dimana S adalah keliling lingkaran dan θ adalah sudut rotasinya.

Akan terlihat bahwa untuk sebuah lingkaran penuh maka nilai θ

adalah 2θ atau setara dengan 360O sehingga 1 rad sama dengan

57,3O.

Jika sudut θ1 ditempuh dalam waktu t1 dan sudut θ2 ditempuh

dalam waktu t2 maka analog dengan kecepatan linier, akan kita

dapatkan kecepatan sudut yaitu besarnya perpindahan sudut

dibagi dengan waktu tempuhnya.

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

73

Gambar 6.2. Kecepatan sudut benda yang berotasi

...6.2.

Jika diambil limit Δt mendekati nol maka akan didapatkan

kecepatan sudut sesaat.

...6.3.

Satu hal penting yang perlu diingat bahwa seluruh titik dalam

benda tegar yang berotasi akan memiliki kecepatan sudut yang

sama. Kecepatan sudut positif jika benda berotasi ke arah

penambahan sudut θ dan bernilai negatif jika benda berotasi ke

arah pengurangan sudut θ.

Ketika kecepatan sudut benda tegar mengalami perubahan,

berarti benda tersebut memiliki percepatan sudut. Percepatan

sudut rata-rata dirumuskan :

...6.4.

Adapun jika limit Δt mendekati nol maka akan diperoleh

percepatan sesaat :

...6.5.

Dari persamaan 6.3 dan 6.5 terlihat analogi gerak rotasi ini

dengan gerak linear biasa. Hal ini dapat dilihat pada tabel 6.1 di

bawah ini :

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

74

Tabel 6.1. Analogi gerak linear dengan gerak rotasi

Gerak lurusGerak rotasi

s, mθ, rad

v, m/sω, rad/s

a, m/s2α, rad/s2

Berdasarkan analogi di atas maka dapat kita simpulkan bahwa

pada gerak rotasi akan berlaku juga persamaan-persamaan

seperti pada gerak lurus. Berikut ini adalah persamaan-

persamaan tersebut :

...6.6.

...6.7.

...6.8.

...6.9.

Persamaan 6.6. sampai 6.9 hanya berlaku jika α konstan dan

tidak berlaku untuk α tidak konstan.

6.2. Hubungan Kinematika Linier dengan Kinematika Rotasi

Hubungan kinematika liniear dengan kinematika rotasi yang

pertama dijabarkan dari persamaan 6.1.

Dari persamaan di atas dapat kita turunkan kedua ruas terhadap

waktu menjadi

...6.10.

Contoh 6.1. :

Tali melilit sebuah roda berjari-jari 25 cm. Kalau suatu titik pada

tali tersebut mempunyai kecepatan 5 m/s hitunglah kecepatan

rotasi roda tersebut.

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

75

Jawab :

Persamaan 6.10 adalah hubungan kinematika linier dan

kinematika rotasi yang kedua. Untuk mendapatkan hubungan

yang ketiga, persamaan 6.10 diturunkan lagi terhadap waktu.

...6.11.

Percepatan pada persamaan 6.11 adalah percepatan tangensial

dan arahnya merupakan arah garis singgung terhadap lintasan

yang berupa lingkaran pada titik tertentu yang ditinjau. Gambar

6.3 akan terlihat arah komponen tangensial.

Gambar 6.3. Komponen percepatan di titik P

Sementara itu dari bab sebelumnya telah diketahui bahwa

percepatan sentripetal dirumuskan sebagai berikut :

Dengan mensubstitusikan persamaan 6.10 ke dalam persamaan

percepatan sentripetal di atas diperoleh

...6.12.

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

76

Percepatan sentripetal ini arahnya menuju kepusat rotasi seperti

yang terlihat dalam gambar 6.3. Persamaan ini berlaku setiap

saat bahkan ketika ω dan v tidak konstan sekalipun.

Dengan adanya percepatan sentripetal secara otomatis juga

akan ada gaya sentripetal sebesar

...6.13.

Contoh 6.2. :

Sebuah roda berjari-jari 40 cm berputar melalui poros tetap dan

dalam waktu 20 detik dapat mencapai kecepatan 900 rpm dari

keadaan diam. Berapa percepatan sudut roda itu dan berapa

pula percepatan tangensial pada tepi roda. Roda dipercepat

beraturan.

Jawab :

Sedangkan percepatan tangensial

6.3. Energi pada Gerak Rotasi

Benda tegar yang berotasi terdiri dari massa yang bergerak,

sehingga memiliki energi kinetik. Para fisikawan sering kali

menulis energi kinetik benda yang berotasi dalam bentuk

kecepatan sudut benda. Besaran ini dikenal dengan sebutan

momen inersia.

Untuk memudahkan penjelasan tentang momen inersia, kita

asumsikan sebuah benda besar yang berotasi terdiri dari

kumpulan massa partikel dengan massa m1, m2, m3, .... pada

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

77

jarak r1, r2, r3,.... dari sumbu putar. Kita beri nama masing-masing

partikel dengan subskrip i, sehingga massa benda ke-i

dinyatakan sebagai mi, kecepatan linearnya vi, dan demikian juga

dengan besaran-besaran lainnya. Sehingga energi kinetik dapat

dinyatakan dengan :

...6.14.

Energi kinetik totalnya merupakan jumlahan dari keseluruhan

energi kinetik partikel penyusun benda tersebut.

...6.15.

Perhatikan bahwa seluruh titik partikel mempunyai kecepatan

sudut/rotasi yang sama sehingga dapat dinyatakan tanpa

subskrip i. Persamaan 6.14 di atas dapat dimodifikasi menjadi

...6.16

Momen inersia diperoleh dengan mengalikan massa masing-

masing partikel dengan kuadrat jaraknya dari sumbu putar dan

menjumlahkan seluruhnya atau dengan kata lain merupakan

bagian di dalam kurung pada persamaan 6.15 di atas.

...6.17

Kata “momen” mengandung pengertian bagaimana massa

didistribusikan terhadap ruang. Untuk sebuah benda yang massa

total dan sumbu rotasinya diketahui maka semakin besar jarak

sumbu terhadap partikel yang menyusun benda semakin besar

momen inersianya. Pada benda tegar jarak ri semuanya konstan

dan I tidak tergantung pada bagaimana benda berotasi

mengelilingi sumbu.

Dalam hubungannya dengan momen inersia rotasi maka energi

kinetik rotasi dinyatakan :

...6.18

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

78

Gambar 6.4 Momen Inersia Beberapa Benda Tegar

Energi kinetik pada dasarnya adalah sama dengan energi yang

diberikan untuk menggerakkan sebuah benda dari keadaan diam

atau energi yang dilepaskan untuk mendiamkan sebuah benda

yang bergerak sampai diam. Dari persamaan 6.17 akan terlihat

bahwa semakin besar momen inersia sebuah benda maka

semakin sulit untuk menggerakkannya jika semula benda itu diam

atau semakin sulit menghentikannya jika semula benda itu

berputar.

Untuk menghitung momen inersia pada beberapa benda tegar

yang dicantumkan di dalam gambar 6.4 dapat dengan

menggunakan persamaan

...6.19.

Untuk menyelesaikan integral ini maka r dan m harus dalam

variabel yang sama. Objek 3 dimensi dm sering dinyatakan dalam

elemen volume dan densitas.

...6.20.

Untuk menggunakan persamaan ini, kita harus menyatakan

elemen dV dalam bentuk diferensial dari variabel integral, seperti

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

79

dV=dx.dy.dz. Elemen dV harus selalu dipilih sehingga semua titik

di dalamnya memiliki jarak yang sama terhadap sumbu putar.

Contoh :

Gambar di bawah ini menunjukkan sebuah batang ramping

homogen dengan massa M dan panjang L. Benda itu dapat

berupa tongkat kecil. Hitung momen inersia pada sumbu yang

melalui O, dengan jarak sembarang h dari salah satu ujungnya.

Gambar 6.5. Mencari Momen Inersia dari Batang Tipis pada

Sumbu yang Melalui O

Jawab :

Sebagian elemen massa kita pilih sebuah bagaian pendek dari

batang dengan panjang dx yang berjarak x dari O. Perbandingan

massa elemen dm terhadap massa total M sama dengan

perbandingan panjang elemen dx terhadap panjang batang L :

Jika disubstitusikan ke dalam persamaan 6.18 diperoleh

Dengan persamaan umum ini, kita dapat mencari momen inersia

untuk sembarang posisi h. Misal h=0 (titik poros diujung batang)

maka akan diperoleh

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

80

Hasil ini akan sama jika titik poros diujung batang yang lain di

h=L. Jika sumbu melalui pusat batang yaitu di h=L/2 diperoleh

Cocokkan hasil ini gambar 6.4.

Contoh :

Bola homogen dengan jari-jari R, dengan sumbu melalui pusat

objek seperti pada gambar 6.6 di bawah ini. Carilah momen

inersia pada sumbu yang melalui pusat bola.

Gambar 6.6 Momen Inersia untuk Bola Homogen dengan Sumbu

Melalui Pusat Bola

Jawab :

Bola di bagi menjadi piringan kecil dengan tebal dx. Jari-jari r

piringan adalah

Volumenya adalah

Dan massanya adalah

Dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan di atas ke

dalam persamaan 6.18 diperoleh

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

81

6.4. Teorema Sumbu Sejajar (Paralel)

Telah kita ketahui sebelumnya bahwa sebuah benda tidak hanya

memiliki satu momen inersia. Dalam kenyataannya, benda

memiliki jumlah momen inersia yang tidak terbatas, karena

terdapat sejumlah sumbu di mana benda itu mungkin berotasi.

Tetapi terdapat hubungan sederhana antara momen inersia Ipm

dari benda yang bermassa M di sekitar sumbu yang melewati

pusat massa dengan momen inersia Ip di sekitar sumbu lain yang

paralel dengan sumbu asal tetapi tergeser sejauh d. Hubungan

ini yang dikenal dengan istilah teorema sumbu sejajar.

...6.21.

Contoh :

Sebuah bagian sambungan mekanik bermassa 3,6 kg. Momen

inersia pada sumbu 0,15 m dari pusat massa adalah Ip=0,132

kg.m2. berapa momen inersia Ipm pada sumbu paralel yang

melalui pusat massa?

Jawab :

Contoh :

Carilah momen inersia piringan tipis homogen bermassa M dan

berjari-jari R pada sumbu yang tegak lurus pada bidang di

ujungnya.

Jawab :

Dari gambar 6.4 diketahui momoen inersia piringan tipis adalah

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

82

Pada kasus ini d = R sehingga dengan teorema sumbu paralel

akan diperoleh

Fisika Dasar Teknik 1\Rotasi Benda Tegar

83