Didonwload dari ririez.blog.uns.acririez.blog.uns.ac.id/files/2011/01/makalah-fix.pdf · 2.1.1...
Transcript of Didonwload dari ririez.blog.uns.acririez.blog.uns.ac.id/files/2011/01/makalah-fix.pdf · 2.1.1...
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
4
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab sebelumnya telah dibahas rancangan faktorial secara umum, seringkali peneliti
berhadapan pada rancangan yang melibatkan sejumlah faktor yang masing-masing faktor hanya
terdiri atas dua buah taraf atau level. Oleh karena itu perlu dilakukan rancangan faktorial 2k,
yaitu rancangan faktorial yang menyangkut k buah faktor dengan masing-masing faktor
memiliki dua taraf atau level. Banyaknya taraf yaitu 2, ditulis sebagai bilangan pokok dan
banyaknya faktor yaitu k, ditulis sebagai pangkat. Apabila rancangan melibatkan dua faktor
maka disebut rancangan faktorial 22. Jika rancangan melibatkan tiga faktor maka disebut
rancangan faktorial 23. Rancangan melibatkan empat faktor maka disebut rancangan faktorial 24,
dan seterusnya. Batasan-batasan:
• Faktor-faktor tersebut fixed (tetap)
• Merupakan rancangan random lengkap
• Asumsi normalitas, independensi dan homogenitas variansi dipenuhi.
1. Asumsi normalitas dipenuhi apabila Normal Probability plot of the Residuals
membentuk atau mendekati garis lurus.
2. Asumsi homogenitas variansi dipenuhi jika :
a. Residuals versus the Fitted Values tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak.
3. Asumsi independensi dipenuhi apabila Residuals versus the order of the data tidak
membentuk suatu pola tertentu atau acak.
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
2.1 Rancangan Faktorial
Rancangan faktorial 2
melibatkan dua faktor dengan masing
Misalkan ada dua faktor, yaitu faktor A dan B dengan masing
rendah dan tinggi, maka percobaan dilakukan sebagai n ulangan, dan kombinasi perlakuan dapat
ditulis sebagai berikut:
A
Rendah (-)
Tinggi (+)
Atau dapat digambarkan sebagai berikut :
Keterangan : taraf rendah dinyatakan 1
taraf tinggi dinyatakan 2
taraf rendah faktor A dan taraf rendah faktor B = A
taraf rendah faktor A dan taraf tinggi faktor B = A
taraf tinggi faktor A dan taraf rendah faktor B = A
taraf tinggi faktor A dan taraf tinggi faktor B = A
1 Faktor
2 1
Faktor B
(1)
b
ac.id
5
BAB II
PEMBAHASAN
Rancangan faktorial 22 merupakan kejadian khusus dari rancangan faktorial dimana
melibatkan dua faktor dengan masing-masing faktor terdiri atas dua buah taraf atau level.
Misalkan ada dua faktor, yaitu faktor A dan B dengan masing-masing terdiri dari dua taraf yaitu
tinggi, maka percobaan dilakukan sebagai n ulangan, dan kombinasi perlakuan dapat
B Rendah (-) Tinggi (+)
111y 112y
.... ny11 121y
...
)1(.11 =y by =.12
211y 212y
.... ny21 221y
....
ay =.21 aby =.22
Atau dapat digambarkan sebagai berikut :
taraf rendah dinyatakan 1
taraf tinggi dinyatakan 2
rendah faktor A dan taraf rendah faktor B = A1B1
taraf rendah faktor A dan taraf tinggi faktor B = A1B2
taraf tinggi faktor A dan taraf rendah faktor B = A2B1
taraf tinggi faktor A dan taraf tinggi faktor B = A2B2
2
Faktor A
a
b ab
merupakan kejadian khusus dari rancangan faktorial dimana
masing faktor terdiri atas dua buah taraf atau level.
masing terdiri dari dua taraf yaitu
tinggi, maka percobaan dilakukan sebagai n ulangan, dan kombinasi perlakuan dapat
Tinggi (+) 122y
... ny12
222y
.... ny22
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
6
Terdapat kombinasi perlakuan yang ditulis (1), a, b, dan ab, dengan (1) menyatakan
kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf rendah faktor A dan taraf rendah faktor B, a
menyatakan kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf tinggi faktor A dan taraf rendah
faktor B, b menyatakan kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf rendah faktor A dan
taraf tinggi faktor B, ab menyatakan kombinasi perlakuan yang terjadi karena taraf tinggi faktor
A dan taraf tinggi faktor B.
2.1.1 Estimasi Efek
Dalam suatu percobaan rancangan faktorial 22 terdapat beberapa efek. Dimana efek
tersebut antara lain efek faktor dan efek taraf yang masing – masing berjumlah dua buah. Efek
tersebut kemudian diestimasi untuk pengujian lebih lanjut dalam penentuan jumlah kuadrat.
Estimasi efek dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu estimasi efek dengan rata – rata, estimasi
efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
2.1.1.1 Estimasi Efek dengan Rata – Rata
Efek faktor A dapat diestimasi dengan rata – rata efek A yang dikombinasikan dengan
B, yaitu saat B rendah dan tinggi, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :
Efek A dengan B rendah adalah [ ] na /)1(− , efek A dengan B tinggi adalah [ ] nbab /−
Rata-rata efek A dirumuskan ( ) ( )[ ] [ ])1(2
1)1(
2
1 −−+=−+−= baabn
ababn
A
Dengan cara yang sama diperoleh estimasi efek B:
Efek B dengan A rendah adalah [ ] nb /)1(− , Efek B dengan A tinggi adalah [ ] naab /−
Rata-rata efek B dirumuskan ( ) ( )[ ] [ ])1(2
1)1(
2
1 −−+=−+−= ababn
baabn
B
Estimasi efek interaksi AB merupakan rata-rata selisih antara efek A dengan B tinggi dan efek A
dengan B rendah, sehingga dapat dirumuskan
( ) ( )[ ] [ ])1(2
1)1(
2
1 +−−=−−−= baabn
ababn
AB
Metode lain untuk memperoleh formula rata – rata efek di atas, misalkan efek A adalah
dengan menyelisihkan antara rata – rata respon dari 2 kombinasi perlakuan di sisi kanan bujur
sangkar (gambar) +AY dan 2 kombinasi perlakuan di sisi kiri bujur sangkar −AY . Diperoleh
hasil:
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
7
−+ −= AA YYA n
b
n
aab
2
)1(
2
+−+= [ ])1(2
1 −−+= baabn
Dengan cara yang sama diperoleh
−+ −= BB YYB = n
a
n
bab
2
)1(
2
+−+ = [ ])1(
2
1 −−+ ababn
Sedangkan untuk efek interaksi AB didapat dari selisih antara rata-rata kombinasi perlakuan
diagonal kanan ke kiri {ab dan (1)} dan rata-rata diagonal kiri ke kanan {a dan b }
n
ba
n
abAB
22
)1( +−+= = [ ]baabn
−−+ )1(2
1
Efek faktor A bernilai positif berarti adanya peningkatan taraf dari rendah ke tinggi akan
meningkatkan respon. Efek faktor B bernilai negatif berarti adanya peningkatan taraf dari rendah
ke tinggi akan menurunkan respon. Efek interaksi AB muncul relatif kecil.
2.1.1.2 Estimasi Efek dengan Kontras
Kombinasi perlakuan ditulis dengan urutan tertentu, yang merupakan urutan baku
(standart) yaitu abba ,,),1( . Dengan urutan standar tersebut, koefisien kontras digunakan untuk
mengestimasi efek. Dimana koefisien kontras biasanya +1 atau -1.
Efek (1) A b Ab
A -1 +1 -1 +1
B -1 -1 +1 +1
AB +1 -1 -1 +1
Perlu diperhatikan bahwa koefisien kontras untuk mengestimasi efek interaksi didapat dengan
mengalikan koefisien antara dua efek utama yang bersesuaian.
2.1.1.3 Estimasi Efek dengan Tabel
Tabel plus minus berikut dapat digunakan untuk menentukan tanda setiap kombinasi
perlakuan. Efek utama A, B, interaksi AB, dan I menunjukkan total atau rata-rata dari jumlah
eksperimen. Di mana I hanya memiliki tanda plus.
Kombinasi Faktorial perlakuan I A B AB
(1) + - - + a + + - - b + - + - ab + + + +
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
8
Perlu diperhatikan untuk mencari kontras dengan cara mengalikan tanda (dengan kolom yang
sesuai) terhadap kombinasi perlakuan kemudian dijumlahkan.
Contoh: untuk mengestimasi A, kontrasnya adalah abba +−+− )1(
untuk mengestimasi B, kontrasnya adalah abba ++−− )1(
untuk mengestimasi AB, kontrasnya adalah abba +−−+ )1(
2.1.2 Analisis Variansi
Dalam analisis variansi terdapat perhitungan jumlah kuadrat. Jumlah kuadrat sama
dengan kuadrat kontras dibagi jumlah observasi di setiap total kontras kali jumlah kuadrat
koefisien kontras. Sehingga diperoleh:
JKA = [ ]
4.
)1( 2
n
baab −−+
JKB = [ ]
4.
)1( 2
n
abab −−+
JKAB = [ ]
4.
)1( 2
n
baab −−+
JKT = n
yy
n
k
ijk
ji 4
...2
1
22
1
2
1
−∑∑∑===
JKS = JKT – JKA – JKB - JKAB
Uji hipotesis:
I. Ho : interaksi faktor AB tidak mempengaruhi respon secara signifikan
H1 : interaksi faktor AB mempengaruhi respon secara signifikan
Daerah Kritis : Ho ditolak jika Fhit > ))1(),1)(1(,( −−− nabbaF α
Statistik Uji : Fhitung = S
AB
RK
RK
II. Ho : faktor A tidak mempengaruhi respon secara signifikan
H1 : faktor A mempengaruhi respon secara signifikan
Daerah Kritis : Ho ditolak jika Fhit > ))1(),1(,( −− nabaF α
Statistik Uji : Fhitung = S
A
RK
RK
III. Ho : faktor B tidak mempengaruhi respon secara signifikan
H1 : faktor B mempengaruhi respon secara signifikan
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
9
Daerah Kritis : Ho ditolak jika Fhit > ))1(),1(,( −− nabbF α
Statistik Uji : Fhitung = S
B
RK
RK
Tabel Anava
Sumber variasi
JK Db RK F
A JKA =
[ ]4.
)1( 2
n
baab −−+
1−a = 1 RKA =
1AJK
S
A
RK
RK
B JKB =
[ ]4.
)1( 2
n
abab −−+
b – 1 = 1
RKB = 1
BJK
S
B
RK
RK
AB JKAB =
[ ]4.
)1( 2
n
baab −−+
1)1)(1( =−− ba
RKAB = 1
ABJK
S
AB
RK
RK
Sesatan JKS = JKT – JKA – JKB - JKAB
)1( −nab
RKS =
)1( −nab
JK S
Total JKT =
n
YY
n
k
ijk
ji 4
...2
1
22
1
2
1
−∑∑∑===
N-1
2.1.3 Analisis Residual
Residual dari rancangan faktorial 2k dengan mudah dihitung melalui model regresi.
Model regresinya yaitu εβββ +++= 22110ˆˆˆˆ xxy , dimana
1x = variabel kode untuk faktor A
2x = variabel kode untuk faktor B
.β = koefisien regresi
x ditentukan berdasarkan efek yang signifikan dari tabel anava.
Gabungan antara variabel alami faktor A dan B dengan variabel kode antara lain
( )( ) 2/
2/1
+−
+−
++−=AA
AAAx
( )( ) 2/
2/2
+−
+−
++−=BB
BBBx
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Sehingga akan menghasilkan variabel kode yang bernilai
rendah maka 11 −=x . Apabila faktor A dengan taraf tinggi maka
dengan taraf rendah maka 2x
Intersep merupakan rata
setengah dari estimasi efek faktor yang bersesuaian. Hal ini dikarenakan koefisien regresi
mengukur efek dari perubahan satuan dari x terhadap rata
pada dua satuan perubahan (dari
Model regresi dapat digun
dan residualnya. Residual dapat ditentukan dengan
tiap kombinasi perlakuan sebagai berikut.
(i) Untuk (1) yaitu kombinasi perlakuan fak
taraf rendah, dimana ˆ Iy
(ii) Untuk a yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan taraf
rendah, dimana 0= βay
(iii) Untuk b yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf rendah da
tinggi, dimana 0 += βby
(iv) Untuk ab yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan
taraf tinggi, dimana aby
dengan n = banyak replikasi.
2.2 Rancangan Faktorial
Rancangan ini melibatkan 3 faktor dengan masing
Misalkan, terdapat 3 faktor A, B, dan C dengan
“rendah” dan “tinggi”. Jika dilakukan percobaan dengan perulangan sebanyak n, maka total
seluruh kombinasi perlakuan dapat disajikan sebagai berikut:
ac.id
10
Sehingga akan menghasilkan variabel kode yang bernilai 1± . Apabila faktor A dengan taraf
. Apabila faktor A dengan taraf tinggi maka 1 =x
1−= . Apabila faktor B dengan taraf tinggi maka
Intersep merupakan rata-rata dari seluruh eksperimen dan koefisien regresi
setengah dari estimasi efek faktor yang bersesuaian. Hal ini dikarenakan koefisien regresi
mengukur efek dari perubahan satuan dari x terhadap rata-rata y dan estimasi efek didasarkan
pada dua satuan perubahan (dari -1 ke +1). Sehingga model regresi dapat ditulis juga dengan
Model regresi dapat digunakan untuk memprediksi nilai y pada kombinasi perlakuan
dan residualnya. Residual dapat ditentukan dengan yye ijk ˆ−= . Dimana perhitungan residual
tiap kombinasi perlakuan sebagai berikut.
1) yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf rendah dan fak
)1()1( 210 −+−+= βββ sehingga diperoleh residual
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan taraf
)1()1( 21 −+++ ββ sehingga diperoleh residual
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf rendah dan faktor B dengan taraf
)1()1( 21 ++−+ ββ sehingga diperoleh residual
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan
)1()1( 210 ++++= βββ sehingga diperoleh residual
dengan n = banyak replikasi.
Rancangan ini melibatkan 3 faktor dengan masing-masing faktor mempunyai 2 level.
Misalkan, terdapat 3 faktor A, B, dan C dengan masing-masing mempunyai 2 level, yaitu
“rendah” dan “tinggi”. Jika dilakukan percobaan dengan perulangan sebanyak n, maka total
seluruh kombinasi perlakuan dapat disajikan sebagai berikut:
. Apabila faktor A dengan taraf
1+ . Apabila faktor B
i maka 12 +=x .
rata dari seluruh eksperimen dan koefisien regresi 21,ββ adalah
setengah dari estimasi efek faktor yang bersesuaian. Hal ini dikarenakan koefisien regresi
rata y dan estimasi efek didasarkan
dapat ditulis juga dengan
akan untuk memprediksi nilai y pada kombinasi perlakuan
. Dimana perhitungan residual
f rendah dan faktor B dengan
sehingga diperoleh residual 1.11 yyen −= .
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan taraf
sehingga diperoleh residual an yye ˆ.21 −= .
n faktor B dengan taraf
sehingga diperoleh residual bn yye ˆ.12 −=
yaitu kombinasi perlakuan faktor A dengan taraf tinggi dan faktor B dengan
sehingga diperoleh residual abn yye ˆ.22 −=
masing faktor mempunyai 2 level.
masing mempunyai 2 level, yaitu
“rendah” dan “tinggi”. Jika dilakukan percobaan dengan perulangan sebanyak n, maka total
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
A
“rendah”
“rendah”
“tinggi”
Keterangan :
= observasi dengan kombinasi perlakuan dari masing
i = taraf untuk fak
j = taraf untuk fak
Jika level “rendah” dinotasikan “
sedangkan 8 kombinasi perlakuan dapat dinyatakan
dapat dibuat tabel plus-minus dari seluruh kombinasi perlakuan sebagai berikut.
A B
1 -
2 +
3 -
4 +
5 -
6 +
7 -
8 +
Keterangan : - 0 menyatakan tinggi rendahnya
+ 1 taraf faktor
ac.id
11
B “rendah” “tinggi”
C C “rendah” “tinggi” “rendah”
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
= observasi dengan kombinasi perlakuan dari masing-masing taraf
i = taraf untuk faktor A : 1, 2 k = taraf untuk faktor C : 1, 2
j = taraf untuk faktor B : 1, 2 l = perulangan : 1, 2, …, n
Jika level “rendah” dinotasikan “-“ dan level “tinggi” dinotasikan dengan “+”,
sedangkan 8 kombinasi perlakuan dapat dinyatakan sebagai (1), a, b, c, ab, ac, bc, abc, maka
minus dari seluruh kombinasi perlakuan sebagai berikut.
B C Komb.perlk A B
- - (1) 0 0
- - A 1 0
+ - B 0 1
+ - Ab 1 1
- + C 0 0
- + Ac 1 0
+ + bc 0 1
+ + abc 1 1
0 menyatakan tinggi rendahnya
taraf faktor
“tinggi”
“tinggi”
.
.
.
.
masing taraf
k = taraf untuk faktor C : 1, 2
l = perulangan : 1, 2, …, n
“ dan level “tinggi” dinotasikan dengan “+”,
sebagai (1), a, b, c, ab, ac, bc, abc, maka
minus dari seluruh kombinasi perlakuan sebagai berikut.
C
0
0
0
0
1
1
1
1
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Sebagaimana notasi yang telah dijelaskan sebelumnya, kombinasi perlakuan dapat
dituliskan dengan simbol (1), a, b, c, ab, ac, dan abc. Simbol ini juga menyatakan jumlah
observasi untuk n perulangan dari masing
Rancangan faktorial
berbentuk kubus. Dimana diagr
2.2.1 Estimasi Efek
Estimasi efek sangat diperlukan karena digunakan untuk menghitung jumlah
dalam analisis variansi. Ada 3 cara untuk mengestimasi efek utama. Ketiga cara itu adalah
estimasi efek dengan rata-rata, estimasi efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
2.2.1.1 Estimasi Efek dengan Rata
Efek faktor A dapat diestimasi dengan rata
dalam dua level, yaitu
(i) efek A dengan B- C- adalah
(ii) efek A dengan B+ C- adalah
(iii) efek A dengan B- C+ adalah
(iv) efek A dengan B+ C+ adalah
Metode lain untuk memperoleh formula rata
A yang telah dikombinasikan dengan perlakuan pada saat A “tinggi”
����, maka efek faktor A dapat dirumuskan
� � ��� ����
� � � � � � � ���4� ��
ac.id
12
Sebagaimana notasi yang telah dijelaskan sebelumnya, kombinasi perlakuan dapat
dituliskan dengan simbol (1), a, b, c, ab, ac, dan abc. Simbol ini juga menyatakan jumlah
observasi untuk n perulangan dari masing - masing kombinasi perlakuan.
ial dapat direpresentasikan dalam diagram rancangan yang
Dimana diagram rancangannya sebagai berikut:
Estimasi efek sangat diperlukan karena digunakan untuk menghitung jumlah
dalam analisis variansi. Ada 3 cara untuk mengestimasi efek utama. Ketiga cara itu adalah
rata, estimasi efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
Estimasi Efek dengan Rata - Rata
dapat diestimasi dengan rata-rata efek A dengan kombinasi B dan C
adalah �������
�
adalah ������
�
C+ adalah ������
�
(iv) efek A dengan B+ C+ adalah ��������
�
Metode lain untuk memperoleh formula rata – rata efek A dengan menyelisihkan rata
A yang telah dikombinasikan dengan perlakuan pada saat A “tinggi” ���
, maka efek faktor A dapat dirumuskan
� ��1� � � � � � ���4� � 1
4� � �1� � � � �
Sebagaimana notasi yang telah dijelaskan sebelumnya, kombinasi perlakuan dapat
dituliskan dengan simbol (1), a, b, c, ab, ac, dan abc. Simbol ini juga menyatakan jumlah
dapat direpresentasikan dalam diagram rancangan yang
Estimasi efek sangat diperlukan karena digunakan untuk menghitung jumlah kuadrat
dalam analisis variansi. Ada 3 cara untuk mengestimasi efek utama. Ketiga cara itu adalah
rata, estimasi efek dengan kontras, estimasi efek dengan tabel.
rata efek A dengan kombinasi B dan C
rata efek A dengan menyelisihkan rata – rata efek
� �� dengan A “rendah”
� � � � �� ���
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Efek faktor B dapat diestimasi dengan rata
dalam dua level, yaitu :
(i) efek B dengan A+ C- adalah
(ii) efek B dengan A- C+ adalah
(iii) efek B dengan A+ C+ adalah
(iv) efek B dengan A- C- adalah
efek faktor B dapat dirumuskan
Efek faktor C dapat diestimasi dengan rata
dalam dua level, yaitu
(i) efek C dengan A- B- adalah
(ii) efek C dengan A+ B- adalah
(iii) efek C dengan A- B+ adalah
(iv) efek C dengan A+ B+ adalah
Dengan cara yang sama, efek factor C dapat dirumuskan
Efek interaksi AB merupakan setengah selisih dari rata
dengan B rendah. Rata – rata efek A saat B+ adalah
pada saat B- adalah
Maka efek faktor AB dapat dirumuskan
ac.id
13
Efek faktor B dapat diestimasi dengan rata-rata efek B dengan kombinasi A dan C
adalah ������
�
C+ adalah ������
�
B dengan A+ C+ adalah ��������
�
adalah �������
�
efek faktor B dapat dirumuskan
Efek faktor C dapat diestimasi dengan rata-rata efek C dengan kombinasi A dan B
adalah
adalah
B+ adalah
efek C dengan A+ B+ adalah
Dengan cara yang sama, efek factor C dapat dirumuskan
Efek interaksi AB merupakan setengah selisih dari rata – rata efek A pada saat B tinggi
rata efek A saat B+ adalah . Sedangkan rata
.
Maka efek faktor AB dapat dirumuskan
rata efek B dengan kombinasi A dan C
rata efek C dengan kombinasi A dan B
rata efek A pada saat B tinggi
. Sedangkan rata – rata efek A
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Efek interaksi AC merupakan setengah selisih dari rata
dengan C rendah. Rata – rata efek A saat C+ adalah
pada saat C- adalah
Efek interaksi BC merupakan setengah
dengan C rendah. Rata – rata efek B saat C+ adalah
Sedangkan rata – rata efek B pada saat C
dirumuskan �� � �� ����������
��
� ��� � �� �
Dengan cara yang sama maka efek interaksi ABC adalah
– rata selisih antara interaksi AB pada saat C tinggi dengan C rendah.
2.2.1.2 Estimasi Efek dengan Kontras
Efek utama faktor A dapat juga ditentukan dengan kontras antara kombinasi perlakuan
saat A “tinggi” dengan A “rendah”
Efek faktor A dapat diestimasi d
(i) Efek A dengan B- C- adalah [a
(ii) Efek A dengan B+ C- adalah [ab
(iii) Efek A dengan B- C+ adalah [ac
(iv) Efek A dengan B+ C+ adalah [abc
Maka kontras
(i) kontras
(ii) kontras
ac.id
14
Efek interaksi AC merupakan setengah selisih dari rata – rata efek A
rata efek A saat C+ adalah . Sedangkan rata
. Maka efek faktor AC dapat dirumuska:
Efek interaksi BC merupakan setengah selisih dari rata – rata efek B pada saat C tinggi
rata efek B saat C+ adalah
rata efek B pada saat C- adalah . Maka efek faktor BC dapat
�������� ����������������
� � �� � � � � � �1�� Dengan cara yang sama maka efek interaksi ABC adalah
. Dimana efek interaksi ABC merupakan rata
rata selisih antara interaksi AB pada saat C tinggi dengan C rendah.
Estimasi Efek dengan Kontras
Efek utama faktor A dapat juga ditentukan dengan kontras antara kombinasi perlakuan
dengan A “rendah” . Total efek A untuk n ulangan disebut kontras A.
Efek faktor A dapat diestimasi dengan kombinasi B dan C dalam dua level, yaitu
adalah [a - (1)]
adalah [ab - b]
C+ adalah [ac - c]
Efek A dengan B+ C+ adalah [abc - bc]
. Dengan cara yang sama dipe
rata efek A pada saat C tinggi
Sedangkan rata – rata efek A
rata efek B pada saat C tinggi
. Maka efek faktor BC dapat
Dengan cara yang sama maka efek interaksi ABC adalah
Dimana efek interaksi ABC merupakan rata
Efek utama faktor A dapat juga ditentukan dengan kontras antara kombinasi perlakuan
. Total efek A untuk n ulangan disebut kontras A.
engan kombinasi B dan C dalam dua level, yaitu
. Dengan cara yang sama diperoleh
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
(iii) kontras
(iv) kontras
(v) kontras
2.2.1.3 Estimasi Efek dengan Tabel
Dari efek perlakuan di atas maka dapat dibuat tabel plus
disajikan sebagai berikut:
Komb. Perlk
(1)
(1) +
A +
B +
Ab +
C +
Ac +
Bc +
Abc +
*) Kolom AB merupakan perkalian tanda pada kolom A dan B
Kolom AC merupakan perkalian tanda pada kolom A dan C
Kolom BC merupakan perkalian tanda pada kolom B dan C
Kolom ABC merupakan perkalian tanda pada kolom AB dan C
Tabel di atas memiliki sifat
1. Kecuali kolom 1, setiap kolom punya tanda plus
2. Jumlah perkalian tanda dari 2 kolom selalu nol
3. Kolom 1 dikalikan dengan kolom manapun, kolom tersebut selalu tetap
4. Perkalian 2 kolom hasilnya suatu kolom dalam tabel
2.3 Analisis Variansi
Analisis variansi sangat diperlukan dalam uji statistik, yaitu dalam pengujian hipotesis
tentang pengaruh interaksi ataupun faktor terhadap respon.
ac.id
15
Estimasi Efek dengan Tabel
Dari efek perlakuan di atas maka dapat dibuat tabel plus-minus rancangan
Efek Faktorial
A B AB* C AC* BC*
- - + - + +
+ - - - - +
- + - - + -
+ + + - - -
- - + + - -
+ - - + + -
- + - + - +
+ + + + + +
*) Kolom AB merupakan perkalian tanda pada kolom A dan B
Kolom AC merupakan perkalian tanda pada kolom A dan C
Kolom BC merupakan perkalian tanda pada kolom B dan C
Kolom ABC merupakan perkalian tanda pada kolom AB dan C
iki sifat – sifat tertentu, yaitu :
Kecuali kolom 1, setiap kolom punya tanda plus-minus.
Jumlah perkalian tanda dari 2 kolom selalu nol
Kolom 1 dikalikan dengan kolom manapun, kolom tersebut selalu tetap
Perkalian 2 kolom hasilnya suatu kolom dalam tabel tersebut
Analisis variansi sangat diperlukan dalam uji statistik, yaitu dalam pengujian hipotesis
tentang pengaruh interaksi ataupun faktor terhadap respon. Dalam analisis variansi terdapat
minus rancangan yang
BC* ABC*
+ -
+ +
- +
- -
- +
- -
+ -
+ +
Kolom 1 dikalikan dengan kolom manapun, kolom tersebut selalu tetap
Analisis variansi sangat diperlukan dalam uji statistik, yaitu dalam pengujian hipotesis
Dalam analisis variansi terdapat
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
perhitungan jumlah kuadrat yang sangat berguna
estimasi efek di atas dapat dihitung jumlah kuadratnya baik itu jumlah kuadrat total, sesatan,
efek.
Perhitungan jumlah kuadrat total adalah J
a*b*c*n. a merupakan banyak taraf pada fact
pada faktor C, sedangkan n adalah banyak replikasi atau perulangan pada tiap taraf. Jumlah
kuadrat efek dapat dihitung dengan kontras yang mempunyai derajat bebas 1 untuk n perulangan
maka
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
Tabel Anava :
Variasi Db
A (a–1) = 1
B (b-1) = 1
C (c-1) = 1
AB (a-1) (b-1) = 1
AC (a-1) (c-1) = 1
BC (b-1) (c-1) = 1
ABC (a-1)(b-1)(c
ac.id
16
perhitungan jumlah kuadrat yang sangat berguna untuk pengujian hipotesis. Dari perhitungan
estimasi efek di atas dapat dihitung jumlah kuadratnya baik itu jumlah kuadrat total, sesatan,
Perhitungan jumlah kuadrat total adalah J
a*b*c*n. a merupakan banyak taraf pada factor A, b banyak taraf pada faktor B, c banyak taraf
pada faktor C, sedangkan n adalah banyak replikasi atau perulangan pada tiap taraf. Jumlah
kuadrat efek dapat dihitung dengan kontras yang mempunyai derajat bebas 1 untuk n perulangan
JK RK
1) = 1
1) = 1
1) = 1
1) = 1
1) = 1
1) = 1
-1) = 1
untuk pengujian hipotesis. Dari perhitungan
estimasi efek di atas dapat dihitung jumlah kuadratnya baik itu jumlah kuadrat total, sesatan,
. Dimana N =
or A, b banyak taraf pada faktor B, c banyak taraf
pada faktor C, sedangkan n adalah banyak replikasi atau perulangan pada tiap taraf. Jumlah
kuadrat efek dapat dihitung dengan kontras yang mempunyai derajat bebas 1 untuk n perulangan
F0
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
/ RKs
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Sesatan N-8
Total N-1
N = a.b.c.n = 2.2.2.n = 8
Uji hipotesis :
a. Interaksi ABC
H0 : Tidak ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
H1 : Ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
F0 : / RKs
H0 ditolak jika F0 > Ftabel
b. Interaksi AB
H0 : Tidak ada interaksi A dan B terhadap respon.
H1 : Ada interaksi A dan B terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 :
c. Interaksi AC
H0 : Tidak ada interaksi A dan C terhadap respon.
H1 : Ada interaksi A dan C terhadap respon.
F0 : / RKs
H0 ditolak jika F0 > Ftabel
d. Interaksi BC
H0 : Tidak ada interaksi B dan C terhadap respon.
H1 : Ada interaksi B dan C terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 :
e. Faktor A
H0 : Tidak ada pengaruh faktor A terhadap respon.
H1 : Ada pengaruh faktor A terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
ac.id
17
JKs RKs
JKT
N = a.b.c.n = 2.2.2.n = 8 n
: Tidak ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
: Ada interaksi A, B, dan C terhadap respon.
tabel =
: Tidak ada interaksi A dan B terhadap respon.
: Ada interaksi A dan B terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
: Tidak ada interaksi A dan C terhadap respon.
: Ada interaksi A dan C terhadap respon.
tabel =
: Tidak ada interaksi B dan C terhadap respon.
: Ada interaksi B dan C terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
: Tidak ada pengaruh faktor A terhadap respon.
: Ada pengaruh faktor A terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Statistik uji : F0 : / RKs
f. Faktor B
H0 : Tidak ada pengaruh faktor B terhadap respon.
H1 : Ada pengaruh faktor B terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 : / RKs
g. Faktor C
H0 : Tidak ada pengaruh faktor C terhadap respon.
H1 : Ada pengaruh faktor C terhadap respon.
Daerah kritis : H0 ditolak jika F
Statistik uji : F0 :
Jika setelah diuji, maka faktor
Misal dari masalah di atas setelah diuji yang signifikan adalah A, B, C, AB, dan ABC.
Sedangkan A, B, dan C masing
menjadi
dimana
masing-masing adalah variabel kode utuk A, B, C.
Cara menentukan variabel kode :
Hasil dari perhitungan di atas adalah
Residual dapat ditentukan dengan
ac.id
18
/ RKs
: Tidak ada pengaruh faktor B terhadap respon.
: Ada pengaruh faktor B terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
: Tidak ada pengaruh faktor C terhadap respon.
: Ada pengaruh faktor C terhadap respon.
ditolak jika F0 > Ftabel =
/ RKs
Jika setelah diuji, maka faktor-faktor yang signifikan berarti mempengaruhi respon.
Misal dari masalah di atas setelah diuji yang signifikan adalah A, B, C, AB, dan ABC.
Sedangkan A, B, dan C masing-masing dinotasikan sehingga model persamaa
masing adalah variabel kode utuk A, B, C.
Cara menentukan variabel kode :
Hasil dari perhitungan di atas adalah -1 dan +1.
Residual dapat ditentukan dengan
faktor yang signifikan berarti mempengaruhi respon.
Misal dari masalah di atas setelah diuji yang signifikan adalah A, B, C, AB, dan ABC.
sehingga model persamaannya
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
3.1 Contoh aplikasi faktorial
Sebuah mesin industri dipakai untuk botol minuman yang mementingkan pengaruh dari dua tipe botol 32 ons yang dikirim 12 peti botol dari sebuah produksi. Dua jenis tersebut adalah kaca dan plastik. Dua pekerja digunakan untuk menjalankan tugas tertentu yang terdiri dari memindahkan 40 peti dari 50 barisan dalam jenis ukuran dari gerbong tangan
dan menimbun peti. Empat replikasi daridiperlihatkan pada tabel di bawah
Tipe botol
Kaca 5.12 4.98
Plastik 4.95 4.27
Penyelesaian : AB A B Komb.+ - - (1)- + - A - - + B + + + Ab
a. Uji hipotesis - Kontras A : -(1) + a – b +ab =
- Kontras B : -(1) - a + b + ab =
- Kontras AB : (1) - a - b + ab = 19.99
-
-
-
ac.id
19
BAB III
CONTOH APLIKASI
faktorial
Sebuah mesin industri dipakai untuk botol minuman yang mementingkan pengaruh dari dua tipe botol 32 ons yang dikirim 12 peti botol dari sebuah produksi. Dua jenis tersebut adalah kaca dan plastik. Dua pekerja digunakan untuk menjalankan tugas tertentu yang terdiri dari memindahkan 40 peti dari 50 barisan dalam jenis ukuran dari gerbong tangan
Empat replikasi dari rancangan faktorial diperlihatkan pada tabel di bawah ini. Analisis data dan gambarkan kesimpulannya..
Pekerja 1 2 4.89 6.65 6.24 5.00 5.49 5.55 4.43 5.28 4.91 4.25 4.75 4.71
Komb.Perlk 1 2 3 4 (1) 5.12 4.89 4.98 5.00
4.95 4.43 4.27 4.25 6.65 6.24 5.49 5.55 b 5.28 4.91 4.75 4.71
b +ab = -19.99 +17.90 – 23.93 + 19.65 = - 6.37
a + b + ab = -19.99 - 17.90 + 23.93 + 19.65 = 5.69
b + ab = 19.99 - 17.90 - 23.93 + 19.65 = - 2.19
Sebuah mesin industri dipakai untuk botol minuman yang mementingkan pengaruh dari dua tipe botol 32 ons yang dikirim 12 peti botol dari sebuah produksi. Dua jenis botol tersebut adalah kaca dan plastik. Dua pekerja digunakan untuk menjalankan tugas tertentu yang terdiri dari memindahkan 40 peti dari 50 barisan dalam jenis ukuran dari gerbong tangan
ditampilkan, dan kan kesimpulannya..
Total 19.99 17.90 23.93 19.65
81.47
6.37
17.90 + 23.93 + 19.65 = 5.69
2.19
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
-
-
Tabel anava
Sv A (tipe botol) B (pekerja) AB (interaksi) Sesatan Type equation here.Total
# Uji hipotesis efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam
a. 01 : tidak terdapat efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
0�: terdapat efek interaksi tipa botol dan pekerja dalam industri.
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 01 ditolak jika
d. Statistik uji :Dari tabel anava diperoleh F
e. Kesimpulan
Karena F= 2.411 < 6�1.17
interaksi tipe botol dan pekerja dalam
# Uji hipotesis efek interaksi tipe botol dalam
a. 01 : tidak terdapat efek tipe botol
0� : terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 01 ditolak jika
d. Statistik uji : Dari tabel anava diperoleh F =
e. Kesimpulan
Karena F= 20.40 > 6�1.17
dalam pengembangan industri.
ac.id
20
Db JK RK 1 2.5361 2.53611 2.0235 2.02351 0.2988 0.298812 1.4910 0.1243
Total 15 6.3504
Uji hipotesis efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri #
efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
terdapat efek interaksi tipa botol dan pekerja dalam industri.
ditolak jika6 8 6�9;����������:�������� � 6�1.17:�:��
Dari tabel anava diperoleh F = 2.411
� 17:�:��� � 11.75 maka 01 tidak ditolak, artinya tidak terdapat efek
botol dan pekerja dalam industri.
Uji hipotesis efek interaksi tipe botol dalam pengembangan industri #
terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri.
terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri
ditolak jika 6 8 6�9;����������:�������� � 6�1.17:�:��
Dari tabel anava diperoleh F = 20.40
� 17:�:��� � 11.75 maka 01 ditolak, artinya terdapat efek tipe botol
dalam pengembangan industri.
F .5361 20.40
2.0235 16.28 0.2988 2.411 0.1243
efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
��� � 11.75
tidak ditolak, artinya tidak terdapat efek
��� � 11.75
terdapat efek tipe botol
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
# Uji hipotesis efek interaksi peke
a. 01 : tidak terdapat efek pekerja dalam pengembangan industri.
0�: terdapat efek pekerja dalam pengembangan industri
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 01 ditolak jika
d. Statistik uji : Dari tabel anava diperoleh F = 16.28
e. Kesimpulan
Karena F= 16.28 >6�1.17
dalam pengembangan industri.
b. Analisis Residual
Estimasi Efek:
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
ac.id
21
Uji hipotesis efek interaksi pekerja dalam pengembangan industri#
terdapat efek pekerja dalam pengembangan industri.
terdapat efek pekerja dalam pengembangan industri
ditolak jika 6 8 6�9;����������:�������� � 6�1.17:�:��
Dari tabel anava diperoleh F = 16.28
� 17:�:��� � 11.75 maka 01 ditolak, artinya terdapat efek pekerja
dalam pengembangan industri.
diperoleh ,
, ,
diperoleh ,
, ,
diperoleh
, ,
diperoleh ,
, ,
��� � 11.75
ditolak, artinya terdapat efek pekerja
,
,
,
,
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
22
c. Menggunakan Minitab.14
Uji Hipotesis :
1. 01 : tidak terdapat efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
0� : terdapat efek interaksi tipa botol dan pekerja dalam industri.
2. α = 0,05
3. Daerah kritis : Ho ditolak jika P-Value < α = 0.05
4. Statistik Uji
Faktor Type Levels Values tipe botol fixed 2 1, 2 pekerja fixed 2 1, 2 Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P tipe botol 1 2.5361 2.5361 2.5361 20.41 0.001 pekerja 1 2.0235 2.0235 2.0235 16.28 0.002 tipe botol*pekerja 1 0.2998 0.2998 0.2998 2.41 0.146 Error 12 1.4911 1.4911 0.1243 Total 15 6.3504
5. Kesimpulan
Karena P-Value=0.146 > α = 0,05 maka 01 tidak ditolak, artinya tidak terdapat efek
interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
# Uji kecocokan model # a. asumsi kenormalan
Residual
Percent
0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Normal Probability Plot of the Residuals(response is respon)
Terlihat dari plot di atas titik – titiknya mendekati garis lurus maka asumsi kenormalan
dipenuhi.
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
23
b. Asumsi homogenitas
Observation Order
Residual
16151413121110987654321
0.75
0.50
0.25
0.00
-0.25
-0.50
Residuals Versus the Order of the Data(response is respon)
Terlihat dari plot di atas titik – titiknya dapat dikatakan berpola acak atau tidak membentuk
pola tertentu sehingga asumsi independensi dipenuhi.
c. Analisis adanya efek
Fitted Value
Residual
6.005.755.505.255.004.754.50
0.75
0.50
0.25
0.00
-0.25
-0.50
Residuals Versus the Fitted Values(response is respon)
Dari grafik residuals vs the fitted values tampak titik- titik yang acak (tidak membentuk pola
tertentu), berarti tidak ada efek interaksi antara tipe botol dan pekerja terhadap pengembangan
industri.
d. Uji homogenitas variansi dengan menggunakan metode bartlet’s
1. Respon terhadap tipe botol
01 : tidak terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri.
0� : terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Daerah kritis : 01 ditolak jika
Stat uji
tipe botol
95% Bonferron
2
1
0.60.40.2
tipe botol
2
1
5.04.54.0
Test f
Dari output dengan meng
Kesimpulan: Karena P = 0.147 >
terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri.
2. Respon terhadap pekerja
01 : tidak terdapat efek
0� : terdapat efek pekerja
Daerah kritis : 01 ditolak jika
Stat uji
pekerja
95% Bonferroni
2
1
0.60.40.2
pekerja
2
1
5.04.54.0
Test fo
ac.id
24
ditolak jika p-value < 3 � 0.05
ni Confidence Intervals for StDevs
1.61.41.21.00.8
respon
7.06.56.05.5
F-Test
0.218
Test Statistic 3.21
P-Value 0.147
Levene's Test
Test Statistic 1.67
P-Value
for Equal Variances for respon
menggunakan uji Bartlett di dapat P = 0.147
Karena P = 0.147 > α = 0.05 maka 0H tidak di tolak artinya
terdapat efek tipe botol dalam pengembangan industri.
Respon terhadap pekerja
tidak terdapat efek pekerja dalam pengembangan industri.
terdapat efek pekerja dalam pengembangan industri
ditolak jika p-value < 3 � 0.05
i Confidence Intervals for StDevs
1.61.41.21.00.8
respon
7.06.56.05.5
F-Test
0.163
Test Statistic 0.26
P-Value 0.096
Levene's Test
Test Statistic 2.17
P-Value
or Equal Variances for respon
tidak di tolak artinya tidak
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P =
Kesimpulan : karena p
tipe botol dalam pengembangan industri.
3. Respon terhadap tipe botol dan pekerja
01 : tidak terdapat efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
0� : terdapat efek interaksi tipa botol dan pekerja dalam industri.
α = 0,05
Daerah kritis : Ho ditolak jika
Stat uji
95% Bonfe
tipe botol pekerja
2
1
2
1
2
1
0.50.0
Test f
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P =
Kesimpulan : karena p-value = 0.090 > 0.05
tipe botol dan pekerja dalam
Kesimpulan :
Karena ketiga asumsi di atas di penuhi maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat
kekurangcocokan antara model dengan data atau model sesuai dengan data.
3.2 Contoh kasus faktorial
Percobaan membuat bro
perusahaan terpercaya dalam pembelajaran
pembelajaran ide membuat suatu rancangan untuk beberapa tahun
berbeda dan selalu memberikan perencanaan, menyalurkan
untuk peserta-peserta pada kelas. Peserta kelihatannya
ac.id
25
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P = 0.096
arena p-value=0.096 > 0.05 0H tidak di tolak artinya
tipe botol dalam pengembangan industri.
Respon terhadap tipe botol dan pekerja
tidak terdapat efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
terdapat efek interaksi tipa botol dan pekerja dalam industri.
ditolak jika P-Value < α
erroni Confidence Intervals for StDevs
3.53.02.52.01.51.05
Bartlett's Test
0.062
Test Statistic 6.49
P-Value 0.090
Levene's Test
Test Statistic 3.20
P-Value
for Equal Variances for respon
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P = 0.090
value = 0.090 > 0.05 0H tidak di tolak tidak terdapat efek interaksi
tipe botol dan pekerja dalam pengembangan industri.
Karena ketiga asumsi di atas di penuhi maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat
kekurangcocokan antara model dengan data atau model sesuai dengan data.
faktorial
Percobaan membuat brownis yang lezat. Penulis adalah insinyur pelatihan dari suatu
dalam pembelajaran melakukan sesuatu. Saya
ide membuat suatu rancangan untuk beberapa tahun dengan
n selalu memberikan perencanaan, menyalurkan dan menganalisis
pada kelas. Peserta kelihatannya menikmati percobaan tersebut dan
artinya tidak terdapat efek
tidak terdapat efek interaksi tipe botol dan pekerja dalam industri.
tidak terdapat efek interaksi
Karena ketiga asumsi di atas di penuhi maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat
kekurangcocokan antara model dengan data atau model sesuai dengan data.
Penulis adalah insinyur pelatihan dari suatu
melakukan sesuatu. Saya mempunyai
dengan orang-orang yang
analisis suatu percobaan
percobaan tersebut dan
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
26
selalu belajar darinya. Problem ini menggunakan hasil dari percobaan yang dilakukan oleh
Greatchen Krueger di Arizona State University.
Ada beberapa perbedaan cara membuat bronis. Tujuan dari percobaan untuk
membedakan bagaimana material pan, macam-macam jenis campuran brownis, dan metode
pengadukan yang mempengaruhi kelezatan dari brownis. Level faktornya adalah:
Faktor Level faktor
Rendah (-) Tinggi (+) A : material pan Gelas Aluminium B : metode pengadukan
Sendok Mixer
C : jenis campuran Mahal Murah
Variabel responnya berupa kelezatan, sebuah ukuran subyektif yang berasal dari kuisioner
yang diberikan kepada orang-orang, yang masing-masing diberi sepotong brownis. Perlakuan
kuisioner dinilai dari macam rasa, penampilan, konsistensi, aroma dan seterusnya. Delapan
orang tester mendapat sepotong brownis dan menjawab pertanyaan. Data lengkapnya dapat
dilihat pada tabel berikut:
Angkatan
brownis
Faktor Hasil uji panel total
Kombinasi
perlakuan A B C 1 2 3 4 5 6 7 8
1 - - - 11 9 10 10 11 10 8 9 78 (1)
2 + - - 15 10 16 14 12 9 6 15 97 a
3 - + - 9 12 11 11 11 11 11 12 88 b
4 + + - 16 17 15 12 13 13 11 11 108 ab
5 - - + 10 11 15 8 6 8 9 14 81 c
6 + - + 12 13 14 13 9 13 14 9 97 ac
7 - + + 10 12 13 10 7 7 17 13 89 bc
8 + + + 15 12 15 13 12 12 9 14 102 abc
740
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Penyelesaian:
Material pan (A)
Sendok (
Jenis campuran (C)
Mahal (
Kaca (-) 11 9 10 10
11 10 8 9
Alumunium (+) 15 10 16 14
12 9 6 15
1. Analisis data
Menghitung kontras
ac.id
27
Metode pengadukan (B)
Sendok (-) Mixer (+)
Jenis campuran (C) Jenis campuran (C)
Mahal (-) Murah (+) Mahal (-)
11 9 10 10
11 10 8 9
10 11 15 8
6 8 9 14
9 12 11 11
11 11 11 12
15 10 16 14
12 9 6 15
12 13 14 13
9 13 14 9
16 17 15 12
13 13 11 11
Jenis campuran (C)
Murah (+)
9 12 11 11
11 11 11 12
10 12 13 10
7 7 17 13
16 17 15 12
13 13 11 11
15 12 15 13
12 12 9 14
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Menghitung efek =
Efek A =
Efek B =
Efek C =
Efek AB =
Efek AC =
Efek BC =
Efek ABC =
ac.id
28
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Tabel anava
Variasi Db JKA 1
B 1
C 1
AB 1
AC 1
BC 1
ABC 1
Sesatan 56
Total 63
Uji hipotesis
1. Uji hipotesis interaksi ABC
a. 0=: tidak ada efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis.
0�: terdapat efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis.
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 0=: ditolak jika
d. Statistik uji : dari tabel anava diperoleh
e. Kesimpulan : karena
tidak ada efek interaksi antara material pan, metode
terhadap kelezatan brownis.
ac.id
29
JK RK F
Uji hipotesis interaksi ABC
ada efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis.
terdapat efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis.
tolak jika 6 8 6�9:�:>�?� � 6�9:�:>�?� � 6�1.17:�
Statistik uji : dari tabel anava diperoleh 6 � 0.04136
Kesimpulan : karena 6 � 0.04136 < 6�1.17:�:7B� � 4.01792 maka
tidak ada efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis.
ada efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terdapat efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
�:7B� � 4.01792
maka 0= diterima, maka
pengadukan, dan jenis campuran
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
30
2. Uji hipotesis interaksi AB
a. 0=: tidak ada efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap
kelezatan brownis.
0�: terdapat efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap kelezatan
brownis.
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 0=ditolak jika 6 > 6(9:�:>�?) = 6 > 6(1.17:�:7B) = 4.01792
d. Statistik uji : dari tabel anava diperoleh 6 = 0.01034
e. Kesimpulan : karena 6 = 0.01034 < 6(9:�:>�?) = 4.01792 maka 0= diterima,maka tidak
ada efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap kelezatan
brownis.
3. Uji hipotesis interaksi AC
a. 0=: tidak ada efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
brownis.
0�: terdapat efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
brownis.
b. 3 = 0.05
c. Daerah kritis : 0= ditolak jika 6 > 6(9:�:>�?) = 6 > 6(1.17:�:7B) = 4.01792
d. Statistik uji : dari tabel anava diperoleh 6 = 0.2585
e. Kesimpulan : karena 6 = 0.2585 < 6(9:�:>�?) = 4.01792 maka 0= diterima,maka tidak
ada efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
4. Uji hipotesis interaksi BC
a. 0= : tidak ada efek interaksi antara metode pengadukan dan jenis campuran terhadap
kelezatan brownis.
0� : terdapat efek interaksi antara metode pengadukan dan jenis campuran terhadap
kelezatan brownis.
b. 3 = 0.05
c. Daerah kritis : 0= ditolak jika6 > 6(9:�:>�?) = 6 > 6(1.17:�:7B) = 4.01792
d. Statistik uji : dari tabel anava diperoleh 6 = 0.165
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
31
e. Kesimpulan : karena 6 � 0.165 < 6(9:�:>�?) = 4.01792 maka 0= diterima,maka tidak
ada efek interaksi metode pengadukan dan jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
5. Uji hipotesis interaksi A
a. 0=: tidak ada efek material pan terhadap kelezatan brownis.
0�: terdapat efek material pan terhadap kelezatan brownis.
b. 3 = 0.05
c. Daerah kritis : 0=ditolak jika 6 > 6(9:�:>�?) = 6 > 6(1.17:�:7B)= 4.01792
d. Statistik uji : dari tabel anava diperoleh 6 = 11.9528
e. Kesimpulan : karena 6 = 11.9528 > 6(9:�:>�?) = 4.01792 maka 0= ditolak,maka
terdapat efek material pan terhadap kelezatan brownis.
6. Uji hipotesis interaksi B
a. 0=: tidak ada efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
0�: terdapat efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
b. 3 = 0.05
c. Daerah kritis : 0= ditolak jika 6 > 6(9:�:>�?) = 6 > 6(1.17:�:7B)= 4.01792
d. Statistik uji : dari tabel anava diperoleh 6 = 2.9882
e. Kesimpulan : karena 6 = 2.9882<6(1.17:�:7B)= 4.01792 maka 0= diterima, maka tidak
ada efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
7. Uji hipotesis interaksi C
a. 0= : tidak ada efek jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
0� terdapat efek jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
b. 3 = 0.05
c. Daerah kritis : 0= ditolak jika 6 > 6(9:�:>�?) = 6 > 6(1.17:�:7B)= 4.01792
d. Statistik uji : dari tabel anava diperoleh 6 = 0.01034
e. Kesimpulan : karena 6 = 0.01034 <6(1.17:�:7B)= 4.01792 maka 0= diterima, maka tidak
ada efek jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
Minitab.14
Uji hipotesis interaksi ABC
a. 0= : tidak ada efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis.
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
32
0�: terdapat efek interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis.
b. 3 � 0.05
c. Daerah kritis : 0= ditolak jika P-Value > α = 0.05
d. Statistik uji :
Faktor Type Levels Values
A fixed 2 1, 2
B fixed 2 1, 2
C fixed 2 1, 2
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
A 1 72.250 72.250 72.250 11.95 0.001
B 1 18.062 18.062 18.062 2.99 0.089
C 1 0.062 0.062 0.062 0.01 0.919
A*B 1 0.063 0.063 0.063 0.01 0.919
A*C 1 1.563 1.563 1.563 0.26 0.613
B*C 1 1.000 1.000 1.000 0.17 0.686
A*B*C 1 0.250 0.250 0.250 0.04 0.840
Error 56 338.500 338.500 6.045
Total 63 431.750
S = 2.45859 R-Sq = 21.60% R-Sq(adj) = 11.80%
e. Kesimpulan : karena P-Value = 0.840 > α = 0,05 maka 0= diterima,maka tidak ada efek
interaksi antara material pan, metode pengadukan, dan jenis campuran terhadap kelezatan
brownis.
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
33
# Uji kecocokan model untuk asumsi kenormalan #
Residual
Percent
86420-2-4-6-8
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Normal Probability Plot of the Residuals(response is Respon)
Terlihat dari plot di atas titik – titiknya mendekati garis lurus maka asumsi kenormalan
dipenuhi.
# Uji kecocokan model untuk asumsi homogenitas variansi #
Fitted Value
Residual
1413121110
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
-7.5
Residuals Versus the Fitted Values(response is Respon)
Dari plot di atas terlihat acak, maka asumsi homogenitas variansi terpenuhi.
# Uji kecocokan model untuk asumsi independensi #
Terlihat dari plot di atas titik – titiknya dapat dikatakan berpola acak atau tidak membentuk
pola tertentu sehingga asumsi independensi dipenuhi.
e. Uji homogenitas variansi dengan menggunakan metode bartlet’s
1. Respon terhadap material pan
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
0=: tidak ada efek material pan terhadap kelezatan brownis.
0�: terdapat efek material pan terhadap kelezatan brownis.
Daerah kritis : 0= ditolak jika
Stat uji
A
95% Bonferron
2
1
2.42.0
A
2
1
17.55.0
Test f
Dari output dengan uji Bartlett di dapat P
Kesimpulan: Karena P
ada efek material pan terhadap kelezatan brownis
pada material pan.
2. Respon terhadap metode pengadukan
0= : tidak ada efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
0� : terdapat efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
Daerah kritis : 01ditolak jika
Stat uji
ac.id
34
tidak ada efek material pan terhadap kelezatan brownis.
efek material pan terhadap kelezatan brownis.
ditolak jika p-value < 3 � 0.05
ni Confidence Intervals for StDevs
3.63.22.8
Respon
17.515.012.510.0
F-Test
0.752
Test Statistic 0.90
P-Value 0.764
Levene's Test
Test Statistic 0.10
P-Value
for Equal Variances for Respon
uji Bartlett di dapat P-value = 0.764
Karena P-value = 0.764 > α = 0.05 maka 0H tidak di tolak artinya
ada efek material pan terhadap kelezatan brownis atau terdapat homogenitas variansi
metode pengadukan
tidak ada efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
terdapat efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
ditolak jika p-value < 3 � 0.05
tidak di tolak artinya tidak
erdapat homogenitas variansi
tidak ada efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
terdapat efek metode pengadukan terhadap kelezatan brownis.
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
B
95% Bonferroni C
2
1
2.52.0
B
2
1
10.7.55.0
Test fo
Dari output dengan uji Bartlett di dapat p
Kesimpulan : karena p
metode pengadukan terhadap kelezatan brownis
pada metode pengadukan
3. Respon terhadap jenis campuran
0= : tidak ada efek jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
0� : terdapat efek jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
Daerah kritis : Ho ditolak jika
Stat uji
C
95% Bonferroni
2
1
2.52.0
C
2
1
107.55.0
Test fo
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P
ac.id
35
Confidence Intervals for StDevs
4.03.53.0
Respon
17.515.012.5.0
F-Test
0.211
Test Statistic 1.24
P-Value 0.554
Levene's Test
Test Statistic 1.60
P-Value
or Equal Variances for Respon
dengan uji Bartlett di dapat p-value = 0.554
arena p-value=0.554 > 0.05 0H tidak di tolak artinya
metode pengadukan terhadap kelezatan brownis atau terdapat homogenitas variansi
pada metode pengadukan.
jenis campuran
ada efek jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
terdapat efek jenis campuran terhadap kelezatan brownis.
ditolak jika P-Value < α
i Confidence Intervals for StDevs
4.03.53.0
Respon
17.515.012.50.0
F-Test
0.387
Test Statistic 0.85
P-Value 0.642
Levene's Test
Test Statistic 0.76
P-Value
or Equal Variances for Respon
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P-value = 0.642
artinya tidak ada efek
erdapat homogenitas variansi
642
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Kesimpulan : karena p
jenis campuran terhadap kelezatan brownis
jenis campuran.
4. Respon terhadap material pan dan metode
0=; tidak ada efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap
kelezatan brownis.
0� : terdapat efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap kelezatan
brownis.
Daerah kritis : Ho ditolak jika
Stat uji
95% Bonferroni Con
A B
2
1
2
1
2
1
21
Test for
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P
Kesimpulan : karena p
antara material pan dan metode
homogenitas variansi
5. Respon terhadap material pan dan jenis campuran
01 : tidak ada efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
brownis.
0�: terdapat efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
brownis
ac.id
36
Kesimpulan : karena p-value = 0.642> 0.05 0H tidak di tolak
jenis campuran terhadap kelezatan brownis atau terdapat homogenitas variansi
material pan dan metode pengadukan
tidak ada efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap
terdapat efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap kelezatan
ditolak jika P-Value < α
nfidence Intervals for StDevs
543
Bartlett's Test
0.724
Test Statistic 1.33
P-Value 0.723
Levene's Test
Test Statistic 0.44
P-Value
Equal Variances for Respon
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P –value = 0.723
Kesimpulan : karena p-value = 0.723 > 0.05 0H tidak di tolak tidak ada efek interaksi
antara material pan dan metode pengadukan terhadap kelezatan brownis
homogenitas variansi pada jenis campuran material pan dan metode pengadukan
material pan dan jenis campuran
ada efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
terdapat efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
artinya tidak ada efek
erdapat homogenitas variansi pada
tidak ada efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap
terdapat efek interaksi antara material pan dan metode pengadukan terhadap kelezatan
tidak ada efek interaksi
pengadukan terhadap kelezatan brownis atau terdapat
material pan dan metode pengadukan.
ada efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
terdapat efek interaksi antara material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
37
α = 0,05
Daerah kritis : Ho ditolak jika P-Value < α
Stat uji
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
A C
2
1
2
1
2
1
654321
Bartlett's Test
0.014
Test Statistic 15.37
P-Value 0.002
Levene's Test
Test Statistic 3.83
P-Value
Test for Equal Variances for Respon
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P-value = 0.002
Kesimpulan : karena p-value = 0.002 < 0.05 0H ditolak terdapat efek interaksi antara
material pan dan jenis campuran terhadap kelezatan brownis atau tidak terdapat
homogenitas variansi pada material pan dan jenis campuran.
6. Respon terhadap metode pengadukan dan jenis campuran
0= : tidak ada efek interaksi antara metode pengadukan dan jenis campuran terhadap
kelezatan brownis.
0� : terdapat efek interaksi antara metode pengadukan dan jenis campuran terhadap
kelezatan brownis.
α = 0,05
Daerah kritis : Ho ditolak jika P-Value < α
Stat uji
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
38
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
B C
2
1
2
1
2
1
54321
Bartlett's Test
0.540
Test Statistic 1.47
P-Value 0.689
Levene's Test
Test Statistic 0.73
P-Value
Test for Equal Variances for Respon
Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P-value = 0.689
Kesimpulan : karena p-value = 0.689 > 0.05 0H tidak di tolak tidak ada efek interaksi
antara metode pengadukan dan jenis campuran terhadap kelezatan brownis atau terdapat
homogenitas variansi pada metode pengadukan dan jenis campuran.
7. Respon terhadap material pan, metode pengadukan dan jenis campuran
0= : tidak ada efek interaksi antara material pan, metode pengadukan dan jenis
campuran terhadap kelezatan brownis
0�: ada efek interaksi antara material pan, metode pengadukan dan jenis campuran
terhadap kelezatan brownis
α = 0,05
Daerah kritis : Ho ditolak jika P-Value < α
Stat uji
Didonwload dari ririez.blog.uns.ac.id
39
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
A B C
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1086420
Bartlett's Test
0.021
Test Statistic 18.99
P-Value 0.008
Levene's Test
Test Statistic 2.62
P-Value
Test for Equal Variances for Respon
Dari output dengan uji Bartlett didapat P –value = 0.008
Kesimpulan : karena p-value = 0.008 < 0.05 0H ditolak ada efek interaksi antara
material pan, metode pengadukan dan jenis campuran terhadap kelezatan brownis atau
tidak terdapat homogenitas variansi pada material pan, metode pengadukan dan jenis
campuran.
Kesimpulan :
Karena asumsi di atas di penuhi maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat
kekurangcocokan antara model dengan data atau model sesuai dengan data.
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
• Rancangan faktorial 2k
masing-masing faktor memiliki dua taraf atau level. Banyaknya taraf yaitu 2, ditulis
sebagai bilangan pokok dan banyaknya faktor yaitu k, ditulis sebagai pangkat.
• Rancangan faktorial 22
• Untuk rancangan fak
• Rancangan faktorial 22
JKA =
[4.
)1(
n
baab −−+
JKB =
[4.
)1(
n
abab −−+
JKAB =
[4.
)1(
n
baab −−+
JKT = y
n
k
ijk
ji 1
22
1
2
1∑∑∑
===
JKS = JKT – JKA – JKB
Fhitung = S
AB
RK
RK
• Rancangan faktorial 23
• Untuk rancangan factorial
• Rancangan faktorial 23
ac.id
40
BAB IV
PENUTUP
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut: k, yaitu rancangan faktorial yang menyangkut k buah faktor dengan
masing faktor memiliki dua taraf atau level. Banyaknya taraf yaitu 2, ditulis
sebagai bilangan pokok dan banyaknya faktor yaitu k, ditulis sebagai pangkat.2, yaitu rancangan faktorial yang melibatkan dua faktor
gan faktorial 22, persamaan regresinya dapat ditulis
2 dapat diselesaikan dengan uji hipotesis dengan statistik uji
]) 2
]) 2
]2b
n
y
4
...2
−
B - JKAB
3, yaitu rancangan faktorial yang melibatkan tiga
Untuk rancangan factorial 23, persamaan regresinya
3 dapat diselesaikan dengan uji hipotesis dengan statistik uji
rancangan faktorial yang menyangkut k buah faktor dengan
masing faktor memiliki dua taraf atau level. Banyaknya taraf yaitu 2, ditulis
sebagai bilangan pokok dan banyaknya faktor yaitu k, ditulis sebagai pangkat.
melibatkan dua faktor
, persamaan regresinya dapat ditulis
dapat diselesaikan dengan uji hipotesis dengan statistik uji
faktorial yang melibatkan tiga faktor.
persamaan regresinya dapat ditulis
dapat diselesaikan dengan uji hipotesis dengan statistik uji
Didonwload dari ririez.blog.uns.a
Efek faktor A dapat diestimasi dengan
Efek A dengan B- C- adalah [a
Efek A dengan B+ C- adalah [ab
Efek A dengan B- C+ adalah [ac
Efek A dengan B+ C+ adalah [abc
Maka kontras
kontras
kontras
kontras
kontras
kontras
Montgomery, Douglas C.1991
Singapore.
Zukhronah, Etik.2007.Modul
UNS:UNS Surakarta.
ac.id
41
Efek faktor A dapat diestimasi dengan kombinasi B dan C dalam dua level, yaitu
adalah [a - (1)]
adalah [ab - b]
C+ adalah [ac - c]
Efek A dengan B+ C+ adalah [abc - bc]
. Dengan cara yang sama diperoleh
DAFTAR PUSTAKA
Montgomery, Douglas C.1991.Design and Analysis of Experiments
Zukhronah, Etik.2007.Modul Praktikum mata Kuliah Rancangan Percobaan.
kombinasi B dan C dalam dua level, yaitu
. Dengan cara yang sama diperoleh
.John Wiley & Sons:
Praktikum mata Kuliah Rancangan Percobaan.Matematika FMIPA